2020-2021學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)選修2-1作業(yè)：2.4.1-拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

PAGE第二章2.42.4.1基礎(chǔ)練習(xí)1．過(guò)點(diǎn)A(1,0)且與y軸相切的圓的圓心的軌跡為()A．直線 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【解析】設(shè)P為滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離等于點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離，即點(diǎn)P在以點(diǎn)A為焦點(diǎn)，y軸為準(zhǔn)線的拋物線上，所以點(diǎn)P的軌跡為拋物線．故選D．2．點(diǎn)(7，－4)到拋物線y2＝16x焦點(diǎn)的距離是()A．5 B．8C．11 D．15【答案】A【解析】拋物線的焦點(diǎn)為(4,0)，點(diǎn)(7，－4)到點(diǎn)(4,0)的距離為eq\r(7－42＋－42)＝5.故選A．3．拋物線y2＝24ax(a>0)上有一點(diǎn)M，它的橫坐標(biāo)為3，它到焦點(diǎn)的距離是5，則拋物線的方程是()A．y2＝8x B．y2＝12xC．y2＝16x D．y2＝20x【答案】A【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－6a，由題意得3＋6a＝5，∴a＝eq\f(1,3).∴拋物線的方程是y2＝8x.故選A．4．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A．2 B．3C．eq\f(11,5) D．eq\f(37,16)【答案】A【解析】設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F，則點(diǎn)F為(1,0)，x＝－1為拋物線的準(zhǔn)線方程，∴點(diǎn)P到l2的距離與|PF|相等．∴當(dāng)PF⊥l1時(shí)，所求和最小，最小值為點(diǎn)F到l1的距離，其值為eq\f(|4＋6|,5)＝2.故選A．5.拋物線5x2－2y＝0的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是.【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,10)))y＝－eq\f(1,10)【解析】拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為x2＝eq\f(2,5)y，因?yàn)閜＝eq\f(1,5)，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,10)))，準(zhǔn)線方程是y＝－eq\f(1,10).6．(2019年江蘇南京模擬)經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F作直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，如果A，B在拋物線C的準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，那么∠A1FB1的大小為_(kāi)_______．【答案】eq\f(π,2)【解析】由拋物線的定義可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，故∠BFB1＝∠BB1F，∠AFA1＝∠AA1F.又∠OFB1＝∠BB1F，∠OFA1＝∠AA1F，故∠BFB1＝∠OFB1，∠AFA1＝∠OFA1，∴∠OFA1＋∠OFB1＝eq\f(1,2)×π＝eq\f(π,2)，即∠A1FB1＝eq\f(π,2).7．分別求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)過(guò)點(diǎn)(－3,2)；(2)焦點(diǎn)在直線x－2y－4＝0上．解：(1)若拋物線焦點(diǎn)落在x軸上，設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p>0)．將點(diǎn)(－3,2)代入方程得22＝－2p·(－3)，p＝eq\f(2,3).故拋物線方程為y2＝－eq\f(4,3)x.若拋物線焦點(diǎn)落在y軸上，設(shè)拋物線方程為x2＝2py(p>0)．將點(diǎn)(－3,2)代入方程得(－3)2＝2p·2，p＝eq\f(9,4).故拋物線方程為x2＝eq\f(9,2)y.綜上，拋物線方程為y2＝－eq\f(4,3)x或x2＝eq\f(9,2)y.(2)直線x－2y－4＝0與x軸的交點(diǎn)為(4,0)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)．設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，eq\f(p,2)＝4，p＝8，則拋物線方程為y2＝16x.直線x－2y－4＝0與y軸的交點(diǎn)為(0，－2)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－2)．設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，－eq\f(p,2)＝－2，p＝4，則拋物線方程為x2＝－8y.綜上，拋物線方程為y2＝16x或x2＝－8y.8．(1)設(shè)斜率為2的直線l過(guò)拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A．若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，求該拋物線方程；(2)若點(diǎn)P到點(diǎn)F(0,2)的距離比它到直線y＋4＝0的距離小2，求點(diǎn)P的軌跡方程．解：(1)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，故直線l的方程為y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,4))).令x＝0得y＝－eq\f(a,2)，故△OAF的面積為eq\f(1,2)×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)))×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝eq\f(a2,16)＝4.解得a＝±8.∴拋物線方程為y2＝±8x.(2)由題意知點(diǎn)P到點(diǎn)F(0,2)的距離比它到y(tǒng)＋4＝0的距離小2，∴點(diǎn)P到點(diǎn)F(0,2)的距離與到直線y＋2＝0的距離相等．∴點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，y＝－2為準(zhǔn)線的拋物線．∴點(diǎn)P的軌跡方程為x2＝8y.能力提升9．已知點(diǎn)F為拋物線y2＝－8x的焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線上且|AF|＝4，則|PA|＋|PO|的最小值為()A．6 B．2＋4eq\r(2)C．2eq\r(13) D．4＋2eq\r(5)【答案】C【解析】設(shè)A(x0，y0)．∵|AF|＝4，由拋物線的定義得|AF|＝2－x0，∴2－x0＝4.解得x0＝－2.∴A(－2，±4)．設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線x＝2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為B(4,0)，則|PA|＋|PO|＝|PA|＋|PB|≥|AB|＝eq\r(4＋22＋42)＝2eq\r(13).故選C．10．(2019年河北邢臺(tái)模擬)從拋物線y2＝4x上的一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且|PM|＝5，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，則△MPF的內(nèi)切圓的面積為()A．eq\f(15－3\r(5),2)π B．eq\f(15－5\r(5),2)πC．eq\f(17－3\r(5),2)π D．eq\f(17－5\r(5),2)π【答案】B【解析】如圖，∵|PM|＝5，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,4)．∴S△PMF＝eq\f(1,2)×5×4＝10.設(shè)△PMF的內(nèi)切圓圓心為O′，半徑為r，則S△PMF＝S△O′PM＋S△O′PF＋S△O′MF，即eq\f(1,2)(5＋5＋2eq\r(5))r＝10.解得r＝eq\f(5－\r(5),2).故△PMF內(nèi)切圓的面積為πr2＝eq\f(15－5\r(5),2)π.11．已知拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，P是拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)，Q是直線PF與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，若eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\r(2)eq\o(QF,\s\up6(→))，則直線PF的方程為_(kāi)_______．【答案】x＋y－2＝0或x－y－2＝0【解析】拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)F(2,0)，設(shè)點(diǎn)Q到準(zhǔn)線l的距離為d，則|QF|＝d.∵eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\r(2)eq\o(QF,\s\up6(→))，∴|eq\o(PQ,\s\up6(→))|＝|eq\r(2)eq\o(QF,\s\up6(→))|＝eq\r(2)d.∴直線PF的傾斜角為45°或135°.∴直線PF的斜率為±1.∴直線PF的方程為x＋y－2＝0或x－y－2＝0.12．已知拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，拋物線上的一點(diǎn)R與焦點(diǎn)連線的中點(diǎn)為M(－5,4)，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：由題意，知拋物線的焦點(diǎn)一定在x軸的負(fù)半軸上，設(shè)其方程為y2＝－2px(p>0)，則Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，令R(x0，y0)．