淺談二次問題（二次函數(shù)、方程）在初高中的銜接數(shù)學(xué)

淺談二次問題（二次函數(shù)、方程）在初高中的銜接(數(shù)學(xué)）高初中知識(shí)的銜接能否順暢，一直是目前教育界共同關(guān)注的焦點(diǎn)之一。學(xué)生進(jìn)入高一年級(jí)后，高一一些學(xué)科的教師首先做的便是：用一個(gè)月的時(shí)間將初中的內(nèi)容“補(bǔ)一補(bǔ)”。這樣做的目的，顯然是為了完成初中到高中知識(shí)的過渡、銜接。但如何能讓學(xué)生順利地實(shí)現(xiàn)思維方式及知識(shí)上的銜接，恐怕仍需要不斷嘗試。今就數(shù)學(xué)中二次函數(shù)、方程（不等式）這部分知識(shí)初中到高中的銜接問題談一些個(gè)人的看法。首先來看初中新舊教材之間的對(duì)比。新舊教材在對(duì)一元二次方程處理上，都是通過配方得到公式x=，然后用因式分解法解一元二次方程。不同的是舊教材中涉及了二次三項(xiàng)式的因式分解，而新教材中只是將像5x2=4x,x-2=x(x-2)這樣有較明顯公因式的方程進(jìn)行了因式分解的練習(xí)。新教材也提到了(x+2)(x-4)=0這種已分解好了的方程，但顯然比舊教材難度降低了一些。新教材對(duì)一元二次方程的學(xué)習(xí)至此告一段落。但舊教材卻依然往下進(jìn)行：一元二次方程的根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系；用公式法對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解；一元二次方程的應(yīng)用；可化為一元二次方程的分式方程。可以說對(duì)一元二次方程的問題，新教材的難度已大大下降。在舊教材中作為一元二次方程重要部分的“根與系數(shù)的關(guān)系”，在新教材中也僅在課后復(fù)習(xí)題C組（相當(dāng)于課本上最難級(jí)別的練習(xí)）中以練習(xí)的形式出現(xiàn)，以三個(gè)例子要求猜想x1+x2,x1x2與方程中系數(shù)的關(guān)系并證明。在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，新教材與舊教材相比，也有不小的區(qū)別。舊教材對(duì)二次函數(shù)的處理，是先從y=ax2(a>0或a<0)圖像出發(fā)，擴(kuò)展到y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)的圖像，然后用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式。新教材則是先以二次函數(shù)所描述的關(guān)系作為開端，然后結(jié)識(shí)拋物線y=x2等。接著通過實(shí)際問題（剎車距離問題）開始研究二次函數(shù)，并擴(kuò)展到y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)的圖像，又結(jié)合幾個(gè)函數(shù)（y=3(x-1)2+2,y=3(x-1)2;y=3x2,y=3(x+1)2）研究了函數(shù)圖像的平移。進(jìn)而又研究了二次函數(shù)對(duì)稱軸與頂點(diǎn)坐標(biāo)，并歸納了二次函數(shù)的三種表示方式。然而，新教材對(duì)二次函數(shù)的研究并未就此罷休，它接著以“何時(shí)獲得最大利潤(rùn)”，“最大面積是多少”對(duì)二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用又作了進(jìn)一步的闡述。新教材與舊教材相比，最大的變化還在后面：新教材對(duì)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系進(jìn)行了研究，并歸納出結(jié)論?？梢钥吹?，新教材的指導(dǎo)思想是強(qiáng)化關(guān)于二次問題在實(shí)際生活中的應(yīng)用，并融入函數(shù)方程思想；與此同時(shí)也淡化了純代數(shù)運(yùn)算與一些結(jié)論。高考中對(duì)二次問題又有什么要求？研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，要求理解二次函數(shù)的單調(diào)性，最值及其幾何意義。在函數(shù)與方程中，要求能夠結(jié)合二次函數(shù)的圖像，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系。在不等式中的要求：①經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程②通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的函數(shù)、方程的聯(lián)系③會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，嘗試設(shè)計(jì)求解的程序框架。高考內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于對(duì)二次問題的要求看起來是比較簡(jiǎn)單的。但事實(shí)上雖然近幾年高考對(duì)二次問題的考察難度有所下降，但二次問題仍是高考中的必考點(diǎn)，而且每年的高考題中涉及的二次問題都占了不小的分值。其中對(duì)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系以及二次函數(shù)圖像的考察屢見不鮮。代數(shù)運(yùn)算的能力是不可低估的。新教材對(duì)實(shí)際應(yīng)用題的要求較高，但對(duì)代數(shù)運(yùn)算能力的要求要比舊教材的低。這顯然是新教材的一些變化。這些變化對(duì)高中的學(xué)習(xí)有多少影響？初中教材發(fā)生了很大的變化，而高中教材的變化不過是個(gè)別知識(shí)點(diǎn)的增加與難度的降低。以前的初高中教材一脈相承，而現(xiàn)在的初高中教材在銜接中似乎已有了“裂痕”。在高中二次問題的學(xué)習(xí)中，又該如何做好銜接工作？我認(rèn)為做好以下三點(diǎn)是必要的。一、強(qiáng)化“根與系數(shù)關(guān)系”的教學(xué)，并培養(yǎng)學(xué)生的熟練程度與應(yīng)用意識(shí)。筆者對(duì)一些高一新生進(jìn)行調(diào)查（來自不同的初中），涉及到二次方程根與系數(shù)關(guān)系的問題有三個(gè)（均是舊教材中的例題）：（1）求2x2+3x-1=0兩根的平方和與倒數(shù)和；（2）已知5x2+kx-6=0一根為2，求另一根及k的值；（3）已知兩數(shù)和為8，積為9，求這兩個(gè)數(shù)。其中第一個(gè)題由于很明顯提到了兩根，所以學(xué)生都做得很好，知道將x12+x22寫成(x1+x2)2-2x1x2，也能將寫成；第二個(gè)題是給出了一根，所有的學(xué)生都是將2代入方程求得k=-7，然后將方程寫成5x2-7x-6=0，分解因式求另一根，而沒有找到利用根與系數(shù)關(guān)系求解的簡(jiǎn)便之處：此題令另一根為x1，則2x1=,得x1=，又2+x1=得k=-7；第三題則顯然是二次方程的構(gòu)造。但多數(shù)同學(xué)即使在列出后也未能想到去構(gòu)造一元二次方程，而是用代入法消元求解。事實(shí)上若能在根與系數(shù)問題上稍加強(qiáng)化，學(xué)生是有能力去構(gòu)造x2-8x+9=0這一方程求解的。因此，對(duì)二次方程中“根與系數(shù)關(guān)系”的問題，是有必要強(qiáng)化的。新教材在課后習(xí)題中雖有涉及，初中教師也未忽視，但畢竟沒有對(duì)它進(jìn)行強(qiáng)化，在中考試題中也沒有任何提及。而在高中對(duì)二次問題學(xué)習(xí)中，這個(gè)問題開始變得突出。所以教師可選擇適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)進(jìn)行補(bǔ)充練習(xí)。例如可以做以下練習(xí):⑴設(shè)x1，x2是方程x2-7x-4=0的兩個(gè)根，求①(x1-1)(x2-1)②③(x1-x2)2④⑵m為何值時(shí)，關(guān)于x的二次方程8x2-(m-1)x+(m-7)=0兩根①都為正②異號(hào)且負(fù)根的絕對(duì)值大于正根③兩根都大于1⑶求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根是,.⑷已知方程x2+4x-3=0.求做一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是已知方程根的2倍。⑸a，b是一元二次方程x2-(2m+1)x+2m+3=0的兩實(shí)根.a，b又構(gòu)成某矩形的相鄰兩邊。若此矩形對(duì)角線長(zhǎng)為，求實(shí)數(shù)m的值。第一類練習(xí)⑴⑵可以認(rèn)為是從正向考察根與系數(shù)的關(guān)系，通過將所給條件轉(zhuǎn)化成x1+x2與x1x2的形式培養(yǎng)學(xué)生對(duì)代數(shù)式的變形能力；第二類練習(xí)⑶⑷⑸為較隱蔽或逆向的對(duì)根與系數(shù)的應(yīng)用。通過練習(xí)讓學(xué)生體會(huì)根與系數(shù)在一元二次方程中的應(yīng)用。這兩類練習(xí)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的分析能力，代數(shù)運(yùn)算及變形能力是有幫助的。學(xué)生在高中的學(xué)習(xí)中，尤其是學(xué)習(xí)直線與二次曲線的位置關(guān)系時(shí)，涉及到“中點(diǎn)問題”及“距離問題”時(shí)，便能很自然的加以應(yīng)用，不會(huì)再因?yàn)閷?duì)“根與系數(shù)關(guān)系”的不熟悉而使問題變得無從入手或思路不通暢了。例：直線y=x-1與拋物線y2=2x交于A，B兩點(diǎn)，求AB中點(diǎn)坐標(biāo)。此題完全大可不必求出A，B坐標(biāo)，只需在將y=x-1代入y2=2x，得到x2-4x+1=0后利用x1+x2=4得==2，將其代入直線y=x-1得。即AB中點(diǎn)為（2，1）.再如：上題中再求。若求A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)距離公式則顯得較繁。而從公式出發(fā)，只需將寫成，問題又很輕易解決。所以“根與系數(shù)的關(guān)系”甚至可以說是一種意識(shí)。具備這種意識(shí)顯然是十分必要的。（以上公式的得出可歸功于這種意識(shí)）二、加強(qiáng)“因式分解”的練習(xí)，提高對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解的能力。初中新教材對(duì)二次三項(xiàng)式的分解比之舊教材難度已經(jīng)下降。但在高中對(duì)這種能力的要求卻沒有下降。其中“十字相乘”是一個(gè)主要的手段。雖然初中教師進(jìn)行了課外補(bǔ)充，但我仍認(rèn)為在高中還需要加強(qiáng)此方面的能力。這種方法有著快速、簡(jiǎn)捷的作用，對(duì)解二次方程，不等式是十分方便的?！笆窒喑恕钡木毩?xí)當(dāng)然不能停留在分解x2-3x-2=0，2x2-11x+12=0這種較簡(jiǎn)單的類型上，完全可以對(duì)x或系數(shù)進(jìn)行“改頭換面”。如：2cos2α-2sinα-1/2=0，m2-（a+1/a）m+1=0，2x2+xy-3y2=0這些式子在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是經(jīng)常會(huì)遇到的。通過這種練習(xí)，若能形成一種對(duì)分解二次三項(xiàng)式的“條件反射”，則許多問題就有了很快突破的可能？。請(qǐng)看2000年高考填空題15題，設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n+1）a2n+1-na2n+an+1an=0（n=1，2，3，……）則它的通項(xiàng)公式是an=____若具備“慧眼識(shí)破能夠因式分解”的能力，何愁此題不會(huì)做？再如2000年高考解答題17題：已知sin22α+sin2αcosα-cos2α=1α∈（0，π），求sinα，tanα的值。此題中第一步自然是將2α的三角函數(shù)化為α的三角函數(shù)。經(jīng)過化簡(jiǎn)得到4sin2αcos2α+2sinαcos2α-2cos2α=0.然后提出公因式2cos2α,將上式寫成2cos2α（2sin2α+sinα-1）=0.括號(hào)內(nèi)是一個(gè)關(guān)于sinα的二次三項(xiàng)式。此時(shí)的“條件反射”發(fā)揮了作用，于是上式寫為2cos2α（2sinα-1）（sinα+1）=0,此題可解。由此可知，若能將因式分解加以強(qiáng)化，形成分解意識(shí)，培養(yǎng)分解能力，將會(huì)受益匪淺。三、教學(xué)中，應(yīng)在充分發(fā)揮學(xué)生主體作用的前提下加強(qiáng)教師的主導(dǎo)作用。與舊教材相比，初中新教材有兩個(gè)較大的變化。一是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)更貼近生活。教材往往以實(shí)際生活中的例子引出所要研究的知識(shí)，言語中多了一份親切感。教材強(qiáng)調(diào)了從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際生活問題抽象成數(shù)學(xué)模型并能解釋、應(yīng)用。這也是課改的一個(gè)切入點(diǎn)。據(jù)學(xué)生反映，他們初中的老師很多都給予了他們動(dòng)手實(shí)踐、自主探索或與他人合作學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，這是此屆學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣中的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)。二是開始談到一些重要的思想，而這些思想對(duì)以后的學(xué)習(xí)是非常有幫助的。以二次函數(shù)為例。從知識(shí)上來講，新教材不僅列舉了大量實(shí)際應(yīng)用模型，而且已經(jīng)開始注入函數(shù)方程思想。這也是新教材在知識(shí)處理上的一個(gè)突破。高中階段，在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中仍要堅(jiān)持這種思想。當(dāng)然高中畢竟不同于初中，這種思想方法不僅要繼承，還要加強(qiáng)，在函數(shù)、方程、不等式三者聯(lián)系中逐步強(qiáng)化這種意識(shí)。近幾年高考中涉及二次函數(shù)、方程、不等式的問題雖然難度有所下降，但仍然是必考點(diǎn)之一。而函數(shù)方程，函數(shù)不等式思想的滲透，離不開教師的強(qiáng)化作用。不可否認(rèn)，數(shù)學(xué)知識(shí)來源于實(shí)踐又指導(dǎo)實(shí)踐。但目前高中課本上所學(xué)知識(shí)，就當(dāng)前學(xué)生水平而言，還不能夠完全用于實(shí)踐。數(shù)學(xué)知識(shí)不同于一般的生活知識(shí)，也在于它的抽象性。在二次函數(shù)、方程、不等式教學(xué)中，照樣離不開一些數(shù)學(xué)抽象，有時(shí)是學(xué)生不易想到的，所以教師的主導(dǎo)作用是不能忽視的。個(gè)人以為：在高中的教學(xué)中，不僅要將學(xué)生在初中時(shí)形成的主動(dòng)探索、積極創(chuàng)新的優(yōu)良學(xué)習(xí)風(fēng)格發(fā)揚(yáng)光大，而且也要加強(qiáng)教師的主導(dǎo)作用。而加強(qiáng)教師的主導(dǎo)作用，關(guān)鍵是必要時(shí)應(yīng)給予學(xué)生較明確的思考方向。如求函數(shù)y=x2+7x+8的最小值，很多學(xué)生用公式法去配方，速度較慢，但在實(shí)際解題中用公式所研究問題的方法而不用公式本身，反倒能夠很快的解題。此外在考察二次函數(shù)單調(diào)性時(shí)，啟發(fā)學(xué)生意識(shí)到對(duì)稱軸的決定作用；在學(xué)習(xí)二次函數(shù)限定范圍內(nèi)求值域問題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)作圖識(shí)圖能力；在研究二次曲線與直線位置關(guān)系時(shí)，強(qiáng)化學(xué)生從二