安徽省池州一中2023-2024學(xué)年高三最后一模數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

安徽省池州一中2023-2024學(xué)年高三最后一模數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又是上的單調(diào)函數(shù)的是()A. B.C. D.2.已知函數(shù),若對于任意的,函數(shù)在內(nèi)都有兩個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.3.設(shè)為坐標原點,是以為焦點的拋物線上任意一點,是線段上的點,且,則直線的斜率的最大值為()A.1 B. C. D.4.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位),則z的虛部為()A.2 B. C.4 D.5.在區(qū)間上隨機取一個數(shù),使得成立的概率為等差數(shù)列的公差,且,若,則的最小值為()A.8 B.9 C.10 D.116.已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為,直線與其相交于,兩點,若中點的橫坐標為,則此雙曲線的方程是A. B.C. D.7.如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E為AD的中點,若,則λ+μ的值為()A. B. C. D.8.已知,,若,則向量在向量方向的投影為()A. B. C. D.9.已知x,y滿足不等式,且目標函數(shù)z=9x+6y最大值的變化范圍[20,22],則t的取值范圍()A.[2,4] B.[4,6] C.[5,8] D.[6,7]10.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則實數(shù)的值為()A.或 B. C. D.或11.已知雙曲線的左、右焦點分別為,圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為M,若.則該雙曲線的離心率為A.2 B.3 C. D.12.在中,角、、的對邊分別為、、,若,,,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如果拋物線上一點到準線的距離是6,那么______.14.已知不等式的解集不是空集,則實數(shù)的取值范圍是;若不等式對任意實數(shù)恒成立,則實數(shù)的取值范圍是___15.已知橢圓與雙曲線(,)有相同的焦點,其左、右焦點分別為、,若橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為,且,則雙曲線的離心率為__________.16.已知實數(shù),滿足約束條件則的最大值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的極值;(Ⅱ)若,且,求證:.18.(12分)在銳角中,,,分別是角,,所對的邊,的面積,且滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.19.(12分)某市調(diào)硏機構(gòu)對該市工薪階層對“樓市限購令”態(tài)度進行調(diào)查,抽調(diào)了50名市民,他們月收入頻數(shù)分布表和對“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表:月收入(單位:百元)頻數(shù)51055頻率0.10.20.10.1贊成人數(shù)4812521(1)若所抽調(diào)的50名市民中,收入在的有15名,求,,的值,并完成頻率分布直方圖.(2)若從收入(單位:百元)在的被調(diào)查者中隨機選取2人進行追蹤調(diào)查,選中的2人中恰有人贊成“樓市限購令”,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.(3)從月收入頻率分布表的6組市民中分別隨機抽取3名市民,恰有一組的3名市民都不贊成“樓市限購令”,根據(jù)表格數(shù)據(jù),判斷這3名市民來自哪組的可能性最大?請直接寫出你的判斷結(jié)果.20.(12分)已知矩陣,求矩陣的特征值及其相應(yīng)的特征向量.21.(12分)已知數(shù)列滿足(),數(shù)列的前項和,(),且,.(1)求數(shù)列的通項公式:(2)求數(shù)列的通項公式.(3)設(shè),記是數(shù)列的前項和,求正整數(shù),使得對于任意的均有.22.(10分)已知函數(shù),.(Ⅰ)當時,求曲線在處的切線方程;(Ⅱ)求函數(shù)在上的最小值;(Ⅲ)若函數(shù),當時,的最大值為,求證:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

對選項逐個驗證即得答案.【詳解】對于,,是偶函數(shù),故選項錯誤;對于,,定義域為,在上不是單調(diào)函數(shù),故選項錯誤;對于,當時,;當時,;又時,.綜上,對,都有,是奇函數(shù).又時,是開口向上的拋物線,對稱軸,在上單調(diào)遞增,是奇函數(shù),在上是單調(diào)遞增函數(shù),故選項正確;對于,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,但,在上不是單調(diào)函數(shù),故選項錯誤.故選:.【點睛】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

將原題等價轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)都有兩個不同的根,先求導(dǎo),可判斷時,,是增函數(shù);當時,,是減函數(shù).因此,再令,求導(dǎo)得,結(jié)合韋達定理可知,要滿足題意,只能是存在零點,使得在有解,通過導(dǎo)數(shù)可判斷當時,在上是增函數(shù);當時,在上是減函數(shù);則應(yīng)滿足,再結(jié)合,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)即可求解;【詳解】函數(shù)在內(nèi)都有兩個不同的零點,等價于方程在內(nèi)都有兩個不同的根.,所以當時,,是增函數(shù);當時,,是減函數(shù).因此.設(shè),,若在無解,則在上是單調(diào)函數(shù),不合題意;所以在有解,且易知只能有一個解.設(shè)其解為,當時,在上是增函數(shù);當時,在上是減函數(shù).因為,方程在內(nèi)有兩個不同的根,所以,且.由,即,解得.由,即,所以.因為,所以,代入,得.設(shè),,所以在上是增函數(shù),而,由可得,得.由在上是增函數(shù),得.綜上所述,故選:D.【點睛】本題考查由函數(shù)零點個數(shù)求解參數(shù)取值范圍問題,構(gòu)造函數(shù)法,導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性與最值關(guān)系,轉(zhuǎn)化與化歸能力,屬于難題3、A【解析】

設(shè),因為,得到,利用直線的斜率公式,得到,結(jié)合基本不等式,即可求解.【詳解】由題意,拋物線的焦點坐標為,設(shè),因為,即線段的中點,所以,所以直線的斜率,當且僅當,即時等號成立,所以直線的斜率的最大值為1.故選:A.【點睛】本題主要考查了拋物線的方程及其應(yīng)用,直線的斜率公式,以及利用基本不等式求最值的應(yīng)用,著重考查了推理與運算能力,屬于中檔試題.4、A【解析】

對復(fù)數(shù)進行乘法運算,并計算得到,從而得到虛部為2.【詳解】因為,所以z的虛部為2.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算及虛部的概念,計算過程要注意.5、D【解析】

由題意,本題符合幾何概型,只要求出區(qū)間的長度以及使不等式成立的的范圍區(qū)間長度,利用幾何概型公式可得概率,即等差數(shù)列的公差,利用條件,求得,從而求得,解不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意,本題符合幾何概型,區(qū)間長度為6,使得成立的的范圍為,區(qū)間長度為2,故使得成立的概率為,又,,,令,則有,故的最小值為11,故選:D.【點睛】該題考查的是有關(guān)幾何概型與等差數(shù)列的綜合題,涉及到的知識點有長度型幾何概型概率公式,等差數(shù)列的通項公式,屬于基礎(chǔ)題目.6、D【解析】

根據(jù)點差法得,再根據(jù)焦點坐標得,解方程組得,,即得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為,由題意可得,設(shè),,則的中點為,由且,得,,即,聯(lián)立,解得,,故所求雙曲線的方程為.故選D.【點睛】本題主要考查利用點差法求雙曲線標準方程,考查基本求解能力,屬于中檔題.7、B【解析】

建立平面直角坐標系,用坐標表示,利用,列出方程組求解即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系,則D(0,0).不妨設(shè)AB=1,則CD=AD=2,所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),解得則.故選:B【點睛】本題主要考查了由平面向量線性運算的結(jié)果求參數(shù),屬于中檔題.8、B【解析】

由,,,再由向量在向量方向的投影為化簡運算即可【詳解】∵∴,∴,∴向量在向量方向的投影為.故選:B.【點睛】本題考查向量投影的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題9、B【解析】

作出可行域,對t進行分類討論分析目標函數(shù)的最大值,即可求解.【詳解】畫出不等式組所表示的可行域如圖△AOB當t≤2時,可行域即為如圖中的△OAM,此時目標函數(shù)z=9x+6y在A(2,0)取得最大值Z=18不符合題意t>2時可知目標函數(shù)Z=9x+6y在的交點()處取得最大值,此時Z=t+16由題意可得,20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故選:B.【點睛】此題考查線性規(guī)劃,根據(jù)可行域結(jié)合目標函數(shù)的最大值的取值范圍求參數(shù)的取值范圍,涉及分類討論思想,關(guān)鍵在于熟練掌握截距型目標函數(shù)的最大值最優(yōu)解的處理辦法.10、C【解析】試題分析:因為復(fù)數(shù)是純虛數(shù),所以且,因此注意不要忽視虛部不為零這一隱含條件.考點:純虛數(shù)11、D【解析】

本題首先可以通過題意畫出圖像并過點作垂線交于點,然后通過圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)判斷出三角形的形狀并求出高的長度,的長度即點縱坐標,然后將點縱坐標帶入圓的方程即可得出點坐標,最后將點坐標帶入雙曲線方程即可得出結(jié)果?!驹斀狻扛鶕?jù)題意可畫出以上圖像,過點作垂線并交于點,因為,在雙曲線上,所以根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知,,即,,因為圓的半徑為,是圓的半徑,所以,因為,,,,所以,三角形是直角三角形,因為,所以,,即點縱坐標為,將點縱坐標帶入圓的方程中可得,解得,,將點坐標帶入雙曲線中可得,化簡得,,,,故選D?!军c睛】本題考查了圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì),主要考察了圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì),考查了圓與雙曲線的綜合應(yīng)用,考查了數(shù)形結(jié)合思想,體現(xiàn)了綜合性,提高了學(xué)生的邏輯思維能力,是難題。12、B【解析】

利用兩角差的正弦公式和邊角互化思想可求得,可得出,然后利用余弦定理求出的值,最后利用正弦定理可求出的值.【詳解】,即,即,,,得,,.由余弦定理得,由正弦定理,因此,.故選:B.【點睛】本題考查三角形中角的正弦值的計算,考查兩角差的正弦公式、邊角互化思想、余弦定理與正弦定理的應(yīng)用,考查運算求解能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

先求出拋物線的準線方程,然后根據(jù)點到準線的距離為6,列出,直接求出結(jié)果.【詳解】拋物線的準線方程為,由題意得,解得.∵點在拋物線上,∴,∴,故答案為:.【點睛】本小題主要考查拋物線的定義,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

利用絕對值的幾何意義,確定出的最小值,然后根據(jù)題意即可得到的取值范圍化簡不等式,求出的最大值,然后求出結(jié)果【詳解】的最小值為,則要使不等式的解集不是空集,則有化簡不等式有,即而當時滿足題意,解得或所以答案為【點睛】本題主要考查的是函數(shù)恒成立的問題和絕對值不等式,要注意到絕對值的幾何意義,數(shù)形結(jié)合來解答本題,注意去絕對值時的分類討論化簡15、【解析】

先根據(jù)橢圓得出焦距,結(jié)合橢圓的定義求出,結(jié)合雙曲線的定義求出雙曲線的實半軸,最后利用離心率的公式求出離心率即可.【詳解】解:因為橢圓,則焦點為,又因為橢圓與雙曲線(,)有相同的焦點,橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為,且,在橢圓中:由橢圓的定義:在雙曲線中:,所以雙曲線的實軸長為:,實半軸為則雙曲線的離心率為:.故答案為:【點睛】本題主要考查橢圓與雙曲線的定義,考查離心率的求解,利用定義解決綜合問題.16、1【解析】

作出約束條件表示的可行域,轉(zhuǎn)化目標函數(shù)為,當目標函數(shù)經(jīng)過點時,直線的截距最大,取得最大值,即得解.【詳解】作出約束條件表示的可行域是以為頂點的三角形及其內(nèi)部,轉(zhuǎn)化目標函數(shù)為當目標函數(shù)經(jīng)過點時,直線的截距最大此時取得最大值1.故答案為:1【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)極大值為:,無極小值;(Ⅱ)見解析.【解析】

(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出函數(shù)的極值;(Ⅱ)得到,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為證明,即證,令,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.【詳解】(Ⅰ)的定義域為且令,得;令,得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減函數(shù)的極大值為,無極小值(Ⅱ),,即由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減且,則要證,即證,即證,即證即證由于,即,即證令則恒成立在遞增在恒成立【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,考查不等式的證明,考查運算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想,關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出合適的函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題,屬于難題.18、A【解析】

由正弦定理化簡得,解得,進而得到,利用正切的倍角公式求得,根據(jù)三角形的面積公式,求得,進而化簡,即可求解.【詳解】由題意,在銳角中,滿足,由正弦定理可得,即,可得,所以,即,所以,所以,則,所以,可得,又由的面積,所以,則.故選:A.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,以及三角形的面積公式和正切的倍角公式的綜合應(yīng)用,著重考查了推理與運算能力,屬于中檔試題.19、(1),頻率分布直方圖見解析;(2)分布列見解析,;(3)來自的可能性最大.【解析】

(1)由頻率和為可知,根據(jù)求得,從而計算得到頻數(shù),補全頻率分布表后可畫出頻率分布直方圖;(2)首先確定的所有可能取值,由超幾何分布概率公式可計算求得每個取值對應(yīng)的概率,由此得到分布列;根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計算公式可求得期望;(3)根據(jù)中不贊成比例最大可知來自的可能性最大.【詳解】(1)由頻率分布表得:,即.收入在的有名,,,,則頻率分布直方圖如下:(2)收入在中贊成人數(shù)為,不贊成人數(shù)為,可能取值為,則;;,的分布列為:.(3)來自的可能性更大.【點睛】本題考查概率與統(tǒng)計部分知識的綜合應(yīng)用,涉及到頻數(shù)、頻率的計算、頻率分布直方圖的繪制、服從于超幾何分布的隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的求解、統(tǒng)計估計等知識;考查學(xué)生的運算和求解能力.20、矩陣屬于特征值的一個特征向量為,矩陣屬于特征值的一個特征向量為【解析】

先由矩陣特征值的定義列出特征多項式,令解方程可得特征值,再由特征值列出方程組,即可求得相應(yīng)的特征向量.【詳解】由題意,矩陣的特征多項式為,令,解得,,將代入二元一次方程組,解得,所以矩陣屬于特征值的一個特征向量為;同理,矩陣屬于特征值的一個特征向量為v【點睛】本題主要考查了矩陣的特征值與特征向量的計算,其中解答中熟記矩陣的特征值和特征向量的計算方法是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.21、(1)().(2),.(3)【解析】

(1)依題意先求出,然后根據(jù),求出的通項公式為,再檢驗的情況即可;(2)由遞推公式,得,結(jié)合數(shù)列性質(zhì)可得數(shù)列相鄰項之間的關(guān)系,從而可求出結(jié)果;(3)通過(1)、(2)可得,所以,,,,.記,利用函數(shù)單調(diào)性可求的范圍,從而列不等式可解.【詳解】解:(1)因為數(shù)列滿足()①;②當時,.檢驗當時,成立.所以,數(shù)列的通項公式為().(2)由,得,①所以,.②由①②,得,,即,,③所以,,.④由③④,得,,因為,所以,上式同除以,得,,即,所以,數(shù)列時首項為1,公

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