2024年浙江金華一中高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)金華一中2023學(xué)年第二學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試題卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）的虛部為（

）A． B． C． D．2．已知向量，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．1 D．23．中，A，B，C是的內(nèi)角，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．對(duì)于兩條不同的直線m、n和兩個(gè)不同的平面α、β，以下結(jié)論中正確的是（

）A．若，，m、n是異面直線，則α、β相交B．若m⊥α，m⊥β，，則C．，，m、n共面于β，則D．若m⊥α，n⊥β，α、β不平行，則m、n為異面直線5．向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．側(cè)面積為的圓錐，它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面半徑為（

）A． B． C．2 D．17．已知三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩互相垂直，且，，則此三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．8．中，已知，且，則是A．三邊互不相等的三角形 B．等邊三角形C．等腰直角三角形 D．頂角為鈍角的等腰三角形二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．平面向量，是不共線的向量，則下列正確的是（

）A． B．C． D．10．已知，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．11．下面有關(guān)三角形的命題正確的是（

）A．若的面積為，則B．在中，，，.則這樣的三角形有且只有一個(gè)C．在中，若，則最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍D．在中，，，，則邊上的高為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．設(shè)，若，其中是虛數(shù)單位，則13．如圖所示，直觀圖四邊形是一個(gè)底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是.14．在邊長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)M是該正方體表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且平面，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的長(zhǎng)度是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，（其中是虛數(shù)單位），設(shè)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.(1)求復(fù)數(shù)；(2)求；(3)若，且是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.16．如圖，在幾何體中，四邊形為菱形，對(duì)角線與的交點(diǎn)為O，四邊形為梯形，.(1)若，求證：平面；(2)若，求證：平面平面.17．如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下上至處有兩種路徑．一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為．在甲出發(fā)后，乙從乘纜車到，在處停留后，再?gòu)膭蛩俨叫械?，假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，山路長(zhǎng)為1260，經(jīng)測(cè)量，．（1）求索道的長(zhǎng)；（2）問(wèn)：乙出發(fā)多少后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過(guò)，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？18．如圖，在三棱錐中，，D為的中點(diǎn)，平面，垂足O落在線段上.(1)證明：；(2)已知，，，且直線與平面所成角的正弦值為.①求此三棱錐的體積；②求二面角的大小.19．中，角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，，.(1)求角B的最大值，以及邊長(zhǎng)b的最大值；(2)設(shè)的面積為S，求的取值范圍.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．B【分析】由虛數(shù)的定義求解．【詳解】復(fù)數(shù)的虛部是－1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念，掌握復(fù)數(shù)的概念是解題基礎(chǔ)．2．B【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得的方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)?，且，所以，即，解得；故選：B3．C【分析】根據(jù)充要條件的定義分析可得答案.【詳解】若，則成立，所以“”是“”的充分條件，若，因?yàn)?，所以，所以“”是“”的必要條件，所以“”是“”的充分必要條件，故選：C．4．C【分析】由線面平行的性質(zhì)和面面的位置關(guān)系可判斷A；由線面垂直的性質(zhì)和面面平行的判斷和性質(zhì)，可判斷B；由線面平行的性質(zhì)定理可判斷C；由線面垂直的性質(zhì)和面面的位置關(guān)系可判斷D．【詳解】若，，m、n是異面直線，則α、β相交或平行，故A錯(cuò)誤；若m⊥α，m⊥β，則，由，則或，故B錯(cuò)誤；利用線面平行的性質(zhì)定理，可知，，m、n共面于β，則成立，故C正確；若m⊥α，n⊥β，α、β不平行，則m、n為異面直線或相交，故D錯(cuò)誤．故選:C.5．C【分析】代入投影向量公式，即可求解.【詳解】向量在向量上的投影向量為.故選：C6．D【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式及圓的面積求解.【詳解】設(shè)底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則，解得，又，解得，故選：D7．A【分析】根據(jù)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，知其外接球就是所在長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)出棱長(zhǎng)，求出體對(duì)角線，即可得出球的直徑得解.【詳解】三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩互相垂直，其外接球就是以為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)，則有，可求得，即長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)為，所以球的直徑是，半徑為，所以外接球的體積．故選：A．8．C【分析】先根據(jù)判斷出的角平分線與垂直，進(jìn)而推斷三角形為等腰三角形，再由結(jié)合數(shù)量積公式求得，判斷出三角形的形狀．【詳解】∵，分別是與，同向的單位向量，∴的角平分線與垂直，∴，∵∴，得，∵，∴，∴，∴為等腰直角三角形．故選：C．9．CD【分析】根據(jù)的符號(hào)判斷AC，再由判斷BD.【詳解】因?yàn)?，且向量，是不共線的向量，所以，所以，即，故A錯(cuò)誤，C正確；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，所以，故B錯(cuò)誤，D正確.故選：CD10．BCD【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模的運(yùn)算求解，逐項(xiàng)判斷.【詳解】解：設(shè)，則，所以，，則，故A錯(cuò)誤；，，所以，故B正確；因?yàn)椋?，故C正確；因?yàn)?，所以，而，所以，故D正確故選：BCD11．ACD【分析】對(duì)于A結(jié)合三角形的面積公式與余弦定理進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于B利用正弦定理可得，從而可求出角判斷，對(duì)于C利用正弦定理化角為邊，再結(jié)合余弦定理和二倍角公式求解，對(duì)于D由余弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式求解.【詳解】對(duì)于A，由題意得，整理得，所以，所以，得，因?yàn)?，所以，所以A正確；對(duì)于B，由正弦定理得，則，得，因?yàn)?，所以或，所以滿足條件的三角形有2個(gè)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以由正弦定理得，設(shè)，則最大角為，最小角為，由余弦定理得，，所以，因?yàn)?，所以均為銳角，所以，所以，所以最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍，所以C正確；對(duì)于D，由余弦定理得，則，即，解得或（舍去），因?yàn)?，，所以，所以的面積為，設(shè)邊上的高為，則，解得，所以D正確，故選：ACD12．7【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等求解.【詳解】因?yàn)椋?，即，所以，故答案為?3．##【分析】由斜二側(cè)畫(huà)法可知，原圖為直角梯形，上底為1，高為2，下底為，利用梯形面積公式求解即可．【詳解】根據(jù)斜二側(cè)畫(huà)法可知，原圖形為直角梯形，如圖，其中上底，高，下底為，．故答案為：．14．【分析】連接，，，證明平面平面，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為，即可得解.【詳解】如圖，邊長(zhǎng)為1的正方體中，動(dòng)點(diǎn)M滿足平面，由面面平行的性質(zhì)得：當(dāng)始終在一個(gè)與平面平行的面內(nèi)，即滿足題意，連接，，，因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，所以，同理，又平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因平面，所以平面平面，又平面，M是該正方體表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為.因?yàn)椋詣?dòng)點(diǎn)M的軌跡的長(zhǎng)度為.故答案為：.15．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)及向量的坐標(biāo)運(yùn)算得解；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算、乘法運(yùn)算及模的運(yùn)算得解；（3）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及純虛數(shù)的概念求解.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，，所以，所以，故.（2）因?yàn)?，所?（3）因?yàn)椋?，由是純虛?shù)，可知且，解得.16．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，從而可得為平行四邊形，即可證明平面；（2）只需證明平面，即可證明平面平面.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，∵是菱形的對(duì)角線，的交點(diǎn)，∴，且，又∵，且，∴，且，從而為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面.（2）證明：連接，∵四邊形為菱形，∴，∵，是的中點(diǎn)，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴平面平面.17．（1）m（2）（3）（單位：m/min）【詳解】（1）在中，因?yàn)?，，所以，，從而．由正弦定理，得（）．?）假設(shè)乙出發(fā)后，甲、乙兩游客距離為，此時(shí)，甲行走了，乙距離處，所以由余弦定理得，由于，即，故當(dāng)時(shí)，甲、乙兩游客距離最短．（3）由正弦定理，得（）．乙從出發(fā)時(shí)，甲已走了（），還需走710才能到達(dá)．設(shè)乙步行的速度為，由題意得，解得，所以為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過(guò)，乙步行的速度應(yīng)控制在（單位：）范圍內(nèi)．考點(diǎn)：正弦、余弦定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦、余弦定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了考生分析問(wèn)題和利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.解答應(yīng)用問(wèn)題，首先要讀懂題意，設(shè)出變量建立題目中的各個(gè)量與變量的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系和不等關(guān)系求解.本題解得時(shí)，利用正余弦定理建立各邊長(zhǎng)的關(guān)系，通過(guò)二次函數(shù)和解不等式求解，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)①；②【分析】（1）由題意，為的中點(diǎn)，推出，由平面ABC，推出BC⊥PO，進(jìn)而得到線面垂直，即可得到所證；（2）①由（1）利用線面垂直和勾股定理求解出長(zhǎng)，求出的體積；②由（1）利用面面垂直的判定得到平面BMC，再利用二面角的定義得到二面角的平面角，然后求出即可，【詳解】（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又平面，則，又平面，所以平面，又平面，所以；（2）①由平面，則直線與平面所成角為，則，由，為的中點(diǎn)，所以，則，所以，由平面，所以，所以；②在平面內(nèi)作于，連接，由，又，平面，所以平面，所以，則為二面角的平面角，在直角三角形中，，在直角三角形中，，在直角三角形中，，所以，在直角三角形中，，所以，所以在三角形中，，所以，則，同理