第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式 尖子生培優(yōu)卷 - 2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式尖子生培優(yōu)卷一、單選題。本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意。1．設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A．0 B．2 C． D．2．是不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)，則的最大值為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，若存在兩相異實(shí)數(shù)使，且，則的最小值為（）A． B． C． D．4．已知關(guān)于x的不等式，下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，不等式的解集為B．當(dāng)時(shí)，不等式的解集可以為的形式C．不等式的解集恰好為，那么D．不等式的解集恰好為，那么5．已知，不等式在上恒成立，則（）A． B． C． D．6．設(shè)，則的最小值是（）A．7 B．6 C．5 D．47．設(shè)，，則三個(gè)數(shù)（）A．都小于4 B．至少有一個(gè)不大于4C．都大于4 D．至少有一個(gè)不小于48．設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，不等式恒成立，則的最大值為（）A． B． C． D．二、多選題。本大題共4小題，每小題5分，共20分，每小題有兩項(xiàng)或以上符合題意。9．設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，則（）A．的最大值是 B．的最小值是9C．的最小值為 D．的最小值為210．若，，則下列結(jié)論中一定正確的是（）A． B．C． D．若，則的最小值為11．下列關(guān)于基本不等式的說(shuō)法正確的是（）A．若，則的最大值為B．函數(shù)的最小值為2C．已知，，，則的最小值為D．若正數(shù)數(shù)x，y滿足，則的最小值是312．下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有．A．如果，那么取得最大值時(shí)的值為B．如果，，，那么的最小值為6C．函數(shù)的最小值為2D．如果，，且，那么的最小值為2三、填空題。本大題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實(shí)數(shù)，，滿足，則的最大值是________．14．若不等式對(duì)任意的恒成立，則的最大值為_(kāi)____．15．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為_(kāi)__________.16．已知，，當(dāng)最小時(shí)，恒成立，則的取值集合是___________.四、解答題。本大題共6小題，共70分，解答過(guò)程必修有必要的文字說(shuō)明，公式和解題過(guò)程。17．（1）若，求的最小值；（2）若恒成立，求的取值范圍.18．已知函數(shù)（）．（1）若不等式的解集為，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，解不等式；（3）若不等式的解集為，若，求的取值范圍．19．（1），比較與的大??；（2）已知，求代數(shù)式的最小值及取最小值時(shí)的值.20．已知函數(shù)滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有成立，且當(dāng)都有成立.（1）若求的表達(dá)式；（2）設(shè)，若函數(shù)圖像上的點(diǎn)都位于直線的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．已知函數(shù)，，.（1）若函數(shù)在上有零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若對(duì)任意的，總存在，使得，求的取值范圍.（3）設(shè)，記為函數(shù)在上的最大值，求的最小值.22．黨的十九大報(bào)告指出，建設(shè)生態(tài)文明是中華民族永續(xù)發(fā)展的千年大計(jì).而清潔能源的廣泛使用將為生態(tài)文明建設(shè)提供更有力的支撐.沼氣作為取之不盡、用之不竭的生物清潔能源，在保護(hù)綠水青山方面具有獨(dú)特功效.通過(guò)辦沼氣帶來(lái)的農(nóng)村“廁所革命”，對(duì)改善農(nóng)村人居環(huán)境等方面，起到立竿見(jiàn)影的效果.為了積極響應(yīng)國(guó)家推行的“廁所革命”，某農(nóng)戶準(zhǔn)備建造一個(gè)深為2米，容積為32立方米的長(zhǎng)方體沼氣池，如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，沼氣池蓋子的造價(jià)為3000元，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)沼氣池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少?參考答案1．C【解析】解：設(shè)，則，，，，，，設(shè)，，，即，解得或（舍去），的最小值是，故選：．2．A【解析】因?yàn)閍，b均為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且取等，即取等號(hào)，即則的最大值為，故選：A．3．B【解析】由題意知：當(dāng)有，∵知：是兩個(gè)不等的實(shí)根.∴，而，∵，即，∴，令，則，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：B4．A【解析】對(duì)于A，由得，又b＜1，所以．所以不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集為，故A正確；對(duì)于B，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的圖象及直線y＝a和y＝b，如圖所示．由圖知，當(dāng)a＝2時(shí)，不等式的解集為的形式，故B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，由的解集為，知a≤ymin，即a≤1，因此當(dāng)x＝a，x＝b時(shí)函數(shù)值都是b．由當(dāng)x＝b時(shí)函數(shù)值是b，得b2－3b＋4＝b，解得b＝或b＝4．當(dāng)b＝時(shí)，由a2－3a＋4＝b＝，解得a＝或a＝，不滿足a≤1，不符合題意，故CD錯(cuò)誤．故選：A.5．D【解析】解：∵，且，∴，∴，∴，∵上述不等式恒成立，∴，即（否則取，則左邊，矛盾），此時(shí)不等式轉(zhuǎn)化為，∴，解得，∴，故選：D．6．C【解析】由題意知且則（1）若則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)。（2）若則當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)。時(shí)取等號(hào)，綜上的最小值為.故選：7．D【解析】假設(shè)三個(gè)數(shù)且且，相加得：，由基本不等式得：；；；相加得：，與假設(shè)矛盾；所以假設(shè)不成立，三個(gè)數(shù)、、至少有一個(gè)不小于4．故選．8．A【解析】設(shè)，則所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)所以的最小值是，則的最大值為.故選A9．BC【解析】對(duì)于A，，，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，由A可得，又，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤；故選：BC.10．ACD【解析】對(duì)于A，由，，，所以，所以，成立；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以B不正確；對(duì)于C，由，，可得，所以，所以，等號(hào)不成立，所以；對(duì)于D,由，得，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值4，故選：ACD.11．AC【解析】因?yàn)椋?，，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；由可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤.故選：AC12．AB【解析】解：對(duì)于A.如果，那么，當(dāng)時(shí)取得最大值，故正確；對(duì)于B.如果，，則整理得，所以或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，故正確；對(duì)于C.函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)此時(shí)無(wú)解，不能取得最小值2，故錯(cuò)誤；對(duì)于D.如果，，且，那么當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得最小值，故錯(cuò)誤.故選：AB13．【解析】解：先消去，再將分子分母同除以，可得原式，設(shè)，可得原式，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以或，所以原式，故答案為：.14．【解析】1、當(dāng)時(shí)，題設(shè)不等式恒成立，只需恒成立，時(shí)，由一次函數(shù)的性質(zhì)易知：不可能恒成立；時(shí)，不成立；∴不合要求.2、當(dāng)時(shí)，由題設(shè)有或在上恒成立，當(dāng)時(shí)，在上不可能恒成立，不合要求；當(dāng)時(shí)，在上、以零點(diǎn)為界兩側(cè)單調(diào)性相反，且零點(diǎn)相同，∴，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.綜上，的最大值為.故答案為：.15．【解析】由題設(shè)，，則，又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.∴的最小值為.故答案為：.16．或【解析】可化為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，，即.因?yàn)?，所以即?故答案為：或.17．（1）最小值是；（2）.【解析】（1）由題意可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故的最小值是.由題意可得恒成立，令，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.由（1）可知，的最小值是，故的取值范圍是.18．（1）；（2）；（3）.【解析】（1）①時(shí)，，不合題意，舍去；②時(shí)，.綜上：.（2）即，所以，①時(shí)，解集為：；②時(shí)，，因?yàn)?，所以解集為：；③時(shí)，，因?yàn)?，所以解集為?（3）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?，即?duì)任意的，不等式恒成立，即恒成立，因?yàn)椋?，設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”.所以的最大值為：，所以.19．（1）；（2）的最小值20，【解析】（1），，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以.（2）由（1）知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，顯然要使成立，需滿足，解得綜上可知，當(dāng)，代數(shù)式取得最小值20.20．（1）；（2）.【解析】（1）因?yàn)闈M足對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有成立，且當(dāng)都有成立所以且故，又因?yàn)?，所以，解得因?yàn)闈M足對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有成立，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有成立，所以，即，解得，所以，所以.（2）由題意得在上恒成立，即在上恒成立，當(dāng)時(shí)2>0恒成立，當(dāng)時(shí)，原式等價(jià)于在上恒成立，令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以，所以.21．（1）；（2）；（3）.【解析】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的對(duì)稱軸是直線，所以在上為減函數(shù).又在上存在零點(diǎn)，所以，解得故的取值范圍為（2）若對(duì)任意的，總存在，使得，則函數(shù)在上的函數(shù)值的取值集合是函數(shù)在上的函數(shù)值的取值集合的子集.函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，所以在上的函數(shù)值的取值集合為①當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去.②當(dāng)時(shí)，在上的值域，只需，解得③當(dāng)時(shí)，在上的值域?yàn)?，只需，無(wú)解.綜上，的取值范圍為（3）當(dāng)或時(shí)，在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，，解