高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布列 課時達(dá)標(biāo)檢測（五十六）離散型隨機變量的分布列、均值與方差 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

課時達(dá)標(biāo)檢測（五十六）離散型隨機變量的分布列、均值與方差[一般難度題——全員必做]1．某同學(xué)在籃球場上進(jìn)行投籃訓(xùn)練，先投“2分的籃”2次，每次投中的概率為eq\f(4,5)，每投中一次得2分，不中得0分；再投“3分的籃”1次，投中的概率為eq\f(2,3)，投中得3分，不中得0分．該同學(xué)每次投籃的結(jié)果相互獨立，假設(shè)該同學(xué)要完成以上3次投籃．(1)求該同學(xué)恰有2次投中的概率；(2)求該同學(xué)所得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：(1)由題可知總共有3次投籃，每次投不中記為0，投中記為1，共有23＝8種情況，其中恰有2次投中的有(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，共3種情況，其發(fā)生的概率為P＝eq\f(4,5)×eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\f(4,5)×eq\f(2,3)＝eq\f(32,75).(2)由題可知得分共有6種情況，X的所有可能取值為0,2,3,4,5,7.X＝0的情況為(0,0,0)，P(X＝0)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,5)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,75)；X＝2的情況為(1,0,0)，(0,1,0)，P(X＝2)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,5)×eq\f(1,3)×2＝eq\f(8,75)；X＝3的情況為(0,0,1)，P(X＝3)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,5)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,75)；X＝4的情況為(1,1,0)，P(X＝4)＝eq\f(4,5)×eq\f(4,5)×eq\f(1,3)＝eq\f(16,75)；X＝5的情況為(1,0,1)(0,1,1)，P(X＝5)＝2×eq\f(1,5)×eq\f(4,5)×eq\f(2,3)＝eq\f(16,75)；X＝7的情況為(1,1,1)，P(X＝7)＝eq\f(4,5)×eq\f(4,5)×eq\f(2,3)＝eq\f(32,75).∴得分X的分布列為X023457Peq\f(1,75)eq\f(8,75)eq\f(2,75)eq\f(16,75)eq\f(16,75)eq\f(32,75)E(X)＝0×eq\f(1,75)＋2×eq\f(8,75)＋3×eq\f(2,75)＋4×eq\f(16,75)＋5×eq\f(16,75)＋7×eq\f(32,75)＝eq\f(26,5).2．為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加．現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名．從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽．(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的分布列及均值E(X)．解：(1)由已知得，P(A)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,3)C\o\al(2,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(6,35).所以事件A發(fā)生的概率為eq\f(6,35).(2)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,5)C\o\al(4－k,3),C\o\al(4,8))(k＝1,2,3,4)．所以，隨機變量X的分布列為X1234Peq\f(1,14)eq\f(3,7)eq\f(3,7)eq\f(1,14)E(X)＝1×eq\f(1,14)＋2×eq\f(3,7)＋3×eq\f(3,7)＋4×eq\f(1,14)＝eq\f(5,2).3．(2018·湖南湘中名校聯(lián)考)某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)ξ的分布列為ξ12345P0.40.20.20.10.1商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元．η表示經(jīng)銷一件該商品的利潤．(1)求事件A：“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求η的分布列及期望E(η)．解：(1)由A表示事件“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”，可得eq\o(A,\s\up6(－))表示事件“購買該商品的3位顧客中，無人采用1期付款”．又P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝(1－0.4)3＝0.216，故P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－0.216＝0.784.(2)η的可能取值為200,250,300.P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2.η的分布列為η200250300P0.40.40.2E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240.[中檔難度題——學(xué)優(yōu)生做]1．拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻且六個面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6的正方體，記上底面上的數(shù)字分別為x，y.若[a]表示a的整數(shù)部分，如：[2.6]＝2，設(shè)ξ為隨機變量，且ξ＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(\f(x,y)))).(1)求P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其均值E(ξ)．解：(1)依題意，實數(shù)對(x，y)共有36種情況，使ξ＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(\f(x,y))))＝0的實數(shù)對(x，y)有以下15種情況：(1,2)，(1,3)，(2,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，(5,6)，所以P(ξ＝0)＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).(2)隨機變量ξ的所有可能取值為0,1,2.ξ＝1的情況有以下18種：(1,1)，(2,1)，(3,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(6,6)，所以P(ξ＝1)＝eq\f(18,36)＝eq\f(1,2).ξ＝2的情況有以下3種：(4,1)，(5,1)，(6,1)，所以P(ξ＝2)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).所以ξ的分布列為ξ012Peq\f(5,12)eq\f(1,2)eq\f(1,12)均值E(ξ)＝0×eq\f(5,12)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,12)＝eq\f(2,3).2．(2018·合肥質(zhì)檢)某公司在迎新年晚會上舉行抽獎活動，有甲、乙兩個抽獎方案供員工選擇．方案甲：員工最多有兩次抽獎機會，每次抽獎的中獎率均為eq\f(4,5).第一次抽獎，若未中獎，則抽獎結(jié)束．若中獎，則通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，決定是否繼續(xù)進(jìn)行第二次抽獎．規(guī)定：若拋出硬幣，反面朝上，員工則獲得500元獎金，不進(jìn)行第二次抽獎；若正面朝上，員工則須進(jìn)行第二次抽獎，且在第二次抽獎中，若中獎，則獲得獎金1000元；若未中獎，則所獲得的獎金為0元．方案乙：員工連續(xù)三次抽獎，每次中獎率均為eq\f(2,5)，每次中獎均可獲得獎金400元．(1)求某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎所獲獎金X(元)的分布列；(2)試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進(jìn)行抽獎，哪個方案更劃算？解：(1)所獲資金X的所有可能取值為0,500,1000.P(X＝0)＝eq\f(1,5)＋eq\f(4,5)×eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＝eq\f(7,25)，P(X＝500)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,5)，P(X＝1000)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,25)，∴某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎所獲獎金X(元)的分布列為X05001000Peq\f(7,25)eq\f(2,5)eq\f(8,25)(2)由(1)可知，選擇方案甲進(jìn)行抽獎所獲獎金X的期望E(X)＝500×eq\f(2,5)＋1000×eq\f(8,25)＝520，若選擇方案乙進(jìn)行抽獎，中獎次數(shù)ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,5)))，則E(ξ)＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5)，抽獎所獲獎金X的期望E(X)＝400E(ξ)＝480，故選擇方案甲較劃算．[較高難度題——學(xué)霸做]1．某牛奶廠要將一批牛奶用汽車從所在城市甲運至城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，且運費由廠商承擔(dān)．若廠商恰能在約定日期(×月×日)將牛奶送到，則城市乙的銷售商一次性支付給牛奶廠20萬元；若在約定日期前送到，每提前一天銷售商將多支付給牛奶廠1萬元；若在約定日期后送到，每遲到一天銷售商將少支付給牛奶廠1萬元．為保證牛奶新鮮度，汽車只能在約定日期的前兩天出發(fā)，且只能選擇其中的一條公路運送牛奶，已知下表內(nèi)的信息：統(tǒng)計信息汽車行駛路線在不堵車的情況下到達(dá)城市乙所需時間(天)在堵車的情況下到達(dá)城市乙所需時間(天)堵車的概率運費(萬元)公路123eq\f(1,10)1.6公路214eq\f(1,2)0.8(1)記汽車選擇公路1運送牛奶時牛奶廠獲得的毛收入為ξ(單位：萬元)，求ξ的分布列和均值E(ξ)；(2)選擇哪條公路運送牛奶有可能讓牛奶廠獲得的毛收入更多？(注：毛收入＝銷售商支付給牛奶廠的費用－運費)解：(1)若汽車走公路1，不堵車時牛奶廠獲得的毛收入ξ＝20－1.6＝18.4(萬元)；堵車時牛奶廠獲得的毛收入ξ＝20－1.6－1＝17.4(萬元)，∴汽車走公路1時牛奶廠獲得的毛收入ξ的分布列為ξ18.417.4Peq\f(9,10)eq\f(1,10)E(ξ)＝18.4×eq\f(9,10)＋17.4×eq\f(1,10)＝18.3(萬元)．(2)設(shè)汽車走公路2時牛奶廠獲得的毛收入為η，則不堵車時牛奶廠獲得的毛收入η＝20－0.8＋1＝20.2(萬元)；堵車時牛奶廠獲得的毛收入η＝20－0.8－2＝17.2(萬元)．∴汽車走公路2時牛奶廠獲得的毛收入η的分布列為η20.217.2Peq\f(1,2)eq\f(1,2)E(η)＝20.2×eq\f(1,2)＋17.2×eq\f(1,2)＝18.7(萬元)．∵E(ξ)<E(η)，∴選擇公路2運送牛奶有可能讓牛奶廠獲得的毛收入更多．2．(2017·江蘇高考)已知一個口袋中有m個白球，n個黑球(m，n∈N*，n≥2)，這些球除顏色外完全相同．現(xiàn)將口袋中的球隨機地逐個取出，并放入如圖所示的編號為1,2,3，…，m＋n的抽屜內(nèi)，其中第k次取出的球放入編號為k的抽屜(k＝1,2,3，…，m＋n).123…m＋n(1)試求編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p；(2)隨機變量X表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)，E(X)是X的數(shù)學(xué)期望，證明：E(X)<eq\f(n,m＋nn－1).解：(1)編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p為：p＝eq\f(C\o\al(n－1,m＋n－1),C\o\al(n,m＋n))＝eq\f(n,m＋n).(2)證明：隨機變量X的概