專題13 有理數(shù)的乘方-2024年小升初數(shù)學(xué)無憂銜接 （解析版）

第第頁專題13有理數(shù)的乘方1.理解并掌握有理數(shù)的乘方，冪，底數(shù)，指數(shù)的概念及意義.2.會求有理數(shù)的正整數(shù)指數(shù)冪.3.熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算（含乘方）順序和法則.4.感受發(fā)現(xiàn)問題的過程中體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，從而增進(jìn)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.【思考1】手工拉面是我國的傳統(tǒng)面食，制作時(shí)，拉面師傅將一團(tuán)和好的面，揉搓成1根長條后，手握兩端用力拉長，然后將長條對折，再拉長，再對折(每次對折稱為一扣)，如此反復(fù)操作，連續(xù)拉扣若干次后，便成了許多細(xì)細(xì)|的面條.你能算出拉扣7次后共有多少根面條嗎？【乘方的趣事】關(guān)于國際象棋的起源，有一個(gè)傳說：在古時(shí)候，在某個(gè)王國里有一位聰明的大臣，他發(fā)明了國際象棋，獻(xiàn)給了國王，國王從此迷上了下棋。為了對聰明的大臣表示感謝，國王答應(yīng)滿足這個(gè)大臣的一個(gè)要求。大臣說：“第1格放1粒小麥，第2格放2粒小麥，第3格放4粒小麥，然后是8粒、16粒、32粒..，一直到第64格……即每一個(gè)次序在后的格子中放的小麥都必須是前一個(gè)格子麥粒數(shù)目的兩倍，直到最后一個(gè)格子放滿為止”。國王哈哈大笑，慷慨地答應(yīng)了大臣的要求。然而，國王最終發(fā)現(xiàn)，按照與大臣的約定，全印度的麥子竟然連棋盤一小半格子數(shù)目都不夠。大臣索要的麥粒數(shù)目實(shí)際上是天文數(shù)字，總數(shù)將是一個(gè)十九位數(shù)，折算重量約為2000多億噸，即使現(xiàn)代，全球小麥的年產(chǎn)量也不過是數(shù)億噸。1.有理數(shù)的乘方乘方的概念：求個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．一般地，個(gè)相同的因數(shù)相乘，即，記作，讀作“的次方”；在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù)；當(dāng)看作的次方的結(jié)果時(shí)，讀作的次冪．注意：①乘方運(yùn)算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表沒有；②乘方運(yùn)算，代表的是多個(gè)相同因數(shù)相乘，要與乘法運(yùn)算區(qū)分開來；③在運(yùn)算時(shí)要注意看清楚底數(shù)和指數(shù)到底是誰；④帶分?jǐn)?shù)的乘方運(yùn)算，一定要先化成假分?jǐn)?shù)后再運(yùn)算．2．有理數(shù)指數(shù)冪的符號規(guī)律：1）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，即“奇負(fù)偶正”；2）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；3）0的任何正整數(shù)次冪都是0．注意:除0以外的任何數(shù)的“0次冪”結(jié)果為1.考點(diǎn)1、有理數(shù)乘方的概念【解題技巧】有理數(shù)乘方的概念求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．即有：.在中，叫做底數(shù)，n叫做指數(shù).例1．（2022秋·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）在中，底數(shù)是______，指數(shù)是______.計(jì)算：______.【答案】34【分析】根據(jù)冪的定義：形如中a是底數(shù)，n是指數(shù)，及乘方計(jì)算法則計(jì)算解答．【詳解】解：中，底數(shù)是3，指數(shù)是4，，故答案為：3，4，．【點(diǎn)睛】此題考查了冪的定義，有理數(shù)的乘方計(jì)算法則，熟記定義及計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．例2．（2023秋·福建福州·七年級?？计谀┯?jì)算的結(jié)果，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)冪的定義即可求解．【詳解】解：原式，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的定義，掌握冪的定義是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）代數(shù)式可以表示為（

）A． B． C． D．n2【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的意義解答即可得.【詳解】解：代數(shù)式可以表示為；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，理解乘方的意義是關(guān)鍵.變式2．（2023春·福建福州·九年級校考期中）若為正整數(shù)，則的意義為（

）A．3個(gè)相加 B．5個(gè)相加 C．3個(gè)相乘 D．8個(gè)相乘【答案】C【分析】根據(jù)冪的定義：n個(gè)a相乘寫作，讀作a的n次方或a的n次冪，直接判斷即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，表示3個(gè)相乘，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查冪的定義：n個(gè)a相乘寫作，讀作a的n次方或a的n次冪．變式3．（2022秋·湖南長沙·七年級統(tǒng)考期末）表示的意義是(

)A．與相乘 B．與相加 C．個(gè)相乘 D．個(gè)相加【答案】C【分析】根據(jù)冪的意義分析即可求解．【詳解】解：表示的意義是個(gè)相乘，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的意義，掌握冪的意義是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2、有理數(shù)乘方的運(yùn)算【解題技巧】有理數(shù)乘方的運(yùn)算（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；（4）有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先應(yīng)確定冪的符號，然后再計(jì)算冪的絕對值．例1．（2023秋·河北石家莊·七年級?？茧A段練習(xí)）若，則（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)乘方的意義列出方程求解即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了乘方的意義，正確得出是解答本題的關(guān)鍵．例2．（2023春·浙江衢州·七年級?？茧A段練習(xí)）已知在，，，這4個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把各數(shù)進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)有理數(shù)大小比較的法則進(jìn)行比較即可．【詳解】解：，，，，∵，∴這四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘方，熟練掌握有理數(shù)乘方運(yùn)算及比較大小法則是解題關(guān)鍵．變式1．（2023春·上海靜安·七年級?？计谥校┫铝懈魇街校_的是

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方法則逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A、，則此項(xiàng)錯誤，不符合題意；B、，則此項(xiàng)錯誤，不符合題意；C、，則此項(xiàng)錯誤，不符合題意；D、，則此項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．變式2．（2023·黑龍江哈爾濱·七年級校考期中）在有理數(shù)、、、中負(fù)數(shù)有（

）個(gè)A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】先求出各數(shù)的值，再判斷正負(fù)即可．【詳解】解：，，，；負(fù)數(shù)有，，共3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的化簡與運(yùn)算，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確算出各數(shù)的值．考點(diǎn)3、乘方運(yùn)算的符號規(guī)律【解題技巧】乘方的符號規(guī)律：1）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，即“奇負(fù)偶正”；2）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；3）0的任何正整數(shù)次冪都是0．例1．（2022秋·江蘇南京·七年級?？茧A段練習(xí)）已知為正整數(shù)，計(jì)算的結(jié)果是（）A．1 B．-1 C．0 D．2【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則以及乘方的符號規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．例2．（2022·河北·石家莊模擬預(yù)測）若非零數(shù)a，b互為相反數(shù)，下列四組數(shù)中，互為相反數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）①與；②與；③與；④與A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義逐一解答．【詳解】解：a，b互為相反數(shù)，則，即與不互為相反數(shù)；a，b互為相反數(shù)，則，故，即與互為相反數(shù)：a，b互為相反數(shù)，則，，即與互為相反數(shù)，與不互為相反數(shù)，則互為相反數(shù)的有②③故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查相反數(shù)的意義，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．變式1.（2022·浙江寧波·七年級期中）下列各組數(shù)中，結(jié)果相等的是（

）A．52與25B．﹣22與（﹣2）2C．﹣34與（﹣3）4D．（﹣1）2與（﹣1）20【答案】D【分析】A、根據(jù)冪的定義化簡即可判定；B、根據(jù)冪的定義化簡即可判定；C、根據(jù)冪的定義計(jì)算即可判定；D、根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可判定．【詳解】解：A.52=25，25=32，故不符合題意；B.﹣22=-4，（﹣2）2=4，故不符合題意；

C.﹣34=-81，（﹣3）4=81，故不符合題意；

D.（﹣1）2=1，（﹣1）20=1，故符合題意．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的定義和有理數(shù)的乘方運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)的定義和法則是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·河南漯河·七年級?？茧A段練習(xí)）計(jì)算的值，結(jié)果正確的是（

）A．1 B． C．0 D．或0【答案】B【分析】由運(yùn)算式中的加數(shù)一共個(gè)數(shù)，其中偶次方有個(gè)，奇次方有個(gè)，從而可得答案．【詳解】解：故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握“乘方運(yùn)算的符號規(guī)律的確定”是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4、有理數(shù)乘方的簡算【解題技巧】性質(zhì)：例1．（2022秋·廣東東莞·七年級期中），由此你能算出（

）A．6 B．8 C． D．十分麻煩【答案】B【分析】先把原式變形為，從而得到，即可求解．【詳解】解：＝1×8＝8故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘方運(yùn)算，掌握有理數(shù)乘方的意義是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）閱讀計(jì)算：閱讀下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…回答下列三個(gè)問題：(1)驗(yàn)證：（4×0.25）100＝；4100×0.25100＝．(2)通過上述驗(yàn)證，歸納得出：（）n＝；（）n＝．(3)請應(yīng)用上述性質(zhì)計(jì)算：（﹣0.125）2015×22014×42014．【答案】(1)1，1；(2)ab，anbn，abc，anbncn；(3)﹣0.125【分析】（1）先算括號內(nèi)的，再算乘方；先乘方，再算乘法．（2）根據(jù)有理數(shù)乘方的定義求出即可；（3）根據(jù)根據(jù)閱讀材料可得（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125），再計(jì)算，即可得出答案．(1)解：（4×0.25）100＝1100＝1；4100×0.25100＝1，故答案為：1，1．(2)解：（ab）n＝anbn，（abc）n＝anbncn，故答案為：ab，anbn，abc，anbncn．(3)解：原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125）＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125）＝（﹣1）2014×（﹣0.125）＝1×（﹣0.125）＝﹣0.125【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力，理解閱讀材料是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022秋·湖南岳陽·七年級統(tǒng)考期末）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)乘方的意義進(jìn)行簡便運(yùn)算，再根據(jù)有理數(shù)乘法計(jì)算即可．【詳解】解：，==，=，=，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練依據(jù)乘方的意義進(jìn)行簡便運(yùn)算，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算．變式2．（2022秋·福建三明·七年級統(tǒng)考期中）（1）計(jì)算下面兩組算式：①與；

②與；（2）根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果想開去：等于什么?（直接寫出結(jié)果）（3）猜想與驗(yàn)證：當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，等于什么?請你利用乘方的意義說明理由．（4）利用上述結(jié)論，求的值．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）；（3）；理由見解析；（4）【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，據(jù)此即可計(jì)算求值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果即可得到答案；（3）根據(jù)乘方的意義寫成n個(gè)數(shù)相乘，利用交換律轉(zhuǎn)化為和的乘積即可證明猜想；（4）利用乘方的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：（1）①，；②，；（2）；（3），理由如下：；（4）．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘法法則，乘方的意義，以及對師資普遍規(guī)律的猜想和驗(yàn)證，熟練運(yùn)用乘方運(yùn)算以及逆運(yùn)算來簡便運(yùn)算是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)5、含乘方的混合運(yùn)算【解題技巧】有理數(shù)混合運(yùn)算的順序：(1)先乘方，再乘除，最后加減；(2)同級運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；(3)如有括號，先做括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行．例1．（2023春·上海徐匯·七年級?？茧A段練習(xí)）【答案】【分析】先計(jì)算乘方，再進(jìn)行加減運(yùn)算．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則并正確計(jì)算．例2．（2022春·廣東江門·七年級臺山市新寧中學(xué)?？计谥校┯?jì)算：．【答案】【分析】先有理數(shù)乘方、絕對值、乘法分配律運(yùn)算，再加減運(yùn)算即可求解．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則并正確求解是解答的關(guān)鍵．例3．（2022·廣東清遠(yuǎn)·七年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)、絕對值運(yùn)算及平方運(yùn)算，再結(jié)合有理數(shù)加減運(yùn)算即可得到答案．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)計(jì)算，涉及、絕對值運(yùn)算及平方運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)相關(guān)運(yùn)算法則是解決問題的關(guān)鍵．變式1．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）計(jì)算：．【答案】2【分析】先進(jìn)行乘方運(yùn)算，再進(jìn)行乘除運(yùn)算，最后進(jìn)行加法運(yùn)算．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算．熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則，正確的進(jìn)行計(jì)算，是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考三模）計(jì)算【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則即可解答．【詳解】解：；【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算法則，熟記對應(yīng)法則是解題的關(guān)鍵．變式3．（2023·廣西貴港·統(tǒng)考三模）計(jì)算：【答案】【分析】先根據(jù)平方運(yùn)算、絕對值運(yùn)算、計(jì)算，再由有理數(shù)加減運(yùn)算法則求解即可得到答案．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)加減混合運(yùn)算，涉及平方運(yùn)算、絕對值運(yùn)算、計(jì)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解決問題的關(guān)鍵．考點(diǎn)6、有理數(shù)乘方的應(yīng)用（進(jìn)制問題與末位數(shù)字問題）【解題技巧】此類題型通常乘方運(yùn)算種的冪比較大，且無簡單計(jì)算方法，直接計(jì)算幾乎無法進(jìn)行。但此類題型也并非需要求解出最終的結(jié)果，往往只需要求解這組數(shù)的末尾數(shù)字。因此，在解這類時(shí)，我們只需要關(guān)注末位數(shù)字，通過多計(jì)算幾組末尾數(shù)字，找出末尾數(shù)字的變化規(guī)律。最后依舊變化規(guī)律，分析出最終結(jié)果。例1．（2023·河南南陽·統(tǒng)考一模）觀察下列等式：，，，，，，…，根據(jù)其中的規(guī)律可得的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得尾數(shù)，，，的規(guī)律是4個(gè)數(shù)一循環(huán)，則的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同，即可求解．【詳解】解：∵，，，，，，…，∴尾數(shù)，，，的規(guī)律是4個(gè)數(shù)一循環(huán)，∵，∴的個(gè)位數(shù)字是，又∵，∴的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同，∴的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)的尾數(shù)特征，能夠通過所給數(shù)的特點(diǎn)，確定尾數(shù)的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．例2．（2022秋·江蘇·七年級期末）我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”．一書生用此方法來記錄自己讀書的天數(shù)，如圖1，他在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿六進(jìn)一，表示的天數(shù)為51天（），按同樣的方法，圖2表示的天數(shù)是_____．【答案】92【分析】由于從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿六進(jìn)一，所以從右到左的數(shù)分別為，然后把它們相加即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：．故圖2表示的天數(shù)是92．故答案為：92．【點(diǎn)睛】本題考查了用數(shù)字表示事件，是以古代“結(jié)繩計(jì)數(shù)”為背景，按滿六進(jìn)一計(jì)數(shù)，運(yùn)用了類比的方法，根據(jù)圖中的數(shù)學(xué)列式計(jì)算；本題題型新穎，一方面讓學(xué)生了解了古代的數(shù)學(xué)知識，另一方面也考查了學(xué)生的思維能力．變式1．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期末）觀察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，根據(jù)上述算式中的規(guī)律，221+311的末位數(shù)字是（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】D【分析】通過觀察發(fā)現(xiàn)：的個(gè)位數(shù)字是2，4，8，6四個(gè)一循環(huán)，所以根據(jù)，得出的個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同；以3為底的冪的末位數(shù)字是3，9，7，1依次循環(huán)的．即可知的個(gè)位數(shù)字，從而得到221+311的末位數(shù)字．【詳解】解：由題意可知，，，，，，，，，，即末位數(shù)字是每4個(gè)算式是一個(gè)周期，末位分別為2，4，8，6，，的末位數(shù)字與的末位數(shù)字相同，為2；由題意可知，，，，，，，以3為底的冪的末位數(shù)字是3，9，7，1依次循環(huán)的，，所以的個(gè)位數(shù)字是7，所以的個(gè)位數(shù)字是9，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是尾數(shù)特征，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，根據(jù)題意找出數(shù)字循環(huán)的規(guī)律是解答此題關(guān)鍵．變式2．（2023·浙江溫州·?？级＃┪覈糯兑捉?jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”．母親甲在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，用來記錄孩子1出生后的天數(shù)，如圖1所示，孩子1出生后的天數(shù)是（天），母親乙按照母親甲的做法記錄孩子2出生后的天數(shù)，如圖2所示，則孩子2出生后的天數(shù)比孩子1出生后的天數(shù)（

）

A．少41天 B．少42天 C．多41天 D．多42天【答案】A【分析】根據(jù)已知算法求出孩子2出生后的天數(shù)，相減即可得到答案．【詳解】解：由已知算法可知，孩子2出生后的天數(shù)是（天），（天），孩子2出生后的天數(shù)比孩子1出生后的天數(shù)少41天，故選A．【點(diǎn)睛】考查含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算，理解題意，掌握“結(jié)繩計(jì)數(shù)”滿七進(jìn)一的計(jì)算方法是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)7、有理數(shù)乘方的應(yīng)用（實(shí)際問題）【解題技巧】此類題型的難點(diǎn)在于分析問題，建立乘方的數(shù)學(xué)模型?；静襟E為：首先從特殊情形入手，逐步分析、歸納，找出變化規(guī)律；然后根據(jù)規(guī)律寫出乘方數(shù)學(xué)模型；最后根據(jù)題干要求計(jì)算結(jié)果。例1．（2022秋·江蘇常州·七年級?？茧A段練習(xí)）將一根繩子對折一次后從中間剪一刀，繩子變成3段；對折兩次后從中間剪一刀，繩子變成5段：將這根繩子對折n次后從中間剪一刀，繩子變成_____段．【答案】2n+1【分析】根據(jù)分析可得：將一根繩子對折1次從中間一刀，繩子變成3段；有21+1＝3．將一根繩子對折2次，從中間一刀，繩子變成5段；有22+1＝5．依此類推，將這根繩子對折n次后從中間剪一刀，繩子變成（2n+1）段．【詳解】解：∵對折1次從中間剪一刀，有21+1＝3對折2次，從中間剪一刀，有22+1＝5．∴對折n次，從中間剪一刀全部剪斷后，繩子變成（2n+1）段．故答案為：（2n+1）．【點(diǎn)睛】本題考查通過觀察、歸納、抽象得出規(guī)律，正確得出對折次數(shù)與繩子段數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵例2．（2022秋·福建廈門·七年級?？计谥校┢吣昙壞嘲嗟膶W(xué)生共有49人，軍訓(xùn)時(shí)排列成的方陣，做了一個(gè)游戲，起初全體學(xué)生站立，教官每次任意點(diǎn)n個(gè)不同學(xué)號的學(xué)生，被點(diǎn)到的學(xué)生，站立的蹲下，蹲下的站立，且學(xué)生都正確完成指令同一名學(xué)生可以多次被點(diǎn)，則m次點(diǎn)名后，（n，m為正整數(shù)）下列說法正確的是（

）A．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，無論m何值，蹲下的學(xué)生人數(shù)不可能為奇數(shù)個(gè)B．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，無論m何值，對下的學(xué)生人數(shù)不可能為偶數(shù)個(gè)C．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，無論m何值，蹲下的學(xué)生人數(shù)不可能為偶數(shù)個(gè)D．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，無論m何值，蹲下的學(xué)生人數(shù)不可能為奇數(shù)個(gè)【答案】A【分析】假設(shè)站立記為“”，則蹲下為“”，開始時(shí)49個(gè)“”，其乘積為“”，每次改變其中的個(gè)數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，每次的改變其中個(gè)數(shù)，都不改變上一次的符號，則m次點(diǎn)名后，乘積仍然是“”，故最后出現(xiàn)的“”的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，即蹲下的人數(shù)為偶數(shù)；即可獲解．【詳解】解：假設(shè)站立記為“”，則蹲下為“”，開始時(shí)49個(gè)“”，其乘積為“”．每次改變其中的個(gè)數(shù)，經(jīng)過m次點(diǎn)名，①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，若有偶數(shù)個(gè)“”偶數(shù)個(gè)“”，變?yōu)榕紨?shù)個(gè)“”偶數(shù)個(gè)“”，其積的符號不變；若有奇數(shù)個(gè)“”奇數(shù)個(gè)“”，變?yōu)槠鏀?shù)個(gè)“”奇數(shù)個(gè)“”，其積的符號不變；故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，每次改變其中的個(gè)數(shù)，其積的符號不變，那么m次點(diǎn)名后，乘積仍然是“”，故最后出現(xiàn)的“”的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，即蹲下的人數(shù)為偶數(shù)；②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若有偶數(shù)個(gè)“”奇數(shù)個(gè)“”，變?yōu)榕紨?shù)個(gè)“”奇數(shù)個(gè)“”，其積的符號改變；若有奇數(shù)個(gè)“”偶數(shù)個(gè)“”，變?yōu)槠鏀?shù)個(gè)“”偶數(shù)個(gè)“”，其積的符號改變；故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，每次改變其中的個(gè)數(shù)，其積的符號改變，那么m次點(diǎn)名后，若為偶數(shù)，乘積仍然是“”，故最后出現(xiàn)的“”的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，即蹲下的人數(shù)為偶數(shù)；若為奇數(shù)，乘積最后是“”，故最后出現(xiàn)的“”的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，即蹲下的人數(shù)為奇數(shù)；綜上所述，選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B、C、D均錯誤；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了正負(fù)數(shù)的意義、有理數(shù)乘法中積的符號的判斷，熟練掌握有理數(shù)乘法中符號法則與分類討論的思想方法是解答此題的關(guān)鍵．變式1．（2022秋·浙江紹興·七年級校聯(lián)考期中）某種細(xì)胞每過秒便由個(gè)分裂成個(gè)．經(jīng)過分鐘，這種細(xì)胞由個(gè)分裂成（

）個(gè)．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得3分鐘有12個(gè)15秒，進(jìn)而根據(jù)有理數(shù)乘方的意義即可求解．【詳解】解：∵3分鐘秒，∴經(jīng)過分鐘，這種細(xì)胞由個(gè)分裂成個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用，理解題意是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023秋·安徽亳州·七年級統(tǒng)考期末）一條長的鋼絲，第一次剪的去鋼絲的，第二次剪去剩下鋼絲的，如此剪下去，第次剪完后剩下鋼絲的長度是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則即可求出答案．【詳解】解：第一次剪去鋼絲的，剩下是，第二次剪去剩下鋼絲的，剩下是，第次剪完后剩下鋼絲的長度是．故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是正確找出題中的規(guī)律．變式3．（2023·廣東東莞·九年級東莞市東華初級中學(xué)?？计谥校┠彻珗@將免費(fèi)開放一天，早晨6時(shí)30分有2人進(jìn)公園，第一個(gè)30min內(nèi)有4人進(jìn)去并出來1人，第二個(gè)30min內(nèi)進(jìn)去8人并出來2人，第三個(gè)30min內(nèi)進(jìn)去16人并出來3人，第四個(gè)30min內(nèi)進(jìn)去32人并出來4人，······按照這種規(guī)律進(jìn)行下去，到上午11時(shí)30分公園內(nèi)的人數(shù)是（

）A． B．4039 C．8124 D．16304【答案】B【分析】由每個(gè)30分鐘進(jìn)去的人數(shù)可構(gòu)成一列數(shù)，利用觀察法求出這一列數(shù)的規(guī)律，由于從早晨6時(shí)30分到上午Il時(shí)30分共有10個(gè)30分鐘，故求這一列數(shù)的前11個(gè)數(shù)的和，即可得上午11時(shí)30分公園內(nèi)的人數(shù)．【詳解】解：根據(jù)題意知：早晨6時(shí)30分有2人進(jìn)公園，則，第一個(gè)30min內(nèi)有4人進(jìn)去并出來1人，則，第二個(gè)30min內(nèi)進(jìn)去8人并出來2人，則，第三個(gè)30min內(nèi)進(jìn)去16人并出來3人，則，第四個(gè)30min內(nèi)進(jìn)去32人并出來4人，則，……∴第十個(gè)30min（即上午11時(shí)30分）內(nèi)進(jìn)去的人和出來的人數(shù)可表示為，∴到上午11時(shí)30分公園內(nèi)的人數(shù)為：設(shè)，∴，，∴，∴，，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算，運(yùn)用了歸納推理、轉(zhuǎn)化的解題方法．解題時(shí)要善于將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題．解題的關(guān)鍵是歸納出題干所給式子的規(guī)律．考點(diǎn)7、有理數(shù)乘方的新定義問題【解題技巧】“新定義”型問題是指在問題中定義了初中數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些概念、新運(yùn)算、新符號，要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有知識進(jìn)行理解，而后根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類型：（1）定義新運(yùn)算；（2）定義初、高中知識銜接“新知識”;（3）定義新概念.這類試題考查考生對“新定義”的理解和認(rèn)識，以及靈活運(yùn)用知識的能力，解題時(shí)需要將“新定義”的知識與已學(xué)知識聯(lián)系起來，利用已有的知識經(jīng)驗(yàn)來解決問題.例1．（2022秋·湖南邵陽·七年級校聯(lián)考期中）定義一種運(yùn)算符號“★”：，如：，那么的結(jié)果是_______．【答案】8【分析】根據(jù)運(yùn)算律，先算括號內(nèi)，再算括號外即可【詳解】解：故答案為【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算、新定義，解決本題的關(guān)鍵是會用新定義解答問題例2．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考一模）定義運(yùn)算：若，則，例如，則．運(yùn)用以上定義，計(jì)算：（

）A． B．2 C．1 D．4【答案】A【分析】先根據(jù)乘方確定，根據(jù)新定義求出，然后代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴∴，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查新定義對數(shù)函數(shù)運(yùn)算、乘方的逆運(yùn)算等知識點(diǎn)，仔細(xì)閱讀題目中的定義，找出新定義運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是乘方的逆運(yùn)算是解答本題的關(guān)鍵．變式1．（2020秋·浙江金華·七年級?？计谥校┒x一種對正整數(shù)n的“F運(yùn)算”：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n＋5；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行．例如，取n＝26，則：若n＝449，則第2020次“F運(yùn)算”的結(jié)果是______．【答案】1【分析】根據(jù)題意計(jì)算前幾次結(jié)果，找到規(guī)律即可求解．【詳解】解：第一次：，第二次：∵其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)，∴∴第二次運(yùn)算：，第三次：∵∴計(jì)算結(jié)果為第五次：，第六次：，∵∴，計(jì)算結(jié)果為，……依次為與的循環(huán)，當(dāng)計(jì)算次數(shù)為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為8；當(dāng)計(jì)算次數(shù)為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為1，∴第2020次“F運(yùn)算”的結(jié)果是1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023秋·湖南常德·七年級統(tǒng)考期末）已知，記作，已知，記作，已知，記作，那么：（1）______；（2）()．【答案】【分析】根據(jù)乘方的性質(zhì)，求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，設(shè)，則，故答案為：，【點(diǎn)睛】此題考查了乘方的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握乘方運(yùn)算規(guī)則．A級（基礎(chǔ)過關(guān)）1．（2022秋·七年級單元測試）下面對的描述正確的是（）A．個(gè)相乘所得的積B．后面有個(gè)C．后面有個(gè)D．后面有個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算可進(jìn)行求解．【詳解】解：表示有n個(gè)10相乘，故1后面有n個(gè)0；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的乘方運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的乘方運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）算式可以表示為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用乘方的運(yùn)算解題即可．【詳解】解：故選C．【點(diǎn)睛】本題考查乘方的運(yùn)算，掌握乘方的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·廣東深圳·七年級?？计谥校┫铝懈鲾?shù)，，，，中，負(fù)數(shù)有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方符號法則：負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，以及相反數(shù)和絕對值去判斷負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)．【詳解】，，，，，所以負(fù)數(shù)有3個(gè)．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘方，以及絕對值和相反數(shù)，牢記乘方的符號法則是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·成都市七年級期中）接近于（

）A．一張紙的厚度B．姚明的身高C．三層樓的高度D．珠穆朗瑪峰的高度【答案】B【分析】結(jié)合事實(shí)作出判斷．【詳解】解：，∴三層樓房的高度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于，一張紙的厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于，珠穆朗瑪峰的高度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于，最接近于的是姚明的身高．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)常識，有理數(shù)的乘方運(yùn)算，此類問題要結(jié)合實(shí)際問題來解決，生活中的一些數(shù)學(xué)常識要了解．比如給出一個(gè)物體的高度要會選擇它合適的單位長度等等．平時(shí)要注意多觀察，留意身邊的小知識．5．（2023·安徽合肥·?？寄M預(yù)測）式子與的正確判斷是（

）A．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，這兩個(gè)式子互為相反數(shù) B．這兩個(gè)式子是相等的C．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，它們互為相反數(shù) D．為偶數(shù)時(shí)它們相等【答案】A【分析】分類討論的奇偶性，結(jié)合乘方的意義化簡即可．【詳解】解：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，即此時(shí)這兩個(gè)式子互為相反數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即此時(shí)這兩個(gè)式子相等．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘方，相反數(shù)的定義．熟練掌握乘方的意義并利用分類討論的思想是解題關(guān)鍵．6．（2023春·陜西咸陽·七年級統(tǒng)考期末）若一個(gè)冪的底數(shù)為5，指數(shù)為3，則這個(gè)冪寫作______（只寫形式，不計(jì)算結(jié)果）【答案】【分析】根據(jù)冪的底數(shù)和指數(shù)即可得出答案．【詳解】解：這個(gè)冪寫作，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘方，掌握乘方的結(jié)果叫做冪，在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù)是解題的關(guān)鍵．7．（2022·綿陽·七年級期中）當(dāng)自然數(shù)的個(gè)位數(shù)分別為0，1，2，…，9時(shí)，的個(gè)位數(shù)如表所示：個(gè)位數(shù)0123456789個(gè)位數(shù)0149656941個(gè)位數(shù)0187456329個(gè)位數(shù)0161656161······在10，11，12，13這四個(gè)數(shù)中，當(dāng)____________時(shí)，和數(shù)能被5整除．【答案】10、11、13【分析】根據(jù)表格中的規(guī)律，分別求出2001、2002、2003、2004這幾個(gè)數(shù)的個(gè)位在n=10、11、12、13時(shí)的值，通過判斷這4個(gè)數(shù)字的個(gè)位數(shù)字和是否是0或5來判斷是否能被5整除【詳解】根據(jù)表格中的規(guī)律，可得下表：

n個(gè)位數(shù)10111213個(gè)位數(shù)1111個(gè)位數(shù)4862個(gè)位數(shù)9713個(gè)位數(shù)6464個(gè)位數(shù)的和的個(gè)位數(shù)0040由表格知道，當(dāng)n=10、11、13時(shí)，的個(gè)位數(shù)字都是0，能夠被5整除故答案為：10、11、13【點(diǎn)睛】本題考查了歸納總結(jié)的能力，解題關(guān)鍵是利用乘方的規(guī)律來確定個(gè)位數(shù)字，求出結(jié)果的個(gè)位數(shù)字之和判斷是否能夠被5整除.8．（2023春·廣西南寧·九年級南寧三中?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【分析】先計(jì)算乘方，去絕對值，再計(jì)算乘除，最后計(jì)算加減．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算，絕對值的意義，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·廣東揭陽·七年級?？茧A段練習(xí)）【答案】1【分析】根據(jù)含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．10．（2022秋·河北保定·七年級?？计谥校┯?jì)算：(1)(2)【答案】(1)6(2)【分析】（1）先計(jì)算乘方和化簡絕對值，然后再進(jìn)行加減計(jì)算即可；（2）先計(jì)算乘方，再計(jì)算乘除，最后進(jìn)行加減計(jì)算即可【詳解】（1）==6；（2）===【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算順序和運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵11．（2023秋·貴州銅仁·七年級期末）計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)15(2)39【分析】（1）原式先計(jì)算乘方和絕對值，再計(jì)算除法和乘法，最后計(jì)算加法即可；（2）原式先計(jì)算乘方，再計(jì)算除法和乘法，最后計(jì)算減法即可【詳解】（1）===15；（2）===39【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算的順序以及運(yùn)算法則B級（能力提升）1．（2023春·福建福州·九年級?？计谥校┫铝羞\(yùn)算中，結(jié)果可以為的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的乘法、有理數(shù)的除法運(yùn)算法則計(jì)算后判斷．【詳解】解：，，A選項(xiàng)不符合題意；，B選項(xiàng)不符合題意；，C選項(xiàng)不符合題意；，D選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的乘法、有理數(shù)的除法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的乘法、有理數(shù)的除法運(yùn)算法則．2．（2022秋·浙江杭州·七年級校考期中）下列各式：①﹣a；②﹣|x|；③﹣；④；⑤，其中值一定是負(fù)數(shù)的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】先分析每個(gè)代數(shù)式的特點(diǎn)，確定它們的符號，即可得出答案．【詳解】解：①a＜0時(shí)，﹣a是正數(shù)，故①不符合題意；②x＝0時(shí)，﹣|x|＝0，故②不符合題意；③a＝0時(shí)，﹣＝0，故③不符合題意；④一定是負(fù)數(shù)；⑤a＝﹣2時(shí)，是正數(shù)，故⑤不符合題意，所以其中值一定是負(fù)數(shù)的有1個(gè)．故選：A．【點(diǎn)睛】考查正數(shù)和負(fù)數(shù)，絕對值，由a的取值范圍知道代數(shù)式的正負(fù)性是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·山東德州·七年級?？计谥校┒x：如果（，且），那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作．例如：因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以．下列說法：①；②；③若，則；④；正確的序號有（）A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④【答案】D【分析】由新定義可得：，利用新定義逐一計(jì)算判斷，從而可得答案．【詳解】解：根據(jù)新定義可得：，故①不符合題意；，故②符合題意；∵，∴，解得：，故③符合題意；∵，，∴，故④符合題意，綜上所述，正確的序號有②③④．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的新定義運(yùn)算，有理數(shù)的乘方運(yùn)算的含義，正確理解新定義，運(yùn)用新定義解決問題是解本題的關(guān)鍵．4．（2022秋·全國·七年級期末）現(xiàn)有價(jià)格相同的6種不同商品，從今天開始每天分別降價(jià)10％或漲價(jià)10％，若干天后，這6種商品的價(jià)格互不相同，設(shè)最高價(jià)格和最低價(jià)格的比值為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)6種商品最初的價(jià)格為，則天后商品的價(jià)格為，然后分別表示出6中商品的價(jià)格，然后根據(jù)題意列式計(jì)算．【詳解】解：設(shè)6種商品最初的價(jià)格為，過了n天后，這n天中假設(shè)有m天是降價(jià)的，剩余的（n－m）天是漲價(jià)的，（其中m為自然數(shù)，且0≤m≤n），則天后商品的價(jià)格為，∴6種商品的價(jià)格可以表示為：①，②，③，④，⑤，⑥，其中m為不超過n的自然數(shù)，設(shè)最高價(jià)格和最低價(jià)格的比值為，的最小值為，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)乘方的應(yīng)用，理解題意能夠列出六種商品的價(jià)格是解題關(guān)鍵．5．（2023春·上海徐匯·七年級?？茧A段練習(xí)）對1，3，5，5四個(gè)數(shù)進(jìn)行“加、減、乘、除、乘方”混合運(yùn)算（每個(gè)數(shù)只能使用一次），其計(jì)算結(jié)果為24，請列出算式：______（填一個(gè)算式即可）【答案】（答案不唯一）【分析】結(jié)合所給數(shù)字及結(jié)果的特點(diǎn)，利用“加、減、乘、除、乘方”進(jìn)行嘗試，即可得出答案．【詳解】解：，或，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·山東淄博·六年級統(tǒng)考期末）把一張厚度為的紙對折8次后，厚度為______________．【答案】【分析】根據(jù)題意，對折1次厚度為，對折2次為，……所以對折8次后厚度為，計(jì)算即可求解．【詳解】解：對折1次厚度為，對折2次為，……所以對折8次后厚度為，∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了乘方的應(yīng)用，掌握有理數(shù)的乘方運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·山東淄博·六年級?？计谀┪覈糯兑捉?jīng)》一書中記載：遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”．如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，用來記錄孩子自出生后的天數(shù)．由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是_______．【答案】510【分析】由于從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，所以從右到左的數(shù)分別為，然后把它們相加即可．【詳解】解：（天），所以孩子自出生后的天數(shù)是510天．故答案為：510．【點(diǎn)睛】本題考查了用數(shù)字表示事件．本題是以古代“結(jié)繩計(jì)數(shù)”為背景，按滿七進(jìn)一計(jì)算自孩子出生后的天數(shù)，運(yùn)用了類比的方法，根據(jù)圖中的數(shù)學(xué)列式計(jì)算；本題題型新穎，一方面讓學(xué)生了解了古代的數(shù)學(xué)知識，另一方面也考查了學(xué)生的思維能力．8．（2022秋·上?！て吣昙壭？计谥校橛?jì)算，可令，則，因此，根據(jù)以上解題過程，猜想：____________________【答案】【分析】讀懂題目中的解題過程，模仿進(jìn)行即可得到結(jié)果．【詳解】令，則，所以，所以，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘方運(yùn)算的應(yīng)用，讀懂題意并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．9．（2022秋·河南南陽·七年級期中）對于任何數(shù)，規(guī)定一種新運(yùn)算，例如：．(1)按照這個(gè)規(guī)定，請你計(jì)算的值；(2)按照這個(gè)規(guī)定，請你計(jì)算當(dāng)x、y滿足時(shí)，求的值．【答案】(1)(2)【分析】(1)由新定義列出算式計(jì)算即可；(2)先由平方和絕對值的非負(fù)性求出x，y的值，再根據(jù)新定義列出算式，將x，y的值代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，絕對值及平方數(shù)的非負(fù)性，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是由新定義列出算式．10．（2022秋·遼寧撫順·七年級統(tǒng)考期中）（1）在下表中，給出了國外四個(gè)城市與北京的時(shí)差城市悉尼羅馬倫敦紐約時(shí)差/小時(shí)2－7－8－13下面的五個(gè)時(shí)鐘顯示了同一天同一時(shí)刻國外四個(gè)城市時(shí)間和北京時(shí)間，①若北京時(shí)間是11月12日上午9點(diǎn)10分，那么倫敦時(shí)間為；②從左到右五個(gè)時(shí)鐘對應(yīng)的城市分別為：A：；B：；C：；D：；E：．（2）閱讀下列材料，并解決后面的問題．材料：一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘：記為．如，此時(shí)，3叫做以2為底8的對數(shù)，記為（即）．一般地，若（且），則n叫做以a為底b的對數(shù)，記為（即）．如，則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為（即）．直接寫出之間滿足的關(guān)系式．【答案】（1）①11月12日凌晨1點(diǎn)10分；②A：悉尼；B：北京；C：紐約；D：倫敦；E：羅馬；（2）【分析】（1）①根據(jù)北京與倫敦的時(shí)差確定出倫敦時(shí)間即可；②根據(jù)紐約、悉尼、倫敦、羅馬與北京的時(shí)差，結(jié)合鐘表確定出對應(yīng)的城市時(shí)間即可；（2）利用題干中的定義分別計(jì)算的值，由計(jì)算結(jié)果可得出結(jié)論．【詳解】解（1）①若北京時(shí)間是11月12日上午9點(diǎn)10分，那么倫敦時(shí)間為11月12日凌晨1點(diǎn)10分；②根據(jù)紐約、悉尼、倫敦、羅馬與北京的時(shí)差，可得A：悉尼；B：北京；C：紐約；D：倫敦；E：羅馬；故答案為：①11月12日凌晨1點(diǎn)10分；②A：悉尼；B：北京；C：紐約；D：倫敦；E：羅馬；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、有理數(shù)的乘方，正確理解新定義并熟練掌握其應(yīng)用是解題關(guān)鍵．11．（2023秋·浙江金華·七年級?？茧A段練習(xí)）根據(jù)“二十四點(diǎn)”游戲規(guī)則，3，4，，10每個(gè)數(shù)都必須用且只能用一次，用有理數(shù)的運(yùn)算符號（+或-或×或÷或乘方）連接，運(yùn)算符號不一定全用，使其結(jié)果等于24，請寫出兩個(gè)不同的算式．【答案】，．【分析】根據(jù)題意列式，使其運(yùn)算結(jié)果為24即可．【詳解】解：①；②．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，通過游戲的形式，增加了計(jì)算的趣味性．12．（2023春·浙江衢州·七年級?？茧A段練習(xí)）計(jì)算題，要求寫出具體計(jì)算過程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）先化簡符號，再算加減法；（2）先化簡符號，再算加減法；（3）先算乘方，和括號內(nèi)的，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分計(jì)算；（4）利用乘法分配律合并計(jì)算；（5）先算乘方和括號內(nèi)的，再算乘法，最后算減法；（6）先算乘方，再算乘除，最后算加減．【詳解】（1）解：；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算首先弄清運(yùn)算順序，先乘方，再乘除，最后算加減，有括號先算括號里邊的，同級運(yùn)算從左到右依次進(jìn)行計(jì)算，然后利用各自運(yùn)算法則計(jì)算，有時(shí)可以利用運(yùn)算律來簡化運(yùn)算．13．（2022秋·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)數(shù)學(xué)游戲活動，分別代表一種運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果隨著運(yùn)算順序的變化而變化．（提示：①每次游戲都涉及四種運(yùn)算；②運(yùn)算過程中自動添加必要的括號）(1)4經(jīng)過的順序運(yùn)算后，結(jié)果是多少?(2)-2經(jīng)過、的順序運(yùn)算后，結(jié)果是，則被遮擋部分的運(yùn)算順序應(yīng)是________．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的算式，從而可以求得相應(yīng)的結(jié)果；（2）依題意，最后的運(yùn)算為，則前三次運(yùn)算的結(jié)果為，開始的數(shù)是，則經(jīng)過三次運(yùn)算結(jié)果不變，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：（2）解：依題意，最后的運(yùn)算為，則前三次運(yùn)算的結(jié)果為，開始的數(shù)是，則經(jīng)過三次運(yùn)算結(jié)果不變，∵∴運(yùn)算順序?yàn)?，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算的應(yīng)用，根據(jù)題意列出算式是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·福建廈門·七年級大同中學(xué)?？计谥校├脠D1的二維碼可以進(jìn)行身份識別，某校建立了一個(gè)身份識別系統(tǒng)，圖2是某個(gè)學(xué)生的識別圖條，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，將第一行數(shù)字從左到右一次記為，那么可以轉(zhuǎn)換為該生所在班級序號，其序號為，（規(guī)定）如圖2第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，0，1，序號為，表示該生為5班的學(xué)生．(1)圖3中所來示學(xué)生所在班級序號是_____________．(2)我校兩校區(qū)七年級共有18個(gè)班，班級編號從1至18，問是否能用該系統(tǒng)全部識別？若能，請說明原因，并在圖4的第一行表示出班級編號為18的班級．若不能，請你運(yùn)用數(shù)字“”、“”，結(jié)合“+”、“”、“×”、“÷”或乘方運(yùn)算（每個(gè)數(shù)字和符號使用次數(shù)不限）對該系統(tǒng)規(guī)則進(jìn)行改編，并求出改編后的新系統(tǒng)規(guī)則可表示的班級編號范圍．【答案】(1)(2)不能，理由見解析，改編規(guī)則見解析，范圍為至【分析】（1）根據(jù)規(guī)定了運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，得出最大的班級變號為，則不能被全部被識別，改編為：改編為：規(guī)定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一個(gè)小正方形，根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算可得知新系統(tǒng)規(guī)則可表示的班級編號范圍．【詳解】（1）解：圖3中，第一行數(shù)字從左到右依次為1，0，0，1，則序號為，故答案為：；（2）不能，∵，∴不能用該系統(tǒng)全部識別；∵最多只能表示個(gè)數(shù)字，要表示大于的數(shù)字，則需加一位，改編為：規(guī)定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一個(gè)小正方形，規(guī)則不變，序號改為：，如圖2，第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，0，1，第二行第1個(gè)數(shù)字為1，序號為，第一行數(shù)字從左到右依次為0，0，1，0，第二行第1個(gè)數(shù)字為1，序號為，當(dāng)?shù)谝恍袛?shù)字從左到右依次為1，1，1，1，第二行第1個(gè)數(shù)字為1，序號最大，為，∴改編后的新系統(tǒng)規(guī)則可表示的班級編號范圍為至．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算的應(yīng)用，掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵． C級（培優(yōu)拓展）1．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考二模）在算式中的“”里填入一個(gè)運(yùn)算符號，使得它的結(jié)果最?。?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則，逐項(xiàng)代入計(jì)算并比較即可．【詳解】解：A、；B、；C、；D、；∵，∴結(jié)果最小的運(yùn)算為C選項(xiàng)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．2．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級?？茧A段練習(xí)）應(yīng)等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把變形為化簡計(jì)算即可．【詳解】．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了提取公因式，冪的計(jì)算，熟練掌握分解因式是解題的關(guān)鍵．3．（2022·四川成都·七年級?？茧A段練習(xí)）若a，b為有理數(shù)，下列判斷正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）總是正數(shù)；（2）總是正數(shù)；（3）的最大值為5；（4）的最大值是3．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)絕對值，偶次方的非負(fù)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】∵，∴>0，即總是正數(shù)，(1)正確；∵，，∴當(dāng)即a=0時(shí)，，故是正數(shù)；當(dāng)時(shí)，則，即，故是正數(shù)；故（2）正確；的最小值為5，故（3）錯誤；的最大值是2，故（4）錯誤．故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查絕對值的性質(zhì)，偶次方的性質(zhì)，最大值及最小值的確定是難點(diǎn).4．（2022春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期中）如果ab＝c，那么我們規(guī)定[a，c]＝b．例如：因?yàn)?3＝8，所以[2，8]＝3．若[3，5]＝n，[9，m]＝n；則[3，m+2]＝_______．【答案】3【分析】根據(jù)規(guī)定可得3n＝5，9n＝m，從而得到m＝25，然后設(shè)[3，m+2]＝x，則3x＝m+2=27，再由33＝27，即可求解．【詳解】解：∵[3，5]＝n，[9，m]＝n，∴3n＝5，9n＝m，∴9n＝（3n）2＝52＝25，∴m＝25，即m+2=27，設(shè)[3，m+2]＝x，則3x＝m+2=27，∴33＝27，∴[3，m+2]＝3，故答案為：3【點(diǎn)睛】本題主要考查了乘方的逆運(yùn)算的應(yīng)用，理解新規(guī)定是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·福建福州·七年級?？计谀┮阎猘，b，c，d表示4個(gè)不同的正整數(shù)，滿足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，則a+2b+3c+4d的最大值是_____．【答案】81【分析】根據(jù)題意分別確定a，b，c，d的取值范圍，得到4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，再分別確定a，b，c，d的值，即可得到a+2b+3c+4d的最大值．【詳解】解：∵a，b，c，d表示4個(gè)不同的正整數(shù)，且a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，∴d4＜90，則d＝2或3，c3＜90，則c＝1，2，3或4，b2＜90，則b＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，a＜90，則a＝1，2，3，…，89，∴4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，∴要使得a+2b+3c+4d取得最大值，則a取最大值時(shí)，a＝90﹣（b2+c3+d4）取最大值，∴b，c，d要取最小值，則d取2，c取1，b取3，∴a的最大值為90﹣（32+13+24）＝64，∴a+2b+3c+4d的最大值是64+2×3+3×1+4×2＝81，故答案為：81．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)題意確定a，b，c，d的取值范圍是解題關(guān)鍵．6．（2022秋·浙江·七年級期末）把一張紙片剪成4塊，再從所得的紙片中任取若干塊，每塊剪成4塊，像這樣依次地進(jìn)行下去，到剪完某一次為止，那么2018、2019、2020、2021這四個(gè)數(shù)中______可能是剪出的紙片數(shù)．【答案】2020【分析】根據(jù)剪紙的規(guī)律，每一次都是在4的基礎(chǔ)上多了3張，則剪了n次時(shí)，共有4+3（n-1）=3n+1．根據(jù)這一規(guī)律，則該數(shù)減去1必須是3的倍數(shù)，才有可能．所以其中只有2020符合條件．【詳解】解：第一次取k1塊，則分為了4k1塊，加上留下的（4-k1）塊，共有4k1+4-k1=4+3k1=3（k1+1）+1塊，第二次取k2塊，則分為了4k2塊，加上留下的（4+3k1-k2）塊，共有4+3k1+3k2=3（k1+k2+1）+1塊，…第n次取kn塊，則分為了4kn塊，共有4+3k1+3k2+3kn=3（k1+k2+k3+…+kn+1）+1塊，從中看出，只要能夠?qū)懗?k+1的形式，就能夠得到．∵2020=3×673+1，∴這四個(gè)數(shù)中2020可能是剪出的紙片數(shù)．故答案為：2020．【點(diǎn)睛】考查有理數(shù)的乘方，此題必須探索出剪n次有的紙片數(shù)，后根據(jù)規(guī)律求得n是否為整數(shù)進(jìn)行判斷．7．（2022秋·廣東·七年級期中）數(shù)學(xué)真奇妙，小慧同學(xué)研究有兩個(gè)有理數(shù)a和b，若計(jì)算a+b，a-b，ab，的值，發(fā)現(xiàn)有三個(gè)結(jié)果恰好相同，小慧突發(fā)靈感，想考考大家，請你們求_____________【答案】【分析】先根據(jù)分?jǐn)?shù)的分母不能為0可得，從而可得，由此根據(jù)題意可得和兩種情況，再根據(jù)可求出b的值，然后代入求出相應(yīng)的a的值，最后將a、b的值代入即可得．【詳解】由題意得：，，有三個(gè)結(jié)果恰好相同，或，因此，分以下兩種情況：（1）當(dāng)時(shí)，由可得，解得，①當(dāng)時(shí)，則，無解，即不存在這樣的有理數(shù)，②當(dāng)時(shí)，則，解得，此時(shí)；（2）當(dāng)時(shí)，由可得，解得，①當(dāng)時(shí)，則，無解，即不存在這樣的有理數(shù)，②當(dāng)時(shí)，則，解得，此時(shí)；綜上，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算的應(yīng)用，依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．8．（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在一次數(shù)學(xué)課上，張老師對大家說：“你任意想一個(gè)非零有理數(shù)，然后按下列步驟操作，去運(yùn)算出最后結(jié)果．”操作步驟如下：第一步：計(jì)算這個(gè)數(shù)與1的和的平方，減去這個(gè)數(shù)與1的差的平方；第二步：把第一步得到的數(shù)乘以25；第三步：把第二步得到的數(shù)除以你想的這個(gè)數(shù)．(1)若嘟嘟同學(xué)心里想的是數(shù)，請你計(jì)算出最后結(jié)果；(2)老師說：“同學(xué)們，無論你們心里想的是什么非零數(shù)，按照以上步驟進(jìn)行操作，得到的最后結(jié)果都相等．”雯雯想驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，于是，設(shè)心里想的數(shù)是，請你幫雯雯完成這個(gè)驗(yàn)證過程．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)含乘方的有理數(shù)混合計(jì)算法則求解即可；（2）根據(jù)題意列出算式，利用平方差公式和整式的混合計(jì)算法則求解即可．【詳解】（1）解：（2）解：由題意得，∴最后的結(jié)果為100，結(jié)論得證．【點(diǎn)睛】本題主要考查含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算，整式的混合運(yùn)算，正確理解題意列出式子是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·江西宜春·七年級統(tǒng)考期末）閱讀材料，解決問題：我們學(xué)習(xí)了乘方的定義和意義，根據(jù)乘方和乘法兩種運(yùn)算之間的轉(zhuǎn)化了解到：；；觀察上述算式，；可以得到：；類比上述式子，你能夠得到：(1)，；(2)利用由特殊到一般的思想，可以得到：（m、n都是正整數(shù)）；我們把類似于am和an這樣的式子叫同底數(shù)冪；因此可以得到“同底數(shù)冪的乘法”法則：“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”；(3)知識運(yùn)用：，；(4)已知，則的值是．【答案】(1)，(2)(3)，(4)18【分析】（1）根據(jù)題目中給出的信息進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）總結(jié)題目信息得出同底數(shù)冪的運(yùn)算法則；（3）根據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可；（4）逆用同底數(shù)的乘法公式進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】（1），，故答案為，；（2）（m、n都是正整數(shù)），故答案為；（3），，故答案為，；（4）∵，∴，故答案為18．【點(diǎn)睛】本題主要考查了乘方的定義和意義，得到同底數(shù)冪的運(yùn)算法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·浙江·七年級專題練習(xí)）先閱讀下列材料，再解答后面的問題材料：一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘，記為an．如，此時(shí)，3叫做以2為底8的對數(shù)，記為(即)．一般地，若(且)，則叫做以為底的對數(shù)，記為(即)．如，則4叫做以3為底的對數(shù)，記為(即)．問題：(1)計(jì)算以下各對數(shù)的值：=_________，=_________，=_________．(2)通過觀察（1），思考：、、之間滿足怎樣的關(guān)系式？(3)由（2）的結(jié)果，你能歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論嗎？＝______（且）．(4)利用（3）的結(jié)論計(jì)算＝______．【答案】(1)2，4，6(2)(3)(4)3【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的定義求解；（2）認(rèn)真觀察，即可找到規(guī)律：，；（3）由特殊到一般，得出結(jié)論：（4）根據(jù)（3）的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：(1)∵∴，故答案為：2，4，6；（2）∵，，，，∴，故答案為：；（3）觀察（2）的結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)，底數(shù)不變，后面兩個(gè)數(shù)相乘．則，故答案為：．（4）．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，對數(shù)，類比、歸納，推測出對數(shù)應(yīng)有的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋·廣東惠州·七年級統(tǒng)考期中）有一種“24點(diǎn)”的游戲，規(guī)則為：將4個(gè)給定的有理數(shù)進(jìn)行加減乘除四則運(yùn)算（每個(gè)數(shù)只能用一次），使其結(jié)果為24，例如1，2，3，4可做如下運(yùn)算：(1)現(xiàn)有4個(gè)有理數(shù)：，3，4，10，運(yùn)用上述規(guī)則，寫出一個(gè)算式，使其結(jié)果為24：_________(2)現(xiàn)有4個(gè)有理數(shù)：1，2，4，，在上述規(guī)則的基礎(chǔ)上，再多給你一種乘方運(yùn)算，請你寫出一個(gè)含乘方的算式，使其結(jié)果為24：________________【答案】(1)答案不唯一，見解析(2)答案不唯一，見解析【分析】（1）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，寫出相應(yīng)的算式即可，注意本題答案不唯一；（2）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，寫出相應(yīng)的算式即可，注意本題答案不唯一．【詳解】（1）解：故答案為