2022-2023學(xué)年湖南省長沙市含浦鎮(zhèn)含浦中學(xué)高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析

2022-2023學(xué)年湖南省長沙市含浦鎮(zhèn)含浦中學(xué)高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在“①高一數(shù)學(xué)課本中的難題；②所有的正三角形；③方程的實(shí)數(shù)解”中，能夠表示成集合的是（

）

A．②

B．③

C．②③

D．①②③參考答案：C略2.直線l過點(diǎn)(－1,2)且與直線垂直，則l的方程是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C∵直線2x?3y+4=0的斜率為，由垂直可得所求直線的斜率為，∴所求直線的方程為y?2=(x+1)，化為一般式可得3x+2y?1=0本題選擇C選項(xiàng).

3.設(shè)函數(shù)，則在下列區(qū)間中函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)的是A.[－4,－2] B.[－2,0] C.[0,2] D.[2,4]參考答案：A試題分析：采取間接法，，因?yàn)?，所以，，因此在上有零點(diǎn)，故在上有零點(diǎn)；，而，即，因此，故在上一定存在零點(diǎn)；雖然，但，又，即，從而，于是在區(qū)間上有零點(diǎn)，也即在上有零點(diǎn)，不能選B，C，D，那么只能選A．

4.在空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（1，3，－5）關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是A．（－1，3，－5）

B．（1，－3，5）

C．（1，3，5）

D．（－1，－3，5）參考答案：C略5.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a、b、c，其中A=120°，b=1，且△ABC的面積為，則=（）A． B． C．2 D．2參考答案：D【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將sinA與b的值，以及已知面積代入求出c的長，再由b，c及cosA的值，利用余弦定理求出a的長，由a與sinA的值，利用正弦定理求出三角形外接圓的半徑R，利用正弦定理及比例的性質(zhì)即可求出所求式子的值．【解答】解：∵S△ABC=bcsin120°=，即c×=，∴c=4，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccos120°=21，解得：a=，∵，∴2R===2，則=2R=2．故選：D．6.已知圓C經(jīng)過點(diǎn)，且圓心為，則圓C的方程為A. B.C. D.參考答案：D【分析】先計(jì)算圓半徑，然后得到圓方程.【詳解】因?yàn)閳AC經(jīng)過，且圓心為所以圓C的半徑為，則圓C的方程為.故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了圓方程，先計(jì)算半徑是解題的關(guān)鍵.7.一個(gè)容量為35的樣本數(shù)據(jù)，分組后，組距與頻數(shù)如下：個(gè)；個(gè)；個(gè)；個(gè)；個(gè)；個(gè)。則樣本在區(qū)間上的頻率為（

）A.20%

B.69%

C.31%

D.27%參考答案：C8.已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間上是增函數(shù),若方程在區(qū)間上有四個(gè)不同的根,則=（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A略9.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A.向左平移個(gè)單位長度 B.向左平移個(gè)單位長度C.向右平移個(gè)單位長度 D.向右平移個(gè)單位長度參考答案：B【分析】由，根據(jù)函數(shù)的圖像變換規(guī)律可得解.【詳解】要得到函數(shù)的圖象.只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖像平移，解決此類問題應(yīng)注意對(duì)函數(shù)圖像平移的影響.10.下列函數(shù)中滿足“對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有”的是

()A．

B．

C．

D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.對(duì)于函數(shù)定義域中任意有如下結(jié)論：①；②；③；

④。上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是_______________．參考答案：①③④略12.在銳角三角形ABC，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，，則____參考答案：513.計(jì)算：()++=________參考答案：14.已知函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=x2+2x+2，則f（x）的解析式為

．參考答案：f（x）=x2+1【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】方法一：湊配法：先將函數(shù)f（x+1）=x2+2x+2的右側(cè)湊配成用x+1表示的形式，然后用x替換x+1，可得答案．方法二：換元法：令t=x+1，則x=t﹣1，換元整理后，可得f（t）=t2+1，然后用x替換t，可得答案．【解答】解：方法一：湊配法：∵f（x+1）=x2+2x+2=（x+1）2+1，∴f（x）=x2+1方法二：換元法：令t=x+1，則x=t﹣1∵f（x+1）=x2+2x+2∴f（t）=（t﹣1）2+2（t﹣1）+2=t2+1∴f（x）=x2+1故答案為：f（x）=x2+1【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)解析式的求解及常用方法，熟練掌握湊配法及換元法的方法，步驟及適用范圍是解答的關(guān)鍵．15.平面點(diǎn)集，用列舉法表示

。參考答案：16.（5分）已知函數(shù)f（x）=，則f（﹣3）=

．參考答案：1考點(diǎn)： 函數(shù)的值．專題： 計(jì)算題．分析： 根據(jù)x的范圍，分別代入本題的表達(dá)式，從而求出f（﹣3）=f（0）=f（3）求出即可．解答： x＜2時(shí)，f（x）=f（x+3），∴f（﹣3）=f（0），f（0）=f（3），x≥2時(shí)，f（x）=，∴f（3）==1，故答案為：1．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了分段函數(shù)問題，考查了函數(shù)求值問題，是一道基礎(chǔ)題．17.若函數(shù)f（x）=（k﹣2）x2+（k﹣1）x+3是偶函數(shù)，則f（x）的遞減區(qū)間是__________．參考答案：1＜x＜3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分14分)在中，所對(duì)的邊分別是．（Ⅰ）用余弦定理證明：當(dāng)為鈍角時(shí)，；（Ⅱ）當(dāng)鈍角△ABC的三邊是三個(gè)連續(xù)整數(shù)時(shí)，求外接圓的半徑．參考答案：解：（Ⅰ）當(dāng)為鈍角時(shí)，，

由余弦定理得：，

即：．（Ⅱ）設(shè)的三邊分別為，是鈍角三角形，不妨設(shè)為鈍角，由（Ⅰ）得，

，當(dāng)時(shí)，不能構(gòu)成三角形，舍去，當(dāng)時(shí)，三邊長分別為，

，

外接圓的半徑略19.某班同學(xué)利用春節(jié)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，對(duì)本地歲的人群隨機(jī)抽取人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，將生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖。

（一）人數(shù)統(tǒng)計(jì)表：

（二）各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：（Ⅰ）在答題卡給定的坐標(biāo)系中補(bǔ)全頻率分布直方圖，并求出、、的值；（Ⅱ）從歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取人參加戶外低碳體驗(yàn)活動(dòng)。若將這個(gè)人通過抽簽分成甲、乙兩組，每組的人數(shù)相同，求歲中被抽取的人恰好又分在同一組的概率；（Ⅲ）根據(jù)所得各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖，估計(jì)在本地歲的人群中“低碳族”年齡的中位數(shù)。參考答案：20.（16分）我校為進(jìn)行“陽光運(yùn)動(dòng)一小時(shí)”活動(dòng)，計(jì)劃在一塊直角三角形ABC的空地上修建一個(gè)占地面積為S（平方米）的矩形AMPN健身場地．如圖，點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在AB上，且P點(diǎn)在斜邊BC上．已知∠ACB=60°，|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．設(shè)矩形AMPN健身場地每平方米的造價(jià)為元，再把矩形AMPN以外（陰影部分）鋪上草坪，每平方米的造價(jià)為元（k為正常數(shù)）．（1）試用x表示S，并求S的取值范圍；（2）求總造價(jià)T關(guān)于面積S的函數(shù)T=f（S）；（3）如何選取|AM|，使總造價(jià)T最低（不要求求出最低造價(jià)）．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義；函數(shù)解析式的求解及常用方法；函數(shù)的值．【專題】函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）由解直角三角形，可得矩形AMPN的面積，x∈[10，20]，運(yùn)用二次函數(shù)的最值求法，可得值域；（2）由三角形的面積和題意可得總造價(jià)T=T1+T2，即可得到所求；（3）運(yùn)用基本不等式，計(jì)算即可得到所求x=12或18．【解答】解：（1）在Rt△PMC中，顯然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°，∴，矩形AMPN的面積，x∈[10，20]，由x（30﹣x）≤（）2=225，當(dāng)x=15時(shí)，可得最大值為225，當(dāng)x=10或20時(shí)，取得最小值200，于是為所求．（2）矩形AMPN健身場地造價(jià)T1=，又△ABC的面積為，即草坪造價(jià)T2=，由總造價(jià)T=T1+T2，∴，．（3）∵，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，解得x=12或x=18，答：選取|AM|的長為12米或18米時(shí)總造價(jià)T最低．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)模型的運(yùn)用，考查函數(shù)的值域和最值的求法，注意運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．21.已知，，，且，其中（1）若與的夾角為，求的值；（2）記，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，試說明理由.、參考答案：解：（1），由，得，即（6分）（2）由（1）得，，即可得，，因?yàn)閷?duì)于任意恒成立，又因?yàn)椋?，即?duì)于任意恒成立，構(gòu)造函數(shù)從而由此可知不存在實(shí)數(shù)使之成立。

略22.已知設(shè)函數(shù)f（x）=loga（1+2x）﹣loga（1﹣2x）（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定義域；（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；（3）求使f（x）＞0的x的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)的定義域及其求法．【專題】定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)要大于0列不等式組求解定義域．（2）利用定義判斷函數(shù)的奇偶性．（3）f（x）＞0，即loga（1+2x）﹣loga（1﹣2x）＞0，對(duì)底數(shù)a討論，求解x的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=loga（1+2x）﹣（loga（1﹣2x）（a＞0，a≠1）．其定義域滿足，解得：故得f（x）的定義域?yàn)閧x|}（2）由（1）可知f（x）的定義域?yàn)閧x|}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．又∵f（﹣x）=loga（1﹣2x）﹣（loga（1+2x）=﹣f（x