重慶江津長(zhǎng)壽綦江等七校聯(lián)盟2024年高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析

重慶江津長(zhǎng)壽綦江等七校聯(lián)盟2024年高考數(shù)學(xué)三模試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，，，的面積為，則（）A． B．4 C．5 D．2．羽毛球混合雙打比賽每隊(duì)由一男一女兩名運(yùn)動(dòng)員組成.某班級(jí)從名男生，，和名女生，，中各隨機(jī)選出兩名，把選出的人隨機(jī)分成兩隊(duì)進(jìn)行羽毛球混合雙打比賽，則和兩人組成一隊(duì)參加比賽的概率為（）A． B． C． D．3．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）①已知函數(shù)是一次函數(shù)，若數(shù)列通項(xiàng)公式為，則該數(shù)列是等差數(shù)列；②若直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面的距離相等，則；③在中，“”是“”的必要不充分條件；④若，則的最大值為2.A．1 B．2 C．3 D．04．某工廠只生產(chǎn)口罩、抽紙和棉簽，如圖是該工廠年至年各產(chǎn)量的百分比堆積圖（例如：年該工廠口罩、抽紙、棉簽產(chǎn)量分別占、、），根據(jù)該圖，以下結(jié)論一定正確的是（）A．年該工廠的棉簽產(chǎn)量最少B．這三年中每年抽紙的產(chǎn)量相差不明顯C．三年累計(jì)下來產(chǎn)量最多的是口罩D．口罩的產(chǎn)量逐年增加5．如圖，四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，為的三等分點(diǎn)（靠近）若，則的值為（）A． B． C． D．6．某四棱錐的三視圖如圖所示，記為此棱錐所有棱的長(zhǎng)度的集合，則（）.A．，且 B．，且C．，且 D．，且7．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．8．函數(shù)的圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，，若，對(duì)任意恒有，在區(qū)間上有且只有一個(gè)使，則的最大值為（）A． B． C． D．10．已知，則（）A．5 B． C．13 D．11．已知拋物線：，直線與分別相交于點(diǎn)，與的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，若，則（）A．3 B． C． D．12．已知命題若，則，則下列說法正確的是（）A．命題是真命題B．命題的逆命題是真命題C．命題的否命題是“若，則”D．命題的逆否命題是“若，則”二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，某市一學(xué)校位于該市火車站北偏東方向，且，已知是經(jīng)過火車站的兩條互相垂直的筆直公路，CE,DF及圓弧都是學(xué)校道路，其中，，以學(xué)校為圓心，半徑為的四分之一圓弧分別與相切于點(diǎn).當(dāng)?shù)卣顿Y開發(fā)區(qū)域發(fā)展經(jīng)濟(jì)，其中分別在公路上，且與圓弧相切，設(shè)，的面積為.（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面積為最小，政府投資最低？14．設(shè)，則“”是“”的__________條件.15．在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD邊上動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最大值為________.16．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求的取值范圍；（2）若，對(duì)，不等式恒成立，求的取值范圍．18．（12分）已知數(shù)列，滿足.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）分別求數(shù)列，的前項(xiàng)和，.19．（12分）某公司欲投資一新型產(chǎn)品的批量生產(chǎn)，預(yù)計(jì)該產(chǎn)品的每日生產(chǎn)總成本價(jià)格)(單位:萬元)是每日產(chǎn)量(單位:噸)的函數(shù):.（1）求當(dāng)日產(chǎn)量為噸時(shí)的邊際成本(即生產(chǎn)過程中一段時(shí)間的總成本對(duì)該段時(shí)間產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù))；（2）記每日生產(chǎn)平均成本求證：；（3）若財(cái)團(tuán)每日注入資金可按數(shù)列(單位:億元)遞減，連續(xù)注入天，求證:這天的總投入資金大于億元.20．（12分）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率是，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)軸時(shí)，.（1）求橢圓的方程；（2）延長(zhǎng)分別交橢圓于點(diǎn)（不重合）.設(shè)，求的最小值.21．（12分）已知，且．（1）請(qǐng)給出的一組值，使得成立；（2）證明不等式恒成立．22．（10分）每年的寒冷天氣都會(huì)帶熱“御寒經(jīng)濟(jì)”，以交通業(yè)為例，當(dāng)天氣太冷時(shí)，不少人都會(huì)選擇利用手機(jī)上的打車軟件在網(wǎng)上預(yù)約出租車出行,出租車公司的訂單數(shù)就會(huì)增加.下表是某出租車公司從出租車的訂單數(shù)據(jù)中抽取的5天的日平均氣溫(單位：℃)與網(wǎng)上預(yù)約出租車訂單數(shù)(單位：份)；日平均氣溫（℃）642網(wǎng)上預(yù)約訂單數(shù)100135150185210（1）經(jīng)數(shù)據(jù)分析，一天內(nèi)平均氣溫與該出租車公司網(wǎng)約訂單數(shù)（份）成線性相關(guān)關(guān)系，試建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)日平均氣溫為時(shí),該出租車公司的網(wǎng)約訂單數(shù)；（2）天氣預(yù)報(bào)未來5天有3天日平均氣溫不高于，若把這5天的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)當(dāng)成真實(shí)的數(shù)據(jù)，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，則從這5天中任意選取2天，求恰有1天網(wǎng)約訂單數(shù)不低于210份的概率.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由正弦定理可知,從而可求出.通過可求出，結(jié)合余弦定理即可求出的值.【詳解】解：，即，即.，則.，解得.，故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的關(guān)鍵是通過正弦定理結(jié)合已知條件，得到角的正弦值余弦值.2、B【解析】

根據(jù)組合知識(shí)，計(jì)算出選出的人分成兩隊(duì)混合雙打的總數(shù)為，然后計(jì)算和分在一組的數(shù)目為，最后簡(jiǎn)單計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：分別從3名男生、3名女生中選2人：將選中2名女生平均分為兩組：將選中2名男生平均分為兩組：則選出的人分成兩隊(duì)混合雙打的總數(shù)為：和分在一組的數(shù)目為所以所求的概率為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，對(duì)平均分組的問題要掌握公式，比如：平均分成組，則要除以，即，審清題意，細(xì)心計(jì)算，考驗(yàn)分析能力，屬中檔題.3、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的定義，線面關(guān)系，余弦函數(shù)以及基本不等式一一判斷即可；【詳解】解：①已知函數(shù)是一次函數(shù)，若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，可得為一次項(xiàng)系數(shù)），則該數(shù)列是等差數(shù)列，故①正確；②若直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面的距離相等，則與可以相交或平行，故②錯(cuò)誤；③在中，，而余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故“”可得“”，由“”可得“”，故“”是“”的充要條件，故③錯(cuò)誤；④若，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故④正確；綜上可得正確的有①④共2個(gè)；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷，主要是正弦定理的運(yùn)用和等比數(shù)列的求和公式、等差數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．4、C【解析】

根據(jù)該廠每年產(chǎn)量未知可判斷A、B、D選項(xiàng)的正誤，根據(jù)每年口罩在該廠的產(chǎn)量中所占的比重最大可判斷C選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】由于該工廠年至年的產(chǎn)量未知，所以，從年至年棉簽產(chǎn)量、抽紙產(chǎn)量以及口罩產(chǎn)量的變化無法比較，故A、B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤；由堆積圖可知，從年至年，該工廠生產(chǎn)的口罩占該工廠的總產(chǎn)量的比重是最大的，則三年累計(jì)下來產(chǎn)量最多的是口罩，C選項(xiàng)正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查堆積圖的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

使用不同方法用表示出，結(jié)合平面向量的基本定理列出方程解出．【詳解】解：，又解得，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的基本定理及其意義，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解析】

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，根據(jù)三視圖的長(zhǎng)度，進(jìn)一步求出個(gè)各棱長(zhǎng).【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為四棱錐體，如圖所示：所以：，，.故選：D..【點(diǎn)睛】本題考查三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換，主要考查運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，同增異減以及采用排除法，可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由在遞增，所以在遞增又是增函數(shù)，所以在遞增，故排除B、C當(dāng)時(shí)，若，則所以在遞減，而是增函數(shù)所以在遞減，所以A正確，D錯(cuò)誤故選：A【點(diǎn)睛】本題考查具體函數(shù)的大致圖象的判斷，關(guān)鍵在于對(duì)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的理解，記住常用的結(jié)論：增+增=增，增-減=增，減+減=減，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減，屬中檔題.8、B【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性，可排除D；求得及，由導(dǎo)函數(shù)符號(hào)可判斷在上單調(diào)遞增，即可排除AC選項(xiàng).【詳解】函數(shù)易知為奇函數(shù)，故排除D.又，易知當(dāng)時(shí)，；又當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，所以，綜上，時(shí)，，即單調(diào)遞增.又為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，故排除A，C.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象關(guān)系，屬于中檔題.9、C【解析】

根據(jù)的零點(diǎn)和最值點(diǎn)列方程組，求得的表達(dá)式（用表示），根據(jù)在上有且只有一個(gè)最大值，求得的取值范圍，求得對(duì)應(yīng)的取值范圍，由為整數(shù)對(duì)的取值進(jìn)行驗(yàn)證，由此求得的最大值.【詳解】由題意知，則其中，．又在上有且只有一個(gè)最大值，所以，得，即，所以，又，因此．①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，都成立，舍去；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，都成立，舍去；③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，成立；綜上所得的最大值為．故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的零點(diǎn)和最值，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.10、C【解析】

先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再求，最后求即可.【詳解】解：，，故選：C【點(diǎn)睛】考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.11、C【解析】

根據(jù)拋物線的定義以及三角形的中位線，斜率的定義表示即可求得答案.【詳解】顯然直線過拋物線的焦點(diǎn)如圖，過A,M作準(zhǔn)線的垂直，垂足分別為C，D，過M作AC的垂線，垂足為E根據(jù)拋物線的定義可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M為AN的中點(diǎn)，所以MD為三角形NAC的中位線，故MD=CE=EA=AC設(shè)MF=t，則MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME=所以故選：C【點(diǎn)睛】本題考查求拋物線的焦點(diǎn)弦的斜率，常見于利用拋物線的定義構(gòu)建關(guān)系，屬于中檔題.12、B【解析】

解不等式，可判斷A選項(xiàng)的正誤；寫出原命題的逆命題并判斷其真假，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用原命題與否命題、逆否命題的關(guān)系可判斷C、D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】解不等式，解得，則命題為假命題，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；命題的逆命題是“若，則”，該命題為真命題，B選項(xiàng)正確；命題的否命題是“若，則”，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；命題的逆否命題是“若，則”，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查四種命題的關(guān)系，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）；（2）.【解析】

（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，在中，設(shè)，又，故，，進(jìn)而表示直線的方程，由直線與圓相切構(gòu)建關(guān)系化簡(jiǎn)整理得，即可表示OA,OB，最后由三角形面積公式表示面積即可；（2）令，則，由輔助角公式和三角函數(shù)值域可求得t的取值范圍，進(jìn)而對(duì)原面積的函數(shù)用含t的表達(dá)式換元，再令進(jìn)行換元，并構(gòu)建新的函數(shù)，由二次函數(shù)性質(zhì)即可求得最小值.【詳解】解：（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，在中，設(shè)，又，故，.所以直線的方程為，即.因?yàn)橹本€與圓相切，所以.因?yàn)辄c(diǎn)在直線的上方，所以，所以式可化為，解得.所以，.所以面積為.（2）令，則，且，所以，.令，，所以在上單調(diào)遞減.所以，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，取最小值.答：當(dāng)時(shí)，面積為最小，政府投資最低.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，應(yīng)優(yōu)先結(jié)合實(shí)際建立合適的數(shù)學(xué)模型，再按模型求最值，屬于難題.14、充分必要【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】當(dāng)時(shí)，有，故“”是“”的充分條件.當(dāng)時(shí)，有，故“”是“”的必要條件.故“”是“”的充分必要條件，故答案為：充分必要.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判斷，可利用定義來判斷，也可以根據(jù)兩個(gè)條件構(gòu)成命題及逆命題的真假來判斷，還可以利用兩個(gè)條件對(duì)應(yīng)的集合的包含關(guān)系來判斷，本題屬于容易題.15、【解析】

利用平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，由可得，利用數(shù)量積運(yùn)算求得，再利用線性規(guī)劃的知識(shí)求出的最大值.【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系，如圖（1）所示：設(shè)，，，即，又，令，其中，畫出圖形，如圖（2）所示：當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由題意知，繼而利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和為的公式代入求值即可.【詳解】解：由題意知，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）分類討論，，，即可得出結(jié)果；（2）先由題意，將問題轉(zhuǎn)化為即可，再求出，的最小值，解不等式即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由得，若，則，顯然不成立；若，則，，即；若，則，即，顯然成立，綜上所述，的取值范圍是．（2）由題意知，要使得不等式恒成立，只需，當(dāng)時(shí)，，所以；因?yàn)?，所以，解得，結(jié)合，所以的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查含絕對(duì)值不等式的解法，以及由不等式恒成立求參數(shù)的問題，熟記分類討論的思想、以及絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可，屬于常考題型.18、（1）（2）；【解析】

（1），，可得為公比為2的等比數(shù)列，可得為公差為1的等差數(shù)列，再算出，的通項(xiàng)公式，解方程組即可；（2）利用分組求和法解決.【詳解】（1）依題意有又.可得數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列，為公差為1的等差數(shù)列，由，得解得故數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為.（2），.【點(diǎn)睛】本題考查利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道中檔題.19、（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由此求得求當(dāng)日產(chǎn)量為噸時(shí)的邊際成本.（2）將所要證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，由此證得不等式成立.（3）利用（2）的結(jié)論，判斷出，由此結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，證得.【詳解】（1）因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，（2）要證，只需證，即證，設(shè)則所以在上單調(diào)遞減，所以所以，即；（3）因?yàn)橛钟桑?）知，當(dāng)時(shí)，所以所以所以【點(diǎn)睛】本小題主要考查