2023-2024學(xué)年四川省涼山州高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年四川省涼山州高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．考試時(shí)間共120分鐘，滿分150分注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上．2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．3．答非選擇題時(shí)，必須使用0．5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效．5．考試結(jié)束后，只將答題卡交回．第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知首項(xiàng)為1的數(shù)列中，則（

）A． B． C． D．22．已知等差數(shù)列中，，公差，如果，，成等比數(shù)列，那么等于（

）A．2或 B． C．2 D．33．已知，若，則等于（

）A．0 B．1 C．e D．2e4．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．5．若數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．6．已知函數(shù)，若數(shù)列滿足，且是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，，若，且關(guān)于x不等式在上恒成立，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．?dāng)?shù)列滿足，則等于（

）A．2565 B．2575 C．2585 D．2595二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知數(shù)列是等比數(shù)列，則下列結(jié)論中正確的是（）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．若，，則C．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列D．若數(shù)列的前和，則10．已知在處取得極大值1，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．對(duì)稱中心為C． D．11．下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非選擇題，共77分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．在等差數(shù)列中，，則.13．已知函數(shù)在上存在遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．14．已知，關(guān)于x的方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，是以1為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列．(1)求的表達(dá)式和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：16．設(shè)數(shù)列滿足：，，且，對(duì)成立.(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求和的通項(xiàng)公式.17．已知函數(shù)，(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，求a的范圍．18．雪花是一種美麗的結(jié)晶體，放大任意一片雪花的局部，會(huì)發(fā)現(xiàn)雪花的局部和整體的形狀竟是相似的，如圖是瑞典科學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案，其作法如下：將圖①中正三角形的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為一邊向形外作正三角形，再去掉底邊，得到圖②；將圖②的每條邊三等分，重復(fù)上述的作圖方法，得到圖③；……按上述方法，所得到的曲線稱為科赫雪花曲線（Kochsnowflake）．現(xiàn)將圖①、圖②、圖③、…中的圖形依次記為、、…、、…．小明為了研究圖形的面積，把圖形的面積記為，假設(shè)a1＝1，并作了如下探究：P1P2P3P4…Pn邊數(shù)31248192…從P2起，每一個(gè)比前一個(gè)圖形多出的三角形的個(gè)數(shù)31248…從P2起，每一個(gè)比前一個(gè)圖形多出的每一個(gè)三角形的面積…根據(jù)小明的假設(shè)與思路，解答下列問題．(1)填寫表格最后一列，并寫出與的關(guān)系式；(2)根據(jù)（1）得到的遞推公式，求的通項(xiàng)公式；(3)從第幾個(gè)圖形開始，雪花曲線所圍成的面積大于．參考數(shù)據(jù)19．已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程．(2)設(shè)分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，記，；①證明：直線與曲線交于另一個(gè)點(diǎn)C；②在①的條件下，判斷是否存在常數(shù)，使得，若存在，求n；若不存在，說(shuō)明理由．附：，1．B【分析】根據(jù)遞推關(guān)系逐項(xiàng)求解即可.【詳解】∵，，，，.故選:B.2．C【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)行基本量代換，求出公差d即可.【詳解】因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，因?yàn)?，所以，解得：d=2（d=0舍去）.故選：C3．B【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，即可求解.【詳解】因?yàn)?，由于時(shí)，均為單調(diào)遞增函數(shù)，且函數(shù)值均為正，故在上單調(diào)遞增，又，而當(dāng)時(shí)，，故，則，故選：B4．A【分析】根據(jù)函數(shù)解析求出定義域，求導(dǎo)，求解單調(diào)性.【詳解】由的定義域?yàn)?，，令，解?當(dāng),則，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：A5．D【分析】由，分兩步，當(dāng)求出，當(dāng)時(shí)得到，兩式作差即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；【詳解】解：因?yàn)棰伲?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)②，①②得，所以，當(dāng)時(shí)也成立，所以；故選：D6．C【分析】依題意函數(shù)在各段單調(diào)遞增且需滿足，即可得到不等式組，求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，，且是遞增數(shù)列，則，解得．故選：C7．D【分析】由題意可知在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)分別求出，即，解不等式即可.【詳解】由，得，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故；由，得，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故.因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以在上恒成立，即，解得，即?shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：D8．D【分析】當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,兩式相加可得，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，①；當(dāng)時(shí)，②，①+②，可得.所以，，…，所以.故選:D.9．AC利用等比數(shù)列的定義可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)的正誤；分和兩種情況討論，求得對(duì)應(yīng)的的取值范圍，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷C選項(xiàng)的正誤；求得、、，由求得的值，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，且.對(duì)于A選項(xiàng)，，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，又因?yàn)?，則與同為正數(shù)，則，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，若，由可得，可得，解得，則，，則，此時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列；若，由可得，可得，解得，則，，則，此時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列.綜上所述，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，，，由于數(shù)列是等比數(shù)列，則，即，解得，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.本題考查等比數(shù)列的定義、等比中項(xiàng)的性質(zhì)以及等比求和相關(guān)命題正誤的判斷，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題.10．ABD【分析】根據(jù)以及，結(jié)合極值點(diǎn)的定義可得時(shí)，，即可求解ACD,根據(jù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可求解D.【詳解】由題意可得，且是函數(shù)的極大值點(diǎn)，即，可得，又極大值為1，所以，解得或；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，時(shí)，，時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；此時(shí)函數(shù)在處取得極小值，與題意不符，即舍去，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；此時(shí)函數(shù)在處取得極大值，符合題意，所以，，即，所以A正確，此時(shí)，由于函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以關(guān)于對(duì)稱，故對(duì)稱中心為，B正確，即D正確．故選：ABD11．ABD【分析】通過(guò)證明，即可判斷A，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷B，令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷D，令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即恒成立，則恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以恒成立，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，綜上可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞減，所以，即，故，故B正確；對(duì)于C，令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，即任意，，又，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，又，，所以，則在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立，所以，故D正確.故選：ABD關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小.12．20【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算出答案.【詳解】在等差數(shù)列中，，所以，所以.故2013．【分析】求導(dǎo)得，由題意可得在區(qū)間上能成立，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意得的定義域?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在遞減區(qū)間，即在區(qū)間上能成立.設(shè)，，開口向上，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以，則，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為:.14．【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，作出函數(shù)的圖象，令，則所求等價(jià)于有兩個(gè)不同實(shí)根，則.當(dāng)時(shí)，不滿足，舍去．則或，根據(jù)二次方程根的分布即可求解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)函數(shù)有最小值．當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，.作出函數(shù)的圖象如圖所示：

令，則所求等價(jià)于有兩個(gè)不同實(shí)根，則.不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，不滿足，舍去．則或．當(dāng)時(shí)，可得,與矛盾，故舍去；當(dāng)，設(shè)，因?yàn)?，所?即，所以.故答案為:.15．(1)，(2)證明見解析【分析】（1）求出給定的等差數(shù)列通項(xiàng)公式，再利用前項(xiàng)和求通項(xiàng)的方法求解作答即可；（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合裂項(xiàng)相消法即可得解.【詳解】（1）因?yàn)槭且?為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列,所以，即，當(dāng)時(shí)，，即，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知：,所以，即.16．(1)證明見解析(2)，【分析】（1）變換得到，計(jì)算，得到證明；（2）確定，變換得到，解得答案.【詳解】（1）移項(xiàng)得到，，相加得，所以，因?yàn)?，所以是首?xiàng)為5，公比為的等比數(shù)列；（2），，所以對(duì)成立，解得，對(duì)成立，故和.17．(1)答案見解析；(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分類討論求出的單調(diào)區(qū)間即可.（2）利用（1）的結(jié)論，分類討論求出最大值，結(jié)合已知列出不等式求解即得.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由得或，由得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，由得或，由得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（2）由（1）知，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)在上的最大值為；②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上的最大值只有可能是或，由在上的最大值為，得，則，③當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上的最大值可能是或，由在上的最大值為，得，則，綜上，a的范圍.18．(1)填表見解析；(2)(3)第7個(gè)【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)的規(guī)律及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式填寫表格最后一列，進(jìn)而得出與的關(guān)系式；（2）利用累加法求解；（3）由題意，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解．【詳解】（1）圖形、、…、、…的邊數(shù)是以3為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，則圖形的邊數(shù)為；從P2起，每一個(gè)比前一個(gè)圖形多出的三角形的個(gè)數(shù)是以3為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，則比前一個(gè)圖形多出的三角形的個(gè)數(shù)為；從P2起，每一個(gè)比前一個(gè)圖形多出的每一個(gè)三角形的面積是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則比前一個(gè)圖形多出的每一個(gè)三角形的面積是．P1P2P3P4…Pn邊數(shù)31248192…從P2起，每一個(gè)比前一個(gè)圖形多出的三角形的個(gè)數(shù)31248…從P2起，每一個(gè)比前一個(gè)圖形多出的每一個(gè)三角形的面積…所以，即．（2）當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)椋仙鲜剑裕?）由，得，則，所以，故，由，，故，又因?yàn)?，所以，所以從?個(gè)圖形開始雪花曲線所圍成的面積大于．19．(1)(2)①證明見解析，②存在，【分析】（1）當(dāng)，求解在的切線方程；（2）①求出直線的方程，然后與聯(lián)立得，構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求解有個(gè)零點(diǎn)即可求解；②中由①可得，假設(shè)存在，則，從而可求得，再構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出的零點(diǎn)，從而可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，故，所以當(dāng)時(shí)，，所以在處的切線方程是，即（2）因?yàn)?，則，令得或，當(dāng)與時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．所以是的極大值，是