專題09 解答壓軸題：二次函數(shù)（原卷版）

專題09解答壓軸題：二次函數(shù)1．（2023?上海）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與軸交于點(diǎn)，軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)不與點(diǎn)重合．（1）求點(diǎn)，的坐標(biāo)；（2）求，的值；（3）平移拋物線至，點(diǎn)，分別平移至點(diǎn)，，聯(lián)結(jié)，且軸，如果點(diǎn)在軸上，且新拋物線過(guò)點(diǎn)，求拋物線的函數(shù)解析式．2．（2022?上海）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)點(diǎn)，．（1）求拋物線的解析式；（2）平移拋物線，平移后的頂點(diǎn)為，．?。绻O(shè)直線，在這條直線的右側(cè)原拋物線和新拋物線均呈上升趨勢(shì)，求的取值范圍；ⅱ．點(diǎn)在原拋物線上，新拋物線交軸于點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．3．（2021?上海）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，以為斜邊在其左側(cè)作等腰直角三角形．①當(dāng)與重合時(shí)，求到拋物線對(duì)稱軸的距離；②若在拋物線上，求的坐標(biāo)．4．（2020?上海）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、（如圖）．拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求線段的長(zhǎng)；（2）如果拋物線經(jīng)過(guò)線段上的另一點(diǎn)，且，求這條拋物線的表達(dá)式；（3）如果拋物線的頂點(diǎn)位于內(nèi)，求的取值范圍．5．（2019?上海）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線，其頂點(diǎn)為．（1）寫(xiě)出這條拋物線的開(kāi)口方向、頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并說(shuō)明它的變化情況；（2）我們把一條拋物線上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫做這條拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”．①試求拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)；②平移拋物線，使所得新拋物線的頂點(diǎn)是該拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”，其對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，且四邊形是梯形，求新拋物線的表達(dá)式．6．（2023?徐匯區(qū)二模）如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)、．（1）求拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，且位于軸的上方，將沿直線翻折，如果點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)是拋物線上位于第四象限內(nèi)的點(diǎn)，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求直線的表達(dá)式．7．（2023?楊浦區(qū)二模）已知拋物線與軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）把拋物線沿射線方向平移得到拋物線，此時(shí)點(diǎn)、分別平移到點(diǎn)、處，且都在直線上，設(shè)點(diǎn)在拋物線上，如果是以為底的等腰直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在第（2）小題的條件下，設(shè)點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，，交直線于點(diǎn)，求的值．8．（2023?徐匯區(qū)一模）已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，與軸相交于點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線軸，垂足為點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②聯(lián)結(jié)，過(guò)點(diǎn)作直線的平行線，交軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．9．（2023?浦東新區(qū)二模）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，且與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，拋物線的頂點(diǎn)為．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如果拋物線的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)，求的值；（3）平移這條拋物線，平移后的拋物線交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)在原拋物線上，當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，求平移后拋物線的表達(dá)式．10．（2023?楊浦區(qū)一模）已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．如果，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在第（2）小題的條件下，聯(lián)結(jié)，試問(wèn)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)是否恰好落在直線上？請(qǐng)說(shuō)明理由．11．（2023?黃浦區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)是的外接圓的圓心，求點(diǎn)坐標(biāo)；（3）點(diǎn)坐標(biāo)是，點(diǎn)、在拋物線上，且四邊形是平行四邊形，求線段的長(zhǎng)．12．（2023?虹口區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線與軸交于點(diǎn)．（1）如果點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線上，聯(lián)結(jié)．①求頂點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；②過(guò)拋物線上點(diǎn)作軸，垂足為，交線段于點(diǎn)，如果，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)，如果與軸負(fù)半軸的夾角等于與的和，求的值．13．（2023?嘉定區(qū)二模）如圖，在直角坐標(biāo)平面中，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，，拋物線經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)．（1）求點(diǎn)、的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)、、，當(dāng)時(shí)，①求拋物線表達(dá)式；②在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得？如果存在，求出所有符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．（2023?普陀區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），拋物線與軸交于點(diǎn)、，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)．拋物線的頂點(diǎn)為．（1）求拋物線的表達(dá)式，并寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)，且點(diǎn)在第二象限，如果點(diǎn)到軸的距離與它到直線的距離相等，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）拋物線上有一點(diǎn)，直線恰好經(jīng)過(guò)的重心，求點(diǎn)到軸的距離．15．（2023?寶山區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，將該拋物線位于軸上方的部分沿軸翻折，得到的新圖象記為“圖象”，“圖象”與軸交于點(diǎn)．（1）寫(xiě)出“圖象”對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式及定義域；（2）求的正切值；（3）點(diǎn)在軸正半軸上，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，交直線于點(diǎn)，交“圖象”于點(diǎn)，如果與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．16．（2023?靜安區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，點(diǎn)在線段上，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）求直線的表達(dá)式；（2）如果以為頂點(diǎn)的新拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為；①求新拋物線的表達(dá)式（用含的式子表示），并寫(xiě)出的取值范圍；②過(guò)點(diǎn)向軸作垂線，交原拋物線于點(diǎn)，當(dāng)四邊形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形時(shí)，求新拋物線的表達(dá)式．17．（2023?崇明區(qū)二模）如圖．在直角坐標(biāo)平面中，直線分別與軸、軸交于、兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸左側(cè)的圖象上，將拋物線向上平移個(gè)單位，使點(diǎn)落在內(nèi)，求的取值范圍；（3）對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不與重合），過(guò)作軸的平行線交原拋物線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．18．（2023?長(zhǎng)寧區(qū)一模）已知拋物線與軸交于點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖1，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．當(dāng)四邊形恰好是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，在（2）的條件下，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，且，在直線上是否存在點(diǎn)，使得與相似？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（2023?楊浦區(qū)三模）已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，如果，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在第（2）小題的條件下，點(diǎn)在軸上，且點(diǎn)到直線、的距離相等，求線段的長(zhǎng)．20．（2023?金山區(qū)一模）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，頂點(diǎn)為點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求該拋物線的表達(dá)式以及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將拋物線向上平移個(gè)單位后，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，若此時(shí)，求的值；（3）設(shè)點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)在直線上方，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．21．（2023?松江區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）平移這條拋物線，所得新拋物線的頂點(diǎn)為．①如果，且新拋物線的頂點(diǎn)在的內(nèi)部，求的取值范圍；②如果新拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．22．（2023?虹口區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的頂點(diǎn)為，與軸相交于點(diǎn)，異于頂點(diǎn)的點(diǎn)在該拋物線上．（1）如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為．①求點(diǎn)的坐標(biāo)和的值；②將拋物線向上平移后的新拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，頂點(diǎn)移至點(diǎn)，如果四邊形為平行四邊形，求平移后新拋物線的表達(dá)式；（2）直線與軸相交于點(diǎn)，如果且點(diǎn)在線段上，求的值．23．（2023?松江區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知直線與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為．（1）若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求拋物線解析式；（2）將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)落在點(diǎn)處，如果點(diǎn)在拋物線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)位于軸上方，如果，求的值．24．（2023?青浦區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)與點(diǎn)都是拋物線上的點(diǎn)．①求的值；②如果，求點(diǎn)的坐標(biāo)．25．（2023?長(zhǎng)寧區(qū)二模）已知拋物線與軸交于點(diǎn)、點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且．（1）求拋物線的表達(dá)式．（2）如圖1，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，直線恰好平分的面積，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)坐標(biāo)為，在拋物線上存在點(diǎn)，滿足，請(qǐng)直接寫(xiě)出直線的表達(dá)式．26．（2023?寶山區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為．（1）求二次函數(shù)的解析式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)，試判斷與是否相似，并說(shuō)明理由；（3）將拋物線平移，使新拋物線的頂點(diǎn)落在線段上，新拋物線與原拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，如果四邊形的面積為3，求新拋物線的表達(dá)式．27．（2023?奉賢區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)為，與軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）將拋物線向左或向右平移，將平移后拋物線的頂點(diǎn)記為，聯(lián)結(jié)．①如果，求四邊形的面積；②如果點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在平移后拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．28．（2023?金山區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，與拋物線的對(duì)稱軸直線交于點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式及對(duì)稱軸；（2）如果該拋物線平移后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其頂點(diǎn)在原拋物線上，且點(diǎn)在直線的右側(cè)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)在直線上，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．29．（2023?崇明區(qū)一模）如圖，在直角坐標(biāo)平面中，對(duì)稱軸為直線的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式，并寫(xiě)出此拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)、、，求的面積；（3）過(guò)作軸的垂線與交于點(diǎn)，是直線上點(diǎn)，當(dāng)與相似時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．30．（2023?普陀區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線與軸交于點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn)．拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式，并寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交軸于點(diǎn)．此時(shí)旋轉(zhuǎn)角等于．①求點(diǎn)的坐標(biāo)；②二次函數(shù)的圖象始終有一．部分落在的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)的取值范圍．31．（2023?青浦區(qū)二模）如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將該拋物線向右平移個(gè)單位，點(diǎn)移到點(diǎn)，點(diǎn)移到點(diǎn)，若，求的值；（3）在（2）的條件下，設(shè)新拋物線的頂點(diǎn)為，新拋物線在對(duì)稱軸右側(cè)的部分與軸交于點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離．32．（2023?奉賢區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的表達(dá)式和對(duì)稱軸；（2）聯(lián)結(jié)AC、BC，D為x軸上方拋物線上一點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合），如果△ABD的面積與△ABC的面積相等，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)P（m，4）（m＞0），點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上（點(diǎn)E在頂點(diǎn)上方），當(dāng)∠APE＝90°，且＝時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．33．（2023?靜安區(qū)校級(jí)一模）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），交軸于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，的余切值為，，點(diǎn)在拋物線上，且．（1）求上述拋物線的表達(dá)式；（2）平移上述拋物線，所得新拋物線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，新拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．①求新拋物線的對(duì)稱軸；②點(diǎn)在新拋物線對(duì)稱