2024年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練 專題11 利用垂線段最短求最值三大類型含“胡不歸”（知識(shí)解讀）

專題11利用垂線段最短求最值（三大類型含“胡不歸”)（知識(shí)解讀）【專題說(shuō)明】初中幾何的最值問(wèn)題，主要是求一條或兩條線段長(zhǎng)度的最大（最?。┲?，三角形或四邊形周長(zhǎng)的最小值，對(duì)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題可以通過(guò)諸如“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”等定理解決【方法技巧】類型一：一動(dòng)一定型如圖，已知直線l外一定點(diǎn)A和直線l上一動(dòng)點(diǎn)B，求A、B之間距離的最小值。通常過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線AB，利用垂線段最短解決問(wèn)題，即連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．類型二：兩動(dòng)一定型如圖，直線AB，AC相交于點(diǎn)A，點(diǎn)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P，點(diǎn)N分別是AC，AB上一動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)P，N的位置，使MP+PN的值最?。忸}思路：一找：第一步：作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M；第二步：過(guò)點(diǎn)M′作M′N⊥AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)P；二證：證明MP+PN的最小值為M′N．類型三：一定兩動(dòng)型（胡不歸問(wèn)題）“胡不歸”問(wèn)題即點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)的“PA＋k·PB(0<k<1)”型最值問(wèn)題.問(wèn)題：如圖①，已知sin∠MBN＝k，點(diǎn)P為∠MBN其中一邊BM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在射線BM、BN的同側(cè)，連接AP，則當(dāng)“PA＋k·PB”的值最小時(shí)，點(diǎn)P的位置如何確定？解題思路：過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BN于點(diǎn)Q，則k·PB＝PB·sin∠MBN＝PQ，∴可將求“PA＋k·PB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA＋PQ”的最小值(如圖②)，∴當(dāng)A、Q、P三點(diǎn)共線時(shí)，PA＋PQ的值最小(如圖③)，此時(shí)AQ⊥BN.【典例分析】【典例1】模型分析問(wèn)題：如圖，點(diǎn)A為直線l外一定點(diǎn)，點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)P的位置，使AP的值最小．解題思路：一找：過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線交直線l于點(diǎn)P；二證：證明AP是點(diǎn)A到直線l的最短距離．請(qǐng)寫出【模型分析】中解題思路“二證”的過(guò)程．【變式1-1】如圖，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP．（1）線段BP的最小值為；（2）若以AP，BP為鄰邊作?APBQ，連接PQ，則線段PQ的最小值為．【變式1-2】如圖，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且與邊AC相切的動(dòng)圓與AB，BC分別相交于點(diǎn)P，Q，則線段PQ的最小值為．【變式1-3】如圖，Rt△ABC斜邊AC的長(zhǎng)為4，⊙C的半徑為1，Rt△ABC與⊙C重合的面積為，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙C的切線PQ，切點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為．【典例2】如圖，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是CD和BC上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是．【變式2-1】如圖，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在AC，BC上，則EM+MN的最小值為．【變式2-3】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，EF⊥BC于點(diǎn)F，EG⊥CD于點(diǎn)G，連接FG，則EF+FG的最小值為．【變式2-4】如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+x+2的圖象與x軸交于A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，N為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM，MN，求AM+MN的最小值．【典例3】模型分析問(wèn)題：如圖，點(diǎn)A為直線l上一定點(diǎn)，點(diǎn)B為直線l外一定點(diǎn)，點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)P的位置，使kAP+BP（0＜k＜1）的值最小．解題思路：一找：找?guī)в邢禂?shù)k的線段AP；二構(gòu)：在直線l下方構(gòu)造以線段AP為斜邊的直角三角形；①在直線l上找一點(diǎn)P′，以定點(diǎn)A為頂點(diǎn)作角∠NAP′，使sin∠NAP'＝k；②過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AN于點(diǎn)E，交直線l于點(diǎn)P，構(gòu)造Rt△APE；三轉(zhuǎn)化：化折為直，將kAP轉(zhuǎn)化為PE；四證：證明kAP+BP的最小值為BE的長(zhǎng)．請(qǐng)根據(jù)“解題思路”寫出求kAP+BP最小值的完整過(guò)程．【變式3-1】如圖，四邊形ABCD為菱形，∠B＝60°，AB＝4，點(diǎn)E為AD上的定點(diǎn)，且AE＜ED，F(xiàn)為AC上的動(dòng)點(diǎn)，則EF+FC的最小值為．【變式3-2】如圖，在正方形ABCD中，AB＝10，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)F為對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，則EF+BF的最小值為．【變式3-3】如圖，在Rt△ABC中，AC＝10，∠C＝30°，點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則2AD+CD的最小值為．專題11利用垂線段最短求最值（三大類型含“胡不歸”)（知識(shí)解讀）【專題說(shuō)明】初中幾何的最值問(wèn)題，主要是求一條或兩條線段長(zhǎng)度的最大（最?。┲?，三角形或四邊形周長(zhǎng)的最小值，對(duì)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題可以通過(guò)諸如“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”等定理解決【方法技巧】類型一：一動(dòng)一定型如圖，已知直線l外一定點(diǎn)A和直線l上一動(dòng)點(diǎn)B，求A、B之間距離的最小值。通常過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線AB，利用垂線段最短解決問(wèn)題，即連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．類型二：兩動(dòng)一定型如圖，直線AB，AC相交于點(diǎn)A，點(diǎn)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P，點(diǎn)N分別是AC，AB上一動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)P，N的位置，使MP+PN的值最?。忸}思路：一找：第一步：作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M；第二步：過(guò)點(diǎn)M′作M′N⊥AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)P；二證：證明MP+PN的最小值為M′N．類型三：一定兩動(dòng)型（胡不歸問(wèn)題）“胡不歸”問(wèn)題即點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)的“PA＋k·PB(0<k<1)”型最值問(wèn)題.問(wèn)題：如圖①，已知sin∠MBN＝k，點(diǎn)P為∠MBN其中一邊BM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在射線BM、BN的同側(cè)，連接AP，則當(dāng)“PA＋k·PB”的值最小時(shí)，點(diǎn)P的位置如何確定？解題思路：過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BN于點(diǎn)Q，則k·PB＝PB·sin∠MBN＝PQ，∴可將求“PA＋k·PB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA＋PQ”的最小值(如圖②)，∴當(dāng)A、Q、P三點(diǎn)共線時(shí)，PA＋PQ的值最小(如圖③)，此時(shí)AQ⊥BN.【典例分析】【典例1】模型分析問(wèn)題：如圖，點(diǎn)A為直線l外一定點(diǎn)，點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)P的位置，使AP的值最?。忸}思路：一找：過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線交直線l于點(diǎn)P；二證：證明AP是點(diǎn)A到直線l的最短距離．請(qǐng)寫出【模型分析】中解題思路“二證”的過(guò)程．【解答】解：如圖所示：∵AP⊥l于點(diǎn)P，∴AP是點(diǎn)A到直線l的最短距離．【變式1-1】如圖，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP．（1）線段BP的最小值為；（2）若以AP，BP為鄰邊作?APBQ，連接PQ，則線段PQ的最小值為．【答案】（1）2（2）【解答】（1）當(dāng)BP⊥AC時(shí)，BP取最小值，∵AC＝8，∠BAC＝30°，∴AB＝AC?cos30°＝4，∴BP最?。紸B?sin30°＝2；故答案為：2；（2）根據(jù)題意，作圖如下：∵四邊形APBQ是平行四邊形，∵AO＝AB＝2，PQ＝2OP，∴要求PQ的最小值，即求OP的最小值，當(dāng)OP⊥AC時(shí)，OP取最小值，∴OP＝AO?sin30°＝，∴PQ的最小值為．故答案為：．【變式1-2】如圖，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且與邊AC相切的動(dòng)圓與AB，BC分別相交于點(diǎn)P，Q，則線段PQ的最小值為．【答案】【解答】解：取PQ的中點(diǎn)O，過(guò)O點(diǎn)作OD⊥AC于D，過(guò)B點(diǎn)作BH⊥AC于H，連接OB，如圖，在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∵BH?AC＝AB?CB，∴BH＝＝，∵∠PBQ＝90°，∴PQ為⊙O的直徑，∵⊙O與AC相切，OD⊥AC，∴OD為⊙O的半徑，∵OB+OD≥BH（當(dāng)且僅當(dāng)D點(diǎn)與重合時(shí)取等號(hào)），∴OB+OD的最小值為BH的長(zhǎng)，即⊙O的直徑的最小值為，∴線段PQ的最小值為．故答案為：．【變式1-3】如圖，Rt△ABC斜邊AC的長(zhǎng)為4，⊙C的半徑為1，Rt△ABC與⊙C重合的面積為，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙C的切線PQ，切點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為．【答案】【解答】解：設(shè)∠C＝n°，∵Rt△ABC與⊙C重合的面積為，∴＝，解得n＝60，即∠C＝60°，∵Rt△ABC斜邊AC的長(zhǎng)為4，∠C＝60°，∴BC＝AC＝2，連接CQ，CP，如圖，∵PQ為⊙C的切線，∴CQ⊥PQ，∴∠CQP＝90°，∴PQ＝＝，∴當(dāng)CP最小時(shí)，PQ最小，∵當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP最短，此時(shí)CP＝CB＝2，∴PQ的最小值為＝．故答案為：．【典例2】如圖，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是CD和BC上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是．【答案】4【解答】解：如圖，∵CA＝CB，D是AB的中點(diǎn)，∴CD是∠ACB的平分線，∴點(diǎn)N關(guān)于CD的對(duì)稱N′在AC上，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H．∵AC＝6，S△ABC＝12，∴×6?BH＝12，解得BH＝4，∵BM+MN＝BM+MN′≥BH＝4，∴BM+MN的最小值為4．故答案為：4．【變式2-1】如圖，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在AC，BC上，則EM+MN的最小值為．【答案】【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC平分∠BCD，AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，∴CD＝＝＝5，在CD上取一點(diǎn)N′，使得CN＝CN′，連接MN′，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CD于點(diǎn)H．∵菱形ABCD的面積＝?AC?BD＝CD?AH，∴AH＝＝＝，∵CN＝CN′，∠MCN＝∠MCN′，CM＝CM，∴△MCN≌△MCN′（SAS），∴MN＝MN′，∴EM+MN＝EM+MN′≥AH＝，∴ME+MN的最小值為．故答案為：．【變式2-3】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，EF⊥BC于點(diǎn)F，EG⊥CD于點(diǎn)G，連接FG，則EF+FG的最小值為．【答案】【解答】解：如圖，在AD上取一點(diǎn)P，使得PD＝PB，連接BP，PC，EC，過(guò)點(diǎn)C作CJ⊥BP于點(diǎn)J，過(guò)點(diǎn)E作EK⊥BP于點(diǎn)K．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6，AD∥BC，∠A＝90°，設(shè)PD＝PB＝x，則x2＝（6﹣x）2+42，∴x＝，∵S△PBC＝?PB?CJ＝×6×4，∴CJ＝，∵AD∥CB，∴∠ADB＝∠DBC，∵PD＝PB，∴∠PDB＝∠PBD，∴∠PBD＝∠PBC，∵EK⊥BC，EK⊥BP，∴EF＝EK，∵EG⊥CD，∴∠EFC＝∠FCG＝∠CGF＝90°，∴四邊形EFCG是矩形，∴FG＝EC，∴EF+FG＝EK+CE≥CJ＝，∴EF+FH的最小值為．故答案為：．【變式2-4】如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+x+2的圖象與x軸交于A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，N為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM，MN，求AM+MN的最小值．【答案】4【解答】解：將x＝0代入y＝﹣x2+x+2得y＝2，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為2，令0＝﹣x2+x+2，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），∴AC＝＝，BC＝＝2，AB＝5，∵AC2+BC2＝AB2，∴△ACB為直角三角形，∠ACB＝90°，∴點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)A'坐標(biāo)為（1，4），∵BC是AA'的垂直平分線，∴A'M＝AM，即AM+MN＝A'M+MN，∴當(dāng)A'N⊥x軸時(shí)，AM+MN的最小值為A'N的長(zhǎng)度，故答案為：4．【典例3】模型分析問(wèn)題：如圖，點(diǎn)A為直線l上一定點(diǎn)，點(diǎn)B為直線l外一定點(diǎn)，點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)P的位置，使kAP+BP（0＜k＜1）的值最?。忸}思路：一找：找?guī)в邢禂?shù)k的線段AP；二構(gòu)：在直線l下方構(gòu)造以線段AP為斜邊的直角三角形；①在直線l上找一點(diǎn)P′，以定點(diǎn)A為頂點(diǎn)作角∠NAP′，使sin∠NAP'＝k；②過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AN于點(diǎn)E，交直線l于點(diǎn)P，構(gòu)造Rt△APE；三轉(zhuǎn)化：化折為直，將kAP轉(zhuǎn)化為PE；四證：證明kAP+BP的最小值為BE的長(zhǎng)．請(qǐng)根據(jù)“解題思路”寫出求kAP+BP最小值的完整過(guò)程．【解答】解：如圖，在直線l上找一點(diǎn)P′，以定點(diǎn)A為頂點(diǎn)作∠NAP′，使sin∠NAP'＝k，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AN于點(diǎn)E，交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求的位置，理由如下：∵BE⊥AN，∴∠AEP＝90°，∴sin∠NAP′＝＝k，∴PE＝kAP，∵BE⊥AN，∴點(diǎn)B到AN的最短線段為BE，∵BE＝PE+BP，即BE＝kAP+BP，∴此時(shí)，kAP+BP（0＜k＜1）的值最?。咀兪?-1】如圖，四邊形ABCD為菱形，∠B＝60°，AB＝4，點(diǎn)E為AD上的定點(diǎn)，且AE＜ED，F(xiàn)為AC上的動(dòng)點(diǎn)，則EF+FC的最小值為．【答案】3【解答】解：過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，連接EH，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝6，∵∠B＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝6，AM＝AB?sin60°＝3，∠ACB＝60°，∴FH＝CF?sin60°＝CF，∴EF+FC＝EF+FH≥EH