帶電粒子在磁場中的運動最小非圓面積的一類題的解法

帶電粒子在磁場中的運動最小非圓面積的一類題的解法磁聚焦與磁發(fā)散θαoθθ結果：θ=α對稱性：當帶電粒子從同一邊界入射、出射時速度與邊界夾角相同。結果：θ=α對稱性：當帶電粒子從同一邊界入射、出射時速度與邊界夾角相同。θαoθθo2第一類磁發(fā)散與磁聚焦v1po1v1v2o3v2v3v3xyOv0例1、在xoy平面內(nèi)有很多質(zhì)量為m，電量為e的電子，從坐標原點O不斷以相同速率沿不同方向射入第一象限，如圖所示．現(xiàn)加一垂直于xOy平面向里、磁感強度為B的勻強磁場，要求這些入射電子穿過磁場都能平行于x軸且沿x軸正向運動，試問符合該條件的磁場的最小面積為多大？（不考慮電子間的相互作用）v0O1O2O3O4O5On所有電子的軌跡圓半徑相等，且均過O點。這些軌跡圓的圓心都在以O為圓心，半徑為r的且位于第Ⅳ象限的四分之一圓周上，如圖所示。

電子由O點射入第Ⅰ象限做勻速圓周運動1解1:xyOv0O1O2O3O4O5On即所有出射點均在以坐標(0，r)為圓心的圓弧abO上，顯然，磁場分布的最小面積應是實線1和圓弧abO所圍的面積，由幾何關系得由圖可知，a、b、c、d等點就是各電子離開磁場的出射點，在一個圓上，均應滿足方程x2+(r－y)2=r2。abcd1解2:設P(x，y)為磁場下邊界上的一點，經(jīng)過該點的電子初速度與x軸夾角為

，則由圖可知：x=rsin

，

y=r－rcos

，得:x2+(y－r)2=r2。所以磁場區(qū)域的下邊界也是半徑為r，圓心為(0，r)的圓弧應是磁場區(qū)域的下邊界。磁場上邊界如圖線1所示。xyOv01θP(x,y)Orr兩邊界之間圖形的面積即為所求。圖中的陰影區(qū)域面積，即為磁場區(qū)域面積：例2、（2009·海南·T16）如圖，ABCD是邊長為a的正方形。質(zhì)量為m電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域。在正方形內(nèi)適當區(qū)域中有勻強磁場，電子從BC邊上的任意點入射，都只能從A點射出磁場。不計重力，求：（1）此勻強磁場區(qū)域中磁感應強度的大小和方向；（2）此勻強磁場區(qū)域的最小面積。ABCDxyOv02解：（1）設勻強磁場的磁感應強度的大小為B。令圓弧AEC是自C點垂直于BC入射的電子在磁場中的運行軌道。依題意，圓心在A、C連線的中垂線上，故B點即為圓心，圓半徑為a，按照牛頓定律有ev0B=mv02/a，得B=mv0/ea。ABCDEFpqOθ（2）自BC邊上其他點入射的電子運動軌道只能在BAEC區(qū)域中。因而，圓弧AEC是所求的最小磁場區(qū)域的一個邊界。（3）設某射中A點的電子速度方向與BA的延長線夾角為θ的情形。該電子的運動軌跡qpA如圖所示。圖中圓弧Ap的圓心為O，pq垂直于BC邊，圓弧Ap的半徑仍為a，在D為原點、DC為x軸、DA為y軸的坐標系中，p點的坐標為(x，y)，則

x=asinθ，y=-acosθ。因此，所求的最小勻強磁場區(qū)域，是分別以B和D為圓心、a為半徑的兩個四分之一圓周AEC和AFC所圍成的區(qū)域，其面積為S=2(πa2/4-a2/2)=(π-2)a2/2由④⑤式可得：x2+y2=a2，這意味著在范圍0≤θ≤π/2內(nèi)，p點處在以D為圓心、a為半徑的四分之一圓周AFC上，它是電子做直線運動和圓周運動的分界線，構成所求磁場區(qū)域的另一邊界。圓形磁場的兩個特殊規(guī)律：磁聚焦和磁發(fā)散現(xiàn)象條件：當磁場圓半徑與軌跡圓半徑相等時

磁聚焦：從磁場邊界上以相同速度平行入射的相同粒子,又會聚焦于磁場邊界上的同一點。

磁發(fā)散：反之,從磁場邊界上某點向四周發(fā)射速率相同的粒子,其出射方向都平行于入射點的切線方向.平行會聚于一點一點發(fā)散成平行磁發(fā)散原理圖解條件：圓形磁場區(qū)域半徑與粒子軌道半徑一樣O1O2AB演示演示磁聚焦原理演示演示條件：圓形磁場區(qū)域半徑與粒子軌道半徑一樣大?，F(xiàn)象：從圓心打出的任意方向的粒子飛出方向與入射點切線平行。拓展：可逆性磁聚焦原理例3、（2009年浙江卷）如圖，在xOy平面內(nèi)與y軸平行的勻強電場，在半徑為R的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強磁場。在圓的左邊放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它沿x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量m、電荷量q(q＞0)和初速度v的帶電微粒。發(fā)射時，這束帶電微粒分布在0＜y＜2R的區(qū)間內(nèi)。已知重力加速度大小為g。（1）從A點射出的帶電微粒平行于x軸從C點進入有磁場區(qū)域，并從坐標原點O沿y軸負方向離開，求電場強度和磁感應強度的大小與方向。（2）請指出這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域，并說明理由。（3）在這束帶電磁微粒初速度變?yōu)?v，那么它們與x軸相交的區(qū)域又在哪里？并說明理由。xyRO/Ov帶點微粒發(fā)射裝置CxyRO/Ov帶點微粒發(fā)射裝置CPQr圖(c)xyRO/OvCAxyRO/vQPORθ圖(a)圖(b)3【答案】（1）；方向垂直于紙面向外（2）見解析（3）與x同相交的區(qū)域范圍是x>0.【解析】略【關鍵】圖示例4、如圖，在xOy平面內(nèi)，有以O′(R，0)為圓心，R為半徑的圓形磁場區(qū)域，磁感應強度大小為B，方向垂直xOy平面向外，在y=R上方有范圍足夠大的勻強電場，方向水平向右，電場強度大小為E。在坐標原點O處有一放射源，可以在xOy平面內(nèi)向y軸右側（x>0）發(fā)射出速率相同的電子，已知電子在該磁場中的偏轉(zhuǎn)半徑也為R，電子電量為e，質(zhì)量為m。不計重力及阻力的作用。（1）求電子射入磁場時的速度大??；（2）速度方向沿x軸正方向射入磁場的電子，求它到達y軸所需要的時間；（3）求電子能夠射到y(tǒng)軸上的范圍。xyOEO′RxyOEO′R例5、如圖所示，在xOy平面上－H<y<H的范圍內(nèi)有一片稀疏的電子，從x軸的負半軸的遠外以相同的速率v0沿x

軸正向平行地向y軸射來，試設計一個磁場區(qū)域，使得：(1)所有電子都能在磁場力作用下通過原點O；(2)這一片電子最后擴展到－2H<y<2H范圍內(nèi)，繼續(xù)沿x軸正向平行地以相同的速率v0向遠處射出。已知電子的電量為e，質(zhì)量為m，不考慮電子間的相互作用。xOv0yH2H-2H-Hv0v0v0xOv0yH2H-2H-Hv0v0v0對稱思想xOv0yH2H-2H-Hv0v0v0對稱思想例6、(2008·重慶高考)如圖為一種質(zhì)譜儀工作原理示意圖。在以O為圓心，OH為對稱軸，夾角為2α的扇形區(qū)域內(nèi)分布著方向垂直于紙面的勻強磁場。對稱于OH軸的C和D分別是離子發(fā)射點和收集點。CM垂直磁場左邊界于M，且OM=d?，F(xiàn)有一正離子束以小發(fā)散角（紙面內(nèi)）從C射出，這些離子在CM方向上的分速度均為v0。若該離子束中比荷為q/m的離子都能會聚到D，試求：（1）磁感應強度的大小和方向（提示：可考慮沿CM方向運動的離子為研究對象）；（2）離子沿與CM成θ角的直線

CN進入磁場，其軌道半徑和在磁場中的運動時間；（3）線段CM的長度。解：

6（1）如圖所示，設沿CM方向運動的離子在磁場中做圓周運動的軌道半徑為R，由R=d

，qv0B=mv02/R可得B=mv0/qd，磁場方向垂直紙面向外。（2）設沿CN運動的離子速度大小為v，在磁場中的軌道半徑為R′，運動時間為t由vcosθ=v0，得v=v0/cosθ。R′=mv/qB=d/cosθ。設弧長為s，t=s/v，s=2(θ+α)R′離子在磁場中做勻速圓周運動的周期T=2π

m/Bq，得：t=例7、如圖，在直角坐標系xOy中，點M(0，1)處不斷向+y方向發(fā)射出大量質(zhì)量為m、帶電量為–q的粒子，粒子的初速度大小廣泛分布于零到v0之間。已知這些粒子此后所經(jīng)磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向里，所有粒子都沿+x方向經(jīng)過b區(qū)域，都沿－y的方向通過點N(3，0)。（1）通過計算，求出符合要求的磁場范圍的最小面積；（2）若其中速度為k1v0

和k2v0

的兩個粒子同時到達N點(1>k1>k2>0)，求二者發(fā)射的時間差。MOab