2023年江蘇省蘇州市姑蘇區(qū)立達(dá)中學(xué)中考數(shù)學(xué)一模模擬試題

2023年江蘇省蘇州市姑蘇區(qū)立達(dá)中學(xué)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（本大題共8小題，共24.0分．在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.下面幾個(gè)數(shù)中最大的是（）A.π B.3 C.1－π D.－【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)都小于0，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小進(jìn)行比較即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以最大?shù)是；故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)大小比較，屬于基礎(chǔ)題目，熟知比較實(shí)數(shù)大小的方法是關(guān)鍵.2.若，則（）A. B.1 C. D.0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根，熟知算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．3.近日從國(guó)家統(tǒng)計(jì)局獲悉，年，蘇州全體居民人均可支配收入首次突破萬(wàn)元大關(guān)，達(dá)到元，則數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為，其中，為整數(shù)．【詳解】解：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原來(lái)的數(shù)，變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)數(shù)，確定與的值是解題的關(guān)鍵．4.拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣；連續(xù)拋4次，硬幣落地時(shí)都是正面朝上，如果第5次拋擲這枚硬幣，那么正面朝上的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用概率的意義分析得出答案．【詳解】解：∵概率是頻率（多個(gè)）的波動(dòng)穩(wěn)定值，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么這個(gè)常數(shù)p就叫做事件A的概率，∴拋擲硬幣4次的結(jié)果不是事件的概率，∵拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣只有兩種情況：正面朝上或反面朝上，∴硬幣正面朝上概率都是．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了概率的意義以及概率公式，明確概率的意義以及概率的計(jì)算方法是解答的關(guān)鍵．5.已知一個(gè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，其底面圓半徑為1，則該圓錐母線長(zhǎng)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】設(shè)該圓錐母線長(zhǎng)為，由于圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，則根據(jù)弧長(zhǎng)公式得到，然后解方程即可．【詳解】解：設(shè)該圓錐母線長(zhǎng)為，根據(jù)題意得，解得，即該圓錐母線長(zhǎng)為2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．6.關(guān)于x的方程的根的情況是（）A.有一正一負(fù)兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)正的不相等實(shí)數(shù)根C.至多有一個(gè)正的實(shí)數(shù)根 D.至少有一個(gè)正的實(shí)數(shù)根【答案】D【解析】【分析】先化為一般形式，然后根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行判斷有2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，即可求解．【詳解】解：方程可化為，∴方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，又∵，∴至少有一個(gè)正的實(shí)數(shù)根，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，理解根的判別式對(duì)應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．7.如圖，直線分別交坐標(biāo)軸于點(diǎn)C、D，x軸上一點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，則k的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接，交于點(diǎn)，連接、、，與、的坐標(biāo)可知，即可得到，，，與對(duì)稱的性質(zhì)得到，，垂直平分，證得，即可證得四邊形是菱形，得到，利用勾股定理求得，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得的值．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)，連接、、，直線分別交坐標(biāo)軸于點(diǎn)、，，點(diǎn)坐標(biāo)為，∵，，，，由題意可知，，，垂直平分，，，，，四邊形是菱形，，，，，直線分別交坐標(biāo)軸于點(diǎn)、，，解得．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形變化對(duì)稱，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．8.如圖，一塊正方形地磚的圖案是由4個(gè)全等的五邊形和1個(gè)小正方形組成的，已知小正方形的面積和五邊形的面積相等，并且圖中線段a的長(zhǎng)度為，則這塊地磚的面積為（）A.50 B.40 C.30 D.20【答案】B【解析】【分析】如圖，根據(jù)題意易知，點(diǎn)O為正方形的中心，利用圖中的面積關(guān)系最終可推出，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為,則,以此可得方程，解此方程，再將a的值代入即可求解．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意易知，點(diǎn)O為正方形的中心，∴，即，，∵，∴，∵，∴，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為,則,∴，解得：，∵，∴或，∵，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等圖形、正方形的性質(zhì)、二次根式的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，利用已知條件，得到各部分圖形之間的面積關(guān)系并列出方程是解題關(guān)鍵．二、填空題（本大題共8小題，共24.0分）9.﹣3的相反數(shù)是__________．【答案】3【解析】【詳解】解：一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是在這個(gè)數(shù)前面添上“﹣”號(hào)．所以﹣（﹣3）=3，故答案為：3．10.因式分解：_____．【答案】【解析】【詳解】原式=11.下列一組數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了算術(shù)平均數(shù)，掌握算術(shù)平均數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．求出這組數(shù)據(jù)的和，再除以6即可．【詳解】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為．故答案為：．12.方程組的解是______．【答案】【解析】【分析】本題考查加減消元法求解二元一次方程組，將的左右兩邊分別乘2，再與相加消去y，求得x的值，將x的值代入中可求出y的值．【詳解】解：，得：，解得：，將代入得，解得：，則方程組的解為，故答案為：．13.已知正六邊形的內(nèi)切圓半徑為，則它的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】此題主要考查了正多邊形和圓、等邊三角形及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)已知得出六邊形是邊長(zhǎng)等于正六邊形的半徑是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用正六邊形中的等邊三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，連接、，；六邊形是邊長(zhǎng)等于正六邊形的半徑，設(shè)正六邊形的半徑為，是等邊三角形，，，解得，它的周長(zhǎng)．故答案：．14.已知點(diǎn)P是半徑為4的上一點(diǎn)，平面上一點(diǎn)Q到點(diǎn)P的距離為2，則線段的長(zhǎng)度a的范圍為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】如圖，當(dāng)點(diǎn)在圓外且，，三點(diǎn)共線時(shí)，線段的長(zhǎng)度的最大，當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)且，，三點(diǎn)共線時(shí)，線段的長(zhǎng)度的最小，據(jù)此得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)在圓外且，，三點(diǎn)共線時(shí)，線段的長(zhǎng)度的最大，最大值為；當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)且，，三點(diǎn)共線時(shí)，線段的長(zhǎng)度的最小，最小值為，所以，線段的長(zhǎng)度的范圍為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．15.如圖，O、B兩點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，以為直徑作，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)D，連接，若點(diǎn)D恰為線段中點(diǎn)，則為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了圓周角定理、中位線定理、正切函數(shù)的定義等，解題的關(guān)鍵是正確做出輔助線．連接、，證為中位線，則為半徑的一半，根據(jù)圓周角定理得，利用勾股定理求出表示的代數(shù)式，然后根據(jù)正切的定義求解即可．【詳解】解：連接、，如圖，設(shè)的半徑為rO、B兩點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，，點(diǎn)D恰為線段中點(diǎn)，為的中位線，，為直徑，，在中，，．故答案為：．16.如圖，已知的兩條直角邊，將繞著直角邊中點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)，得到，若的銳角頂點(diǎn)D恰好落在的斜邊上，斜邊與交于點(diǎn)H，則________．【答案】【解析】【分析】連接，由勾股定理得到，點(diǎn)G是的中點(diǎn)得到，進(jìn)一步得到，得，由得，證明，則，設(shè)，則，，得，解得，得到，即可得到的長(zhǎng)．【詳解】解：連接，∵的兩條直角邊，∴，∵點(diǎn)G是的中點(diǎn)，∴，∵的銳角頂點(diǎn)D恰好落在的斜邊上，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵將繞著直角邊中點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)，得到，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共11小題，共82.0分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.計(jì)算．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)絕對(duì)值、零次冪、算術(shù)平方根進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再計(jì)算即可．【詳解】解：，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)用，掌握絕對(duì)值、零次冪、算術(shù)平方根是解答本題的關(guān)鍵．18.解不等式組【答案】無(wú)解【解析】【分析】求出每個(gè)不等式的解集，根據(jù)兩個(gè)不等式的解集沒(méi)有公共部分即可得到不等式組無(wú)解．【詳解】解：解不等式①得，，解不等式②得，，∴原不等式組無(wú)解．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式組，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解題的關(guān)鍵．19.先化簡(jiǎn)再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】利用分式的混合運(yùn)算法則，結(jié)合因式分解化簡(jiǎn)原式，再代值求解即可．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值、分母有理化，熟練掌握分式的混合運(yùn)算法則并正確計(jì)算是解答的關(guān)鍵．20.小明將三張正面分別印有“范”、“文”、“正”字樣的卡片（卡片的顏色、形狀、大小、質(zhì)地都相同）背面朝上、洗勻．（1）若從中任意抽取1張，抽得卡片上的字樣恰好為“文”的概率是．（2）若先從中任意抽取1張，記錄后放回，洗勻，再?gòu)闹腥我獬槿?張，求兩次抽取的卡片字樣不同的概率．（請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的方法求解）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；（2）根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖得出所有等情況數(shù)，找出兩次抽取的卡片字樣不同的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．【小問(wèn)1詳解】解：∵有3張形狀、大小、質(zhì)地均相同的卡片，正面分別印有“范”、“文”、“正”字，∴從中隨機(jī)抽取1張，抽得的卡片上的字樣恰好為“文”的概率為；故答案為：；【小問(wèn)2詳解】把“范”、“文”、“正”分別用字母A、B、C表示，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：或列表為：ABCAAAABACBBABBBCCCACBCC由圖（或表）可知：共有9種等可能的結(jié)果，其中抽到字樣不同的有6種，則兩次抽取的卡片字樣不同的概率是．【點(diǎn)睛】此題考查的是樹(shù)狀圖法（或列表法）求概率．樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．21.2023年蘇州文博會(huì)于4月17日至4月28日在蘇州國(guó)際博覽中心舉行，我校氣象興趣小組的同學(xué)們想估計(jì)一下蘇州今年4月份日平均氣溫情況．他們收集了蘇州市近五年來(lái)4月份每天的日平均氣溫，從中隨機(jī)抽取了60天的日平均氣溫，并繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖：根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）這60天的日平均氣溫的中位數(shù)為；眾數(shù)為；（2）若日平均氣溫在至的范圍內(nèi)（包括和）為“舒適溫度”，請(qǐng)估計(jì)蘇州今年4月份日平均氣溫為“舒適溫度”的天數(shù)．【答案】（1）中位數(shù)19.5；眾數(shù)19（2）20天【解析】【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的概念求解即可；（2）用樣本中氣溫在的范圍內(nèi)的天數(shù)所占比例乘以4月份的天數(shù)即可．【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)檫@60天的日平均氣溫按從小到大排列，第30天的氣溫是，第31天的氣溫是，所以這60天的日平均氣溫的中位數(shù)為，因?yàn)闅鉁厥堑奶鞌?shù)最多，所以眾數(shù)為19．【小問(wèn)2詳解】解：（天）．估計(jì)蘇州今年4月份日平均氣溫為“舒適溫度”的天數(shù)大約為20天．【點(diǎn)睛】本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)、樣本估計(jì)總體，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛?shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．22.如圖，點(diǎn)A、B、C、D在一條直線上，，求證：．【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】先證明可得，進(jìn)而可得四邊形是平行四邊形，最后根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行即可解答．【詳解】解：∵，∴，即，∵，∴∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用平行四邊形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．23.如圖，從燈塔C處觀測(cè)輪船A、B的位置，測(cè)得輪船A在燈塔C北偏西的方向，輪船B在燈塔C北偏東的方向，且海里，海里，已知，求A、B兩艘輪船之間的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】海里【解析】【分析】利用勾股定理及三角函數(shù)解直角三角形即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A、B分別作東西方向的垂線于點(diǎn)E、D，作于點(diǎn)F則四邊形為矩形在中，海里（海里）在中，，海里海里由勾股定理得：解得：海里,海里則海里即：A、B兩艘輪船之間的距離為海里【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的應(yīng)用．根據(jù)已知條件構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．24.如圖，以x軸上長(zhǎng)為1的線段為寬作矩形，矩形長(zhǎng)、交直線于點(diǎn)F、E，反比例函數(shù)的圖像正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)F、E．（1）線段長(zhǎng)為．（2）求k值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）表示出、的坐標(biāo)，然后利用勾股定理即可求得的長(zhǎng)度；（2）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到，解得即可．【小問(wèn)1詳解】解：點(diǎn)、在直線圖象上，設(shè)，則，，即，．【小問(wèn)2詳解】解：反比例函數(shù)的圖象正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，，解得，．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，勾股定理，正確表示出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．25.我們給出定義：如果三角形存在兩個(gè)內(nèi)角與滿足，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”．已知△ABC為“準(zhǔn)互余三角形”，并且．（1）如圖①若且，求邊BC的長(zhǎng)；（2）如圖②，以邊為直徑作，交于點(diǎn)D，若，試求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用新定義計(jì)算出，如圖①:過(guò)A點(diǎn)作于H點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作于D點(diǎn)，先計(jì)算出，則，再證明，平分，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，所以，然后在中利用含30度直角三角形三邊的關(guān)系得到的長(zhǎng)；（2）延長(zhǎng)交于E點(diǎn)，連接，如圖②，利用圓周角定理得到為直徑，再利用新定義計(jì)算出，即平分，所以，再證明得到，于是利用勾股定理可計(jì)算出，設(shè),則，在中得到，解方程得到，然后在中利用勾股定理計(jì)算出，從而得到的面積．【小問(wèn)1詳解】解：∵為“準(zhǔn)互余三角形”，∴，即，∴，如圖①:過(guò)A點(diǎn)作于H點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作于D點(diǎn)，在中，∵，∴，∵，∴平分，∴，∴，在中，∵，∴．【小問(wèn)2詳解】解：如圖②：延長(zhǎng)交于E點(diǎn)，連接，∵為直徑，∴，∵為“準(zhǔn)互余三角形”，∴，∵，∴，即平分，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，設(shè),則,在中，∵，∴，解得，在中，，∴⊙O的面積．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、勾股定理、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，理解半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角是解答本題的關(guān)鍵．26.如圖，二次函數(shù)的圖象分別交x軸于點(diǎn)、點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)（其中），連接、，點(diǎn)D為的外心，連接、、．（1）求這條拋物線的解析式（用含m的代數(shù)式表示）；（2）若的面積為，請(qǐng)求出m的值；（3）在（2）的條件下，連接，在直線上是否存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)B、D、P為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）（3）或者【解析】【分析】（1）采用待定系數(shù)法即可求解；（2）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，過(guò)D點(diǎn)作于點(diǎn)F，可得，，即，根據(jù)點(diǎn)D為的外心，可得，即可得為線段的垂直平分線，進(jìn)而可得，根據(jù)，，可得，即，則有，進(jìn)而可得，，則有，根據(jù)，，即可作答；（3）根據(jù)（2）中，、是等腰直角三角形，先證明，再分情況討論，第一種情況：當(dāng)點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上時(shí)，先證明，即鈍角與鈍角不可能相似，故此種情況舍去；第二種情況：當(dāng)點(diǎn)P在射線上時(shí)，當(dāng)時(shí)，結(jié)合，有，根據(jù)，即有，可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)等于，問(wèn)題即可求解；當(dāng)時(shí)，結(jié)合，有，過(guò)P點(diǎn)作于點(diǎn)N，根據(jù)，可得，即有，再根據(jù)，可得，即有，問(wèn)題得解．【小問(wèn)1詳解】設(shè)拋物線解析式為：，代入點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)，可得：，解得：，即拋物線解析式為：；【小問(wèn)2詳解】連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，過(guò)D點(diǎn)作于點(diǎn)F，如圖，∵點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)，∴，，即，∵點(diǎn)D為的外心，∴，∵，∴為線段的垂直平分線，∴，，且，∴，∵，，∴，∵點(diǎn)、點(diǎn)，∴，即，又∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，即，∴，∵，，∴，解得：，即；【小問(wèn)3詳解】根據(jù)（2）中，、是等腰直角三角形，∴，，∴，，，即是鈍角三角形，∵，∴，∴，第一種情況：當(dāng)點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，∵，∴，∴，即鈍角與鈍角不可能相似，故此種情況舍去；第二種情況：當(dāng)點(diǎn)P在射線上時(shí)，當(dāng)時(shí)，結(jié)合，有，如圖，∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)等于，∵，，∴；當(dāng)時(shí)，結(jié)合，有，過(guò)P點(diǎn)作于點(diǎn)N，如圖，∵，，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，綜上所述：P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：或者．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形的面積，三角形的外心，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是含字母的式子表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和線段的長(zhǎng)度，以及掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．27.如圖①，點(diǎn)E為矩形中較短邊上一任意點(diǎn)，連接，在上方以為邊作正方形，分別連接與交于點(diǎn)H，若的面積與的長(zhǎng)度x的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖②中直線的一部分，正方形的面積與的長(zhǎng)度x的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖②中拋物線的一部分．（1）①矩形的面積＝；②求出矩形的周長(zhǎng)；（2）E、C、G三點(diǎn)能否共線，若能，求出此時(shí)x的值，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）連接，令的面積為，的面積為，當(dāng)x為何值時(shí)，取得最大值？此時(shí)和是否相等？