專(zhuān)題01 數(shù)與式（5大易錯(cuò)點(diǎn)分析+19個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)+易錯(cuò)題通關(guān)）（江蘇專(zhuān)用）（原卷版）

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages2727頁(yè)專(zhuān)題01數(shù)與式有理數(shù)專(zhuān)題易錯(cuò)點(diǎn)：1.混淆有理數(shù)和無(wú)理數(shù)：學(xué)生可能難以區(qū)分有理數(shù)和無(wú)理數(shù)。例如，無(wú)法正確識(shí)別無(wú)限不循環(huán)小數(shù)（如π和√2）為無(wú)理數(shù)。2.運(yùn)算錯(cuò)誤：在進(jìn)行有理數(shù)的加、減、乘、除等運(yùn)算時(shí)，學(xué)生可能會(huì)犯錯(cuò)誤，如忽視運(yùn)算順序、運(yùn)算符號(hào)錯(cuò)誤或處理復(fù)雜表達(dá)式時(shí)出錯(cuò)。3.對(duì)絕對(duì)值理解不足：學(xué)生可能對(duì)絕對(duì)值的定義和性質(zhì)理解不足，例如將負(fù)數(shù)的絕對(duì)值理解為負(fù)數(shù)，或在處理涉及絕對(duì)值的復(fù)雜問(wèn)題時(shí)出錯(cuò)。4.對(duì)分?jǐn)?shù)運(yùn)算不熟悉：學(xué)生可能對(duì)分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除等運(yùn)算不太熟悉，導(dǎo)致在處理涉及分?jǐn)?shù)的問(wèn)題時(shí)出錯(cuò)。5.對(duì)數(shù)軸理解有誤：數(shù)軸是有理數(shù)的重要表示工具，但學(xué)生可能無(wú)法正確理解和使用數(shù)軸，如無(wú)法正確標(biāo)記有理數(shù)、無(wú)法理解數(shù)軸上的相對(duì)位置關(guān)系等。6.對(duì)有理數(shù)的混合運(yùn)算順序不熟悉：在進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，學(xué)生可能不清楚運(yùn)算的優(yōu)先級(jí)，導(dǎo)致運(yùn)算順序錯(cuò)誤。7.忽視未知數(shù)的取值范圍：在進(jìn)行有理數(shù)的函數(shù)運(yùn)算時(shí)，學(xué)生可能忽視位置上的取值范圍的重要性，導(dǎo)致答案不準(zhǔn)確。8.對(duì)概念理解不足：學(xué)生可能對(duì)有理數(shù)的某些概念理解不足，例如不清楚什么是整數(shù)、什么是負(fù)數(shù)等。易錯(cuò)點(diǎn)1：絕對(duì)值化簡(jiǎn)例：若有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則（

）A． B． C． D．變式1：如果，都是有理數(shù)，那么．變式2：閱讀下列材料：，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，運(yùn)用以上結(jié)論解決下面問(wèn)題：(1)已知m，n是有理數(shù)，當(dāng)時(shí)，則______；(2)已知m，n，t是有理數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的值；(3)已知m，n，t是有理數(shù)，，且，求的值．易錯(cuò)點(diǎn)2：絕對(duì)值最值例：式子的最小值是（

）A．2 B．4 C．6 D．8變式1：當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值為．變式2：學(xué)習(xí)“一次函數(shù)”時(shí)，我們從“數(shù)”和“形”兩方面研究一次函數(shù)的性質(zhì)，并積累了一些經(jīng)驗(yàn)和方法．小聰同學(xué)嘗試運(yùn)用積累的經(jīng)驗(yàn)和方法對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行探究，下面是小聰同學(xué)的探究過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整．(1)列表：x…-2-101234…y…0-1-2a-2b0…則________，________．(2)描點(diǎn)并畫(huà)出該函數(shù)的圖象；(3)判斷：函數(shù)的圖象________（填“是”或“不是”）軸對(duì)稱圖形；觀察函數(shù)圖象，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是________．觀察函數(shù)圖象，試判斷函數(shù)是否存在最小值？若存在，直接寫(xiě)出最小值．易錯(cuò)點(diǎn)3：絕對(duì)值方程例：若，則的值為（）A．12 B． C．5 D．變式1：已知：，，且，則變式2：“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，它可以把抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題．探究：方程，可以用兩種方法求解，將探究過(guò)程補(bǔ)充完整．方法一、當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，___________．方法二、的意義是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與表示___________的點(diǎn)之間的距離是2．上述兩種方法，都可以求得方程的解是___________．應(yīng)用：根據(jù)探究中的方法，求得方程的解是__________．拓展：方程的解是___________．易錯(cuò)點(diǎn)4：數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)例：如圖1，圓的周長(zhǎng)為4個(gè)單位．在該圓的4等分點(diǎn)處分別標(biāo)上字母m、n、p、q．如圖2，先將圓周上表示p的點(diǎn)與數(shù)軸原點(diǎn)重合，然后將該圓沿著數(shù)軸的負(fù)方向滾動(dòng)，則數(shù)軸上表示的點(diǎn)與圓周上重合的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的字母是（

）A．m B．n C．p D．q變式1：如圖，邊長(zhǎng)為3的正方形的邊在數(shù)軸上，數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)為．將正方形在數(shù)軸上水平移動(dòng)，移動(dòng)后的正方形記為，點(diǎn)、、、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、、、，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，當(dāng)面積為15時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為．變式2：【背景知識(shí)】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合．研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a、b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為．【問(wèn)題情境】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為7，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．【綜合運(yùn)用】(1)填空：①A、B兩點(diǎn)間的距離______，線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)_____；②用含t的代數(shù)式表示：t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為_(kāi)_____；點(diǎn)Q表示的數(shù)為_(kāi)_____．(2)求當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)相遇，并寫(xiě)出相遇點(diǎn)所表示的數(shù)；(3)求當(dāng)t為何值時(shí)，；(4)若點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)N為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出線段的長(zhǎng)．易錯(cuò)點(diǎn)5：數(shù)軸新定義例：已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為，4，點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為．(1)若點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)__________；(2)點(diǎn)P在移動(dòng)的過(guò)程中，其到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和為10，求此時(shí)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)的值；(3)對(duì)于數(shù)軸上的三點(diǎn)，給出如下定義：若當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)與其他兩個(gè)點(diǎn)的距離恰好滿足2倍關(guān)系時(shí)，則稱該點(diǎn)是其他兩個(gè)點(diǎn)的“友好點(diǎn)”．如圖，原點(diǎn)O是點(diǎn)A，B的友好點(diǎn)．現(xiàn)在，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從表示數(shù)5的點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)．設(shè)出發(fā)t秒后，點(diǎn)P恰好是點(diǎn)A，B的“友好點(diǎn)”，求此時(shí)的t值．變式1：【定義新知】在數(shù)軸上點(diǎn)M和點(diǎn)N表示的數(shù)為m、n，則可以用絕對(duì)值表示點(diǎn)M和點(diǎn)N之間的距離，即．【初步應(yīng)用】（1）在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B、C分別表示的數(shù)為、1、x，解答下列問(wèn)題：①_____；②若，則的值為_(kāi)____；③若，且x為負(fù)整數(shù)，則x的值為_(kāi)____．【綜合應(yīng)用】（2）在數(shù)軸上，點(diǎn)D、E、F分別表示數(shù)、5、12，動(dòng)點(diǎn)P沿?cái)?shù)軸以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度從點(diǎn)D開(kāi)始向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，到達(dá)F點(diǎn)后立刻原速返回到D點(diǎn)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q沿?cái)?shù)軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度從點(diǎn)E開(kāi)始向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，到達(dá)F點(diǎn)后停止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若，求t的值．變式2：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，點(diǎn)給出如下定義：如果點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為，點(diǎn)與點(diǎn)的距離是的倍（為整數(shù)），那么稱點(diǎn)為點(diǎn)的“倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．

(1)當(dāng)時(shí)，①如果點(diǎn)的3倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)在軸上，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．②如果點(diǎn)是點(diǎn)的倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)，且滿足，那么整數(shù)的最大值為_(kāi)_______．(2)已知在中，．若，且在的邊上存在點(diǎn)的2倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求的取值范圍．實(shí)數(shù)專(zhuān)題易錯(cuò)點(diǎn)：1.混淆有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的概念：有理數(shù)是可以表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，而無(wú)理數(shù)則無(wú)法表示為有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)。2.混淆實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：（1）實(shí)數(shù)具有加法、減法、乘法和除法的運(yùn)算性質(zhì)，例如結(jié)合律、交換律等。（2）容易忽視實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，導(dǎo)致在運(yùn)算中出現(xiàn)錯(cuò)誤。3.對(duì)絕對(duì)值的理解不足：（1）絕對(duì)值表示一個(gè)數(shù)距離0的距離，正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。（2）容易忽略絕對(duì)值的定義，導(dǎo)致在處理絕對(duì)值時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。4.對(duì)平方根的理解不足：（1）平方根是一個(gè)數(shù)的非負(fù)值，即正平方根和零的平方根。（2）容易忽略平方根的定義，導(dǎo)致在處理平方根時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。5.對(duì)無(wú)理數(shù)近似表示的誤解：（1）無(wú)理數(shù)可以用有理數(shù)進(jìn)行近似表示，例如π可以使用分?jǐn)?shù)進(jìn)行近似表示。（2）容易將無(wú)理數(shù)的近似表示誤認(rèn)為是無(wú)理數(shù)的準(zhǔn)確值，導(dǎo)致在計(jì)算中出現(xiàn)錯(cuò)誤。6.對(duì)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系理解不足：（1）實(shí)數(shù)的大小關(guān)系可以通過(guò)數(shù)軸來(lái)表示，正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。（2）容易忽略實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，導(dǎo)致在比較實(shí)數(shù)大小時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。易錯(cuò)點(diǎn)1：算術(shù)平方根與立方根的規(guī)律例：已知：，，則（

）A．0.1536 B．15.36 C．0.04858 D．48.58變式1：小明用計(jì)算器求了一些正數(shù)的平方，記錄如下表.下面有四個(gè)推斷：①②一定有個(gè)整數(shù)的算術(shù)平方根在之間③對(duì)于小于的兩個(gè)正數(shù)，若它們的差等于，則它們的平方的差小于④比大所有合理推斷的序號(hào)是.變式2：愛(ài)學(xué)習(xí)愛(ài)思考的小明，在家利用計(jì)算器計(jì)算得到下列數(shù)據(jù)：…………(1)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是被開(kāi)方數(shù)擴(kuò)大倍，它的算術(shù)平方根擴(kuò)大；(2)已知（精確到），并用上述規(guī)律直接寫(xiě)出各式的值：，；(3)已知?jiǎng)t，．(4)類(lèi)似小明的探究，把表中所有平方根換成立方根，你能根據(jù)，直接說(shuō)出和的近似值嗎？易錯(cuò)點(diǎn)2：整數(shù)部分與小數(shù)部分例：已知，且n是整數(shù)，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7變式1：定義為不大于x的最大整數(shù)，如，，，則滿足，則的最大整數(shù)為．變式2：閱讀下面的對(duì)話，解答問(wèn)題．小紅：是無(wú)理數(shù)，是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此它的小數(shù)部分我們不可能表示出來(lái)，對(duì)嗎？小高：你說(shuō)的不對(duì)，我們知道，它住2和3之間，它的整數(shù)部分是2，用它本身減去整數(shù)部分2就可以表示它的小數(shù)部分．(1)的整數(shù)部分是______，小數(shù)部分是______；(2)若的小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為，求的值；(3)若的算術(shù)平方根是，的立方根是，是的整數(shù)部分，求的平方根．易錯(cuò)點(diǎn)3：無(wú)理數(shù)的估算例：估計(jì)的值應(yīng)在（

）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間變式1：已知．若為整數(shù)，且則．變式2：任意一個(gè)無(wú)理數(shù)介于兩個(gè)整數(shù)之間，我們定義，若無(wú)理數(shù)：，（其中、為連續(xù)的整數(shù)），則稱無(wú)理數(shù)的“美好區(qū)間”為，如，所以的“美好區(qū)間”為．(1)無(wú)理數(shù)的“美好區(qū)間”是______；(2)若一個(gè)無(wú)理數(shù)的“美好區(qū)間”為，且滿足，其中是關(guān)于，的二元一次方程的一組正整數(shù)解，求的值．(3)實(shí)數(shù)，，滿足如下關(guān)系式：，求的算術(shù)平方根的“美好區(qū)間”．代數(shù)式專(zhuān)題易錯(cuò)點(diǎn)：1.對(duì)代數(shù)式的理解不深刻：有些學(xué)生可能對(duì)代數(shù)式的概念和表示方法理解不夠深入，導(dǎo)致在解題時(shí)出現(xiàn)混淆或錯(cuò)誤。2.變量與常數(shù)混淆：在代數(shù)式中，學(xué)生有時(shí)會(huì)將變量與常數(shù)混淆，影響解題的正確性。3.運(yùn)算順序錯(cuò)誤：在復(fù)雜的代數(shù)式中，運(yùn)算的順序（如先乘除后加減）容易被忽略，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。4.括號(hào)處理不當(dāng)：括號(hào)在代數(shù)式中具有優(yōu)先級(jí)。學(xué)生在處理括號(hào)時(shí)，可能會(huì)忽略或錯(cuò)誤地處理，導(dǎo)致答案不正確。5.對(duì)函數(shù)表達(dá)式的理解偏差：有些學(xué)生可能對(duì)函數(shù)表達(dá)式和其對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像理解不清晰，影響后續(xù)的分析和應(yīng)用。6.忽略實(shí)際意義：在某些問(wèn)題中，代數(shù)式的取值范圍或?qū)嶋H意義可能受到限制。學(xué)生如果不注意這一點(diǎn)，可能會(huì)導(dǎo)致答案不合理或錯(cuò)誤。7.化簡(jiǎn)過(guò)程中出錯(cuò)：在化簡(jiǎn)代數(shù)式的過(guò)程中，學(xué)生可能會(huì)因?yàn)榇中幕蛴?jì)算錯(cuò)誤而導(dǎo)致結(jié)果不正確。8.對(duì)代數(shù)式的變換不熟悉：對(duì)于一些常用的代數(shù)式變換技巧，如提公因式、分組分解等，有些學(xué)生可能還不夠熟練，導(dǎo)致解題效率低下或出錯(cuò)。9.對(duì)代數(shù)式的應(yīng)用場(chǎng)景不明確：代數(shù)式在不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際應(yīng)用中有不同的作用和意義。學(xué)生如果對(duì)應(yīng)用場(chǎng)景不明確，可能會(huì)誤解題意或應(yīng)用不當(dāng)。易錯(cuò)點(diǎn)1：整式中的整體代入例：已知代數(shù)式的值是，則代數(shù)式的值是（

）A． B．2 C．11 D．8變式1：若m是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值為．變式2：閱讀材料：我們知道，，類(lèi)似地，我們把看成一個(gè)整體，則．“整體思想”是中學(xué)教學(xué)解題中的一種重要的思想方法，它在多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)與求值中應(yīng)用極為廣泛．嘗試應(yīng)用：（1）把看成一個(gè)整體，合并________；（2）已知，求的值；拓廣探索：（3）已知，，，求的值．易錯(cuò)點(diǎn)2：代數(shù)式中的規(guī)律例：一個(gè)容器裝有1升水，按照如下方法把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出水量是升的，第3次倒出水量是升的，第4次倒出水量是升的，…，第次倒出水量是升的．按照這種倒水的方法，次倒出的水量共為（

）A．1升 B．升 C．升 D．升變式1：已知，，，，，，…當(dāng)為大于1的奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時(shí)，．（1）；（用含a的代數(shù)式表示）（2）．（用含a的代數(shù)式表示）變式2：【問(wèn)題提出】如果從，，，個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中選擇個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，有多少種不同的選擇方法？【問(wèn)題探究】為發(fā)現(xiàn)規(guī)律，我們采用一般問(wèn)題特殊化的策略，先從最簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，再逐次遞進(jìn)，最后得出一般性的結(jié)論．探究一：如果從，，，個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中選擇個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，會(huì)有多少種不同的選擇方法？如圖1，當(dāng)，時(shí)，顯然有種不同的選擇方法；如圖2，當(dāng)，時(shí)，有，；，；，這種不同的選擇方法；如圖3，當(dāng)，時(shí)，有______種不同的選擇方法；……由上可知：從個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中選擇個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，有種不同的選擇方法．探究二：如果從，，，個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中選擇個(gè)，個(gè)個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，分別有多少種不同的選擇方法？我們借助下面的框圖繼續(xù)探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并應(yīng)用規(guī)律完成填空123……43444546474950從個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中選擇個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，有種不同的選擇方法；從個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中選擇個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，有種不同的選擇方法；由上可知：如果從，，，個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中選擇個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，有_____種不同的選擇方法．【問(wèn)題解決】如果從，，，個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中選擇個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，有_____種不同的選擇方法．【實(shí)際應(yīng)用】我們運(yùn)用上面探究得到的結(jié)論，可以解決生活中的一些實(shí)際問(wèn)題．(1)今年國(guó)慶七天長(zhǎng)假期間，小亮想?yún)⒓幽陈眯猩缃M織的青島兩日游，在出行日期上，他共有______種不同的選擇．(2)星期天，小明、小強(qiáng)和小華三個(gè)好朋友去電影院觀看《我和我的祖國(guó)》，售票員李阿姨為他們提供了第七排號(hào)到號(hào)的電影票讓他們選擇，如果他們想拿三張連號(hào)票，則一共有種不同的選擇方法．易錯(cuò)點(diǎn)3：代數(shù)式中的新定義例：定義：對(duì)于一個(gè)兩位自然數(shù)，如果它的個(gè)位數(shù)字不為零，且它正好等于其個(gè)位和十位上數(shù)字和的倍（為正整數(shù)），我們就說(shuō)這個(gè)自然數(shù)是一個(gè)“喜數(shù)”．例如：就是一個(gè)“喜數(shù)”，因?yàn)?；就不是一個(gè)“喜數(shù)”，因?yàn)椋煱l(fā)現(xiàn)十位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字倍的兩位數(shù)都是“喜數(shù)”，則的值為（

）A． B． C．或 D．變式1：定義：若，則稱a與b是關(guān)于數(shù)n的“平衡數(shù)”．比如3與是關(guān)于的“平衡數(shù)”，5與12是關(guān)于17的“平衡數(shù)”．現(xiàn)有與(k為常數(shù))始終是數(shù)n的“平衡數(shù)”，則它們是關(guān)于的“平衡數(shù)”．變式2：定義：對(duì)于一個(gè)兩位數(shù)x，如果x滿足個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個(gè)兩位數(shù)為“相異數(shù)”．將一個(gè)“相異數(shù)”的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)后得到一個(gè)新的兩位數(shù)，將這個(gè)新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的求和，再除以11所得的商記為．例如，，對(duì)調(diào)個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字得到的新兩位數(shù)31，新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為，和44除以11的商為，所以．(1)下列兩位數(shù)：40，51，77中，“相異數(shù)”為_(kāi)_______；(2)計(jì)算：的值；(3)若一個(gè)“相異數(shù)”y的十位數(shù)字是k，個(gè)位數(shù)字是，且，求相異數(shù)y．易錯(cuò)點(diǎn)4：整式與幾何應(yīng)用例：現(xiàn)有A、B、C三種不同的矩形紙片若干張（邊長(zhǎng)如圖），小智要用這三種紙片無(wú)重合無(wú)縫隙拼接成一個(gè)大正方形，先取A紙片9張，再取B紙片1張，還需取C紙片的張數(shù)是（）A．2 B．4 C．6 D．8變式1：如圖所示的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它是由4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若大正方形的邊長(zhǎng)為5，小正方形的邊長(zhǎng)為2．（1）如圖1，若用正數(shù)a、b表示直角三角形的兩條直角邊，則；（2）如圖2，若拼成的大正方形為正方形，中間的小正方形為正方形，連結(jié)，交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)M，則．變式2：現(xiàn)有如圖1的8張大小形狀相同的直角三角形紙片，三邊長(zhǎng)分別是、、．用其中4張紙片拼成如圖2的大正方形（空白部分是邊長(zhǎng)分別為和的正方形）；用另外4張紙片拼成如圖3的大正方形（中間的空白部分是邊長(zhǎng)為的正方形）．(1)觀察：從整體看，整個(gè)圖形的面積等于各部分面積的和．所以圖2和圖3的大正方形的面積都可以表示為，結(jié)論①；圖2中的大正方形的面積又可以用含字母、的代數(shù)式表示為：______，結(jié)論②圖3中的大正方形的面積又可以用含字母、、的代數(shù)式表示為：______，結(jié)論③．(2)思考：結(jié)合結(jié)論①和結(jié)論②，可以得到個(gè)等式______結(jié)合結(jié)論②和結(jié)論③，可以得到個(gè)等式______(3)應(yīng)用：若分別以直角三角形三邊為直徑，向外作半圓（如圖4），三個(gè)半圓的面積分別記作、、，且．，求的值．(4)延伸：若分別以直角三角形三邊為直徑，向上作三個(gè)半圓（如圖5），直角邊，斜邊，求圖中陰影部分面積和．因式分解專(zhuān)題易錯(cuò)點(diǎn)：1.未能正確理解因式分解的定義：因式分解是將一個(gè)多項(xiàng)式表示為幾個(gè)整式的積的形式。學(xué)生需要明確理解這一概念，才能正確進(jìn)行因式分解。2.提公因式時(shí)系數(shù)提取錯(cuò)誤：在進(jìn)行因式分解時(shí)，需要找出各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)，并提取出來(lái)作為公因式。如果學(xué)生在此過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤，就會(huì)影響因式分解的結(jié)果。3.漏掉常數(shù)項(xiàng)：在進(jìn)行提公因式時(shí)，學(xué)生可能會(huì)忽略常數(shù)項(xiàng)。這是常見(jiàn)的錯(cuò)誤，因?yàn)槌?shù)項(xiàng)在多項(xiàng)式中容易被忽視。4.未能正確應(yīng)用公式：在因式分解中，一些特定的多項(xiàng)式可以通過(guò)應(yīng)用公式進(jìn)行分解。如果學(xué)生未能正確應(yīng)用這些公式，就會(huì)導(dǎo)致因式分解的結(jié)果不正確。5.混淆了因式分解與整式的乘法：因式分解與整式的乘法是兩個(gè)不同的概念。學(xué)生需要明確區(qū)分兩者，以免在解題過(guò)程中出現(xiàn)混淆。6.未能正確判斷能否進(jìn)行因式分解：對(duì)于一些多項(xiàng)式，可能無(wú)法進(jìn)行因式分解。學(xué)生需要學(xué)會(huì)判斷哪些多項(xiàng)式可以進(jìn)行因式分解，哪些不能。易錯(cuò)點(diǎn)1：分組分解法例：因式分解的值為（

）A． B． C． D．變式1：分組分解法指通過(guò)分組分解的方式來(lái)分解用提公因式法和公式法無(wú)法直接分解多項(xiàng)式．例如：．根據(jù)上述方法，解決問(wèn)題：已知是的三邊，且滿足，則的形狀是．變式2：先閱讀下面的材料，再完成后面的任務(wù)．材料一材料二如果把一個(gè)多項(xiàng)式各個(gè)項(xiàng)分組并提出公因式后，它們的另一個(gè)因式正好相同，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以利用分組的方法來(lái)分解因式，這種因式分解的方法叫做分組分解法．例在因式分解中，把多項(xiàng)式中某些部分看作一個(gè)整體，用一個(gè)新的字母代替，不僅可以簡(jiǎn)化要分解的多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點(diǎn)更加明顯，便于觀察如何進(jìn)行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．例進(jìn)行因式分解的過(guò)程：設(shè)，原式(1)填空：因式分解_______；(2)因式分解（寫(xiě)出詳細(xì)步驟）：；(3)若三邊分別為a，b，c，其中，，判斷的形狀，并說(shuō)明理由．易錯(cuò)點(diǎn)2：因式分解的應(yīng)用例：對(duì)于一個(gè)幾何拼接圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)算它的面積，可以解釋一些數(shù)學(xué)等式．如圖1，先單個(gè)計(jì)算閱覽室（正方形）、衛(wèi)生間P（正方形）和圖書(shū)室（長(zhǎng)方形）的面積，然后整體計(jì)算面積，可以得到數(shù)學(xué)等式：．

(1)觀察圖2，填空__________；(2)因式分解：，圖3表示面積為的幾何拼接圖，請(qǐng)你補(bǔ)充完整（涂上陰影）；(3)學(xué)校準(zhǔn)備利用現(xiàn)有教學(xué)樓墻重建圖書(shū)館，重建資金額定（即墻厚度和總長(zhǎng)度為定值）．圖4是圖書(shū)館地面一層的平面設(shè)計(jì)圖，由1個(gè)長(zhǎng)方形閱覽室和2個(gè)正方形圖書(shū)室組成，各開(kāi)了一個(gè)1米寬的門(mén)相通．若計(jì)算面積時(shí)不考慮墻體厚度，用總長(zhǎng)67米的墻重建長(zhǎng)方形圖書(shū)館的地面一層．問(wèn)重建后，圖書(shū)館地面一層最大面積是多少平方米？變式1：【實(shí)踐探究】小青同學(xué)在學(xué)習(xí)“因式分解”時(shí)，用如圖所示編號(hào)為的四種長(zhǎng)方體各若干塊，進(jìn)行實(shí)踐探究：(1)現(xiàn)取其中兩個(gè)拼成如圖所示的大長(zhǎng)方體，請(qǐng)根據(jù)體積的不同表示方法，寫(xiě)出一個(gè)代數(shù)恒等式：；(2)【問(wèn)題解決】若要用這四種長(zhǎng)方體拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體，其中號(hào)長(zhǎng)方體和號(hào)長(zhǎng)方體各需要多少個(gè)?試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由；(3)【拓展延伸】如圖3，在一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體中挖出一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體，請(qǐng)根據(jù)體積的不同表示方法，直接寫(xiě)出因式分解的結(jié)果，并利用此結(jié)果解決問(wèn)題：已知與分別是兩個(gè)大小不同正方體的棱長(zhǎng)，且，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，求的值．變式2：學(xué)習(xí)整式的乘法時(shí)可以發(fā)現(xiàn)：用兩種不同的方法表示同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，進(jìn)而可以利用得到的等式解決問(wèn)題．

材料：如圖，圖形面積的兩種計(jì)算方法如下，第一種方法：看成個(gè)正方形和個(gè)長(zhǎng)方形的面積和，化簡(jiǎn)得．第二種方法：看成一個(gè)大的正方形計(jì)算面積，得到一個(gè)等式．根據(jù)上述材料的解題方法解決下列問(wèn)題：(1)如圖是由邊長(zhǎng)分別為，的正方形和長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形拼成的大長(zhǎng)方形，根據(jù)圖形的面積，可以把因式分解：；(2)①如圖是由幾個(gè)小正方形和小長(zhǎng)方形拼成的一個(gè)邊長(zhǎng)為的大正方形，用不同的方法表示這個(gè)大正方形的面積，得到的等式為；（求多個(gè)圖形的面積和的式子要化簡(jiǎn)）②已知，，利用①中所得到的等式，求代數(shù)式的值．分式與二次根式專(zhuān)題易錯(cuò)點(diǎn)：1.分母不為零：分式的分母不能為零，這一點(diǎn)學(xué)生常常會(huì)忽略。在解決分式問(wèn)題時(shí)，一定要確保分母不為零。2.二次根式的有意義：對(duì)于二次根式，被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)。學(xué)生常常會(huì)忽略這一點(diǎn)，導(dǎo)致解答錯(cuò)誤。3.分式與整式的混淆：分式和整式在結(jié)構(gòu)上有很大的不同，分式的特點(diǎn)是分母中含有字母。學(xué)生有時(shí)會(huì)混淆這兩者，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。4.運(yùn)算順序：在復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)式中，運(yùn)算的順序（先乘除后加減，先括號(hào)后根式等）非常重要。學(xué)生有時(shí)會(huì)因?yàn)檫\(yùn)算順序的錯(cuò)誤而導(dǎo)致答案錯(cuò)誤。5.負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算：對(duì)于負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，學(xué)生常常會(huì)忘記除以相應(yīng)的基數(shù)的正整數(shù)指數(shù)冪，導(dǎo)致答案錯(cuò)誤。6.最簡(jiǎn)二次根式的判斷：最簡(jiǎn)二次根式是指被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，以及分母中不含有根號(hào)的分式。學(xué)生常常會(huì)忽略這一點(diǎn)，導(dǎo)致答案錯(cuò)誤。7.二次根式的化簡(jiǎn)：二次根式需要化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)形式，但學(xué)生常常在這一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，比如忘記開(kāi)方或者合并同類(lèi)項(xiàng)等。易錯(cuò)點(diǎn)1：分母有理化例：已知，則代數(shù)式的值為（

）A．2021 B．2024 C．2027 D．2030變式1：已知a是方程一個(gè)根，則的值為．變式2：探究題：觀察下列各式的變化規(guī)律，然后解答下列問(wèn)題：(1)計(jì)算：若n為正整數(shù)，猜想=___________(2)(3)若，求的值易錯(cuò)點(diǎn)2：分式新定義例：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，我們定義新運(yùn)算“*”：，例如：．若m，n是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（）A． B．-3 C． D．變式1：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“※”：．請(qǐng)解決下列問(wèn)題：（1）；（2）若，則．變式2：通過(guò)小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為“真分?jǐn)?shù)”和“假分?jǐn)?shù)”，而假分?jǐn)?shù)都可化為帶分?jǐn)?shù)．