(1.18)-2.4.1 積拓撲拓撲學

積拓撲拓撲學積拓撲的定義若X和Y是兩個拓撲空間，則有一個在笛卡兒積X×Y上定義拓撲的標準方法．下面我們就來研究這個拓撲及它的一些性質(zhì).

定義2.4.1

設X和Y是兩個拓撲空間，X×Y上的積拓撲(producttopology)

是以族B為基的拓撲，其中B是所有形如U×V的集合的族，U和V分別是X和Y的開子集.下面證明

B

是一個基:由于X×Y本身就是一個基元素,B滿足基的第一條.由于任意兩個基元素U1×V1與U2×V2

的交是

(U1×V1)∩(U2×V2)=(U1∩U2)×(V1∩V2)，而U1∩U2和V1∩V2分別是X和Y的開集，所以上述集合是一個基元素，第二條也滿足.積拓撲的定義圖2.4.1值得注意的是∶族B不是X×Y的一個拓撲.例如，圖2.4.1中兩個矩形的并就不是兩個集合的積，因而不屬于B，但它是X×Y中的開集.用類似的方法可以定義有限個拓撲空間X1,X2,...,Xn

的積拓撲X1

×X2×...×Xn.定義2.4.2

設

X1,X2,...,Xn

為拓撲空間，X1

×X2×...×Xn上的積拓撲(producttopology)

是以族B為基的拓撲，其中B是所有形如U1

×U2×...×Un的集合的族，其中Ui

是Xi的開子集,

i=1,2,...,n.積拓撲的性質(zhì)我們每次引進一個新概念，總是試圖弄清它與前面引入的概念之間的關聯(lián).我們現(xiàn)在要問，當X和Y的拓撲是由它們的基給出時，關于積拓撲能說些什么呢?

定理2.4.3

若B是X的拓撲的一個基，C是Y的拓撲的一個基，則族D={B×C

|B∈

B并且C∈

}是X×Y的拓撲的一個基.證明:

給定X×Y的一個開集W以及W的一個點

(x,y).根據(jù)積拓撲的定義，存在一個基元素U×V，使得(x,y)∈U×V?W.因為B和C分別是X和Y的基，所以可以在

B中選取一個元素B，使得x∈B?U，也可以在C中選取一個元素C，使得y∈C?V.于是(x,y)∈B×C?W.從而族D符合引理2.2.3的條件，因此D

是X×Y的一個基.

證畢.積拓撲的性質(zhì)例2.4.4

由于實數(shù)集R

上的標準拓撲是由所有開區(qū)間生成的，R2

上的所有矩形區(qū)域(a,b)×(c,d)構成R2

的一個基，這個基生成的拓撲與R2

上所有圓域生成的拓撲一致.有時也需要用子基來表示積拓撲.為此,我們先定義某些叫做投射的函數(shù).設U是X的一個開子集，那么集合π1－1(U)=

U×Y，它是X×Y中的開集.同樣地，若V是Y的一個開集，則π2－1(V)

=X×V也是X×Y中的開集.這兩個集合的交是U×V，參見圖2.4.2定義2.4.5

設π1∶X×Y→X定義為π1(x,y)

=x.π2∶X×Y→Y定義為π2(x,y)=y.映射π1和π2

分別稱為X×Y到它的第一因子和第二個因子上的投射(projection).圖2.4.2積拓撲的性質(zhì)定理2.4.6族

S={π1－1(U)

|U是

X

中的開集}U{π2－1(V)|

V是Y中的開集}是X×Y的積拓撲的一個子基.證明：用T表示X×Y的積拓撲，設

T'是由S生成的拓撲，因為S的每一個元素都屬于T，所以S的元素的有限交的任意并也屬于T.因此，'?T.另一方面，拓撲T的任意基元U×V是S中元素的有限交，這是因為

U×V=π1－1(U)∩π2－1(V).所以U×V