帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)最小非圓面積的一類題的解法

帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)最小非圓面積的一類題的解法磁聚焦與磁發(fā)散θαoθθ結(jié)果：θ=α對(duì)稱性：當(dāng)帶電粒子從同一邊界入射、出射時(shí)速度與邊界夾角相同。結(jié)果：θ=α對(duì)稱性：當(dāng)帶電粒子從同一邊界入射、出射時(shí)速度與邊界夾角相同。θαoθθo2第一類磁發(fā)散與磁聚焦v1po1v1v2o3v2v3v3xyOv0例1、在xoy平面內(nèi)有很多質(zhì)量為m，電量為e的電子，從坐標(biāo)原點(diǎn)O不斷以相同速率沿不同方向射入第一象限，如圖所示．現(xiàn)加一垂直于xOy平面向里、磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要求這些入射電子穿過(guò)磁場(chǎng)都能平行于x軸且沿x軸正向運(yùn)動(dòng)，試問(wèn)符合該條件的磁場(chǎng)的最小面積為多大？（不考慮電子間的相互作用）v0O1O2O3O4O5On所有電子的軌跡圓半徑相等，且均過(guò)O點(diǎn)。這些軌跡圓的圓心都在以O(shè)為圓心，半徑為r的且位于第Ⅳ象限的四分之一圓周上，如圖所示。

電子由O點(diǎn)射入第Ⅰ象限做勻速圓周運(yùn)動(dòng)1解1:xyOv0O1O2O3O4O5On即所有出射點(diǎn)均在以坐標(biāo)(0，r)為圓心的圓弧abO上，顯然，磁場(chǎng)分布的最小面積應(yīng)是實(shí)線1和圓弧abO所圍的面積，由幾何關(guān)系得由圖可知，a、b、c、d等點(diǎn)就是各電子離開磁場(chǎng)的出射點(diǎn)，在一個(gè)圓上，均應(yīng)滿足方程x2+(r－y)2=r2。abcd1解2:設(shè)P(x，y)為磁場(chǎng)下邊界上的一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的電子初速度與x軸夾角為

，則由圖可知：x=rsin

，

y=r－rcos

，得:x2+(y－r)2=r2。所以磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界也是半徑為r，圓心為(0，r)的圓弧應(yīng)是磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界。磁場(chǎng)上邊界如圖線1所示。xyOv01θP(x,y)Orr兩邊界之間圖形的面積即為所求。圖中的陰影區(qū)域面積，即為磁場(chǎng)區(qū)域面積：例2、（2009·海南·T16）如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形。質(zhì)量為m電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域。在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電子從BC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)。不計(jì)重力，求：（1）此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向；（2）此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。ABCDxyOv02解：（1）設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。令圓弧AEC是自C點(diǎn)垂直于BC入射的電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)行軌道。依題意，圓心在A、C連線的中垂線上，故B點(diǎn)即為圓心，圓半徑為a，按照牛頓定律有ev0B=mv02/a，得B=mv0/ea。ABCDEFpqOθ（2）自BC邊上其他點(diǎn)入射的電子運(yùn)動(dòng)軌道只能在BAEC區(qū)域中。因而，圓弧AEC是所求的最小磁場(chǎng)區(qū)域的一個(gè)邊界。（3）設(shè)某射中A點(diǎn)的電子速度方向與BA的延長(zhǎng)線夾角為θ的情形。該電子的運(yùn)動(dòng)軌跡qpA如圖所示。圖中圓弧Ap的圓心為O，pq垂直于BC邊，圓弧Ap的半徑仍為a，在D為原點(diǎn)、DC為x軸、DA為y軸的坐標(biāo)系中，p點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則

x=asinθ，y=-acosθ。因此，所求的最小勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，是分別以B和D為圓心、a為半徑的兩個(gè)四分之一圓周AEC和AFC所圍成的區(qū)域，其面積為S=2(πa2/4-a2/2)=(π-2)a2/2由④⑤式可得：x2+y2=a2，這意味著在范圍0≤θ≤π/2內(nèi)，p點(diǎn)處在以D為圓心、a為半徑的四分之一圓周AFC上，它是電子做直線運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的分界線，構(gòu)成所求磁場(chǎng)區(qū)域的另一邊界。圓形磁場(chǎng)的兩個(gè)特殊規(guī)律：磁聚焦和磁發(fā)散現(xiàn)象條件：當(dāng)磁場(chǎng)圓半徑與軌跡圓半徑相等時(shí)

磁聚焦：從磁場(chǎng)邊界上以相同速度平行入射的相同粒子,又會(huì)聚焦于磁場(chǎng)邊界上的同一點(diǎn)。

磁發(fā)散：反之,從磁場(chǎng)邊界上某點(diǎn)向四周發(fā)射速率相同的粒子,其出射方向都平行于入射點(diǎn)的切線方向.平行會(huì)聚于一點(diǎn)一點(diǎn)發(fā)散成平行磁發(fā)散原理圖解條件：圓形磁場(chǎng)區(qū)域半徑與粒子軌道半徑一樣O1O2AB演示演示磁聚焦原理演示演示條件：圓形磁場(chǎng)區(qū)域半徑與粒子軌道半徑一樣大?，F(xiàn)象：從圓心打出的任意方向的粒子飛出方向與入射點(diǎn)切線平行。拓展：可逆性磁聚焦原理例3、（2009年浙江卷）如圖，在xOy平面內(nèi)與y軸平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在半徑為R的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。在圓的左邊放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它沿x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量m、電荷量q(q＞0)和初速度v的帶電微粒。發(fā)射時(shí)，這束帶電微粒分布在0＜y＜2R的區(qū)間內(nèi)。已知重力加速度大小為g。（1）從A點(diǎn)射出的帶電微粒平行于x軸從C點(diǎn)進(jìn)入有磁場(chǎng)區(qū)域，并從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸負(fù)方向離開，求電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與方向。（2）請(qǐng)指出這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域，并說(shuō)明理由。（3）在這束帶電磁微粒初速度變?yōu)?v，那么它們與x軸相交的區(qū)域又在哪里？并說(shuō)明理由。xyRO/Ov帶點(diǎn)微粒發(fā)射裝置CxyRO/Ov帶點(diǎn)微粒發(fā)射裝置CPQr圖(c)xyRO/OvCAxyRO/vQPORθ圖(a)圖(b)3【答案】（1）；方向垂直于紙面向外（2）見解析（3）與x同相交的區(qū)域范圍是x>0.【解析】略【關(guān)鍵】圖示例4、如圖，在xOy平面內(nèi)，有以O(shè)′(R，0)為圓心，R為半徑的圓形磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直xOy平面向外，在y=R上方有范圍足夠大的勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向水平向右，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E。在坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一放射源，可以在xOy平面內(nèi)向y軸右側(cè)（x>0）發(fā)射出速率相同的電子，已知電子在該磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)半徑也為R，電子電量為e，質(zhì)量為m。不計(jì)重力及阻力的作用。（1）求電子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大??；（2）速度方向沿x軸正方向射入磁場(chǎng)的電子，求它到達(dá)y軸所需要的時(shí)間；（3）求電子能夠射到y(tǒng)軸上的范圍。xyOEO′RxyOEO′R例5、如圖所示，在xOy平面上－H<y<H的范圍內(nèi)有一片稀疏的電子，從x軸的負(fù)半軸的遠(yuǎn)外以相同的速率v0沿x

軸正向平行地向y軸射來(lái)，試設(shè)計(jì)一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域，使得：(1)所有電子都能在磁場(chǎng)力作用下通過(guò)原點(diǎn)O；(2)這一片電子最后擴(kuò)展到－2H<y<2H范圍內(nèi)，繼續(xù)沿x軸正向平行地以相同的速率v0向遠(yuǎn)處射出。已知電子的電量為e，質(zhì)量為m，不考慮電子間的相互作用。xOv0yH2H-2H-Hv0v0v0xOv0yH2H-2H-Hv0v0v0對(duì)稱思想xOv0yH2H-2H-Hv0v0v0對(duì)稱思想例6、(2008·重慶高考)如圖為一種質(zhì)譜儀工作原理示意圖。在以O(shè)為圓心，OH為對(duì)稱軸，夾角為2α的扇形區(qū)域內(nèi)分布著方向垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。對(duì)稱于OH軸的C和D分別是離子發(fā)射點(diǎn)和收集點(diǎn)。CM垂直磁場(chǎng)左邊界于M，且OM=d?，F(xiàn)有一正離子束以小發(fā)散角（紙面內(nèi)）從C射出，這些離子在CM方向上的分速度均為v0。若該離子束中比荷為q/m的離子都能會(huì)聚到D，試求：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向（提示：可考慮沿CM方向運(yùn)動(dòng)的離子為研究對(duì)象）；（2）離子沿與CM成θ角的直線

CN進(jìn)入磁場(chǎng)，其軌道半徑和在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；（3）線段CM的長(zhǎng)度。解：

6（1）如圖所示，設(shè)沿CM方向運(yùn)動(dòng)的離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，由R=d

，qv0B=mv02/R可得B=mv0/qd，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外。（2）設(shè)沿CN運(yùn)動(dòng)的離子速度大小為v，在磁場(chǎng)中的軌道半徑為R′，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t由vcosθ=v0，得v=v0/cosθ。R′=mv/qB=d/cosθ。設(shè)弧長(zhǎng)為s，t=s/v，s=2(θ+α)R′離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=2π

m/Bq，得：t=例7、如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M(0，1)處不斷向+y方向發(fā)射出大量質(zhì)量為m、帶電量為–q的粒子，粒子的初速度大小廣泛分布于零到v0之間。已知這些粒子此后所經(jīng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向里，所有粒子都沿+x方向經(jīng)過(guò)b區(qū)域，都沿－y的方向通過(guò)點(diǎn)N(3，0)。（1）通過(guò)計(jì)算，求出符合要求的磁場(chǎng)范圍的最小面積；（2）若其中速度為k1v0

和k2v0

的兩個(gè)粒子同時(shí)到達(dá)N點(diǎn)(1>k1>k2>0)，求二者發(fā)射的時(shí)間差。MOab