線性代數(shù)與概率論（曹景龍第五版） 課件 第五章 隨機(jī)變量及其數(shù)字特征

第五章隨機(jī)變量及其數(shù)字特征第一節(jié)離散型隨機(jī)變量的概念第二節(jié)離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征第三節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量的概念第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)字特征本章思維導(dǎo)圖引導(dǎo)案例---分組檢驗(yàn)?zāi)芊駵p少工作量？在一個(gè)人數(shù)為N的人群中，普查某種疾病，為此要抽檢N個(gè)人的血進(jìn)行化驗(yàn)，為了減少工作量，一位統(tǒng)計(jì)學(xué)家提出一種方法：將K個(gè)人的血樣混合后檢驗(yàn)，如果這種混合血樣呈陰性反應(yīng)，就說明這K個(gè)人都無此疾病，因而K個(gè)人只要檢驗(yàn)1次就夠了，相當(dāng)于每個(gè)人檢驗(yàn)了1/K次，檢驗(yàn)的工作量明顯減少了。如果這種混合血樣呈陽性反應(yīng)，就說明這K個(gè)人中至少有一人的血呈陽性，這就需要再對(duì)此K個(gè)人的血樣分別進(jìn)行檢驗(yàn)，因此，這K個(gè)人的血要檢驗(yàn)(1+K）次相當(dāng)于每個(gè)人檢驗(yàn)（1+1/K）次，這樣增加了檢驗(yàn)次數(shù)，假設(shè)該疾病的發(fā)病率為P，且每個(gè)人是否得此疾病是相互獨(dú)立的，試問這種方法能否減少平均檢驗(yàn)次數(shù)？分析：本案例的解決涉及到離散型隨機(jī)變量及其分布列、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，本章我們就來討論隨機(jī)變量的概念、分類及其數(shù)字特征。第一節(jié)離散型隨機(jī)變量的概念本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)[知識(shí)目標(biāo)]

理解隨機(jī)變量的概念及分類。

掌握離散型隨機(jī)變量的定義、性質(zhì)。

掌握離散型隨機(jī)變量的概率分布列及某事件的概率。[能力目標(biāo)]

能熟練計(jì)算離散型隨機(jī)變量的概率分布列及事件的概率。

會(huì)正確判斷實(shí)際問題中隨機(jī)變量所屬類型。隨機(jī)變量5考慮投擲一顆均勻骰子,在各次試驗(yàn)中,會(huì)出現(xiàn)不同的點(diǎn)數(shù),因此“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”是一個(gè)變量,它的可能取值為1,2,3,4,5,6中的一個(gè)值

這說明可以用試驗(yàn)中“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”這個(gè)變量的所有可能取值以及取這些值的概率描述這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象即可以用試驗(yàn)中“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”這個(gè)變量的取值表示試驗(yàn)結(jié)果,而這個(gè)變量是依試驗(yàn)結(jié)果而隨機(jī)取值的隨機(jī)變量6一般地,對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn),若其試驗(yàn)結(jié)果可用一個(gè)變量的取值表示,這個(gè)變量取值帶有隨機(jī)性,并且取這些值的概率是確定的,則稱這樣的變量為隨機(jī)變量,通常用大寫字母X,Y,Z等表示隨機(jī)變量的取值為具體數(shù)值,可用小寫字母x,y,z等表示離散型隨機(jī)變量7定義2.1若隨機(jī)變量X的所有可能取值可以一一列舉,即所有可能取值為有窮個(gè)或無窮可列個(gè),則稱隨機(jī)變量X為離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量8描述離散型隨機(jī)變量有兩個(gè)要素,一個(gè)要素是它的所有可能取值,另一個(gè)要素是取這些值的概率,這兩個(gè)要素構(gòu)成了離散型隨機(jī)變量的概率分布設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為x1,x2,…取這些值的概率依次為p1,p2,…其概率分布的表示方法有兩種:1.列表法2.公式法列表法9概率分布列表如表Xx1x2…

Pp1p2…

公式法10概率分布用公式表示為P{X=xi}=pi

(i=1,2,…)離散型隨機(jī)變量性質(zhì)11在離散型隨機(jī)變量X的概率分布中,概率pi(i=1,2,…)顯然是非負(fù)的,又注意到事件X=x1,X=x2,…,構(gòu)成一個(gè)完備事件組,當(dāng)然其對(duì)應(yīng)的概率之和應(yīng)當(dāng)?shù)扔?所以離散型隨機(jī)變量X的概率分布具有下列性質(zhì):性質(zhì)1

pi≥0

(i=1,2,…)性質(zhì)2

p1+p2+…=1離散型隨機(jī)變量12離散型隨機(jī)變量X在某范圍內(nèi)取值的概率,等于它在這個(gè)范圍內(nèi)一切可能取值對(duì)應(yīng)的概率之和當(dāng)離散型隨機(jī)變量的概率分布被確定后,不僅知道它取各個(gè)可能值的概率,而且還可以求出它在某范圍內(nèi)取值的概率,所以離散型隨機(jī)變量的概率分布描述了相應(yīng)的隨機(jī)試驗(yàn)例113投擲一枚均勻硬幣1次,求出現(xiàn)正面次數(shù)X的概率分布解:由于可能的試驗(yàn)結(jié)果只有出現(xiàn)反面與出現(xiàn)正面兩種結(jié)果,因而離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值也只有0與1兩個(gè)值

例114所以出現(xiàn)正面次數(shù)X的概率分布列表如表X01P兩點(diǎn)分布15一般地,把只取0與1兩個(gè)值且取值為1的概率等于p的離散型隨機(jī)變量X所服從的概率分布稱為參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布或0—1分布.兩點(diǎn)分布列表如表X01Pqp(0<p<1,p+q=1)例216某商店銷售某種水果,進(jìn)貨后第一天售出的概率為60%,每500g的毛利為6元;第二天售出的概率為30%,每500g的毛利為2元;第三天售出的概率為10%,每500g的毛利為-1元.求銷售此種水果每500g所得毛利X元的概率分布解:離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為-1,2及6,取這些值的概率依次為10%,30%及60%例217所以銷售此種水果每500g所得毛利X元的概率分布列表如表X-126P10%30%60%例318某小組有6名男生與4名女生,任選3個(gè)人去參觀,求所選3個(gè)人中男生數(shù)目X的概率分布解:離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,根據(jù)§1.1古典概型計(jì)算概率的公式計(jì)算離散型隨機(jī)變量X取這些值的概率例319事件X=0表示所選3個(gè)人中恰好有0名男生,即所選3個(gè)人中有0名男生與3名女生,其發(fā)生的概率為

例320事件X=1表示所選3個(gè)人中恰好有1名男生,即所選3個(gè)人中有1名男生與2名女生,其發(fā)生的概率為

例321事件X=2表示所選3個(gè)人中恰好有2名男生,即所選3個(gè)人中有2名男生與1名女生,其發(fā)生的概率為

例322事件X=3表示所選3個(gè)人中恰好有3名男生,即所選3個(gè)人中有3名男生與0名女生,其發(fā)生的概率為

例323所以所選3個(gè)人中男生數(shù)目X的概率分布列表如表X0123P例424某人各次射擊中靶與否互不影響,且中靶的概率皆為p(0<p<1),現(xiàn)不停射擊,直至中靶為止,求射擊次數(shù)X的概率分布.解:離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為全體正整數(shù),即X=i(i=1,2,…),根據(jù)§1.3乘法公式的特殊情況及其推廣計(jì)算離散型隨機(jī)變量X取這些值的概率例425事件X=1表示第1次射擊就中靶,其發(fā)生的概率為P{X=1}=p事件X=2表示第1次射擊脫靶且第2次射擊中靶,其發(fā)生的概率為

P{X=2}=(1-p)p例426事件X=3表示第1次射擊與第2次射擊都脫靶且第3次射擊中靶,其發(fā)生的概率為P{X=3}=(1-p)(1-p)p=(1-p)2p……例427所以射擊次數(shù)X的概率分布用公式表示為

P{X=i}=(1-p)i-1p

(i=1,2,…)事件X=i表示前i-1次射擊都脫靶且第i次射擊中靶,其發(fā)生的概率為P{X=i}=(1-p)i-1p例528設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布列表如表X012P3c2cc則常數(shù)c=

解:根據(jù)離散型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)2,有關(guān)系式3c+2c+c=1得到常數(shù)

例629設(shè)離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布,且已知離散型隨機(jī)變量X取1的概率p為它取0的概率q的2倍,求參數(shù)p的值解:根據(jù)離散型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)2,有關(guān)系式p+q=1

(0<p<1)又由題意得到關(guān)系式p=2q例630解線性方程組

所以參數(shù)

分布列表的要求31離散型隨機(jī)變量的概率分布必須滿足兩個(gè)性質(zhì)同時(shí)滿足兩個(gè)性質(zhì)的表也一定可以作為某個(gè)離散型隨機(jī)變量的概率分布當(dāng)然,至少不滿足一個(gè)性質(zhì)的表不能作為離散型隨機(jī)變量的概率分布例732設(shè)p為滿足0<p<1的常數(shù),則表5-7~表5-10中(

)可以作為離散型隨機(jī)變量X的概率分布(a)X123Ppp-12-2pX123P(b)例733X123P1-p(c)(d)X123Pp例734首先考慮備選答案(a):由于事件X=2對(duì)應(yīng)的p-1<0,說明不滿足離散型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)1,從而備選答案(a)落選

例735

又由于

說明還滿足離散型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)2從而備選答案(c)當(dāng)選例736

更何況有

說明還不滿足離散型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)2從而備選答案(d)當(dāng)然更落選例837已知離散型隨機(jī)變量的概率分布列表如表X-40367P試求:(1)概率P{-1<X≤6};(2)概率P{X=1}例838解:(1)注意到在-1<X≤6的范圍內(nèi),離散型隨機(jī)變量X的可能取值只有三個(gè),即X=0,X=3及X=6,所以概率P{-1<X≤6}=P{X=0}+P{X=3}+P{X=6}

例839(2)注意到離散型隨機(jī)變量X的可能取值沒有X=1,說明事件X=1是不可能事件,所以概率P{X=1}=0離散型隨機(jī)變量相互獨(dú)立40最后給出離散型隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念:若離散型隨機(jī)變量X,Y分別取任意實(shí)數(shù)所構(gòu)成的兩個(gè)事件相互獨(dú)立,則稱離散型隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立一般地,若n個(gè)離散型隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn分別取任意實(shí)數(shù)所構(gòu)成的n個(gè)事件相互獨(dú)立,則稱n個(gè)離散型隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立41本次課程結(jié)束第二節(jié)離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)[知識(shí)目標(biāo)]

掌握離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。

掌握離散型隨機(jī)變量的方差概念及計(jì)算公式。

正確理解數(shù)學(xué)期望和方差的含義

[能力目標(biāo)]

能熟練計(jì)算離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差。

離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征43離散型隨機(jī)變量的概率分布是對(duì)離散型隨機(jī)變量一種完整的描述,但在很多情況下,并不需要全面考察離散型隨機(jī)變量的變化情況,而只需知道它的一些綜合指標(biāo)這些綜合指標(biāo)是一些與其有關(guān)的數(shù)值,稱為離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征.它雖然不能完整地描述離散型隨機(jī)變量,但能用數(shù)字描述離散型隨機(jī)變量在某些方面的重要特征在這些數(shù)字特征中,最重要的是離散型隨機(jī)變量的平均取值以及其取值對(duì)于平均值的偏離程度離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征44考慮在1000次重復(fù)試驗(yàn)中,設(shè)離散型隨機(jī)變量X取值為100有300次,取值為200有700次,即事件X=100發(fā)生的頻率為0.3,事件X=200發(fā)生的頻率為0.7,這時(shí)可以將離散型隨機(jī)變量X的概率分布列表如表X100200P0.30.7離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征45

這樣做是不行的,因?yàn)樗≈禐?00與取值為200的可能性是不相同的,所以它取值的平均值不應(yīng)該是100與200的算術(shù)平均值

離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征46由于在1000次重復(fù)試驗(yàn)中,它取值為100有300次,取值為200有700次,于是它取值的平均值

說明離散型隨機(jī)變量X的平均值等于它的所有可能取值與對(duì)應(yīng)概率乘積之和,是以所有可能取值對(duì)應(yīng)概率為權(quán)重的加權(quán)平均由于它取值為200的概率大于取值為100的概率,從而它取值的平均值偏向X=200那個(gè)方向數(shù)學(xué)期望47定義2.2已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布列表如表Xx1x2…Pp1p2…數(shù)學(xué)期望48

數(shù)學(xué)期望49

數(shù)學(xué)期望50數(shù)學(xué)期望簡稱為期望或均值,它等于離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值與對(duì)應(yīng)概率乘積之和無論離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為有窮個(gè)或者為無窮可列個(gè),其數(shù)學(xué)期望可統(tǒng)一記作

數(shù)學(xué)期望51考察離散型隨機(jī)變量X,已知它的概率分布列表如表X345P0.10.80.1其數(shù)學(xué)期望E(X)=3×0.1+4×0.8+5×0.1=4數(shù)學(xué)期望52Y147P0.40.20.4再考察離散型隨機(jī)變量Y,已知它的概率分布列表如表其數(shù)學(xué)期望E(Y)=1×0.4+4×0.2+7×0.4=4數(shù)學(xué)期望53盡管離散型隨機(jī)變量X與Y有相同的數(shù)學(xué)期望,但離散型隨機(jī)變量Y的取值比離散型隨機(jī)變量X的取值要分散表明僅有數(shù)學(xué)期望不足以完整說明離散型隨機(jī)變量的分布特征,還必須進(jìn)一步研究它的取值對(duì)數(shù)學(xué)期望的離散程度離差54對(duì)于離散型隨機(jī)變量X,若其數(shù)學(xué)期望E(X)存在,則稱差X-E(X)為離散型隨機(jī)變量X的離差離差X-E(X)當(dāng)然也是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,它的可能取值有正有負(fù),也可能為零,而且它的數(shù)學(xué)期望等于零,因此不能用離差的數(shù)學(xué)期望衡量離散型隨機(jī)變量X對(duì)數(shù)學(xué)期望E(X)的離散程度為了消除離差X-E(X)可能取值正負(fù)號(hào)的影響,采用離差平方(X-E(X))2的數(shù)學(xué)期望衡量離散型隨機(jī)變量X對(duì)數(shù)學(xué)期望E(X)的離散程度方差55定義2.3已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布列表如表Xx1x2…Pp1p2…方差56

方差57

方差58顯然方差是非負(fù)的,只有常量的方差等于零當(dāng)離散型隨機(jī)變量X的可能取值密集在數(shù)學(xué)期望E(X)附近時(shí),方差D(X)較小,反之則方差D(X)較大,因此方差D(X)的大小可以說明離散型隨機(jī)變量X取值對(duì)數(shù)學(xué)期望E(X)的離散程度標(biāo)準(zhǔn)差59無論離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為有窮個(gè)或者為無窮可列個(gè)，其方差可統(tǒng)一記作

離散系數(shù)60由于方差大小的計(jì)算是以數(shù)學(xué)期望作為衡量標(biāo)準(zhǔn)的,因而對(duì)于數(shù)學(xué)期望不相同的兩個(gè)離散型隨機(jī)變量,直接比較它們方差的大小,不能說明它們的離散程度,于是要考察標(biāo)準(zhǔn)差與數(shù)學(xué)期望的比值

顯然,若|υ|較小,則說明離散型隨機(jī)變量X的可能取值相對(duì)密集在其數(shù)學(xué)期望E(X)附近,反之則說明離散型隨機(jī)變量X取值的離散程度相對(duì)大一些計(jì)算方差的簡便公式61定理2.1已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布列表如表Xx1x2…Pp1p2…則其方差D(X)=E(X2)-(E(X))2其中數(shù)學(xué)期望

值得注意的是:任何一個(gè)離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)、方差D(X)都不再是隨機(jī)變量,而是某個(gè)確定的常量.一般情況下,數(shù)學(xué)期望

E(X2)≠(E(X))2例162

例163因而任取1件商品獲利X元的概率分布列表如表X-213P所以數(shù)學(xué)期望

例164其次計(jì)算數(shù)學(xué)期望

所以方差

例265X123P已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布列表如表試求:(1)數(shù)學(xué)期望E(X);(2)方差D(X).例266解:(1)數(shù)學(xué)期望

例267(2)首先計(jì)算數(shù)學(xué)期望

所以方差

例368已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布列表如表X-2-113P試求:(1)數(shù)學(xué)期望E(X);(2)方差D(X).例369解:(1)數(shù)學(xué)期望

例370(2)首先計(jì)算數(shù)學(xué)期望

所以方差

71本次課程結(jié)束第三節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量的概念本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)[知識(shí)目標(biāo)]

掌握連續(xù)型隨機(jī)變量的概念。

掌握連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度具有的性質(zhì)。

熟練掌握連續(xù)型隨機(jī)變量在某區(qū)間上的概率計(jì)算。

[能力目標(biāo)]

能熟練選擇出連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。

能熟練計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量的概率。

連續(xù)型隨機(jī)變量73定義2.4若隨機(jī)變量X的所有可能取值為某一區(qū)間,則稱隨機(jī)變量X為連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量74考慮一群成年男子中任意一個(gè)人的體重X,它可以取區(qū)間[m,M]的一切值,其中m為這群成年男子中的最輕體重,M為這群成年男子中的最重體重,任意一個(gè)人的體重X當(dāng)然是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量這時(shí)考察它取某個(gè)值的概率沒有什么實(shí)際意義,因?yàn)槿藗儾粫?huì)關(guān)心一個(gè)人體重恰好為50kg的概率為多少這類問題,而關(guān)心一個(gè)人體重在50kg~60kg之間的概率為多少這類問題連續(xù)型隨機(jī)變量75因此在實(shí)際工作中,將連續(xù)型隨機(jī)變量X的所有可能取值區(qū)間[m,M]分成若干個(gè)組,即分成若干個(gè)首尾相連的小區(qū)間,每個(gè)小區(qū)間含左端點(diǎn),不含右端點(diǎn)小區(qū)間長度稱為組距,研究連續(xù)型隨機(jī)變量X在每個(gè)小區(qū)間上取值的可能性現(xiàn)在測(cè)量100個(gè)成年男子的體重,得到100個(gè)體重?cái)?shù)據(jù),將這100個(gè)體重?cái)?shù)據(jù)按測(cè)量順序列表如表連續(xù)型隨機(jī)變量766060.5807764.5595143466180.583495052707162624047.571.5858642496364657249.565.5484850.56667738787.5886868.5535973.5695654.54949.57475909178764759.557.569.56945505763647979.599.59074.55858.5666576779475606162.548.56367767574.59764.567.568.565595358895654連續(xù)型隨機(jī)變量77盡管數(shù)據(jù)較多,但容易找出其最小值為40,最大值為99.5,于是可以認(rèn)為這些數(shù)據(jù)分布在區(qū)間[40,100)上將這100個(gè)數(shù)據(jù)分成5個(gè)組,即將區(qū)間[40,100)分成5個(gè)首尾相連的小區(qū)間:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,100)然后用選舉唱票的方法,將這100個(gè)數(shù)據(jù)不重不漏逐一分到各組,容易得到屬于上述5個(gè)組的人數(shù)即頻數(shù)依次為15,20,30,20,15由于連續(xù)型隨機(jī)變量X在各組范圍內(nèi)取值的頻率等于各組頻數(shù)除以總?cè)藬?shù)100,于是上述5個(gè)組相應(yīng)的頻率依次為0.15,0.20,0.30,0.20,0.15連續(xù)型隨機(jī)變量78注意到盡管連續(xù)型隨機(jī)變量X在區(qū)間[40,50)上取值的頻率與在區(qū)間[80,100)上取值的頻率相等,皆為0.15,但這兩個(gè)區(qū)間長度即組距是不相同的,前者組距為10,后者組距為20說明連續(xù)型隨機(jī)變量X在前者單位組距上取值的頻率大于在后者單位組距上取值的頻率,即前者頻率密集程度比后者要高頻率密度79為了說明各組頻率密集的程度,應(yīng)該考慮連續(xù)型隨機(jī)變量X在各組單位組距上取值的頻率連續(xù)型隨機(jī)變量X在各組單位組距上取值的頻率稱為頻率密度,即

于是上述5個(gè)組相應(yīng)的頻率密度依次為0.015,0.020,0.030,0.020,0.0075頻率密度80將上述計(jì)算結(jié)果列表如表分組編號(hào)12345體重分組[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,100)人數(shù)1520302015頻率0.150.200.300.200.15頻率密度0.0150.0200.0300.0200.0075頻率密度81若將體重x作為自變量,則頻率密度為自變量x的函數(shù),這個(gè)函數(shù)是具有間斷點(diǎn)的分段函數(shù),它的圖形是由5條平行于x軸的直線段構(gòu)成的,每條平行于x軸的直線段含左端點(diǎn),不含右端點(diǎn)在頻率密度函數(shù)圖形的兩端及間斷處,向下引垂直于x軸的直線至x軸,得到一排豎著的長方形,這樣一排豎著的長方形稱為頻率密度的直方圖,如圖頻率密度82根據(jù)頻率密度的計(jì)算公式,有頻率=組距×頻率密度頻率密度83說明連續(xù)型隨機(jī)變量X在各組范圍內(nèi)取值的頻率等于各組組距乘以相應(yīng)的頻率密度在頻率密度直方圖中,組距為相應(yīng)長方形的底,頻率密度為相應(yīng)長方形的高,而底乘以高恰好就是相應(yīng)長方形的面積,于是連續(xù)型隨機(jī)變量X在各組范圍內(nèi)取值的頻率等于相應(yīng)長方形的面積如連續(xù)型隨機(jī)變量X在區(qū)間[70,80)上取值的頻率為0.20,它等于組距10乘以相應(yīng)的頻率密度0.020,即為相應(yīng)長方形的面積頻率密度84每測(cè)量一個(gè)人的體重得到一個(gè)數(shù)據(jù),就是做一次試驗(yàn);測(cè)量很多人的體重得到多個(gè)數(shù)據(jù),就是做多次重復(fù)試驗(yàn)若重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)無限增多,即得到測(cè)量數(shù)據(jù)無限增多,并且在數(shù)據(jù)分組時(shí)使得組數(shù)無限增多,且各組組距都趨于零概率密度曲線85則連續(xù)型隨機(jī)變量X在某區(qū)間上取值的頻率就在其概率附近擺動(dòng),且擺動(dòng)的幅度很微小,相應(yīng)頻率密度圖形中各平行于x軸的直線段長度都趨于零,而且在某條曲線附近擺動(dòng)自然把作為頻率密度曲線擺動(dòng)中心的這條曲線稱為概率密度曲線,概率密度記作φ(x),如圖概率密度曲線86概率密度曲線87這時(shí),如連續(xù)型隨機(jī)變量X在區(qū)間[70,80)上取值的頻率化為概率,頻率密度直方圖中相應(yīng)長方形的面積化為概率密度曲線φ(x)(70≤x<80)下的曲邊梯形面積由于連續(xù)型隨機(jī)變量X在區(qū)間[70,80)上取值的頻率等于頻率密度直方圖中相應(yīng)長方形的面積,所以連續(xù)型隨機(jī)變量X在區(qū)間[70,80)上取值的概率等于概率密度曲線φ(x)(70≤x<80)下的曲邊梯形面積概率密度曲線88根據(jù)定積分的概念,概率密度曲線φ(x)(70≤x<80)下的曲邊梯形面積等于概率密度φ(x)在區(qū)間[70,80)上的定積分,于是有概率

同理,連續(xù)型隨機(jī)變量X在任一區(qū)間上取值的概率等于概率密度φ(x)在該區(qū)間上的積分概率密度89在實(shí)際工作中,不可能得到無窮多個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù),只要測(cè)量數(shù)據(jù)比較多,并且在數(shù)據(jù)分組時(shí)使得組數(shù)比較多,且各組組距都比較小,則把相應(yīng)的頻率密度近似作為概率密度φ(x)說明概率密度φ(x)是對(duì)較多測(cè)量數(shù)據(jù)經(jīng)過分組整理、列表計(jì)算、畫圖分析而得到的這樣對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量,原則上都可以通過統(tǒng)計(jì)方面的工作得到它的概率密度φ(x).概率密度90若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為φ(x),則記作X~φ(x)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度φ(x)顯然是非負(fù)的,而且事件-∞<X<+∞是必然事件,當(dāng)然其對(duì)應(yīng)的概率應(yīng)當(dāng)?shù)扔?概率密度的性質(zhì)91所以連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度φ(x)具有下列性質(zhì):性質(zhì)1

φ(x)≥0

(-∞<x<+∞)

計(jì)算概率密度92連續(xù)型隨機(jī)變量X在區(qū)間[a,b)上取值的概率等于其概率密度曲線φ(x)(a≤x<b)下的曲邊梯形面積,當(dāng)然等于其概率密度φ(x)在區(qū)間[a,b)上的定積分,即有

計(jì)算概率密度93如圖當(dāng)a=b=x0時(shí),根據(jù)定積分基本運(yùn)算法則4,有概率

計(jì)算概率密度94說明連續(xù)型隨機(jī)變量取任一個(gè)值的概率一定等于零同時(shí)也說明連續(xù)型隨機(jī)變量在任一區(qū)間上取值的概率與是否含區(qū)間端點(diǎn)無關(guān),即概率P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a<X≤b}=P{a≤X≤b}

計(jì)算概率密度95作為這個(gè)計(jì)算概率公式的特殊情況,有概率

當(dāng)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度被確定后,可以通過計(jì)算積分求得連續(xù)型隨機(jī)變量在任一區(qū)間上取值的概率,所以連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度描述了相應(yīng)的隨機(jī)試驗(yàn)例196設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

則常數(shù)c=

.

解:根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的性質(zhì)2,有關(guān)系式

例197注意到常量函數(shù)y=0在任何區(qū)間上的積分值一定等于零,計(jì)算分段函數(shù)的積分

例198因而有關(guān)系式

得到常數(shù)c=3例299設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

則常數(shù)r=(

).

例2100解:根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的性質(zhì)2,有關(guān)系式

注意到常量函數(shù)y=0在任何區(qū)間上的積分值一定等于零例2101計(jì)算分段函數(shù)的積分

例2102因而有關(guān)系式

注意到r>0,得到常數(shù)

例3103下列函數(shù)中(

)可以作為連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度

例3104解:觀察函數(shù)y=sinx的圖形,如圖

說明函數(shù)f(x)與g(x)都滿足連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的性質(zhì)1,函數(shù)h(x)與l(x)都不滿足連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的性質(zhì)1,從而備選答案(c),(d)都落選例3105繼續(xù)考慮備選答案(a):計(jì)算積分

=-(0-1)=1說明還滿足連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的性質(zhì)2,從而備選答案(a)當(dāng)選,所以選擇(a)例3106至于備選答案(b):由于積分

=-(-1-1)=2≠1不滿足連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的性質(zhì)2,從而備選答案(b)落選例4107某單位每天用電量X萬度是連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為

若每天供電量為0.9萬度,求供電量不夠的概率例4108解:供電量不夠,意味著用電量大于供電量,即X>0.9.根據(jù)計(jì)算概率公式,得到概率

=1-0.972=0.028所以供電量不夠的概率為0.028例5109設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

試求:(1)常數(shù)k值;(2)概率P{0≤X<1}.例5110解:(1)根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的性質(zhì)2,有關(guān)系式

計(jì)算廣義積分

例5111

=kπ因而有關(guān)系式kπ=1所以常數(shù)

例5112(2)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

根據(jù)計(jì)算概率公式,所以概率

連續(xù)型隨機(jī)變量相互獨(dú)立113最后給出連續(xù)型隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念:若連續(xù)型隨機(jī)變量X,Y分別在任意實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取值所構(gòu)成的兩個(gè)事件相互獨(dú)立,則稱連續(xù)型隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立一般地,若n個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn分別在任意實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取值所構(gòu)成的n個(gè)事件相互獨(dú)立,則稱n個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立114本次課程結(jié)束第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)字特征本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)[知識(shí)目標(biāo)]

掌握連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。

掌握連續(xù)型隨機(jī)變量的方差概念及計(jì)算公式。

理解數(shù)學(xué)期望及方差的性質(zhì)。

[能力目標(biāo)]

能熟練計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差。

連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望116定義2.5

連續(xù)型隨機(jī)變量的方差117定義2.6

連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)字特征118當(dāng)連續(xù)型隨機(jī)變量X的可能取值密集在其數(shù)學(xué)期望E(X)附近時(shí),方差D(X)較小,反之則方差D(X)較大,因此方差D(X)的大小可以說明連續(xù)型隨機(jī)變量X取值對(duì)數(shù)學(xué)期望E(X)的離散程度

計(jì)算方差的簡便公式119定理2.2已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為φ(x),則其方差D(X)=E(X2)-(E(X))2其中數(shù)學(xué)期望

值得注意的是:任何一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)、方差D(X)都不再是隨機(jī)變量,而是某個(gè)確定的常量;一般情況下,數(shù)學(xué)期望

E(X2)≠(E(X))2例1120已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

則數(shù)學(xué)期望E(X)=(

).

例1121解:根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式,得到數(shù)學(xué)期望

（c）例2122已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

試求:(1)數(shù)學(xué)期望E(X);(2)