初三奧數(shù)競賽常用公式

全國初中數(shù)學(xué)競賽試題

一、選擇題

1.設(shè)aVb<0,a2+b2=4ab,則叱的值為【】

a-b

A、舊B>76C、2D、3

2.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,則多項(xiàng)式a?+

b2+c2—ab—be—ca的值為【】

A、0B、1C、2D、3

3.如圖，點(diǎn)E、F分別是矩形ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn)，連AF、CE交于點(diǎn)G,

u四邊形AGCD等

S矩形4BC?

4.設(shè)a、b、c為實(shí)數(shù)，x=a2—2b+—,y=b2—2c+—,z=c2—2a+—,則x、

333

y、z中至少有一個(gè)值【】

A、大于0B、等于0C、不大于0D、小于0

5.設(shè)關(guān)于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0,有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根治、x2,且土

<l<x2,那么a的取值范圍是【】

2222

A、--<a<—B、a>—C^a<D、--<a<0

755711

6.AiA2A3…Ag是一個(gè)正九邊形，AiA2=a,AiA3=b,則AA等于1]

A、7?2+b~B>7?2+ab+b2C、；(a+6)D、a+b

二、填空題

7.設(shè)Xi、X2是關(guān)于x的一元二次方程x?+ax+a=2的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則(X1—2x2)(x-

2—2xJ的最大值為o

8.已知a、b為拋物線y=(x—c)(x—c—d)—2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，a<b,

貝U|a-c|+|c-4的值為°

9.如圖，在AABC中，NABC=60°,點(diǎn)P是aABC內(nèi)的一點(diǎn)，使得NAPB=NBPC

=ZCPA,且PA=8,PC=6,則PB=

10.如圖，大圓0的直徑AB=acm,分別以0A、0B為直徑作。01、002；并在

。。與和。的空隙間作兩個(gè)等圓和。這些圓互相內(nèi)切或外切，則

2

四邊形O1O2O3O4的面積為.cmo

-G4

11.滿足（空一n—1）4=1的整數(shù)n有個(gè)。

12.某商品的標(biāo)價(jià)比成本高p%,當(dāng)該商品降價(jià)出售時(shí)，為了不虧本，售價(jià)的折

扣（即降價(jià)的百分?jǐn)?shù)）不得超過d%,則d可以用p表示為o

三、解答題

2

13.某項(xiàng)工程，如果由甲、乙兩隊(duì)承包，2M天完成，需付180000元；由乙、

丙兩隊(duì)承包，3』天完成，需付150000兀；由甲、丙兩隊(duì)承包，29天完成，

47

需付160000元?，F(xiàn)在工程由一個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包，在保證一周完成的前提下，哪個(gè)

隊(duì)的承包費(fèi)用最少？

14.如圖，圓內(nèi)接六邊形ABCDEF滿足AB=CD=EF,且對角線AD、BE、CF交于

CPAC2

一點(diǎn)Q,設(shè)AD與CE的交點(diǎn)為P。（1）求證:QD=—(2)求證:

EDECPE-CE2

A

B

16.如果對一切x的整數(shù)值，x的二次三項(xiàng)式ax?+bx+c的值都是平方數(shù)（即

整數(shù)的平方）。證明：（1）2a、2b、c都是整數(shù)；（2）a、b、c都是整數(shù)，并且

c是平方數(shù)；反過來，如果（2）成立，是否對一切的x的整數(shù)值，x的二次三

項(xiàng)式ax2+bx+c的值都是平方數(shù)？

全國初中數(shù)學(xué)競賽試題

一、選擇題（每小題5分，共30分）

1.設(shè)a<b<0,a2+b2=4ab,則j的值為()。

a-b

A,V3C、2D、3

日(a+b^_/+/+2a小6ab

答案：A.由題意：白〉0,

b且-a?+戶2as2ab

2.已知a=1999x+2000,b=1999x+200Lc=1999x+2002,則多項(xiàng)式a2

+r+（?—ab—be—ca的值為（）。

A、0B、1C、2D、3

222

答案：原式=1[(a-b)+(b-c)+(c-a)]=1[l+l+4]=3o

3.如圖，點(diǎn)E、F分別是矩形ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn)，連AF、CE交于點(diǎn)G,

則0四邊形AG。等于（)o

S矩

5422

A、B、C、D、

654

答案：設(shè)S矩形ABCD=1。因?yàn)镋、F是矩形ABCD中邊AB、BC的中點(diǎn),

2

2x+y=

:,得2x+2y=

所以S△GCF=SAGBF，設(shè)為X；SAGAE=S△GBE，設(shè)為yo則

x4-2y=

4

1

、2..

所以S四邊形AGCD二y-從而S四邊形AGCD?S矩形ABCD=2?3.

4.設(shè)a、b、c為實(shí)數(shù)，x=a2—2b+—,y=b2—2c+—,z=c2—2a+—,則

333

x、y、z中至少有一個(gè)值（)o

A、大于0B、等于0C、不大于0D、小于0

答案：由題意:x+y+z=a+b+c-2a-2b-2c+九-(a-l)+(b-l)+(c-l)+^-3>0

所以x、y、z中至少有一個(gè)大于0.

2

5.設(shè)關(guān)于x的方程ax+(a+2)x+9a=0,有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1、x2,且

X1<1<X2,那么a的取值范圍是()o

22222

A、--VaV—B、a>一C、a<--D、------<a<0

755711

答案：由題知：(x[l)區(qū)-1)〈0,即XiX2-(x1+x2)+l<0,代入韋達(dá)定理并整

理得衛(wèi)竺^〈0,可知選(A).

6.A1A2A3…Ag是一個(gè)正九邊形，AA=a,AA=b,則AN等于()o

A、Vtz2+b2B、-\la2+ab+b2C、+D、a+b

答案:.延長AA和A5A&相交于P,連結(jié)A2A*易證：APA內(nèi)和APA2A&

均為正△，且PA2=A2A4=A1A3=bo所以A1A5=PA1=a+b.

二、填空題(每小題5分，共30分)

7.設(shè)xcX,是關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+a=2的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，貝U(X1—

2x2)(x2-2xi)的最大值為o

答案：由△=(a-2)2+4>0知a為一切實(shí)數(shù).由韋達(dá)定理，得原式

63

=9XX_2(x1+x)2=_2a2+9a_18^--5—.

122o

8.已知a、b為拋物線y=(x—c)(x—c—d)—2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，a<b,

貝U+卜一b\的值為。

答案：由題知：(a-c)(a-c_d)—2=0,(b—c)(b—c_d)_2=0.所以a-c和b—c是

方程t(t-d)-2=0(BPt2-dt-2=0)的兩實(shí)根.所以(a-c)(b-c)=-2〈0.而\\

a<b,即a-c<b-c.所以a-c<0,b-c>0.所以原式=1廠2.V

9.如圖，在AABC中，NABC=60°,點(diǎn)P是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，使得NAPB=N"

BPC=ZCPA,且PA=8,PC=6,則PB=。

pDQ

答案：易證：APABsABCP,所以%―=A京得PB=4店"

10.如圖，大圓0的直徑AB=acm,分別以0A、0B為直徑作。01、002,并在。

0與OOi和。的空隙間作兩個(gè)等圓。。3和。0”這些圓互相內(nèi)切或外切，

則四邊形OQO3O4的面積為cm2o

aaaa

答案：設(shè)。的半徑為X,則0Q=W+x,064,030=2-x.所以(W

aaa1

+x)2=(4)2+(2一x)；解得x=6，易得菱形oaoa的面積為5/

11.滿足(I?—n—1尸+2=1的整數(shù)n有個(gè)。

答案：由題設(shè)得n2-n-l=±l,有5個(gè)根:0,1,-1,2.和-2

12.某商品的標(biāo)價(jià)比成本高p%,當(dāng)該商品降價(jià)出售時(shí)，為了不虧本，售

價(jià)的折扣(即降價(jià)的百分?jǐn)?shù))不得超過d%,則d可以用p表示

為。

答案：設(shè)成本為a,則a(1+p%)(l-d%)=a,得d=100

三、解答題(每小題20分，共60分)

9

13.某項(xiàng)工程，如果由甲、乙兩隊(duì)承包，2g天完成，需付180000元；由乙、

丙兩隊(duì)承包，3之天完成，需付150000兀；由甲、丙兩隊(duì)承包，2g天完成,

47

需付160000元?，F(xiàn)在工程由一個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包，在保證一周完成的前提下，

哪個(gè)隊(duì)的承包費(fèi)用最少？

答案：設(shè)單獨(dú)完成，甲、乙、丙各需a、b、c天.則

解得a=4,b=6,c=10(c〉7,舍去).

又設(shè)每天付給甲、乙、丙的費(fèi)用分別為x、y、z(元)，則

y(x+y)=180000

y(y+z)=150000

—(z+x)=160000

解得x=45500,y=29500,所以甲4天完成的總費(fèi)用為182000元，乙6天完成

的總費(fèi)用為177000元，所以由乙承包.

14.如圖，圓內(nèi)接六邊形ABCDEF滿足AB=CD=EF,且對角線AD、BE、CF交于

一點(diǎn)Q,設(shè)AD與CE的交點(diǎn)為P。

QD_ACCPAC2

(1)求證:(2)求證:

ED-ECPECE7

ED

答案：⑴易證N3=N4,所以NAEC=NDEQ,而NACE=N2,

A

所以AACEsAQDE.可得結(jié)論成立.

CPCQ

⑵分析：易證N6=N4,所以FC〃ED,所以最

ED

金

所以只需證rc言=定CP，

一、月C2

由⑴有市=市。

COQD1

所以只需證至云=■/,即QD?=CQXEQ.

這只需證ACQDsAEQD.

而由題設(shè)有N7=N3+N5=N4+N5,

由⑴有N9=NE