2024年湖南省懷化市中考一模數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2024年4月A佳新中考聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)一、選擇題（在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng)．本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1.下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了無理數(shù)識(shí)別，無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，初中范圍內(nèi)常見的無理數(shù)有：①以及與有關(guān)的一些計(jì)算；②開方開不盡的數(shù)；③具有特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)，如（兩個(gè)1之間依次增加1個(gè)0），根據(jù)無理數(shù)的定義逐項(xiàng)分析即可.【詳解】解：A.是有理數(shù)，故不符合題意；B.是有限小數(shù)，為有理數(shù)，故不符合題意；C.是無限循環(huán)小數(shù)，為有理數(shù)，故不符合題意；D.是無理數(shù)，符合題意，故選：D2.下列算式中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，平方差公式和完全平方公式，解答時(shí)根據(jù)相關(guān)運(yùn)算法則逐項(xiàng)判定即可．【詳解】解：A.，錯(cuò)誤，不符合題意，B.，錯(cuò)誤，不符合題意，C.，正確，符合題意，D.，錯(cuò)誤，不符合題意．故選：C．3.以下是回收、綠色包裝、節(jié)水、低碳四個(gè)標(biāo)志，其中是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念判斷即可．【詳解】解：選項(xiàng)A、C、D不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使這些圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以它們不是中心對(duì)稱圖形，

選項(xiàng)B能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使這個(gè)圖形繞這一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以它是中心對(duì)稱圖形．

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱圖形的概念，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)后與原圖重合．4.有五名射擊運(yùn)動(dòng)員，教練為了分析他們成績(jī)的波動(dòng)程度，應(yīng)選擇下列統(tǒng)計(jì)量中的（）A.方差 B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.平均數(shù)【答案】A【解析】【詳解】試題分析：方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，體現(xiàn)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，集中程度；方差越大，即波動(dòng)越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．故教練要分析射擊運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的波動(dòng)程度，只需要知道訓(xùn)練成績(jī)的方差即可．故選A.考點(diǎn)：1、計(jì)算器-平均數(shù)，2、中位數(shù)，3、眾數(shù)，4、方差5.中汽協(xié)發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2024年1~2月，新能源汽車產(chǎn)銷分別完成125.2萬(wàn)輛和120.7萬(wàn)輛，同比分別增長(zhǎng)和，市場(chǎng)占有率達(dá)到30%．將數(shù)據(jù)125.2萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，n是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)n是負(fù)數(shù)，由此進(jìn)行求解即可得到答案．【詳解】解：萬(wàn)故選：B6.反比例函數(shù)圖象一定經(jīng)過的點(diǎn)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)題意將各項(xiàng)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)即可解答．【詳解】解：A將代入反比例函數(shù)得到，故A項(xiàng)不符合題意；B將代入反比例函數(shù)得到，故B項(xiàng)不符合題意；C將代入反比例函數(shù)得到，故C項(xiàng)不符合題意；D將代入反比例函數(shù)得到，故D項(xiàng)符合題意；故選：D．7.已知k為整數(shù)，關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足，則整數(shù)k值為（）A.2022 B.2023 C.2024 D.2025【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，求不等式組的解集，先利用加減消元法推出，再由推出，據(jù)此可得答案．【詳解】解：得：，∴，∵，∴，∴，∴整數(shù)k值為2024，故選：C．8.如圖，從山下乘纜車上山，纜繩與水平方向成夾角，已知纜車速度為每分鐘30米，從山腳A到山頂B需16分鐘，則山的高度為（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，先求出的長(zhǎng)，再根據(jù)正弦的定義即可得到答案．【詳解】解：由題意得，米，在中，，∴米，故選：A．9.如圖，以直角的一個(gè)銳角的頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交直角邊于點(diǎn)D，交斜邊于點(diǎn)E，再分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，作射線交邊于點(diǎn)G，若，，用表示的面積（其它同理），則＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理和尺規(guī)作圖，勾股定理等知識(shí)，解答時(shí)過點(diǎn)G作于點(diǎn)H，得到，再由勾股定理求出，再推出，則問題可解【詳解】解：如圖，過點(diǎn)G作于點(diǎn)H，由尺規(guī)作圖可知，為平分線，∵，∴，∵，，，∴，∴，故選：B．10.如圖是一把椅子側(cè)面鋼架結(jié)構(gòu)的幾何圖形．其中的交點(diǎn)C是可以活動(dòng)的，調(diào)整它的位置可改變坐板與靠背所成的角度（即的大?。质冀K保證坐板與水平面平行（即）．如圖所示，測(cè)得，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)．利用平行線性質(zhì)得到，再利用三角形的外角性質(zhì)求出即可．【詳解】解：∵∴，∴，故選：A二、填空題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分）11.若二次根式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于等于0，列式計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：二次根式有意義，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題關(guān)鍵．12.把點(diǎn)先向上平移4個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位后得到點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為________．【答案】【解析】【分析】本題考查了平移與坐標(biāo)與圖形的變化．根據(jù)向下平移，縱坐標(biāo)減，橫坐標(biāo)不變，向左平移，橫坐標(biāo)減，縱坐標(biāo)不變進(jìn)行求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，點(diǎn)Q坐標(biāo)是，即．故答案為：．13.因式分解：______．【答案】【解析】【分析】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答．【詳解】解：，故答案為：．14.如圖，在中，，，則________．【答案】##【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，先結(jié)合平行線的性質(zhì)證明，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：，，，，即，，故答案為：．15.如圖，點(diǎn)A，B，C都在上，，則的度數(shù)為________．【答案】108°##108度【解析】【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓周角定理．根據(jù)“同圓中同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半”解答即可．【詳解】解：∵，∴，∴∵點(diǎn)A、B、C在上，∴．故答案為：．16.從5，，0三個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則該點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的概率是________．【答案】【解析】【分析】本題考查列表法與樹狀圖法和點(diǎn)的坐標(biāo)特征，注意掌握通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率．根據(jù)題意列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出剛好在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可求出所求的概率．【詳解】解：列表得：505------0---所有等可能的情況有6種，其中該點(diǎn)剛好在坐標(biāo)軸上的情況有4種，所以該點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的概率，故答案為：．17.對(duì)于實(shí)數(shù)x，用表示不超過x的最大整數(shù)，記．如，，若，，則代數(shù)式________．（要求答案為具體的數(shù)值）【答案】【解析】【分析】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，二次根式的混合計(jì)算，先估算出，再根據(jù)新定義得到，，據(jù)此代值計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，，∴，故答案為：．18.如圖，在中，，將繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，使得點(diǎn)C，A，在同一條直線上，那么在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過程中，線段所“掃過”的面積為________．（結(jié)果用含的式子表示）【答案】##【解析】【分析】本題主要考查了求圖形掃過的扇形面積，解直角三角形，先解直角三角形得到，則，進(jìn)而求出，則，再根據(jù)線段所“掃過”的面積即為扇形的面積進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵在中，，∴，∴，∴，∵將繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，使得點(diǎn)C，A，在同一條直線上，∴，∴線段所“掃過”的面積為，故答案為：．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，第19、20題每小題6分，第21、22題每小題8分，第23、24題每小題9分，第25、26題每小題10分，共66分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）19.計(jì)算：．【答案】3【解析】【分析】此題考查的是實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，分別按照60°的正弦值、負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)和零指數(shù)冪的性質(zhì)，對(duì)各部分進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后合并即可．【詳解】解：原式．20.如圖，在四邊形中，，過點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若，．求證：四邊形是菱形．【答案】證明見解析【解析】【分析】本題主要考查了菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，先證明得到，進(jìn)而證明四邊形是平行四邊形，得到，即可得到，證明，得到，即可證明平行四邊形是菱形．【詳解】證明：∵，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴平行四邊形菱形．21.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．如圖，一次函數(shù)（a為常數(shù)，）與反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）的圖象相交于點(diǎn)和點(diǎn)．

（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2）過點(diǎn)A作y軸的垂線，過點(diǎn)B作x軸的垂線，相交于點(diǎn)C；過點(diǎn)A作x軸的垂線，過點(diǎn)B作y軸的垂線，相交于點(diǎn)D．求證：C，O，D三點(diǎn)在同一條直線上．【答案】（1）反比例函數(shù)解析式為，一次函數(shù)解析式為（2）證明見解析【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合：（1）先把點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中求出反比例函數(shù)解析式，再把點(diǎn)B坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后把點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出一次函數(shù)解析式即可；（2）先根據(jù)題意求出C、D坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線，直線的解析式即可得到答案．【小問1詳解】解：把代入中得：，∴反比例函數(shù)解析式為，把代入中得，解得，∴，把，代入中得：，解得，∴一次函數(shù)解析式為；【小問2詳解】證明：∵過點(diǎn)A作y軸的垂線，過點(diǎn)B作x軸的垂線，相交于點(diǎn)C；過點(diǎn)A作x軸的垂線，過點(diǎn)B作y軸的垂線，相交于點(diǎn)D，∴，同理可得直線解析式為，直線解析式為，∴C，O，D三點(diǎn)在同一條直線上．22.為加快公共領(lǐng)域充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，某停車場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)買A，B兩種型號(hào)的充電樁．已知B型充電樁比A型充電樁的單價(jià)多萬(wàn)元，且用20萬(wàn)元購(gòu)買A型充電樁與用24萬(wàn)元購(gòu)買B型充電樁的數(shù)量相等．（1）A，B兩種型號(hào)充電樁的單價(jià)各是多少？（2）該停車場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)買A，B兩種型號(hào)充電樁共26個(gè)，購(gòu)買總費(fèi)用不超過28萬(wàn)元，且B型充電樁的購(gòu)買數(shù)量不少于A型充電樁購(gòu)買數(shù)量的．請(qǐng)問A，B型充電樁各購(gòu)買多少個(gè)可使購(gòu)買總費(fèi)用最少？【答案】（1）A，B兩種型號(hào)充電樁的單價(jià)各是1萬(wàn)元，萬(wàn)元（2）A，B型充電樁各購(gòu)買18個(gè)，8個(gè)可使購(gòu)買總費(fèi)用最少【解析】【分析】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：（1）設(shè)A型號(hào)充電樁的單價(jià)為x萬(wàn)元，則B型號(hào)充電樁的單價(jià)為萬(wàn)元，根據(jù)用20萬(wàn)元購(gòu)買A型充電樁與用24萬(wàn)元購(gòu)買B型充電樁的數(shù)量相等列出方程求解即可；（2）設(shè)購(gòu)買A型號(hào)充電樁m個(gè)，總費(fèi)用為W，則購(gòu)買B型號(hào)充電樁個(gè)，先根據(jù)題意列出不等式組求出m的取值范圍，再求出W關(guān)于m的一次函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【小問1詳解】解：設(shè)A型號(hào)充電樁的單價(jià)為x萬(wàn)元，則B型號(hào)充電樁的單價(jià)為萬(wàn)元，由題意得，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，∴，答：A，B兩種型號(hào)充電樁的單價(jià)各是1萬(wàn)元，萬(wàn)元；【小問2詳解】解：設(shè)購(gòu)買A型號(hào)充電樁m個(gè)，總費(fèi)用為W，則購(gòu)買B型號(hào)充電樁個(gè)，∵購(gòu)買總費(fèi)用不超過28萬(wàn)元，且B型充電樁的購(gòu)買數(shù)量不少于A型充電樁購(gòu)買數(shù)量的．∴，解得，，∵，∴W隨m增大而減小，又∵m為正整數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，總費(fèi)用最少，∴，答：A，B型充電樁各購(gòu)買18個(gè)，8個(gè)可使購(gòu)買總費(fèi)用最少．23.基于學(xué)生數(shù)學(xué)個(gè)性發(fā)展的需要，擬開設(shè)幾門數(shù)學(xué)類拓展課程，供學(xué)生自主選修．為了解學(xué)生選修課程意向，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查（每人必須且只選其中一項(xiàng)），并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖（不完整）．根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，解答下列問題：（1）請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖所提供的信息，直接填寫答案：①m=，n=；②“E．思想方法”所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是；③對(duì)選擇“D．生活應(yīng)用”有意向的學(xué)生人數(shù)是．（2）該校共有1600名學(xué)生，試估計(jì)全校最喜歡“數(shù)學(xué)史話”的學(xué)生人數(shù)．【答案】（1）①；②36；③18；（2）400人．【解析】【分析】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖及用樣本估計(jì)總體的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠讀懂兩種統(tǒng)計(jì)圖并從中整理出進(jìn)一步解題的有關(guān)信息．（1）①先用選A的人數(shù)除以其所占的百分比即可求得被調(diào)查的總?cè)藬?shù)，然后根據(jù)百分比=其所對(duì)應(yīng)的人數(shù)÷總?cè)藬?shù)分別求出m、n的值；②根據(jù)乘以E所占的百分比即可求解；③用總數(shù)減去其他各小組的人數(shù)即可求得選D的人數(shù)，從而補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）用樣本估計(jì)總體即可確定全校最喜歡“數(shù)學(xué)史話”的學(xué)生人數(shù)．【小問1詳解】①觀察條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖知：選A的有12人，占20%，故總?cè)藬?shù)有人，∴，；故答案為：；②；故答案為：36；③選D的有人，故答案為：18【小問2詳解】估計(jì)全校最喜歡“數(shù)學(xué)史話”的學(xué)生人數(shù)為：人．24.如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，，，四邊形的對(duì)角線，交于點(diǎn)E．（1）求的度數(shù)；（2）過點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若，求證：是圓的切線．【答案】（1）；（2）見解析．【解析】【分析】本題考查了等腰三角形性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、切線的判定等知識(shí)．（1）由，，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，得到，則，再由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，，則；（2）找到外接圓圓心O，連，證明為等邊三角形，則由外心性質(zhì)可知，再由得到，則切線可證明．【小問1詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴；【小問2詳解】∵，∴為圓的直徑，設(shè)四邊形的外接圓圓心為O，如圖，連，∵，，∴，∵，∴為等邊三角形，∵為外接圓，∴，∵，∴，∵為半徑，∴是圓的切線．25.已知正方形和正方形按圖1所示疊放在一起，其中，，點(diǎn)O為和的中點(diǎn)．（1）圖2中正方形為圖1中正方形關(guān)于直線的軸對(duì)稱圖形，求點(diǎn)D和點(diǎn)U的連結(jié)線段的長(zhǎng)度；（2）將圖1中的正方形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，如圖3所示，求運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)D和點(diǎn)G之間距離的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）點(diǎn)D和點(diǎn)G之間距離的最大值和最小值分別為和．【解析】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系．（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可求解；（2）連接，利用勾股定理求得長(zhǎng)，推出點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，取得最小值；當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，取得最大值；據(jù)此求解即可．【小問1詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：連接，∵，，∴，∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上，∴當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，取得最小值；當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，取得最大值；∵，，∴，如圖1，最小值為；如圖2，取得最大值為．26.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，，頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E．圖1圖2圖3（1）求拋物線的解析式、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖2，點(diǎn)Q為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)Q在什么位置時(shí)最