重難點 相似三角形 中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

重難點03相似三角形解析考點一：比例學(xué)習(xí)比例、比例線段的性質(zhì)等知識是學(xué)習(xí)三角形相似的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)中考中很多省市也會把這個考點單獨出題考察，特別是黃金分割和平行線分線段成比例的基本性質(zhì)，都是經(jīng)常出現(xiàn)的小題，但這類題一般難度不大，掌握好易錯點，再仔細計算即可！題型01比例與比例線段易錯點：4個數(shù)成比例時，對應(yīng)數(shù)據(jù)可正可負；線段成比例時，對應(yīng)數(shù)據(jù)只能是正數(shù)，特別是比例中項的計算中，更要注意線段正負的問題；【中考真題練】1．若＝，則ab＝（）A．6 B． C．1 D．2．（2023?甘孜州）若，則＝．3．小慧同學(xué)在學(xué)習(xí)了九年級上冊“4.1比例線段”3節(jié)課后，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容是一個逐步特殊化的過程，請在橫線上填寫適當(dāng)?shù)臄?shù)值，感受這種特殊化的學(xué)習(xí)過程．【中考模擬練】1．（2024?涼州區(qū)一模）下列各組數(shù)中，成比例的是（）A．1，﹣2，﹣3，﹣6 B．1，4，2，﹣8 C．5，6，2，3 D．，，1，2．（2024?汝南縣一模）如果2a＝5b，那么下列比例式中正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝3．（2023?望江縣模擬）下列各組中的四條線段成比例的是（）A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cm C．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm4．（2024?涼州區(qū)一模）已知＝，則＝．5．（2024?錦江區(qū)校級模擬）＝．6．（2024?山陽縣一模）如圖，在小提琴的設(shè)計中蘊含著數(shù)學(xué)知識，AC，BC，AB各部分長度滿足BC2＝AC?AB，若小提琴的總長度AB為59cm，則琴身BC的長為cm．題型02黃金分割易錯點：一個線段的黃金分割點有2個，黃金分割比=，0.618是黃金分割比的近似值。題目中沒有要求時，一般都要用原值；【中考真題練】1．（2023?綿陽）黃金分割由于其美學(xué)性質(zhì)，受到攝影愛好者和藝術(shù)家的喜愛，攝影中有一種拍攝手法叫黃金構(gòu)圖法．其原理是：如圖，將正方形ABCD的底邊BC取中點E，以E為圓心，線段DE為半徑作圓，其與底邊BC的延長線交于點F，這樣就把正方形ABCD延伸為矩形ABFG，稱其為黃金矩形．若CF＝4a，則AB＝（）A．（﹣1）a B．（﹣2）a C．（+1）a D．（+2）a2．（2023?濟南）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以點C為圓心，以BC為半徑作弧交AC于點D，再分別以B，D為圓心，以大于BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點P，作射線CP交AB于點E，連接DE．以下結(jié)論不正確的是（）A．∠BCE＝36° B．BC＝AE C． D．3．（2023?達州）如圖，樂器上的一根弦AB＝80cm，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則支撐點C，D之間的距離為cm．（結(jié)果保留根號）4．（2023?黃石）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，當(dāng)m＝1時，該方程的正根稱為黃金分割數(shù)．寬與長的比是黃金分割數(shù)的矩形叫做黃金矩形，希臘的巴特農(nóng)神廟采用的就是黃金矩形的設(shè)計；我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚的優(yōu)選法中也應(yīng)用到了黃金分割數(shù)．（1）求黃金分割數(shù)；（2）已知實數(shù)a，b滿足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值；（3）已知兩個不相等的實數(shù)p，q滿足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值．【中考模擬練】1．（2024?東昌府區(qū)一模）如圖，線段AB上的點C滿足關(guān)系式：AC2＝BC?AB，且AB＝2，則AC的長為（）A．或 B． C． D．2．（2024?昆明模擬）黃金分割是一個跨越數(shù)學(xué)、自然、藝術(shù)和設(shè)計領(lǐng)域的概念，各個領(lǐng)域中無處不在．黃金分割是指將一個整體分為兩部分，其中較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，通常人們把這個數(shù)叫做黃金分割數(shù)．請估計的值在（）A．0和之間 B．和1之間 C．1和之間 D．和2之間3．（2024?安州區(qū)二模）如圖，以線段AB為邊作正方形ABCD，取AD的中點E，連接BE，延長DA至F，使得EF＝BE，以AF為邊作正方形AFGH，則點H即是線段AB的黃金分割點．若記正方形AFGH的面積為S1，矩形HICB的面積為S2，則S1與S2的大小關(guān)系是（）A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．不能確定4．（2024?大渡口區(qū)模擬）已知C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），則AC：AB＝（）A．﹣1）：2 B．+1）：2 C．）：2 D．）：25．（2024?高新區(qū)校級二模）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．秦兵馬俑被譽為“世界第八大奇跡”，兵馬俑的眼睛到下巴的距離與頭頂?shù)较掳偷木嚯x之比約為，若如圖所示的兵馬俑頭頂?shù)较掳偷木嚯x為0.3m，則該兵馬俑的眼睛到下巴的距離為m．題型03平行線分線段成比例【中考真題練】1．（2023?吉林）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，過點D作DE∥BC，交AC于點E．若AD＝2，BD＝3，則的值是（）A． B． C． D．2．（2023?常州）小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點：畫法圖形（1）以A為端點畫一條射線；（2）用圓規(guī)在射線上依次截取3條等長線段AC、CD、DE，連接BE；（3）過點C、D分別畫BE的平行線，交線段AB于點M、N．M、N就是線段AB的三等分點．這一畫圖過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A．兩直線平行，同位角相等 B．兩條平行線之間的距離處處相等 C．垂直于同一條直線的兩條直線平行 D．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例3．（2023?北京）如圖，直線AD，BC交于點O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，F(xiàn)D＝2，則的值為．4．（2023?岳陽）如圖，在⊙O中，AB為直徑，BD為弦，點C為的中點，以點C為切點的切線與AB的延長線交于點E．（1）若∠A＝30°，AB＝6，則的長是（結(jié)果保留π）；（2）若＝，則＝．【中考模擬練】1．（2024?大渡口區(qū)模擬）如圖，AD∥BE∥CF，若DE＝7，DF＝21，AB＝6，則AC的長度是（）A．12 B．18 C．15 D．2．（2024?香坊區(qū)一模）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點，DE∥BC，EF∥AB，且BF：FC＝3：4，AB＝14，則EF的長為（）A．5 B．6 C．7 D．83．（2024?新安縣一模）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G，且DG＝2，DF＝10，＝，則AG的長為（）A．2 B．3 C．4 D．54．（2024?沭陽縣模擬）如圖，在△ABC中，D在AC邊上，AD：DC＝1：2，O是BD的中點，連接AO并延長交BC于點E，若BE＝1，則EC的長為（）A．2 B．2.5 C．3 D．45．（2024?海寧市校級模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高線，點E，F(xiàn)分別在AC，CD上，且∠1＝∠2．（1）求證：AD∥EF．（2）當(dāng)CE：AE＝3：5，CF＝6時，求BC的長．考點二：相似三角形相似三角形是中考數(shù)學(xué)中非常重要的一個考點，出題難度跨度很大，當(dāng)然，單獨出題時，相似三角形的性質(zhì)、判定、應(yīng)用大多以基礎(chǔ)和中等題為主。題型01相似三角形的判定與性質(zhì)解題大招01：相似三角形性質(zhì)的主要應(yīng)用方向有：①求角的度數(shù)；②求或證明比值關(guān)系；③證線段等積式；④求面積或面積比；解題大招02：相似三角形的對應(yīng)邊成比例是求線段長度的重要方法，也是動點問題中得到函數(shù)關(guān)系式的重要手段；解題大招03：判定三角形相似的思路：（1）有平行截線——用平行線的性質(zhì)，找等角（2）有一對等角，找（3）有兩邊對應(yīng)成比例，找夾角相等（4）直角三角形，找（5）等腰三角形，找【中考真題練】1．（2023?重慶）若兩個相似三角形周長的比為1：4，則這兩個三角形對應(yīng)邊的比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：162．（2023?恩施州）如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AC，AB于點D，E，EF∥AC交BC于點F，，BF＝8，則DE的長為（）A． B． C．2 D．33．（2023?徐州）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D為AB的中點．若點E在邊AC上，且，則AE的長為（）A．1 B．2 C．1或 D．1或24．如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是AD上一點，CF交BD于點E，CF的延長線交BA的延長線于點G，EF＝1，EC＝3，則GF的長為（）A．4 B．6 C．8 D．105．（2023?德州）如圖，A，B，C，D是⊙O上的點，AB＝AD，AC與BD交于點E，AE＝3，EC＝5，BD＝4，⊙O的半徑為（）A．6 B． C．5 D．26．（2023?紹興）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點（不與點B，C重合）．過點D作DE∥AB交AC于點E；過點D作DF∥AC交AB于點F，N是線段BF上的點，BN＝2NF，M是線段DE上的點，DM＝2ME．若已知△CMN的面積，則一定能求出（）A．△AFE的面積B．△BDF的面積 C．△BCN的面積D．△DCE的面積7．（2023?江西）《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度．如圖，點A，B，Q在同一水平線上，∠ABC和∠AQP均為直角，AP與BC相交于點D．測得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，則樹高PQ＝m．8．（2023?懷化）在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等邊三角形，點A的坐標(biāo)為（1，0）．把△A0B按如圖所示的方式放置，并將△AOB進行變換：第一次變換將△AOB繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，同時邊長擴大為△AOB邊長的2倍，得到△A1OB1；第二次旋轉(zhuǎn)將△A1OB1繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，同時邊長擴大為△A1OB1邊長的2倍，得到△A2OB2，…．依次類推，得到△A2023OB2023，則△A2023OB2023的邊長為，點A2023的坐標(biāo)為．9．（2023?無錫）如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，AF與DE相交于點G，則DG：EG＝．10．（2023?廣東）邊長分別為10，6，4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為．11．（2023?常德）如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點，且AD＝2，過點D作DE∥BC交AC于E，將△ADE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．則圖2中的值為．12．（2023?湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高．（1）證明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的長．13．（2023?上海）如圖，在梯形ABCD中AD∥BC，點F，E分別在線段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．（1）求證：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求證：AF2＝BF?CE．14．（2023?泰安）如圖，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，EF⊥AD；（1）當(dāng)AF＝DF時，求∠AED；（2）求證：△EHG∽△ADG；（3）求證：．【中考模擬練】1．（2024?揭東區(qū)一模）如圖，正方形ABCD中，E為AB的中點，AF⊥DE于點O，則等于（）A． B． C． D．2．（2024?蕭縣一模）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點，且DE⊥EF，若，則＝（）A．1 B． C． D．3．（2024?平房區(qū)一模）如圖，DE∥BC，EF∥AB，AC分別交DE、EF于點G、K，下列結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．4．（2024?石獅市模擬）如圖，在△ABC中，點D在AB邊上，DE∥BC，交AC于點E．若，且△ABC的面積為9，則△ADE的面積為．5．（2024?交城縣一模）如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠C＝120°，AE⊥BC于點E，對角線BD交AE于點F，則AF的長為.6．（2024?黃浦區(qū)二模）如圖，D是等邊△ABC邊BC上點，BD：CD＝2：3，作AD的垂線交AB、AC分別于點E、F，那么AE：AF＝．7．（2024?東安縣一模）如圖，在△ABC中，D是AB上一點，連接CD，點E在CD上，連接BE，已知BD＝BE，且∠ACB＝∠BED．（1）求證：△BEC∽△CDA；（2）若BD＝4，DE＝3，BC＝5，求CE的長．8．（2024?開原市一模），如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，點F在AB上，連接CF并延長，交⊙O于點D，連接BD，作BE⊥CD，垂足為E．（1）求證：△DBE∽△ABC；（2）若AF＝2，求ED的長．9．（2024?涼州區(qū)校級一模）已知，如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，對角線AC、BD相交于點E，且AC⊥BD．（1）求證：CD2＝BC?AD；（2）點F是邊BC上一點，連接AF，與BD相交于點G，如果∠BAF＝∠DBF，求證：．10．（2024?惠城區(qū)模擬）把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C與E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．已知：∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝10cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速移動；當(dāng)點P移動到點B時，點P停止移動，△DEF也隨之停止移動．DE與AC交于點Q，連接PQ，設(shè)移動時間為t（s）．（1）用含t的代數(shù)式表示線段AP和AQ的長，并寫出t的取值范圍；（2）連接PE，設(shè)四邊形APEQ的面積為y（cm2），試探究y的最大值；（3）當(dāng)t為何值時，△APQ是等腰三角形．題型02相似三角形的應(yīng)用解題大招：相似三角形在實際生活中的應(yīng)用：建模思想：建立相似三角形的模型（二）常見題目類型：1.利用投影、平行線、標(biāo)桿等構(gòu)造相似三角形求解2.測量底部可以到達的物體的高度3.測量底部不可以到達的物體的高度4.測量河的寬度【中考真題練】1．如圖，不等臂蹺蹺板AB的一端A碰到地面時，另一端B到地面的高度為60cm；當(dāng)AB的一端B碰到地面時，另一端A到地面的高度為90cm，則蹺蹺板AB的支撐點O到地面的高度OH是（）A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm2．（2023?湖州）某數(shù)學(xué)興趣小組測量校園內(nèi)一棵樹的高度，采用以下方法：如圖，把支架（EF）放在離樹（AB）適當(dāng)距離的水平地面上的點F處，再把鏡子水平放在支架（EF）上的點E處，然后沿著直線BF后退至點D處，這時恰好在鏡子里看到樹的頂端A，再用皮尺分別測量BF，DF，EF，觀測者目高（CD）的長，利用測得的數(shù)據(jù)可以求出這棵樹的高度．已知CD⊥BD于點D，EF⊥BD于點F，AB⊥BD于點B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，則這棵樹的高度（AB的長）是米．3．（2023?濰坊）在《數(shù)書九章》（宋?秦九韶）中記載了一個測量塔高的問題：如圖所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿頂端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面內(nèi)，點A、C、E在一條水平直線上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人從點F遠眺塔頂B，視線恰好經(jīng)過竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據(jù)以上信息，塔的高度為米．4．（2023?攀枝花）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭縣拜寺口內(nèi)，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術(shù)珍品．某數(shù)學(xué)興趣小組決定采用我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對物體進行測量的原理，來測量東塔的高度．東塔的高度為AB，選取與塔底B在同一水平地面上的E、G兩點，分別垂直地面豎立兩根高為1.5m的標(biāo)桿EF和GH，兩標(biāo)桿間隔EG為46m，并且東塔AB、標(biāo)桿EF和GH在同一豎直平面內(nèi)．從標(biāo)桿EF后退2m到D處（即ED＝2m），從D處觀察A點，A、F、D在一直線上；從標(biāo)桿GH后退4m到C處（即CG＝4m），從C處觀察A點，A、H、C三點也在一直線上，且B、E、D、G、C在同一直線上，請你根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，幫助興趣小組求出東塔AB的高度．5．（2023?南京）如圖，玻璃桌面與地面平行，桌面上有一盞臺燈和一支鉛筆，點光源O與鉛筆AB所確定的平面垂直于桌面．在燈光照射下，AB在地面上形成的影子為CD（不計折射），AB∥CD．（1）在桌面上沿著AB方向平移鉛筆，試說明CD的長度不變．（2）桌面上一點P恰在點O的正下方，且OP＝36cm，PA＝18cm，AB＝18cm，桌面的高度為60cm．在點O與AB所確定的平面內(nèi)，將AB繞點A旋轉(zhuǎn)，使得CD的長度最大．①畫出此時AB所在位置的示意圖；②CD的長度的最大值為cm．【中考模擬練】1．（2024?劍河縣校級模擬）如圖①，是生活中常見的人字梯，也稱折梯，用于在平面上方空間進行工作的一類登高工具，因其使用時，左右的梯桿及地面構(gòu)成一個等腰三角形，看起來像一個“人”字，因而把它形象的稱為“人字梯”．如圖②，是其工作示意圖，AB＝AC，拉桿EF∥BC，AE＝，EF＝0.35米，則兩梯桿跨度B、C之間距離為（）A．2米 B．2.1米 C．2.5米 D．米2．（2024?甘井子區(qū)一模）《孫子算經(jīng)》有首數(shù)學(xué)歌謠，意思是：有一根竹竿不知道有多長，直立后量出它在太陽下的影子長一丈五尺，同時直立一根一尺五寸的小標(biāo)桿（如圖所示），它的影長五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），則竹竿的長為（）A．四丈 B．四丈五尺 C．五丈 D．五丈四尺3．（2024?應(yīng)縣一模）如圖，這是一把折疊椅子及其側(cè)面的示意圖，線段AE和BD相交于點C，點F在AE的延長線上，測得AC＝30cm，BC＝40cm，CD＝24cm，EC＝18cm，若∠BAC＝60°，則∠DEF的度數(shù)為（）A．120° B．125° C．130° D．135°4．（2024?深圳模擬）如圖是凸透鏡成像示意圖，CD是蠟燭AB通過凸透鏡MN所成的虛像．已知蠟燭的高AB為5.4cm，蠟燭AB離凸透鏡MN的水平距離OB為6cm，該凸透鏡的焦距OF為10cm，AE∥OF，則像CD的高為（）A．15cm B．14.4cm C．13.5cm D．9cm5．（2024?化德縣校級模擬）如圖，在測量旗桿高度的數(shù)學(xué)活動中，小達同學(xué)在腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到他剛好在鏡子中看到旗桿的頂部．若眼睛距離地面AB＝1.5米，同時量得BC＝2米，CD＝10米，則旗桿高度DE為（）A．7.5米 B．米 C．7米 D．9.5米6．（2024?新昌縣一模）如圖1是某一遮陽篷支架從閉合到完全展開的一個過程，當(dāng)遮陽篷支架完全閉合時，支架的若干支桿可看作共線．圖2是遮陽篷支架完全展開時的一個示意圖，支桿MN固定在垂直于地面的墻壁上，支桿CE與水平地面平行，且G，F(xiàn)，B三點共線，在支架展開過程中四邊形ABCD始終是平行四邊形，展開時∠GHB為90度．（1）若遮陽棚完全展開時，CE長2米，在與水平地面呈60°的太陽光照射下，CE在地面的影子有米（影子完全落在地面）．（2）長支桿與短支桿的長度比（即CE與AD的長度比）是．7．（2024?長沙模擬）如圖，在某小區(qū)內(nèi)拐角處的一段道路上，有一兒童在C處玩耍，一輛汽車從被樓房遮擋的拐角另一側(cè)的A處駛來（CM⊥DM，BD⊥DM，BC與DM相交于點O），已知OM＝4米，CO＝5米，DO＝3米，AO＝米，則汽車從A處前行的距離AB＝米時，才能發(fā)現(xiàn)C處的兒童．8．（2024?灞橋區(qū)校級模擬）如圖，為了估算河面的寬度，即EP的長，在離河岸D點2米遠的B點，立一根長為1米的標(biāo)桿AB，在河對岸的岸邊有一塊高為2.5米的安全警示牌MF，警示牌的頂端M在河里的倒影為點N，即PM＝PN，兩岸均高出水平面1.25米，即DE＝FP＝1.25米，經(jīng)測量此時A、D、N三點在同一直線上，并且點M、F、P、N共線，點B、D、F共線，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河寬EP是多少米？9．（2024?鄞州區(qū)模擬）國旗上的每顆星都是標(biāo)準(zhǔn)五角星，圓圓對五角星進行了較深入的研究：延長正五邊形的各邊直到不相鄰的邊相交，得到一個標(biāo)準(zhǔn)五角星．如圖，正五邊形ABCDE的邊BA、DE的延長線相交于點F，∠EAF的平分線交EF于點M．（1）求證：AE2＝EF?EM；（2）若AF＝1，求AE的長．題型03位似變換【中考真題練】1．（2023?浙江）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現(xiàn)以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點C′的坐標(biāo)是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）2．（2023?煙臺）如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個網(wǎng)格小正方形的邊長均為1個單位長度，以點P為位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點均在格點上，其中正方形PA1A2A3的頂點坐標(biāo)分別為P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），則頂點A100的坐標(biāo)為（）A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0）3．在方格圖中，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，格點△ABC、△DEF成位似關(guān)系，則位似中心的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（0，1） D．（1，0）4．（2023?鄂州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△A1B1C1位似，原點O是位似中心，且＝3．若A（9，3），則A1點的坐標(biāo)是．5．（2023?長春）如圖，△ABC和△A'B'C'是以點O為位似中心的位似圖形，點A在線段OA′上．若OA：AA′＝1：2，則△ABC與△A'B'C'的周長之比為．6．（2023?遼寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點坐標(biāo)分別是O（0，0），A（1，0），B（2，3），C（﹣1，2），若四邊形OA′B′C′與四邊形OABC關(guān)于原點O位似，且四邊形OA′B′C′的面積是四邊形OABC面積的4倍，則第一象限內(nèi)點B′的坐標(biāo)為．【中考模擬練】1．（2024?涼州區(qū)一模）如圖：△AOB與△A1OB1是以原點為位似中心的位似圖形，且位似比為1：3，點B的坐標(biāo)為（﹣1，2），則點B1的坐標(biāo)為（）A．（2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（3，﹣6） D．（3，6）2．（2024?鞍山模擬）如圖，正方形網(wǎng)格圖中的△ABC與△A′B′C是位似關(guān)系圖，則位似中心是（）A．點R B．點P C．點Q D．點O3．（2024?酒泉一模）如圖，四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′位似，點O是它們的位似中心，若OA：OA′＝2：3，則CD：C′D′的值為（）A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．4：94．（2024?鄲城縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為1：3，點A、B、E在x軸上，若正方形BEFG的邊長為3，則D點坐標(biāo)為（）A．（，1） B．（，1） C．（，） D．（，）5．（2023?新化縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點O在坐標(biāo)原點，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OA′B′C與矩形OABC關(guān)于點O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，那么點B′的坐標(biāo)是（）A．（3，2） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3）或（﹣2，﹣3） D．（3，2）或（﹣3，﹣2）6．（2024?新榮區(qū)一模）如圖，A是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上一點，點B、D在y軸正半軸上，△ABD是△COD關(guān)于點D的位似圖形，且△ABD與△COD的位似比是1：3，△ABD的面積為1，則該反比例函數(shù)的表達式為．考點三：相似形綜合相似三角形出綜合題時，經(jīng)常是相似的性質(zhì)與其他幾何圖形的綜合，特別是和其他如函數(shù)、特殊四邊形、圓等考點一起出題時，基本都是填空壓軸題和簡答題壓軸題。題型01相似形綜合題【中考真題練】1．（2023?德陽）如圖，⊙O的直徑AB＝10，DE是弦，AB⊥DE，＝，sin∠BAC＝，AD的延長線與CB的延長線相交于點F，DB的延長線與OE的延長線相交于點G，連接CG．下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（）①∠DBF＝3∠DAB；②CG是⊙O的切線；③B，E兩點間的距離是；④DF＝．A．1 B．2 C．3 D．42．（2023?黑龍江）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC上的動點，且AF⊥DE，垂足為G，將△ABF沿AF翻折，得到△AMF，AM交DE于點P，對角線BD交AF于點H，連接HM，CM，DM，BM，下列結(jié)論正確的是（）①AF＝DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，則四邊形BHMF是菱形；④當(dāng)點E運動到AB的中點，tan∠BHF＝2；⑤EP?DH＝2AG?BH．A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤3．（2023?衢州）下面是勾股定理的一種證明方法：圖1所示紙片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四邊形ACDE，CBFG是正方形．過點C，B將紙片CBFG分別沿與AB平行、垂直兩個方向剪裁成四部分，并與正方形ACDE，△ABC拼成圖2．（1）若cos∠ABC＝，△ABC的面積為16，則紙片Ⅲ的面積為．（2）若，則＝．4．（2023?日照）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點P在對角線BD上，過點P作MN⊥BD，交邊AD，BC于點M，N，過點M作ME⊥AD交BD于點E，連接EN，BM，DN．下列結(jié)論：①EM＝EN；②四邊形MBND的面積不變；③當(dāng)AM：MD＝1：2時，S△MPE＝；④BM+MN+ND的最小值是20．其中所有正確結(jié)論的序號是．5．（2023?武漢）問題提出如圖（1），E是菱形ABCD邊BC上一點，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于點G，探究∠GCF與α的數(shù)量關(guān)系．問題探究（1）先將問題特殊化，如圖（2），當(dāng)α＝90°時，直接寫出∠GCF的大??；（2）再探究一般情形，如圖（1），求∠GCF與α的數(shù)量關(guān)系．問題拓展將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)α＝120°時，若，求的值．6．（2023?福建）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB邊上不與A，B重合的一個定點．AO⊥BC于點O，交CD于點E．DF是由線段DC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，F(xiàn)D，CA的延長線相交于點M．（1）求證：△ADE∽△FMC；（2）求∠ABF的度數(shù)；（3）若N是AF的中點，如圖2，求證：ND＝NO．7．（2023?南京）在平面內(nèi)，將一個多邊形先繞自身的頂點A旋轉(zhuǎn)一個角度θ（0°＜θ＜180°），再將旋轉(zhuǎn)后的多邊形以點A為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為k，稱這種變換為自旋轉(zhuǎn)位似變換．若順時針旋轉(zhuǎn)，記作T（A，順θ，k）；若逆時針旋轉(zhuǎn)，記作T（A，逆θ，k）．例如：如圖①，先將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)50°，得到△A1BC1，再將△A1BC1以點B為位似中心縮小到原來的，得到△A2BC2，這個變換記作T（B，逆50°，）．（1）如圖②，△ABC經(jīng)過T（C，順60°，2）得到△A′B′C，用尺規(guī)作出△A′B′C．（保留作圖痕跡）（2）如圖③，△ABC經(jīng)過T（B，逆α，k1）得到△EBD，△ABC經(jīng)過T（C，順β，k2）得到△FDC，連接AE，AF．求證：四邊形AFDE是平行四邊形．（3）如圖④，在△ABC中，∠A＝150°，AB＝2，AC＝1．若△ABC經(jīng)過（2）中的變換得到的四邊形AFDE是正方形．Ⅰ．用尺規(guī)作出點D（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；Ⅱ．直接寫出AE的長．8．（2023?濟南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，點E在邊BC上，將射線AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，交CD延長線于點G，以線段AE，AG為鄰邊作矩形AEFG．（1）如圖1，連接BD，求∠BDC的度數(shù)和的值；（2）如圖2，當(dāng)點F在射線BD上時，求線段BE的長；（3）如圖3，當(dāng)EA＝EC時，在平面內(nèi)有一動點P，滿足PE＝EF，連接PA，PC，求PA+PC的最小值．【中考模擬練】1．（2024?浙江模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，在BC上取點F，使得CF＝CE，連結(jié)AF交CD于點G，連結(jié)AD．若CG＝GF，則的值等于（）A． B． C． D．2．如圖，已知在矩形ABCD中，M是AD邊的中點，BM與AC垂直，交直線AC于點N，連接DN，則下列四個結(jié)論中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD＝；④△AMN∽△CAB．正確的有（）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④3．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，E為AC邊上的中點，連接BE交AD于F，將△AFE沿著AC翻折到△AGE，恰好有GE∥AD，則下列結(jié)論：①四邊形AFEG為菱形；②2AE2＝BD?BC；③S△ABF＝S△CBF；④連接BG，．上述結(jié)論中正確的有．（填正確的序號）．4．三國時期魏國的數(shù)學(xué)家劉徽為古籍《九章算術(shù)》作注釋時提出了一個以形證數(shù)的勾股定理證明方法，可惜圖已失傳，只留下一段文字：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不動也，合成弦方之冪，開方除之，即弦也．”后人根據(jù)這段文字補了一張圖，如圖所示，大意是：Rt△ABC，以AB為邊的正方形ABDE為朱方，以BC為邊的正方形BCGF為青方，引AC為邊的正方形切割朱方和青方，多出的部分正好可以和弦方缺虧的部分相補．若，則＝．5．（2024?安徽模擬）問題情境：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD是邊AB上的高，點E為AC上一點，連接DE，過點D作DF⊥DE交BC于點F．猜想與證明：（1）如圖1，當(dāng)點E為邊AC的中點時，試判斷點F是否為邊BC的中點，并說明理由；（2）如圖2，連接EF，試判斷△DEF與△ABC是否相似，并說明理由；問題解決：（3）如圖3，當(dāng)CE＝CF時，試求線段CF的長．6．（2024?武侯區(qū)校級一模）（1）如圖1，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，過C作CD⊥AB交AB于點D，求證：CD2＝AD?BD；（2）如圖2，在菱形ABCD中，過C作CE⊥AB交AB的延長線于點E，過E作EF⊥AD交AD邊于點F．①若，求的值；②若（n＞2），直接寫出的值（用含n的式子表示）；（3）如圖3，在菱形ABCD中，∠A＝60°，點E在CD上，EC＝2且＝a，點F為BC上一點，連接EF，過E作EG⊥EF交AD于點G，EG?EF＝a，求AG的值（用含a的式子表示）．重難點03相似三角形考點一：比例學(xué)習(xí)比例、比例線段的性質(zhì)等知識是學(xué)習(xí)三角形相似的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)中考中很多省市也會把這個考點單獨出題考察，特別是黃金分割和平行線分線段成比例的基本性質(zhì)，都是經(jīng)常出現(xiàn)的小題，但這類題一般難度不大，掌握好易錯點，再仔細計算即可！題型01比例與比例線段易錯點：4個數(shù)成比例時，對應(yīng)數(shù)據(jù)可正可負；線段成比例時，對應(yīng)數(shù)據(jù)只能是正數(shù)，特別是比例中項的計算中，更要注意線段正負的問題；【中考真題練】1．若＝，則ab＝（）A．6 B． C．1 D．【分析】直接利用比例的性質(zhì)，內(nèi)項之積等于外項之積即可得出答案．【解答】解：∵＝，∴ab＝6．故選：A．2．（2023?甘孜州）若，則＝1．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵，∴＝﹣1＝2﹣1＝1．故答案為：1．3．小慧同學(xué)在學(xué)習(xí)了九年級上冊“4.1比例線段”3節(jié)課后，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容是一個逐步特殊化的過程，請在橫線上填寫適當(dāng)?shù)臄?shù)值，感受這種特殊化的學(xué)習(xí)過程．【分析】由＝2，得到a＝2c，因此＝，得到b＝c，故＝＝，＝＝，所以＝＝．【解答】解：當(dāng)＝2時，＝＝，理由如下：∵＝2，∴a＝2c，∴＝，∴b＝c，∴＝＝，＝＝，∴＝＝．故答案為：2．【中考模擬練】1．（2024?涼州區(qū)一模）下列各組數(shù)中，成比例的是（）A．1，﹣2，﹣3，﹣6 B．1，4，2，﹣8 C．5，6，2，3 D．，，1，【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)解決此題．【解答】解：A．由﹣2×（﹣3）≠1×（﹣6），得1，﹣2，﹣3，﹣6不成比例，故A不符合題意．B．由4×2≠1×（﹣8），得1，4，2，﹣8不成比例，故B不符合題意．C．由6×2≠5×3，得5，6，2，3不成比例，故C不符合題意．D．由，得，，1，成比例，故D符合題意．故選：D．2．（2024?汝南縣一模）如果2a＝5b，那么下列比例式中正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】利用比例的性質(zhì)對各選項進行判斷．【解答】解：∵2a＝5b，∴＝，＝．故選：C．3．（2023?望江縣模擬）下列各組中的四條線段成比例的是（）A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cm C．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm【分析】根據(jù)比例線段的定義和比例的性質(zhì)，利用每組數(shù)中最大和最小數(shù)的積與另兩個數(shù)之積是否相等進行判斷．【解答】解：A.3×9≠5×6，所以四條線段不成比例，故A選項不符合題意；B.3×9≠5×8，所以四條線段不成比例，故B選項不符合題意；C.3×30＝9×10，所以四條線段成比例，故C選項符合題意；D.3×9≠6×7，所以四條線段不成比例，故D選項不符合題意．故選：C．4．（2024?涼州區(qū)一模）已知＝，則＝．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，可得a、b間的關(guān)系，根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：由比例的性質(zhì)，得b＝a．＝＝＝＝，故答案為：．5．（2024?錦江區(qū)校級模擬）＝．【分析】依據(jù)比例基本性質(zhì)中的等比性質(zhì)，即可得到分式的值．【解答】解：∵＝＝＝，∴由等比性質(zhì)可得＝，故答案為：．6．（2024?山陽縣一模）如圖，在小提琴的設(shè)計中蘊含著數(shù)學(xué)知識，AC，BC，AB各部分長度滿足BC2＝AC?AB，若小提琴的總長度AB為59cm，則琴身BC的長為cm．【分析】把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．依據(jù)黃金分割的定義進行計算即可．【解答】解：∵BC2＝AC?AB，∴，∴BC＝×59＝．故答案為：．題型02黃金分割易錯點：一個線段的黃金分割點有2個，黃金分割比=，0.618是黃金分割比的近似值。題目中沒有要求時，一般都要用原值；【中考真題練】1．（2023?綿陽）黃金分割由于其美學(xué)性質(zhì)，受到攝影愛好者和藝術(shù)家的喜愛，攝影中有一種拍攝手法叫黃金構(gòu)圖法．其原理是：如圖，將正方形ABCD的底邊BC取中點E，以E為圓心，線段DE為半徑作圓，其與底邊BC的延長線交于點F，這樣就把正方形ABCD延伸為矩形ABFG，稱其為黃金矩形．若CF＝4a，則AB＝（）A．（﹣1）a B．（﹣2）a C．（+1）a D．（+2）a【分析】設(shè)AB＝x，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB＝BC＝x，然后根據(jù)黃金矩形的定義可得＝，從而可得＝，最后進行計算即可解答．【解答】解：設(shè)AB＝x，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝x，∵矩形ABFG是黃金矩形，∴＝，∴＝，解得：x＝（2+2）a，經(jīng)檢驗：x＝（2+2）a是原方程的根，∴AB＝（2+2）a，故選：D．2．（2023?濟南）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以點C為圓心，以BC為半徑作弧交AC于點D，再分別以B，D為圓心，以大于BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點P，作射線CP交AB于點E，連接DE．以下結(jié)論不正確的是（）A．∠BCE＝36° B．BC＝AE C． D．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝72°，再根據(jù)題意可得：CP平分∠ACB，從而可得∠BCE＝∠ACE＝36°，然后利用等量代換可得∠A＝∠ACE＝36°，從而可得AE＝CE，再利用三角形的外角性質(zhì)可得∠B＝∠CEB＝72°，從而可得CB＝CE，進而可得AE＝CE＝CB，最后根據(jù)黃金三角形的定義可得＝，從而可得＝，再利用三角形的面積可得＝＝，從而進行計算即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，由題意得：CP平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝36°，∴∠A＝∠ACE＝36°，∴AE＝CE，∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝72°，∴∠B＝∠CEB＝72°，∴CB＝CE，∴AE＝CE＝CB，∵△BCE是頂角為36°的等腰三角形，∴△BCE是黃金三角形，∴＝，∴＝，∴＝＝，∴＝＝，故A、B、D不符合題意，C符合題意；故選：C．3．（2023?達州）如圖，樂器上的一根弦AB＝80cm，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則支撐點C，D之間的距離為（80﹣160）cm．（結(jié)果保留根號）【分析】根據(jù)黃金分割的定義，進行計算即可解答．【解答】解：∵點C是靠近點B的黃金分割點，AB＝80cm，∴AC＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∵點D是靠近點A的黃金分割點，AB＝80cm，∴DB＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∴CD＝AC+BD﹣AB＝2（40﹣40）﹣80＝（80﹣160）cm，∴支撐點C，D之間的距離為（80﹣160）cm，故答案為：（80﹣160）．4．（2023?黃石）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，當(dāng)m＝1時，該方程的正根稱為黃金分割數(shù)．寬與長的比是黃金分割數(shù)的矩形叫做黃金矩形，希臘的巴特農(nóng)神廟采用的就是黃金矩形的設(shè)計；我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚的優(yōu)選法中也應(yīng)用到了黃金分割數(shù)．（1）求黃金分割數(shù)；（2）已知實數(shù)a，b滿足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值；（3）已知兩個不相等的實數(shù)p，q滿足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值．【分析】（1）依據(jù)題意，將m＝1代入然后解一元二次方程x2+x﹣1＝0即可得解；（2）依據(jù)題意，將b2﹣2mb＝4變形為（﹣）2+m?（﹣）﹣1＝0，從而可以看作a，﹣是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的兩個根，進而可以得解；（3）依據(jù)題意，將已知兩式相加減后得到，兩個關(guān)系式，從而求得pq，進而可以得解．【解答】解：（1）由題意，將m＝1代入x2+mx﹣1＝0得，x2+x﹣1＝0，∴x1，2＝＝．∵黃金分割數(shù)大于0，∴黃金分割數(shù)為．（2）∵b2﹣2mb＝4，∴b2﹣2mb﹣4＝0．∴（﹣）2+m?（﹣）﹣1＝0．又b≠﹣2a，∴a，﹣是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的兩個根．∴a?（﹣）＝﹣1．∴ab＝2．（3）由題意，令p2+np﹣1＝q①，q2+nq﹣1＝p②，∴①+②得，（p2+q2）+n（p+q）﹣2＝p+q，（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q．又①﹣②得，（p2﹣q2）+n（p﹣q）＝﹣（p﹣q），∵p，q為兩個不相等的實數(shù)，∴p﹣q≠0，∴（p+q）+n＝﹣1．∴p+q＝﹣n﹣1．又（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q．∴（﹣n﹣1）2﹣2pq+n（﹣n﹣1）﹣2＝﹣n﹣1．∴n2+2n+1﹣2pq﹣n2﹣n﹣2＝﹣n﹣1．∴pq＝n．∴pq﹣n＝0．【中考模擬練】1．（2024?東昌府區(qū)一模）如圖，線段AB上的點C滿足關(guān)系式：AC2＝BC?AB，且AB＝2，則AC的長為（）A．或 B． C． D．【分析】根據(jù)黃金分割的定義進行計算，即可解答．【解答】解：∵AC2＝BC?AB，∴點C是AB的黃金分割點，∴AC＝AB＝×2＝﹣1，故選：C．2．（2024?昆明模擬）黃金分割是一個跨越數(shù)學(xué)、自然、藝術(shù)和設(shè)計領(lǐng)域的概念，各個領(lǐng)域中無處不在．黃金分割是指將一個整體分為兩部分，其中較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，通常人們把這個數(shù)叫做黃金分割數(shù)．請估計的值在（）A．0和之間 B．和1之間 C．1和之間 D．和2之間【分析】由題意可知，因為，所以，所以，進而可得．即在和1之間．【解答】解：由題意可知，∵，∴，∴，∴．即在和1之間．故選：B．3．（2024?安州區(qū)二模）如圖，以線段AB為邊作正方形ABCD，取AD的中點E，連接BE，延長DA至F，使得EF＝BE，以AF為邊作正方形AFGH，則點H即是線段AB的黃金分割點．若記正方形AFGH的面積為S1，矩形HICB的面積為S2，則S1與S2的大小關(guān)系是（）A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．不能確定【分析】設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，根據(jù)勾股定理求出BE，求出EF，求出AF，再根據(jù)面積公式求出S1與S2即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EAB＝90°，設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，∵E為AD的中點，∴AE＝a，在Rt△EAB中，由勾股定理得：，∵EF＝BE，∴，∴，即，∴，，即S1＝S2，故選：C．4．（2024?大渡口區(qū)模擬）已知C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），則AC：AB＝（）A．﹣1）：2 B．+1）：2 C．）：2 D．）：2【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（）叫做黃金比．【解答】解：根據(jù)黃金分割的定義，知AC：AB＝（﹣1）：2．故選：A．5．（2024?高新區(qū)校級二模）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．秦兵馬俑被譽為“世界第八大奇跡”，兵馬俑的眼睛到下巴的距離與頭頂?shù)较掳偷木嚯x之比約為，若如圖所示的兵馬俑頭頂?shù)较掳偷木嚯x為0.3m，則該兵馬俑的眼睛到下巴的距離為m．【分析】設(shè)該兵馬俑的眼睛到下巴的距離為xm，根據(jù)題意可得：＝，然后進行計算即可解答．【解答】解：設(shè)該兵馬俑的眼睛到下巴的距離為xm，由題意得：＝，解得：x＝，∴該兵馬俑的眼睛到下巴的距離為m，故答案為：．題型03平行線分線段成比例【中考真題練】1．（2023?吉林）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，過點D作DE∥BC，交AC于點E．若AD＝2，BD＝3，則的值是（）A． B． C． D．【分析】由DE∥BC，利用平行線分線段成比例，可得出＝，再代入AD＝2，BD＝3，AB＝AD+BD，即可求出結(jié)論．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝＝＝．故選：A．2．（2023?常州）小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點：畫法圖形（1）以A為端點畫一條射線；（2）用圓規(guī)在射線上依次截取3條等長線段AC、CD、DE，連接BE；（3）過點C、D分別畫BE的平行線，交線段AB于點M、N．M、N就是線段AB的三等分點．這一畫圖過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A．兩直線平行，同位角相等 B．兩條平行線之間的距離處處相等 C．垂直于同一條直線的兩條直線平行 D．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可．【解答】解：∵CM∥DN∥BE，∴AC：CD：DE＝AM：MN：NB，∵AC＝CD＝DE，∴AM＝MN＝NB，∴這一畫圖過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例，故選：D．3．（2023?北京）如圖，直線AD，BC交于點O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，F(xiàn)D＝2，則的值為．【分析】根據(jù)題意求出AF，再根據(jù)平行線分線段成比例定理計算即可．【解答】解：∵AO＝2，OF＝1，∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，∵AB∥EF∥CD，∴＝＝，故答案為：．4．（2023?岳陽）如圖，在⊙O中，AB為直徑，BD為弦，點C為的中點，以點C為切點的切線與AB的延長線交于點E．（1）若∠A＝30°，AB＝6，則的長是π（結(jié)果保留π）；（2）若＝，則＝．【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理可得∠BOC＝60°，利用弧長公式即可求出的長；（2）連接OC，根據(jù)垂徑定理得到OC⊥BD，再由切線得到EC∥BD，利用平行線分線段成比例得出，再根據(jù)勾股求出EC＝2x，代入比例式即可解決問題．【解答】解：（1）如圖，連接OC，∵∠A＝30°，AB＝6，∴∠BOC＝60°，OB＝3，∴的長＝＝π；故答案為：π；（2）如圖，連接OC，∵點C為的中點，∴＝，∴OC⊥BD，又∵EC是⊙O的切線，∴OC⊥EC，∴EC∥BD，∵＝，∴，設(shè)EB＝x，則AB＝3x，BO＝OC＝x，EO＝x，AE＝4x，∴EC＝＝＝2x，∴＝＝．故答案為：．【中考模擬練】1．（2024?大渡口區(qū)模擬）如圖，AD∥BE∥CF，若DE＝7，DF＝21，AB＝6，則AC的長度是（）A．12 B．18 C．15 D．【分析】利用平行分線段成比例定理解決問題即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∴＝，∴AC＝18．故選：B．2．（2024?香坊區(qū)一模）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點，DE∥BC，EF∥AB，且BF：FC＝3：4，AB＝14，則EF的長為（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根據(jù)EF∥AB，可得＝＝，＝，根據(jù)比例的性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵EF∥AB，BF：FC＝3：4，∴＝＝，＝，∴＝，∴＝，∵AB＝14，∴EF＝8，故選：D．3．（2024?新安縣一模）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G，且DG＝2，DF＝10，＝，則AG的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．依據(jù)平行線分線段成比例定理，即可得出AG的長．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，又∵DG＝2，DF＝10，＝，∴＝，∴AG＝4．故選：C．4．（2024?沭陽縣模擬）如圖，在△ABC中，D在AC邊上，AD：DC＝1：2，O是BD的中點，連接AO并延長交BC于點E，若BE＝1，則EC的長為（）A．2 B．2.5 C．3 D．4【分析】過D點作DF∥CE交AE于F，如圖，先由DF∥BE，根據(jù)平行線分線段成比例得到DF＝BE＝3，再由DF∥CE得到比例式，然后利用比例的性質(zhì)求CE的長．【解答】解：過D點作DF∥CE交AE于F，如圖，∵DF∥BE，∴，∵O是BD的中點，∴OB＝OD，∴DF＝BE＝1，∵DF∥CE，∴，∵AD：DC＝1：2，∴AD：AC＝1：3，∴，∴CE＝3DF＝3×1＝3．故選：C．5．（2024?海寧市校級模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高線，點E，F(xiàn)分別在AC，CD上，且∠1＝∠2．（1）求證：AD∥EF．（2）當(dāng)CE：AE＝3：5，CF＝6時，求BC的長．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的三線合一得到BD＝DC，∠1＝∠CAD，根據(jù)同位角相等，兩直線平行證明EF∥AD；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計算求出DF，進而求出BC．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，AD是BC邊上的高線，∴BD＝DC，∠1＝∠CAD，∵∠1＝∠2，∴∠CAD＝∠2，∴EF∥AD；（2）解：∵EF∥AD，∴＝，∵CE：AE＝3：5，CF＝6，∴＝，解得：FD＝10，∴CD＝CF+DF＝10+6＝16，∴BC＝2CD＝32．考點二：相似三角形相似三角形是中考數(shù)學(xué)中非常重要的一個考點，出題難度跨度很大，當(dāng)然，單獨出題時，相似三角形的性質(zhì)、判定、應(yīng)用大多以基礎(chǔ)和中等題為主。題型01相似三角形的判定與性質(zhì)解題大招01：相似三角形性質(zhì)的主要應(yīng)用方向有：①求角的度數(shù)；②求或證明比值關(guān)系；③證線段等積式；④求面積或面積比；解題大招02：相似三角形的對應(yīng)邊成比例是求線段長度的重要方法，也是動點問題中得到函數(shù)關(guān)系式的重要手段；解題大招03：判定三角形相似的思路：（1）有平行截線——用平行線的性質(zhì)，找等角（2）有一對等角，找（3）有兩邊對應(yīng)成比例，找夾角相等（4）直角三角形，找（5）等腰三角形，找【中考真題練】1．（2023?重慶）若兩個相似三角形周長的比為1：4，則這兩個三角形對應(yīng)邊的比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形周長的比等于相似比，求解即可．【解答】解：∵兩個相似三角形周長的比為1：4，∴這兩個三角形對應(yīng)邊的比為1：4，故選：B．2．（2023?恩施州）如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AC，AB于點D，E，EF∥AC交BC于點F，，BF＝8，則DE的長為（）A． B． C．2 D．3【分析】由DE∥BC，EF∥AC，得四邊形EFCD是平行四邊形，DE＝CF，設(shè)DE＝CF＝x，由△AED∽△ABC，＝可得＝，即可解得答案．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AC，∴四邊形EFCD是平行四邊形，∴DE＝CF，設(shè)DE＝CF＝x，∵BF＝8，∴BC＝BF+CF＝8+x，∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，∴＝，即＝，解得x＝，故選：A．3．（2023?徐州）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D為AB的中點．若點E在邊AC上，且，則AE的長為（）A．1 B．2 C．1或 D．1或2【分析】由直角三角形的性質(zhì)可求AC＝2BC＝4，AB＝2，∠C＝60°，分兩種情況討論，由三角形中位線定理和相似三角形的性質(zhì)可求解．【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4，AB＝2，∠C＝60°，∵點D是AB的中點，∴AD＝，∵，∴DE＝1，如圖，當(dāng)∠ADE＝90°時，∵∠ADE＝∠ABC，，∴△ADE∽△ABC，∴，∴AE＝2，如圖，當(dāng)∠ADE≠90°時，取AC的中點H，連接DH，∵點D是AB中點，點H是AC的中點，∴DH∥BC，DH＝BC＝1，∴∠AHD＝∠C＝60°，DH＝DE＝1，∴∠DEH＝60°，∴∠ADE＝∠A＝30°，∴AE＝DE＝1，故選：D．4．如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是AD上一點，CF交BD于點E，CF的延長線交BA的延長線于點G，EF＝1，EC＝3，則GF的長為（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，于是推出△DEF∽△BEC，△DFC∽△AFG，先求出DF與BC的比值，繼而得出DF與AF的比值，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出GF的長．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，∵AD∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴，∵EF＝1，EC＝3，∴，即，∴，∵AB∥CD，∴△DFC∽△AFG，∴，∵EF＝1，EC＝3，∴CF＝4，∴，∴GF＝8，故選：C．5．（2023?德州）如圖，A，B，C，D是⊙O上的點，AB＝AD，AC與BD交于點E，AE＝3，EC＝5，BD＝4，⊙O的半徑為（）A．6 B． C．5 D．2【分析】連接DC，易得△ADE∽△ACD，即可求出AD，連接OA，由垂徑定理可得AO⊥BD，再根據(jù)勾股定理即可求解．【解答】解：連接DC，AO，OD，如圖：∵AB＝AD，∴∠ADE＝∠ACD，∴△ADE∽△ACD，∴，即，解得AD＝2，∵AB＝AD，即A是的中點，∴AO⊥BD，BH＝DH＝2，在Rt△ADH中，AH2＝AD2﹣DH2，∴AH＝＝2，∴OH＝OD﹣2，在Rt△ODH中，OD2＝OH2+DH2，∴OD2＝（OD﹣2）2+（2）2，解得OD＝6．故選：A．6．（2023?紹興）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點（不與點B，C重合）．過點D作DE∥AB交AC于點E；過點D作DF∥AC交AB于點F，N是線段BF上的點，BN＝2NF，M是線段DE上的點，DM＝2ME．若已知△CMN的面積，則一定能求出（）A．△AFE的面積B．△BDF的面積 C．△BCN的面積D．△DCE的面積【分析】如圖所示，連接ND，證明△FBD∽△EDC，得出＝，由已知得出，則，又∠NFD＝∠MEC，則△NFD∽△MEC，進而得出∠MCD＝∠NDB，可得MC∥ND，結(jié)合題意得出，即可求解．【解答】解：如圖所示，連接ND，∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠ECD＝∠FDB，∠FBD＝∠EDC，∠BFD＝∠A，∠A＝DEC．∴△FBD∽△EDC，∠NFD＝∠MEC．∴＝，∵DM＝2ME，BN＝2NF，∴，ME＝DE，∴∴，又∵∠NFD＝∠MEC，∴△NFD∽△MEC．∴∠ECM＝∠FDN．∵∠FDB＝∠ECD，∴∠MCD＝∠NDB．∴MC∥ND．∴S△MNC＝S△MDC．∵DM＝2ME，∴．故選：D．7．（2023?江西）《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度．如圖，點A，B，Q在同一水平線上，∠ABC和∠AQP均為直角，AP與BC相交于點D．測得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，則樹高PQ＝6m．【分析】根據(jù)題意可知：△ABC∽△AQP，從而可以得到，然后代入數(shù)據(jù)計算，即可得到PQ的長．【解答】解：由題意可得，BC∥PQ，AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，∴△ABD∽△AQP，∴，即，解得QP＝6，∴樹高PQ＝6m，故答案為：68．（2023?懷化）在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等邊三角形，點A的坐標(biāo)為（1，0）．把△A0B按如圖所示的方式放置，并將△AOB進行變換：第一次變換將△AOB繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，同時邊長擴大為△AOB邊長的2倍，得到△A1OB1；第二次旋轉(zhuǎn)將△A1OB1繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，同時邊長擴大為△A1OB1邊長的2倍，得到△A2OB2，…．依次類推，得到△A2023OB2023，則△A2023OB2023的邊長為22023，點A2023的坐標(biāo)為（22022，﹣22022×）．【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，探究規(guī)律后，利用規(guī)律解決問題．【解答】解：由題意OA＝1＝20，OA1＝2＝21，OA2＝4＝22，OA3＝8＝23，…OAn＝2n，∴△A2023OB2023的邊長為22023，∵2023÷6＝337…1，∴A2023與A1都在第四象限，坐標(biāo)為（22022，﹣22022×）．故答案為：22023，（22022，﹣22022×）．9．（2023?無錫）如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，AF與DE相交于點G，則DG：EG＝2：3．【分析】延長AF、BC交于點H，由平行四邊形的性質(zhì)及E、F分別為BC、CD的中點，得CB∥AD，BE＝CE，CF＝DF，則CB＝AD＝2CE，再證明△HCF∽△ADF，得＝＝1，則HC＝AD＝CB＝2CE，所以HE＝3CE，再證明△ADG∽△HEG，得＝＝，于是得到問題的答案．【解答】解：延長AF、BC交于點H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，E、F分別為BC、CD的中點，∴CB∥AD，BE＝CE，CF＝DF，∴CB＝AD＝2CE，∵HC∥AD，∴△HCF∽△ADF，∴＝＝1，∴HC＝AD＝CB＝2CE，∴HE＝HC+CE＝2CE+CE＝3CE，∵AD∥HE，∴△ADG∽△HEG，∴＝＝＝，∴DG：EG＝2：3，故答案為：2：3．10．（2023?廣東）邊長分別為10，6，4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為15．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面積公式計算即可．【解答】解：如圖，∵BF∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴＝，∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10，∴＝，∴BF＝2，∴GF＝6﹣2＝4，∵CK∥DE，∴△ACK∽△ADE，∴＝，∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10，∴＝，∴CK＝5，∴HK＝6﹣5＝1，∴陰影梯形的面積＝（HK+GF）?GH＝（1+4）×6＝15．故答案為：15．11．（2023?常德）如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點，且AD＝2，過點D作DE∥BC交AC于E，將△ADE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．則圖2中的值為．【分析】利用勾股定理求得線段AC的長度，利用平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DAB＝∠EAC，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到．【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴．∵將△ADE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，∴∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC，∴．故答案為：．12．（2023?湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高．（1）證明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的長．【分析】（1）根據(jù)已知條件得出∠BDA＝∠BAC，又∠B為公共角，于是得出△ABD∽△CBA；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出BD的長．【解答】（1）證明：∵AD是斜邊BC上的高，∴∠BDA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC，又∵∠B為公共角，∴△ABD∽△CBA；（2）解：由（1）知△ABD∽△CBA，∴，∴，∴BD＝3.6．13．（2023?上海）如圖，在梯形ABCD中AD∥BC，點F，E分別在線段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．（1）求證：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求證：AF2＝BF?CE．【分析】（1）證明△ACF≌△DAE（ASA），即可解決問題；（2）證明△ABF∽△CDE，得AF?DE＝BF?CE，結(jié)合（1）AF＝DE，即可解決問題．【解答】證明：（1）∵AD∥BC，∴∠ACF＝∠DAC∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD，∴△ACF≌△DAE（ASA），∴AF＝DE；（2）∵△ACF≌△DAE，∴∠AFC＝∠DEA，∴∠AFB＝∠DEC，∵∠ABC＝∠CDE，∴△ABF∽△CDE，∴＝，∴AF?DE＝BF?CE，∵AF＝DE，∴AF2＝BF?CE．14．（2023?泰安）如圖，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，EF⊥AD；（1）當(dāng)AF＝DF時，求∠AED；（2）求證：△EHG∽△ADG；（3）求證：．【分析】（1）可推出AC是ED的垂直平分線，從而得出AE＝AD，根據(jù)題意得出AE＝ED，從而得出△ADE是等邊三角形，從而得出結(jié)果；（2）可證得∠EGH＝∠AGD＝90°，∠DAG＝∠GEH，從而得出結(jié)論；（3）根據(jù)（2）得出比例式＝，進而得出＝，根據(jù)等比的性質(zhì)得出結(jié)論．【解答】（1）解：∵△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∴∠ECD＝90°，∠ACB＝45°，EC＝DC，∴∠ACD＝∠ECD﹣∠ACB＝90°﹣45°＝45°，∴AC垂直平分ED，∴AE＝AD，∵EF⊥AD，∴AE＝ED，∴AD＝AE＝ED，∴∠AED＝60°；（2）證明：由（1）得：AC⊥ED，∴∠AGD＝∠AGE＝90°，∵EF⊥AD，∴∠AFE＝90°，∴∠AGE＝∠AFE，∵∠EHG＝∠AHF，∴∠DAG＝∠GEH，∴△EHG∽△ADG；（3）證明：由（2）知：△EHG∽△ADG，∴＝，∵AD＝AE，∴，∵∠ECD＝90°，EG＝DG，∴CG＝EG＝DG，∴＝，∴．【中考模擬練】1．（2024?揭東區(qū)一模）如圖，正方形ABCD中，E為AB的中點，AF⊥DE于點O，則等于（）A． B． C． D．【分析】先證明△AOE∽△DOA，得出AO：DO＝AE：AD，再由AE＝AB＝AD，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠DAO+∠EAO＝90°，∵E為AB的中點，∴AE＝AB＝AD，∵AF⊥DE，∴∠AOE＝∠DOA＝90°，∴∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠EAO＝∠ADO，∴△AOE∽△DOA，∴．故選：A．2．（2024?蕭縣一模）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點，且DE⊥EF，若，則＝（）A．1 B． C． D．【分析】設(shè)BF＝a，則CF＝3a，證明△DEA∽△EFB，推出AE?BE＝4a2，設(shè)AE＝x，則BE＝4a﹣x，構(gòu)建一元二次方程，解方程即可求解．【解答】解：∵，∴設(shè)BF＝a，則CF＝3a，∴AD＝AB＝BC＝4a，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠DEA＝90°﹣∠FEB＝∠EFB，∴△DEA∽△EFB，∴，即，∴AE?BE＝4a2，∵AE+BE＝4a，設(shè)AE＝x，則BE＝4a﹣x，∴x（4a﹣x）＝4a2，整理得（x﹣2a）2＝0，解得x＝2a，∴AE＝2a，BE＝2a，∴，故選：A．3．（2024?平房區(qū)一模）如圖，DE∥BC，EF∥AB，AC分別交DE、EF于點G、K，下列結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．【分析】利用平行線分線段成比例定理，平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)對每個選項進行判斷即可．【解答】解：A．∵DE∥BC，∴＝，故本選項正確，不符合題意；B．∵EF∥AB，∴△ADG∽△KEG，∴＝，故本選項錯誤，符合題意；C∵EF∥AB，∴△ADG∽△KEG，∴＝，故本選項正確，不符合題意；D．∵DE∥BC，∴△GEK∽△CFK，，故本選項正確，不符合題意，故選：B．4．（2024?石獅市模擬）如圖，在△ABC中，點D在AB邊上，DE∥BC，交AC于點E．若，且△ABC的面積為9，則△ADE的面積為1．【分析】根據(jù)DE∥BC，可以求證△ADE∽△ABC，即可求得△ADE與△ABC面積的比值，即可解題．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC且相似比為1；3，∴△ADE與△ABC的面積比為，∵△ABC的面積為9，∴△ADE的面積為1，故答案為：1．5．（2024?交城縣一模）如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠C＝120°，AE⊥BC于點E，對角線BD交AE于點F，則AF的長為.【分析】由已知條件和菱形的性質(zhì)易求AE和BE的長，易證△ADF∽△EBF，由相似三角形的性質(zhì)即可求出AF的長．【解答】解：∵在菱形ABCD中，AB＝4，∠C＝120°，∴AD＝AB＝4，∠ABE＝60°，AD∥BC，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB＝2，∴AE＝＝2，∵AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，∴＝，設(shè)AF＝x，則＝，解得：x＝，∴AF＝，故答案為：．6．（2024?黃浦區(qū)二模）如圖，D是等邊△ABC邊BC上點，BD：CD＝2：3，作AD的垂線交AB、AC分別于點E、F，那么AE：AF＝．【分析】過點D作GD⊥AD，交AB于點G，交AC的延長線于點H，DM⊥AB于點M，DN⊥AC于點N，設(shè)BD＝2m，則CD＝3m，BC＝5m，利用等邊三角形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理表示出線段BM，CN，DM，DN的長度，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得線段AG，AH的長度，最后利用平行線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．【解答】解：過點D作GD⊥AD，交AB于點G，交AC的延長線于點H，DM⊥AB于點M，DN⊥AC于點N，如圖，∵BD：CD＝2：3，∴設(shè)BD＝2m，則CD＝3m，∴BC＝5m．∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC＝BC＝5m，∠B＝∠ACB＝60°，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠BDM＝NCD＝30°，∴BM＝BD＝m，CN＝CD＝m，∴DM＝m，DN＝m．∴AM＝AB﹣BM＝4m，AN＝AC﹣CN＝m．∴AD＝＝m．∵AD⊥DG，DM⊥AB，∴△AMD∽△ADG，∴．∴AG＝＝m．同理：△ADN∽△AHD，∴，∴AH＝m．∵EF⊥AD，GH⊥AD，∴EF∥GH，∴△AEF∽△AGH，∴＝．故答案為：．7．（2024?東安縣一模）如圖，在△ABC中，D是AB上一點，連接CD，點E在CD上，連接BE，已知BD＝BE，且∠ACB＝∠BED．（1）求證：△BEC∽△CDA；（2）若BD＝4，DE＝3，BC＝5，求CE的長．【分析】（1）先根據(jù)等邊對等角得到∠BDE＝∠BED，則可證明∠BEC＝∠ADC，再證明∠EBC＝∠ACD，即可證明△BEC∽△CDA；（2）先證明△CBD∽△ABC，求出AB＝，進而得到AD＝，由（1）得＝，即＝，解之即可得到答案．【解答】（1）證明：∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED，∵∠BDE+∠ADC＝180°＝∠BED+BEC，∴∠BEC＝∠ADC，∵∠ACB＝∠BED，∠BED＝∠EB