2021-2022學(xué)年北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊直角三角形斜邊上的中線習(xí)題含答案

直角三角形斜邊上的中線一．選擇題（共7小題）1．如圖所示，公路AC，BC互相垂直，點(diǎn)M為公路AB的中點(diǎn)，為測量湖泊兩側(cè)C、M兩點(diǎn)間的距離，若測得AB的長為5km，則M，C兩點(diǎn)間的距離為（）A．2.5km B．3km C．4.5km D．5km2．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是角平分線，BE是中線，則DE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．63．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上的高，CE為AB邊上的中線，AD＝2，CE＝10，則CD＝（）A．2 B．3 C．4 D．6第1題第2題第3題4．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中點(diǎn)，連接BE，BD．則∠DBE的度數(shù)為（）A．10° B．12° C．15° D．18°5．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE為AC邊上的中線，AD平分∠BAC，交BC邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BF⊥AD，垂足為F，則∠EBF的度數(shù)為（）A．19° B．33° C．34° D．43°6．如圖，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D點(diǎn)，CE⊥AB于E點(diǎn)，F(xiàn)，G分別為BC、DE的中點(diǎn)，若ED＝10，則FG的長為（）A．2 B． C．8 D．9第4題第5題第6題7．如圖，在△ABC中，AE⊥BC于點(diǎn)E，BD⊥AC于點(diǎn)D；點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，連接DF，EF，設(shè)∠DFE＝x°，∠ACB＝y(tǒng)°，則（）A．y＝x B．y＝﹣x+90 C．y＝﹣2x+180 D．y＝﹣x+90二．填空題（共8小題）8．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是角平分線，BE是中線，則DE的長為．9．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD為AC邊上的中線，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作BD的平行線，交CE的延長線于點(diǎn)F，在AF的延長線上截取FG＝BD，連接BG、DF．若AG＝10，BG＝4，則CF的長為．10．在△ABC中，∠BAC為鈍角，AF，CE都是這個三角形的高，P為AC的中點(diǎn)，若∠B＝42°，則∠EPF的度數(shù)為．第8題第9題第10題11．如圖，△ABC中，AB＝AC＝4，以AC為斜邊作Rt△ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝30°，E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，則ED＝．12．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，M為AB邊的中點(diǎn)，連接ME、MD、ED，設(shè)AB＝10，∠DBE＝30°，則△EDM的面積為．13．已知：如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC與BD相交于點(diǎn)O，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)．則∠EFO＝．第11題第12題第13題14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)C為圓心，CD長為半徑畫弧交BA的延長線于點(diǎn)E，設(shè)∠B＝x，∠ACE＝y(tǒng)．則y與x的關(guān)系式為．15．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D為邊AB的中點(diǎn)，E、F分別為邊AC、BC上的點(diǎn)，且AE＝AD，BF＝BD．若DE＝，DF＝2，則∠EDF＝°，線段AB的長度＝．第14題第15題三．解答題（共7小題）16．如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M，N分別是BC，DE的中點(diǎn)．（1）求證：MN⊥DE；（2）若∠A＝60°，連接EM，DM，判斷△EDM的形狀，并說明理由．17．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，點(diǎn)E是邊BC延長線上一點(diǎn)，連接AE、DE，過點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F，且DF＝EF．（1）求證：AD＝CE．（2）若AD＝5，AC＝6，求△BDE的面積．18．如圖，△ABC中，AD是邊BC上的高，CF是邊AB上的中線，DC＝BF，點(diǎn)E是CF的中點(diǎn)．（1）求證：DE⊥CF；（2）求證：∠B＝2∠BCF．19．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊BC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是線段AD上一點(diǎn)，連接EF，CF．（1）若點(diǎn)F是線段AD的中點(diǎn)，試猜想線段EF與CF的大小關(guān)系，并加以證明．（2）在（1）的條件下，若∠BAC＝45°，AD＝6，求C、E兩點(diǎn)間的距離．20．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高線，CE是AB邊上的中線，DG⊥CE于G，CD＝AE．（1）求證：CG＝EG．（2）已知BC＝13，CD＝5，連接ED，求△EDC的面積．21．如圖，在△ABC中，BM⊥AC，垂足為M．N為AB上的一點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，DN＝BC．（1）求證CN⊥AB．（2）若∠A＝55°，則∠MDN＝°．22．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中線，E是AD中點(diǎn)，過A作AF∥BC交BE的延長線于點(diǎn)F，連接CF．（1）求證：AD＝AF；（2）如果AB＝AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）1．如圖所示，公路AC，BC互相垂直，點(diǎn)M為公路AB的中點(diǎn)，為測量湖泊兩側(cè)C、M兩點(diǎn)間的距離，若測得AB的長為5km，則M，C兩點(diǎn)間的距離為（）A．2.5km B．3km C．4.5km D．5km【解答】解：∵公路AC，BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴CM＝AB，∵AB＝5km，∴CM＝2.5（km），即M，C兩點(diǎn)間的距離為2.5km，故選：A．2．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是角平分線，BE是中線，則DE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵AB＝AC＝8，AD是角平分線，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵BE是中線，∴AE＝CE，∴DE＝AC＝×8＝4，故選：B．3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上的高，CE為AB邊上的中線，AD＝2，CE＝10，則CD＝（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE為AB邊上的中線，CE＝10，∴AE＝CE＝10，∵AD＝2，∴DE＝8，∵CD為AB邊上的高，在Rt△CDE中，CD＝＝＝6，故選：D．4．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中點(diǎn)，連接BE，BD．則∠DBE的度數(shù)為（）A．10° B．12° C．15° D．18°【解答】解：連接DE，∵∠ADC＝90°，E是AC的中點(diǎn)，∴DE＝AC＝AE，∴∠EDA＝∠DAC＝45°，∴∠DEC＝∠EDA+∠DAC＝90°，同理，∠BEC＝60°，∴∠DEB＝90°+60°＝150°，∵DE＝AC，BE＝AC，∴DE＝BE，∴∠DBE＝×（180°﹣150°）＝15°，故選：C．5．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE為AC邊上的中線，AD平分∠BAC，交BC邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BF⊥AD，垂足為F，則∠EBF的度數(shù)為（）A．19° B．33° C．34° D．43°【解答】解：∵∠ABC＝90°，BE為AC邊上的中線，∴∠BAC＝90°﹣∠C＝90°﹣52°＝38°，BE＝AC＝AE＝CE，∴∠EBC＝∠C＝52°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAC＝19°，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝52°+19°＝71°，∵BF⊥AD，∴∠BFD＝90°，∴∠FBD＝90°﹣∠ADB＝19°，∴∠EBF＝∠EBC﹣∠FBD＝52°﹣19°＝33°；故選：B．6．如圖，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D點(diǎn)，CE⊥AB于E點(diǎn)，F(xiàn)，G分別為BC、DE的中點(diǎn)，若ED＝10，則FG的長為（）A．2 B． C．8 D．9【解答】解：連接EF、DF，∵BD⊥AC，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∴DF＝BC＝9，同理，EF＝BC＝9，∴FE＝FD，又G為DE的中點(diǎn)，∴FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，由勾股定理得，F(xiàn)G＝＝2，故選：A．7．如圖，在△ABC中，AE⊥BC于點(diǎn)E，BD⊥AC于點(diǎn)D；點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，連接DF，EF，設(shè)∠DFE＝x°，∠ACB＝y(tǒng)°，則（）A．y＝x B．y＝﹣x+90 C．y＝﹣2x+180 D．y＝﹣x+90【解答】解：∵AE⊥BC于點(diǎn)E，BD⊥AC于點(diǎn)D；∴∠ADB＝∠BEA＝90°，∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴AF＝DF，BF＝EF，∴∠DAF＝∠ADF，∠EBF＝∠BEF，∴∠AFD＝180°﹣2∠CAB，∠BFE＝180°﹣2∠ABC，∴x°＝180°﹣∠AFD﹣∠BFE＝2（∠CAB+∠CBA）﹣180°＝2（180°﹣y°）﹣180°＝180°﹣2y°，∴y＝﹣x+90，故選：B．二．填空題（共8小題）8．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是角平分線，BE是中線，則DE的長為4．【解答】解：∵AB＝AC，AD是角平分線，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵BE是中線，∴AE＝CE，∴DE＝AC＝×8＝4，故答案為：4．9．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD為AC邊上的中線，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作BD的平行線，交CE的延長線于點(diǎn)F，在AF的延長線上截取FG＝BD，連接BG、DF．若AG＝10，BG＝4，則CF的長為2．【解答】解：∵AG∥BD，BD＝FG，∴四邊形BGFD是平行四邊形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵BD為AC邊上的中線，∠ABC＝90°，∴BD＝DF＝AC，∴四邊形BGFD是菱形，∴BD＝DF＝GF＝BG＝4，則AF＝AG﹣GF＝10﹣4＝6，AC＝2BD＝8，∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，∴AF2+CF2＝AC2，即62+CF2＝82，解得：CF＝2．故答案是：2．10．在△ABC中，∠BAC為鈍角，AF，CE都是這個三角形的高，P為AC的中點(diǎn)，若∠B＝42°，則∠EPF的度數(shù)為96°．【解答】解：∵CE⊥BA，∠B＝42°，∴∠BCE＝48°，∵AF⊥BC，CE⊥BA，P為AC的中點(diǎn)，∴PF＝AC＝PC，PE＝AC＝PC，∴∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE，∴∠EPF＝2∠PCF+2∠PCE＝2∠BCE＝96°，故答案為：96°．11．如圖，△ABC中，AB＝AC＝4，以AC為斜邊作Rt△ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝30°，E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，則ED＝2．【解答】解：∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，∴DF＝AF＝AC＝，∴∠FDA＝∠CAD＝30°，∴∠DFC＝∠FDA+∠CAD＝60°∵E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，∴EF∥AB，EF＝AB＝＝2，∴∠EFC＝∠CAB＝30°，∴∠EFD＝60°+30°＝90°，∴ED＝＝2．故答案為：2．12．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，M為AB邊的中點(diǎn)，連接ME、MD、ED，設(shè)AB＝10，∠DBE＝30°，則△EDM的面積為．【解答】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，BE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，∴△ABE，△ADB是直角三角形，∴EM，DM分別是它們斜邊上的中線，∴EM＝DM＝AB＝5，∵M(jìn)E＝AB＝MA，∴∠MAE＝∠MEA，∴∠BME＝2∠MAE，同理，MD＝AB＝MA，∴∠MAD＝∠MDA，∴∠BMD＝2∠MAD，∴∠EMD＝∠BME﹣∠BMD＝2∠MAE﹣2∠MAD＝2∠DAC＝60°，∴△EDM是邊長為5的等邊三角形，∴S△EDM＝×52＝．故答案為：．13．已知：如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC與BD相交于點(diǎn)O，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)．則∠EFO＝90°．【解答】解：連接EB、ED，∵∠ABC＝90°，E是AC的中點(diǎn)，∴BE＝AC，同理，DE＝AC，∴EB＝ED，又F是BD的中點(diǎn)，∴EF⊥BD，∴∠EFO＝90°，故答案為：90°．14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)C為圓心，CD長為半徑畫弧交BA的延長線于點(diǎn)E，設(shè)∠B＝x，∠ACE＝y(tǒng)．則y與x的關(guān)系式為y＝90°﹣3x．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，∴CD＝BD，∴∠DCB＝∠B＝x，∴∠ADC＝2x，∵CE＝CD，∴∠E＝∠ADC＝2x，∵∠EAC＝∠ACB+∠B＝90°+x，∴y＝180°﹣∠E﹣∠EAC＝180°﹣2x﹣（90°+x）＝90°﹣3x，即y與x的關(guān)系式為：y＝90°﹣3x，故答案為：y＝90°﹣3x．15．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D為邊AB的中點(diǎn)，E、F分別為邊AC、BC上的點(diǎn)，且AE＝AD，BF＝BD．若DE＝，DF＝2，則∠EDF＝45°，線段AB的長度＝2．【解答】解：如圖，延長FD到M使得DM＝DF，連接AM、EM、EF，作EN⊥DF于N．∵∠C＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∵AE＝AD，BF＝BD，∴∠AED＝∠ADE，∠BDF＝∠BFD，∴2∠ADE+∠BAC＝180°，2∠BDF+∠B＝180°，∴2∠ADE+2∠BDF＝270°，∴∠ADE+∠BDF＝135°，∴∠EDF＝180°﹣（∠ADE+∠BDF）＝45°，∵∠END＝90°，DE＝，∴∠EDF＝∠DEN＝45°，∴EN＝DN＝1，在△DAM和△DBF中，，∴△ADM≌△BDF（SAS），∴BF＝AM＝BD＝AD＝AE，∠MAD＝∠B，∴∠MAE＝∠MAD+∠BAC＝90°，∴EM＝AM，在Rt△EMN中，∵EN＝1，MN＝DM+DN＝3，∴EM＝＝，∴AM＝，AB＝2AM＝2．故答案為：45，2．三．解答題（共7小題）16．如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M，N分別是BC，DE的中點(diǎn)．（1）求證：MN⊥DE；（2）若∠A＝60°，連接EM，DM，判斷△EDM的形狀，并說明理由．【解答】（1）證明：連接ME，MD．∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∴MD＝ME＝BC，∴點(diǎn)N是DE的中點(diǎn)，∴MN⊥DE；（2）解：∵M(jìn)D＝ME＝BM＝CM，∴∠BME+∠CMD＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠BME+∠CMD＝360°﹣2×120°＝120°，∴∠DME＝60°，∴△EDM是等邊三角形．17．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，點(diǎn)E是邊BC延長線上一點(diǎn)，連接AE、DE，過點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F，且DF＝EF．（1）求證：AD＝CE．（2）若AD＝5，AC＝6，求△BDE的面積．【解答】（1）證明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，∴CD＝AD＝AB，∵CF⊥DE，DF＝EF．∴CE＝CD，∴AD＝CE．（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，AD＝5，∴AB＝2AD＝10，∵AC＝6，∴BC＝＝8，由（1）知，CE＝CD＝AD＝5，∴BE＝BC+EC＝13，∴S△ABE＝BE?AC＝，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴△BDE的面積＝S△ABE＝．18．如圖，△ABC中，AD是邊BC上的高，CF是邊AB上的中線，DC＝BF，點(diǎn)E是CF的中點(diǎn)．（1）求證：DE⊥CF；（2）求證：∠B＝2∠BCF．【解答】證明：（1）連接DF，∵AD是邊BC上的高，∴∠ADB＝90°，∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴DF＝AB＝BF，∵DC＝BF，∴DC＝DF，∵點(diǎn)E是CF的中點(diǎn)．∴DE⊥CF；（2）∵DC＝DF，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠FDB＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC，∵DF＝BF，∴∠FDB＝∠B，∴∠B＝2∠BCF．19．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊BC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是線段AD上一點(diǎn)，連接EF，CF．（1）若點(diǎn)F是線段AD的中點(diǎn)，試猜想線段EF與CF的大小關(guān)系，并加以證明．（2）在（1）的條件下，若∠BAC＝45°，AD＝6，求C、E兩點(diǎn)間的距離．【解答】解：（1）EF＝CF．證明：∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，在Rt△AED和Rt△ACD中，∵點(diǎn)F是斜邊AD的中點(diǎn)，∴EF＝AD，CF＝AD，∴EF＝CF；（2）連接CE，由（1）得EF＝AF＝CF＝AD＝3，∴∠FEA＝∠FAE，∠FCA＝∠FAC，∴∠EFC＝2∠FAE+2∠FAC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，∴CE＝＝＝．20．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高線，CE是AB邊上的中線，DG⊥CE于G，CD＝AE．（1）求證：CG＝EG．（2）已知BC＝13，CD＝5，連接ED，求△EDC的面積．【解答】（1）證明：連接DE，在Rt△ADB中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴DE＝AB＝AE，∵CD＝AE，∴DE＝DC，又DG⊥CE，∴CG＝EG