高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布列 課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)(五十六)離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題_第1頁(yè)
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布列 課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)(五十六)離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題_第2頁(yè)
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課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)(五十六)離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差[一般難度題——全員必做]1.某同學(xué)在籃球場(chǎng)上進(jìn)行投籃訓(xùn)練,先投“2分的籃”2次,每次投中的概率為eq\f(4,5),每投中一次得2分,不中得0分;再投“3分的籃”1次,投中的概率為eq\f(2,3),投中得3分,不中得0分.該同學(xué)每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立,假設(shè)該同學(xué)要完成以上3次投籃.(1)求該同學(xué)恰有2次投中的概率;(2)求該同學(xué)所得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解:(1)由題可知總共有3次投籃,每次投不中記為0,投中記為1,共有23=8種情況,其中恰有2次投中的有(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),共3種情況,其發(fā)生的概率為P=eq\f(4,5)×eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(2,3)))+eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(4,5)))×eq\f(2,3)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(4,5)))×eq\f(4,5)×eq\f(2,3)=eq\f(32,75).(2)由題可知得分共有6種情況,X的所有可能取值為0,2,3,4,5,7.X=0的情況為(0,0,0),P(X=0)=eq\f(1,5)×eq\f(1,5)×eq\f(1,3)=eq\f(1,75);X=2的情況為(1,0,0),(0,1,0),P(X=2)=eq\f(4,5)×eq\f(1,5)×eq\f(1,3)×2=eq\f(8,75);X=3的情況為(0,0,1),P(X=3)=eq\f(1,5)×eq\f(1,5)×eq\f(2,3)=eq\f(2,75);X=4的情況為(1,1,0),P(X=4)=eq\f(4,5)×eq\f(4,5)×eq\f(1,3)=eq\f(16,75);X=5的情況為(1,0,1)(0,1,1),P(X=5)=2×eq\f(1,5)×eq\f(4,5)×eq\f(2,3)=eq\f(16,75);X=7的情況為(1,1,1),P(X=7)=eq\f(4,5)×eq\f(4,5)×eq\f(2,3)=eq\f(32,75).∴得分X的分布列為X023457Peq\f(1,75)eq\f(8,75)eq\f(2,75)eq\f(16,75)eq\f(16,75)eq\f(32,75)E(X)=0×eq\f(1,75)+2×eq\f(8,75)+3×eq\f(2,75)+4×eq\f(16,75)+5×eq\f(16,75)+7×eq\f(32,75)=eq\f(26,5).2.為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名,其中種子選手2名;乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名,其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來自同一個(gè)協(xié)會(huì)”,求事件A發(fā)生的概率;(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列及均值E(X).解:(1)由已知得,P(A)=eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,3)+C\o\al(2,3)C\o\al(2,3),C\o\al(4,8))=eq\f(6,35).所以事件A發(fā)生的概率為eq\f(6,35).(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(X=k)=eq\f(C\o\al(k,5)C\o\al(4-k,3),C\o\al(4,8))(k=1,2,3,4).所以,隨機(jī)變量X的分布列為X1234Peq\f(1,14)eq\f(3,7)eq\f(3,7)eq\f(1,14)E(X)=1×eq\f(1,14)+2×eq\f(3,7)+3×eq\f(3,7)+4×eq\f(1,14)=eq\f(5,2).3.(2018·湖南湘中名校聯(lián)考)某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品,根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì),顧客采用的付款期數(shù)ξ的分布列為ξ12345P0.40.20.20.10.1商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品,采用1期付款,其利潤(rùn)為200元;分2期或3期付款,其利潤(rùn)為250元;分4期或5期付款,其利潤(rùn)為300元.η表示經(jīng)銷一件該商品的利潤(rùn).(1)求事件A:“購(gòu)買該商品的3位顧客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);(2)求η的分布列及期望E(η).解:(1)由A表示事件“購(gòu)買該商品的3位顧客中,至少有1位采用1期付款”,可得eq\o(A,\s\up6(-))表示事件“購(gòu)買該商品的3位顧客中,無人采用1期付款”.又P(eq\o(A,\s\up6(-)))=(1-0.4)3=0.216,故P(A)=1-P(eq\o(A,\s\up6(-)))=1-0.216=0.784.(2)η的可能取值為200,250,300.P(η=200)=P(ξ=1)=0.4,P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4,P(η=300)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.1+0.1=0.2.η的分布列為η200250300P0.40.40.2E(η)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240.[中檔難度題——學(xué)優(yōu)生做]1.拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻且六個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6的正方體,記上底面上的數(shù)字分別為x,y.若[a]表示a的整數(shù)部分,如:[2.6]=2,設(shè)ξ為隨機(jī)變量,且ξ=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(\f(x,y)))).(1)求P(ξ=0);(2)求ξ的分布列,并求其均值E(ξ).解:(1)依題意,實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)共有36種情況,使ξ=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(\f(x,y))))=0的實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)有以下15種情況:(1,2),(1,3),(2,3),(1,4),(2,4),(3,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),所以P(ξ=0)=eq\f(15,36)=eq\f(5,12).(2)隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為0,1,2.ξ=1的情況有以下18種:(1,1),(2,1),(3,1),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3),(4,4),(5,4),(6,4),(5,5),(6,5),(6,6),所以P(ξ=1)=eq\f(18,36)=eq\f(1,2).ξ=2的情況有以下3種:(4,1),(5,1),(6,1),所以P(ξ=2)=eq\f(3,36)=eq\f(1,12).所以ξ的分布列為ξ012Peq\f(5,12)eq\f(1,2)eq\f(1,12)均值E(ξ)=0×eq\f(5,12)+1×eq\f(1,2)+2×eq\f(1,12)=eq\f(2,3).2.(2018·合肥質(zhì)檢)某公司在迎新年晚會(huì)上舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng),有甲、乙兩個(gè)抽獎(jiǎng)方案供員工選擇.方案甲:?jiǎn)T工最多有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),每次抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率均為eq\f(4,5).第一次抽獎(jiǎng),若未中獎(jiǎng),則抽獎(jiǎng)結(jié)束.若中獎(jiǎng),則通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣,決定是否繼續(xù)進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng).規(guī)定:若拋出硬幣,反面朝上,員工則獲得500元獎(jiǎng)金,不進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng);若正面朝上,員工則須進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng),且在第二次抽獎(jiǎng)中,若中獎(jiǎng),則獲得獎(jiǎng)金1000元;若未中獎(jiǎng),則所獲得的獎(jiǎng)金為0元.方案乙:?jiǎn)T工連續(xù)三次抽獎(jiǎng),每次中獎(jiǎng)率均為eq\f(2,5),每次中獎(jiǎng)均可獲得獎(jiǎng)金400元.(1)求某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X(元)的分布列;(2)試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng),哪個(gè)方案更劃算?解:(1)所獲資金X的所有可能取值為0,500,1000.P(X=0)=eq\f(1,5)+eq\f(4,5)×eq\f(1,2)×eq\f(1,5)=eq\f(7,25),P(X=500)=eq\f(4,5)×eq\f(1,2)=eq\f(2,5),P(X=1000)=eq\f(4,5)×eq\f(1,2)×eq\f(4,5)=eq\f(8,25),∴某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X(元)的分布列為X05001000Peq\f(7,25)eq\f(2,5)eq\f(8,25)(2)由(1)可知,選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X的期望E(X)=500×eq\f(2,5)+1000×eq\f(8,25)=520,若選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng),中獎(jiǎng)次數(shù)ξ~Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3,\f(2,5))),則E(ξ)=3×eq\f(2,5)=eq\f(6,5),抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X的期望E(X)=400E(ξ)=480,故選擇方案甲較劃算.[較高難度題——學(xué)霸做]1.某牛奶廠要將一批牛奶用汽車從所在城市甲運(yùn)至城市乙,已知從城市甲到城市乙只有兩條公路,且運(yùn)費(fèi)由廠商承擔(dān).若廠商恰能在約定日期(×月×日)將牛奶送到,則城市乙的銷售商一次性支付給牛奶廠20萬(wàn)元;若在約定日期前送到,每提前一天銷售商將多支付給牛奶廠1萬(wàn)元;若在約定日期后送到,每遲到一天銷售商將少支付給牛奶廠1萬(wàn)元.為保證牛奶新鮮度,汽車只能在約定日期的前兩天出發(fā),且只能選擇其中的一條公路運(yùn)送牛奶,已知下表內(nèi)的信息:統(tǒng)計(jì)信息汽車行駛路線在不堵車的情況下到達(dá)城市乙所需時(shí)間(天)在堵車的情況下到達(dá)城市乙所需時(shí)間(天)堵車的概率運(yùn)費(fèi)(萬(wàn)元)公路123eq\f(1,10)1.6公路214eq\f(1,2)0.8(1)記汽車選擇公路1運(yùn)送牛奶時(shí)牛奶廠獲得的毛收入為ξ(單位:萬(wàn)元),求ξ的分布列和均值E(ξ);(2)選擇哪條公路運(yùn)送牛奶有可能讓牛奶廠獲得的毛收入更多?(注:毛收入=銷售商支付給牛奶廠的費(fèi)用-運(yùn)費(fèi))解:(1)若汽車走公路1,不堵車時(shí)牛奶廠獲得的毛收入ξ=20-1.6=18.4(萬(wàn)元);堵車時(shí)牛奶廠獲得的毛收入ξ=20-1.6-1=17.4(萬(wàn)元),∴汽車走公路1時(shí)牛奶廠獲得的毛收入ξ的分布列為ξ18.417.4Peq\f(9,10)eq\f(1,10)E(ξ)=18.4×eq\f(9,10)+17.4×eq\f(1,10)=18.3(萬(wàn)元).(2)設(shè)汽車走公路2時(shí)牛奶廠獲得的毛收入為η,則不堵車時(shí)牛奶廠獲得的毛收入η=20-0.8+1=20.2(萬(wàn)元);堵車時(shí)牛奶廠獲得的毛收入η=20-0.8-2=17.2(萬(wàn)元).∴汽車走公路2時(shí)牛奶廠獲得的毛收入η的分布列為η20.217.2Peq\f(1,2)eq\f(1,2)E(η)=20.2×eq\f(1,2)+17.2×eq\f(1,2)=18.7(萬(wàn)元).∵E(ξ)<E(η),∴選擇公路2運(yùn)送牛奶有可能讓牛奶廠獲得的毛收入更多.2.(2017·江蘇高考)已知一個(gè)口袋中有m個(gè)白球,n個(gè)黑球(m,n∈N*,n≥2),這些球除顏色外完全相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)地逐個(gè)取出,并放入如圖所示的編號(hào)為1,2,3,…,m+n的抽屜內(nèi),其中第k次取出的球放入編號(hào)為k的抽屜(k=1,2,3,…,m+n).123…m+n(1)試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p;(2)隨機(jī)變量X表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù),E(X)是X的數(shù)學(xué)期望,證明:E(X)<eq\f(n,m+nn-1).解:(1)編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p為:p=eq\f(C\o\al(n-1,m+n-1),C\o\al(n,m+n))=eq\f(n,m+n).(2)證明:隨機(jī)變量X的概

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