蘇教版2019版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第13章立體幾何初步知識點清單

蘇教版2019版高中數(shù)學(xué)必修第二冊

第13章立體幾何初步知識點清單

目錄

第13章立體幾何初步

13.1基本立體圖形

13.2基本圖形位置關(guān)系

13.3空間圖形的表面積和體積

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第13章立體幾何初步

13.1基本立體圖形

13.1.1棱柱、棱錐和棱臺

一、棱柱

1.棱柱的相關(guān)概念

名稱定義圖形及表示相關(guān)概念

E'D'

底面：平移起止位置的兩個

一般地，由一個平面

面；

多邊形沿某一方向

棱柱側(cè)面多邊形的邊平移所形成

平移形成的空間圖

'A2T頂點的面；

形叫作棱柱

圖中的六棱柱可記作側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊

棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'

2.棱柱的分類

按底面多邊形的邊數(shù)來分，底面為三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別

稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱……

3.棱柱的特點

棱柱的兩個底面是全等的多邊形，且對應(yīng)邊互相平行，側(cè)面都是平行四邊形.

二、棱錐

1.棱錐的相關(guān)概念

名稱定義圖形及表示相關(guān)概念

親頂點

底面：多邊形；

當(dāng)棱柱的一個底面收側(cè)面有一個公共頂點的三角形

棱錐縮為一個點時，得到的/\媲面?zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊；

空間圖形叫作棱錐AR頂點：由棱柱的一個底面收縮而

圖中的四棱錐可記作成

棱錐S-ABCD

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2.棱錐的分類：按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐……

3.棱錐的特點：棱錐的底面是多邊形，側(cè)面是有一個公共頂點的三角形.

三、棱臺

1.棱臺的相關(guān)概念

名稱定義圖形及表示相關(guān)概念

/八、

上底面：平行于棱錐底面的截面；

用一個平行于棱錐底4%彩g上底面

下底面：原棱錐的底面；

面的平面去截棱錐，春/皿容側(cè)棱

棱臺側(cè)面：其余各面；

截面和底面之間的部

卜U下底面?zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊；

分稱之為棱臺‘頂點

圖中的四棱臺可記作頂點：側(cè)棱與上、下底面的公共點

棱臺ABCD-A'B'C'D'

2.棱臺的分類

由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別叫作三棱臺、四棱臺、五棱臺

四、多面體

名稱定義圖形相關(guān)概念

E

由若干個平面多邊面：圍成多面體的各個多邊形；

多面體形圍成的空間圖形棱：相鄰兩個面的公共邊；

叫作多面體頂點：棱與棱的公共點

*

五、如何確定多面體的截面

1.平行于底面的截面：

⑴用一個平行于棱柱底面的平面去截棱柱，得到的截面與底面全等.

⑵用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，得到的截面與底面相似.

⑶用一個平行于棱臺底面的平面去截棱臺，得到的截面與兩個底面都相似.

2.經(jīng)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面：

⑴在棱柱中（三棱柱除外），經(jīng)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面（也稱為棱柱的對角面）

是平行四邊形.

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⑵在棱錐中（三棱錐除外），經(jīng)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是三角形.

⑶在棱臺中（三棱臺除外），經(jīng)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是梯形.

3.作截面的步驟：

一是確定截面與多面體的哪些棱相交；二是找到截面與多面體相交棱的公共點；

三是將所得的公共點依次連接起來，畫出截面.

13.1.2圓柱、圓錐、圓臺和球

一、圓柱、圓錐、圓臺的相關(guān)概念

1.圓柱、圓錐、圓臺的相關(guān)概念

將矩形、直角三角形、直角梯形分別繞著它的一邊、一直角邊、垂直于底邊的腰

所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的空間圖形分別叫作圓柱、圓錐、圓臺，這條直線叫作軸.

垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫作底面.不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫作側(cè)面，

無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫作母線.

2.圓柱、圓錐、圓臺的圖形表示

名稱圓柱圓錐圓臺

匕軸

軸■豐-軸

下＜底i:

。夕面

）側(cè)

圖形一面

A，——.幺7線

底面

圖中白勺圓柱記作圓柱。圖中的圓錐記作圓錐so圖中外1圓臺記作圓臺001

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二、球的相關(guān)概念

名稱球

半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫作球面，球面

定義

圍成的空間圖形叫作球體，簡稱球

圖形及表示Ait

圖中的球記作球。

球心：半圓的圓心；

相關(guān)概念半徑：連接球心和球面上任意一點的線段；

直徑：連接球面上兩點并經(jīng)過球心的線段

三、旋轉(zhuǎn)面和旋轉(zhuǎn)體

1.一般地，一條平面曲線繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面,

封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的空間圖形稱為旋轉(zhuǎn)體.

2.圓柱、圓錐、圓臺和球都是特殊的旋轉(zhuǎn)體.

四、圓柱、圓錐、圓臺基本量的計算

L解決圓柱基本量的計算問題，要抓住它的底面半徑、高（母線）與矩形（圓柱的軸截面）

之間的關(guān)系，注意在矩形中一邊長為圓柱的高，其鄰邊長為圓柱的底面直徑.

2.解決圓錐基本量的計算問題，要從圓錐的軸截面入手，利用截面中的直角三角形建

立底面半徑r、高h(yuǎn)、母線長I三者之間的關(guān)系：『二八2+匕即可解決問題.

3.解決圓臺基本量的計算問題，一般從圓臺的軸截面（等腰梯形）入手，利用軸截面可

以分割為兩個全等的直角三角形和一個矩形，結(jié)合題目條件求解.另外，也可以將其

兩腰延長轉(zhuǎn)化為等腰三角形，從而可以利用平行線分線段成比例、三角形相似等知識

來解決

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13.1.3直觀圖的斜二測畫法

一、斜二測畫法畫直觀圖

1.斜二測畫法畫直觀圖的規(guī)則

⑴在空間圖形中取互相垂直的X軸和y軸，兩軸交于。點，再取Z軸，使乙xOz二90。，

且乙yOz=90°.

(2)畫直觀圖時把它們畫成對應(yīng)的父軸、y，軸和/軸，它們相交于點O,并使乙xOy,二

45。(或135。)，乙x'0'z'=90。，x'軸和y'軸所確定的平面表示水平面.

(3)已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于M軸、y,

軸或z，軸的線段.

⑷已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的

線段，長度為原來的一半.

直觀圖的作法可以總結(jié)為“橫長不變，縱長減半，豎長不變，平行關(guān)系不變”.

二、平面圖形的直觀圖及相關(guān)計算

1.水平放置的平面圖形與直觀圖的面積間的關(guān)系

由于斜二測畫法中平行于x軸的線段在直觀圖中長度不變，而平行于y軸的線

段在直觀圖中長度要減半，并且乙x‘0'y'=45。(或135。)，因此平面圖形的直觀圖中任

意一點到X軸的距離都為原圖形中相應(yīng)點到x軸距離的9n45。二乎.

Z4

設(shè)一個平面圖形的面積為S原圖，利用斜二測畫法得到的直觀圖的面積為S直觀圖，

貝情S直觀圖二一二S原圖■

4

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13.2基本圖形位置關(guān)系

13.2.1平面的基本性質(zhì)

一、用集合語言表示空間中點、直線和平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系符號表示

點P在直線AB上PEAB

點C不在直線AB上CqAB

點M在平面AC內(nèi)平面AC

點Ai不在平面AC內(nèi)Aiq平面AC

直線AB與直線BC交于點BABCBC二B

直線AB在平面AC內(nèi)ABu平面AC

直線AAi不在平面AC內(nèi)AA?平面AC

二、平面的基本事實

基本事實文字語言圖形語言符號語言作用

①確定平面的

過不在一條直線上A,B,C三點不共

基本事實依據(jù)；

的三個點，有且只線今存在唯一的平

1②判定點、線共

有一個平面///面a,使A,B,CGa

面

如果一條直線上的①確定直線在

基本事實兩個點在一個平面Aea)_口平面內(nèi)的依據(jù)；

匚nAABua

2內(nèi)，那么這條直線7'/BDeaJ②判定點在平

在這個平面內(nèi)面內(nèi)

如果兩個不重合的

①判定兩平面

平面有一個公共三

基本事實Pea)…C,rn相交的依據(jù)；

點，那么它們有且p且

3e②判定點在直

只有一條過該點的

PEI線上

公共直線

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三、平面基本事實的推論

文字語言圖形語言符號語言

經(jīng)過一條直線和這

直線1,點A出今有且只

推論工條直線外的一點，有

有一個平面a,使AEa,lua

且只有一個平面

經(jīng)過兩條相交直線，@門13二「今有且只有一^T"平面a,

推論2

有且只有一個平面使aua,bua

經(jīng)過兩條平行直線，a〃b今有且只有一"t平面a,使

推論3

有且只有一^平面Z?aua,bua

四、如何研究共面、共線問題

1.點、線共面問題的證明

⑴點、線共面問題是指證明一些點或直線在同一平面內(nèi)的問題，主要依據(jù)是基本事實

L基本事實2及其推論.

⑵解決此類問題通常有兩種方法：

①納入平面法，先由部分元素確定一個平面，再證其他元素也在該平面內(nèi)；

②輔助平面法（平面重合法）,先由有關(guān)的點、線確定平面?,再由其余元素確定平面3,

最后證明平面Q,B重合.

2.點共線問題

⑴點共線問題是指證明三個或三個以上的點在同一條直線上,主要依據(jù)是基本事實3：

如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

⑵解決此類問題常用以下兩種方法：

①首先找出兩個平面,然后證明這些點都是這兩個平面的公共點,根據(jù)基本事實3知,

這些點都在這兩個平面的交線上；

②選擇其中兩點，確定一條直線，然后證明其他點也在這條直線上.

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3.線共點問題

線共點問題就是證明三條或三條以上的直線交于一點，主要的證明依據(jù)也是基本

事實3.

證明三線共點問題的基本方法：先確定待證的三條直線中的兩條相交于一點，再證明

第三條直線也過該點.常利用基本事實3證出該點在不重合的兩個平面內(nèi)，故該點在

它們的交線（第三條直線）上，從而證明三線共點.

13.2.2空間兩條直線的位置關(guān)系

一、空間兩條直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系共面情況公共點個數(shù)

相交直線在同一平面內(nèi)有且只有一個

平行直線在同一平面內(nèi)沒有

異面直線不同在任何一個平面內(nèi)沒有

二、基本事實4

文字語言平行于同一條直線的兩條直線平行

a

圖形語言b

-c

符號語言

作用揭示了空間平行線的傳遞性

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三、等角定理

如果空間中一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那

么這兩個角相等.

文字語言

特別地，如果空間中一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，且方向

一邊相同，另一邊相反，那么這兩個角互補

OA/O'A',OB#O'B',且ZAOB與乙A'O'B,兩邊的方向相同

今乙AOB二乙A'OB；

符號語言

OA#O'A',OB#O'B',且乙AOB與乙A'O'B'的一邊方向相同，另一邊方

向相反=△AOB+乙A'OB=180°

()〃-----------A,/

圖形語言或R

0上--Af)^-------------A

作用判定兩個角相等或互補

四、異面直線

1.異面直線的判定定理

過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異

文字語言

面直線

符號語言若lua,A$a,BEa,B$l,則直線AB與1是異面直線

\A

圖形語言/

2.異面直線所成的角

如圖，a與b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點。作直線3〃a,b'#b,我們把

直線a，和b所成的銳角(或直角)叫作異面直線a,b所成的角或夾角.

bb'b

匚7V占

(1)(2)(3)

記異面直線a與b所成的角為0,貝IJO°<6W9O°,若。是直角，則稱異面直線a,

b互相垂直，記作a，b.

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五、基本事實4與等角定理在空間圖形中的運用

1.空間中兩直線平行的證明方法

⑴利用定義：證明兩條直線共面且無公共點.

⑵利用平面幾何知識（三角形、梯形的中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段

成比例定理等）證明.

⑶利用基本事實4,即找到第三條直線C,使2〃（：，b#C,從而得到2〃1

2.空間中角相等的證明方法

⑴利用等角定理證明；

（2）轉(zhuǎn)化為平面圖形中的三角形全等或相似來證明.

利用等角定理證明兩角相等的步驟：①證明兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行；②證明對應(yīng)

邊的方向相同.

六、空間中異面直線的判定及所成角的求解

1,判定兩條直線是異面直線的方法

⑴證明兩條直線既不平行又不相交；

⑵過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線；

⑶反證法.

2.求異面直線所成角的一般步驟

⑴構(gòu)造：根據(jù)異面直線的定義，用平移法（常用三角形的中位線定理、平行四邊形的性

質(zhì)）作出異面直線所成的角或其補角.

⑵證明：證明作出的角或其補角就是要求的角.

⑶計算：求角度，常利用三角形的邊角關(guān)系，通過解三角形求解.

⑷結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角

是鈍角，則它的補角就是所求異面直線所成的角.

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13.2.3直線與平面的位置關(guān)系

一、直線與平面的三種位置關(guān)系

直線a在平面a外

位置關(guān)系直線a在平面a內(nèi)

直線a與平面a相交直線a與平面a平行

公共點有無數(shù)個公共點有且只有一個公共點沒有公共點

符號表示auaaCa二Aalla

a

a

/d.4/

圖形表示X/

二、直線與平面平行

文字語言圖形語言符號語言

a

如果平面外一條直線與此平面aCa)

判定定理內(nèi)的一條直線平行，那么該直bua

線與此平面平行/7aIIbj

一條直線與一個平面平行，如aIIa、

性質(zhì)定理果過該直線的平面與此平面相l(xiāng)uB”=1〃m

交，那么該直線與交線平行anB=m.

三、直線與平面垂直

1.如果直線a與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么稱直線a與平面a垂直，記

作a，a.直線a叫作平面a的垂線，平面a叫作直線a的垂面，垂線和平面的交點稱

為垂足.

2.直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

判定定理性質(zhì)定理

如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩

文字語言條相交直線垂直，那么該直線與此垂直于同一個平面的兩條直線平行

平面垂直

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a

ab

圖形語言

a±m(xù)

a_Ln

符號語言=A>:a%

mu。

nua

今a_La

過一點有且只有一條直線與已知平

常用結(jié)論——面垂直,過一點有且只有一個平面與

已知直線垂直

四、兩種距離

1.點到平面的距離：從平面外一點引平面的垂線，這個點和垂足間的距離，叫作這個

點到這個平面的距離.

2.直線和平面的距離：一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到這個平面的

距離，叫作這條直線和這個平面的距離.

五、直線與平面所成的角

1.射影

⑴概念：

如圖，過平面外一點P向平面?引斜線和垂線，那么過斜足A和垂足0的直線就是

斜線在平面內(nèi)的射影，線段0A就是斜線段PA在平面a內(nèi)的射影.

⑵常用結(jié)論：如果平面內(nèi)的一條直線與這個平面的一條斜線垂直，那么這條直線就和

這條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直.

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2.直線與平面所成的角

(1)概念：平面的一條斜線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫作這條直線與這個

平面所成的角.

(2)規(guī)定：如果一條直線垂直于平面，那么稱它們所成的角是直角；如果一條直線與平

面平行或在平面內(nèi)，那么稱它們所成的角是0°角.

(3)取值范圍：設(shè)直線與平面所成的角為0,則0°^0^90°.

六、如何證明直線與平面平行

1.證明直線與平面平行的步驟

(1)找：在平面內(nèi)找到(或作出)一條已知直線平行的直線

(2)證：證明已知直線平行于找到(或作出)的直線

(3)結(jié)論：由直線與平面平行的判定定理得出結(jié)論

2.直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理經(jīng)常交替使用，也就是通過線線平行推出線

面平行，再通過線面平行推出線線平行，復(fù)雜的題目還可繼續(xù)推下去.

有如下示意圖：

「

線

線

線

線

線

在平面內(nèi)找面找(或作)平面與

平

平

(或作)一直線差

行

行平面的交線

七、如何判定直線與平面垂直

1,判定直線與平面垂直的常用方法

⑴利用直線與平面垂直的定義，即證明直線a垂直于平面a內(nèi)的任意一條直線，從而

得到直線a1平面a(一般不易驗證任意性).

(2)利用直線與平面垂直的判定定理，即如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂

直，那么該直線與此平面垂直，簡記為“線線垂直今線面垂直”(a，b,a，c,bca,

cua,bCc=M=>a_La).

(3)利用平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)，即如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平

面，那么另一條也垂直于這個平面(a〃b,bla=>ala).

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2.利用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直的步驟

⑴在這個平面內(nèi)找兩條直線，使已知直線和這兩條直線垂直；

（2）確定這個平面內(nèi)的兩條直線是相交直線；

⑶根據(jù)判定定理得出結(jié)論.

八、如何探究直線與平面所成的角

1.求直線與平面所成角的大小的步驟

（1）作角：

①作垂線：過斜線上一點（不是斜足）作平面的垂線；

②作射影：連接垂足和斜足；

③確定平面角：斜線與它在平面上的射影所成的角即為所求，即將空間角（斜線與平面

所成的角）轉(zhuǎn)化為平面角（兩條相交直線所成的角）.

⑵證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角，關(guān)鍵是證垂直.

⑶計算：通常在垂線段、斜線和射影所構(gòu)成的直角三角形中計算.

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13.2.4平面與平面的位置關(guān)系

一、兩個平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系公共點符號表示圖形表示

//

兩平面平行沒有公共點a//0

%/

兩平面相交有一條公共直線aCB二a

/a\/^?Z

二、兩個平面平行

1.兩個平面平行的判定定理與性質(zhì)定理

文字語言符號語言圖形語言

aucc

如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線bua

判定

與另一個平面平行，那么這兩個平=A>

定理

面平行a[3

bp=a〃p

兩個平面平行，如果另一個平面與aP

性質(zhì)

這兩個平面相交，那么兩條交線平ar"V=a>

定理

行0alib

2.相關(guān)結(jié)論

⑴已知兩個平面平行，則一個平面內(nèi)的任一直線都平行于另一個平面.

⑵夾在兩個平行平面間的平行線段的長度相等.

⑶經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.

⑷兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例.

⑸如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行.

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三、兩個平行平面間的距離

1.公垂線、公垂線段與兩個平行平面都垂直的直線，叫作這兩個平行平面的公垂線，

它夾在這兩個平行平面間的線段，叫作這兩個平行平面的公垂線段.

2.兩個平行平面間的距離

⑴定義：把兩個平行平面的公垂線段的長度叫作兩個平行平面間的距離.

⑵性質(zhì):兩個平行平面間的距離等于其中一個平面上的任意一點到另一個平面的距離.

四、二面角

1.二面角

半平面平面內(nèi)的一條直線把這個平面分成兩部分，其中的每一部分都叫作半平面

二面角一般地，一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面

相關(guān)概念角，這條直線叫作二面角的棱，每個半平面叫作二面角的面

rzi了

畫法

平臥式直立式

記法二面角CX-I-P或a-AB-B或P-I-Q或P-AB-Q

2.二面角的平面角

一般地，以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的

定義

射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角

圖示

1

OAca,OBcp,anp=l,OEI,OA1I,OB_U=NAOB是二面角0(-1邛的

符號

平面角

二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說

規(guī)定

這個二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫作直二面角

范圍二面角0的大小范圍是0°^6^180°

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五、平面與平面垂直

1,定義：一般地，如果兩個平面所成的二面角是直二面角，那么就說這兩個平面互

相垂直.

2.畫法：廠「/

3.平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直

/

判定圖形語言I

定理7

11a)

符號語言

icpy今a_LB

兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的

文字語言

交線，那么這條直線與另一個平面垂直

性質(zhì)符號語言alP，aCi|3=l,aua,a_LI=a_L0

定理

圖形語言

/

六、兩個平面平行的判定

1.兩個平面平行的判定方法

⑴定義法：兩個平面沒有公共點.

⑵利用判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平

面平行.

⑶轉(zhuǎn)化為線線平行：若平面a內(nèi)的兩條相交直線與平面B內(nèi)的兩條相交直線分別平

行,則a〃&

⑷利用平行平面的傳遞性：若a〃&則a〃y.

在立體幾何中，線線平行、線面平行、面面平行之間可以相互轉(zhuǎn)化，解題時由線線平

行可推出線面平行，由線面平行可推出面面平行.

七、如何求二面角的大小

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求二面角的大小的關(guān)鍵是找出（或作出）其平面角，再把平面角放到三角形中求解.

1.作二面角的三種常用方法

⑴定義法：在二面角的棱上找一個特殊點，過該點在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的

射線.如圖①，乙AOB為二面角a-1-B的平面角.

⑵垂面法：過棱上一點作垂直于棱的平面，該平面與二面角的兩個半平面相交，其交

線所成的角即為二面角的平面角.如圖②，乙AOB為二面角a-1-B的平面角.

⑶垂線法：過二面角的一個半平面內(nèi)異于棱上的一點A向另一個平面作垂線，垂足為

B,由點B向二面角的棱作垂線，垂足為0,連接A0,則乙A0B為二面角的平面角

（或其補角）.如圖③，乙A0B為二面角a-l邛的平面角

八、垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化

1.空間中的垂直關(guān)系有線線垂直、線面垂直、面面垂直，這三種關(guān)系不是獨立的,

而是相互關(guān)聯(lián)的.它們之間的關(guān)系如下：

線線判定定理線面判定定理面面

垂直線面垂直定義垂直「性質(zhì)定理垂直

2.平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化

一條直線垂直于兩平

行平面中的一個平面，

線面垂直則該直線也垂直于另

一個平面

線或平行I-線面平行一面面平行

兩平行g(shù)線中的一條垂直于同一條直線

垂直于一個平面，另一的兩個平面平行

條也垂直于這個平面

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13.3空間圖形的表面積和體積

13.3.1空間圖形的表面積

一、直棱柱的側(cè)面積

1.側(cè)棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱.

2.底面為正多邊形的直棱柱叫作正棱柱.直棱柱的側(cè)棱長就是直棱柱的高（兩底面所

在平面之間的距離）.

3.直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形，這個矩形的長等于直棱柱的底面周長c,寬等于直棱

柱的高h(yuǎn).因此，直棱柱的側(cè)面積是S直棱柱側(cè)二ch.

二、正棱錐的側(cè)面積

1.如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面中心，那么稱這樣

的棱錐為正棱錐.正棱錐的側(cè)棱長都相等，側(cè)面均為全等的等腰三角形.

2.正棱錐的側(cè)面展開圖是若干個全等的等腰三角形，展開圖的面積就是棱錐的側(cè)面積.

如果正棱錐的底面周長為c,斜高（即側(cè)面等腰三角形底邊上的高）為h1,則它的側(cè)面積

是s正棱錐側(cè)=5ch

三、正棱臺的側(cè)面積

1,正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫作正棱臺.

2.正棱臺的側(cè)棱長都相等，側(cè)面均為全等的等腰梯形.

3.若設(shè)正棱臺的上、下底面的周長分別為d,c,斜高為

_1

則其側(cè)面積是s正棱臺側(cè)=-（c+c'）h".

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四、圓柱、圓錐和圓臺的側(cè)面積

旋轉(zhuǎn)體圖形面積公式

底面積：S底二TT/，

圓柱1側(cè)面積：S側(cè)=2向,

表面積：S=2nr(r+I)

底面積：S底二謂，

圓錐側(cè)面積：SflFnrl,

表面積:S=nr(r+I)

上底面面積：S上底二TK：

下底面面積:S下底=冗產(chǎn),

圓臺

1側(cè)面積:S側(cè)=Tt(r'+r)l,

表面積：S=n(r,2+r2+r'l+rl)

五、棱柱、棱錐和棱臺的側(cè)面積

1.正棱柱、正棱錐和正棱臺的側(cè)面積公式之間的聯(lián)系如圖:

SiF：好側(cè)=^^+力、

正棱柱側(cè)正棱錐側(cè)

其中Clc分別為上、下底面的周長，h為高，H為斜高.

2.在棱錐的側(cè)面積計算中，應(yīng)先由條件判斷該棱錐是不是正棱錐，若是正棱錐，則其

側(cè)面展開圖是若干個全等的等腰三角形，求其側(cè)面積的關(guān)鍵是確定底面邊長和斜高；

若不是正棱錐，則需分別求出各側(cè)面的面積.

3.正棱臺的