高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第18練 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題精準(zhǔn)提分練習(xí) 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第18練概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題[明晰考情]1.命題角度：概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的交匯處是高考命題的考點(diǎn).2.題目難度：中檔難度.考點(diǎn)一古典概型與幾何概型要點(diǎn)重組(1)古典概型的兩個(gè)特征①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；②每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等.(2)幾何概型將古典概型的有限性推廣到無(wú)限性，幾何概型的測(cè)度包括長(zhǎng)度、面積、角度、體積等.1.已知A，B兩個(gè)盒子中分別裝有標(biāo)記為1,2,3,4的大小相同的四個(gè)小球，甲從A盒中等可能地取出1個(gè)球，乙從B盒中等可能地取出1個(gè)球.(1)用有序數(shù)對(duì)(i，j)表示事件“甲抽到標(biāo)號(hào)為i的小球，乙抽到標(biāo)號(hào)為j的小球”，試寫出所有可能的事件；(2)甲、乙兩人玩游戲，約定規(guī)則：若甲抽到的小球的標(biāo)號(hào)比乙大，則甲勝；反之，則乙勝.你認(rèn)為此游戲是否公平？請(qǐng)說(shuō)明理由.解(1)甲、乙兩人抽到的小球的所有情況有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16種不同的情況.(2)甲抽到的小球的標(biāo)號(hào)比乙大，有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共6種情況，故甲勝的概率P1＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8)，乙勝的概率為P2＝1－eq\f(3,8)＝eq\f(5,8).因?yàn)閑q\f(3,8)≠eq\f(5,8)，所以此游戲不公平.2.已知集合A＝[－2,2]，B＝[－1,1]，設(shè)M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)元素(x，y).(1)求以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在圓x2＋y2＝1內(nèi)的概率；(2)求以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)到直線x＋y＝0的距離不大于eq\f(\r(2),2)的概率.解(1)集合M內(nèi)的點(diǎn)形成的區(qū)域面積S＝8.因?yàn)閳Ax2＋y2＝1的面積S1＝π，故所求概率為P1＝eq\f(S1,S)＝eq\f(π,8).(2)由題意得eq\f(|x＋y|,\r(2))≤eq\f(\r(2),2)，即－1≤x＋y≤1，形成的區(qū)域如圖中陰影部分(含邊界)所示，陰影部分面積S2＝4，所以所求概率為P＝eq\f(S2,S)＝eq\f(1,2).3.已知關(guān)于x的一元二次方程9x2＋6ax－b2＋4＝0，a，b∈R.(1)若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求已知方程有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率；(2)若a是從區(qū)間[0,3]內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，求已知方程有實(shí)數(shù)根的概率.解設(shè)事件A為“方程9x2＋6ax－b2＋4＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”；事件B為“方程9x2＋6ax－b2＋4＝0有實(shí)數(shù)根”.(1)由題意知，基本事件共9個(gè)，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值.由Δ＝36a2－36(－b2＋4)＝36a2＋36b2－36×4＞0，得a2＋b2＞4.事件A要求a，b滿足條件a2＋b2＞4，包含6個(gè)基本事件，即(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，則事件A發(fā)生的概率為P(A)＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).(2)a，b的取值所構(gòu)成的區(qū)域如圖所示，其中0≤a≤3,0≤b≤2.構(gòu)成事件B的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a2＋b2≥4}(如圖中陰影部分(含邊界))，則所求的概率為P(B)＝eq\f(2×3－\f(1,4)×π×22,2×3)＝1－eq\f(π,6).考點(diǎn)二統(tǒng)計(jì)與古典概型的綜合方法技巧概率與統(tǒng)計(jì)的綜合題一般是先給出樣本數(shù)據(jù)或樣本數(shù)據(jù)的分布等，解題中首先要把數(shù)據(jù)分析清楚，明確頻率可近似替代概率，抽象得到古典概型.把握基本事件的構(gòu)成要素.4.(2018·東莞模擬)近幾年來(lái)，“精準(zhǔn)扶貧”是政府的重點(diǎn)工作之一，某地政府對(duì)240戶貧困家庭給予政府資金扶助，以發(fā)展個(gè)體經(jīng)濟(jì)，提高家庭的生活水平.幾年后，一機(jī)構(gòu)對(duì)這些貧困家庭進(jìn)行回訪調(diào)查，得到政府扶貧資金數(shù)、扶貧貧困家庭數(shù)x(戶)與扶貧后脫貧家庭數(shù)y(戶)的數(shù)據(jù)關(guān)系如下：政府扶貧資金數(shù)(萬(wàn)元)3579政府扶貧貧困家庭數(shù)x(戶)204080100扶貧后脫貧家庭數(shù)y(戶)10307090(1)求幾年來(lái)該地依靠“精準(zhǔn)扶貧”政策的脫貧率是多少？(答案精確到0.1%).(2)從政府扶貧資金數(shù)為3萬(wàn)元和7萬(wàn)元并且扶貧后脫貧的家庭中按分層抽樣抽取8戶，再?gòu)倪@8戶中隨機(jī)抽取兩戶家庭，求這兩戶家庭的政府扶貧資金總和為10萬(wàn)元的概率.解(1)幾年來(lái)該地依靠“精準(zhǔn)扶貧”政策的脫貧率是P＝eq\f(200,240)×100%≈83.3%.(2)由題意可知，從政府扶貧資金數(shù)為3萬(wàn)元和7萬(wàn)元并且扶貧后脫貧的家庭中分別抽取1戶和7戶，設(shè)從政府扶貧資金數(shù)為3萬(wàn)元并且扶貧后脫貧的家庭中抽取的1戶為A，從政府扶貧資金數(shù)為7萬(wàn)元并且扶貧后脫貧的家庭中抽取的7戶分別為B1，B2，B3，B4，B5，B6，B7，再?gòu)倪@8戶中隨機(jī)抽取兩戶的所有可能情況為(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，B4)，(A，B5)，(A，B6)，(A，B7)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，B5)，(B1，B6)，(B1，B7)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，B5)，(B2，B6)，(B2，B7)，(B3，B4)，(B3，B5)，(B3，B6)，(B3，B7)，(B4，B5)，(B4，B6)，(B4，B7)，(B5，B6)，(B5，B7)，(B6，B7)，共28種，符合題意的情況有(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，B4)，(A，B5)，(A，B6)，(A，B7)，共7種，故所求概率為eq\f(7,28)＝eq\f(1,4).5.(2017·全國(guó)Ⅲ)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率.解(1)這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率的估計(jì)值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900；若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，所以，Y的所有可能值為900,300，－100.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8.因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8.6.(2017·北京)某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)；(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例.解(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為1－0.6＝0.4，所以從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于70的概率估計(jì)為0.4.(2)根據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)為100－100×0.9－5＝5，所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為400×eq\f(5,100)＝20.(3)由題意可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為60×eq\f(1,2)＝30，所以樣本中的男生人數(shù)為30×2＝60，女生人數(shù)為100－60＝40，所以樣本中男生和女生人數(shù)的比例為60∶40＝3∶2，所以根據(jù)分層抽樣原理，估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例為3∶2.考點(diǎn)三古典概型與統(tǒng)計(jì)案例方法技巧(1)回歸分析和概率的交匯問(wèn)題，要明確所給數(shù)據(jù)的作用，抽象出隨機(jī)事件和古典概型；回歸分析問(wèn)題解決的關(guān)鍵是找到樣本點(diǎn)，確定回歸類型和回歸方程.(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)與古典概型的綜合問(wèn)題，要明確所要研究的分類變量，根據(jù)已知數(shù)據(jù)正確編制列聯(lián)表，然后通過(guò)K2公式計(jì)算并利用參考數(shù)據(jù)得到結(jié)論.7.(2018·惠州模擬)為了解春季晝夜溫差大小與某種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系，現(xiàn)在從4月份的30天中隨機(jī)挑選了5天進(jìn)行研究，且分別記錄了每天晝夜溫差與每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如下表格：日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日溫差x/℃101113128發(fā)芽數(shù)y/顆2325302616(1)從這5天中任選2天，記發(fā)芽的種子數(shù)分別為m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率；(2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與4月份所選5天的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的.請(qǐng)根據(jù)4月7日，4月15日與4月21日這三天的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，并判定所得的線性回歸方程是否可靠？參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,3,x)iyi＝977，eq\i\su(i＝1,3,x)eq\o\al(2,i)＝434.解(1)所有的基本事件為(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，共10個(gè).設(shè)“m，n均不小于25”為事件A，則事件A包含的基本事件為(25,30)，(25,26)，(30,26)，共3個(gè)，故由古典概型概率公式得P(A)＝eq\f(3,10).(2)由題意得eq\x\to(x)＝eq\f(11＋13＋12,3)＝12，eq\x\to(y)＝eq\f(25＋30＋26,3)＝27,3eq\x\to(x)eq\x\to(y)＝972,3eq\x\to(x)2＝432，且eq\i\su(i＝1,3,x)iyi＝977，eq\i\su(i＝1,3,x)eq\o\al(2,i)＝434.∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,3,x)iyi－3\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,3,x)\o\al(2,i)－3\x\to(x)2)＝eq\f(977－972,434－432)＝eq\f(5,2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝27－eq\f(5,2)×12＝－3，∴y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(5,2)x－3，且當(dāng)x＝10時(shí)，y＝22，|22－23|<2；當(dāng)x＝11時(shí)，y＝eq\f(49,2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(49,2)－25))<2；當(dāng)x＝13時(shí)，y＝eq\f(59,2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(59,2)－30))<2；當(dāng)x＝12時(shí)，y＝27，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(27－26))<2；當(dāng)x＝8時(shí)，y＝17，|17－16|<2.∴所得到的線性回歸方程是可靠的.8.(2018·馬鞍山質(zhì)檢)某校為了解該校多媒體教學(xué)普及情況，根據(jù)年齡按分層抽樣的方式調(diào)查了該校50名教師，他們的年齡頻數(shù)及使用多媒體教學(xué)情況的人數(shù)分布如下表：年齡段(歲)20～2930～3940～4950～60頻數(shù)1218155經(jīng)常使用多媒體教學(xué)61251(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為以40歲為分界點(diǎn)對(duì)是否經(jīng)常使用多媒體教學(xué)有差異？年齡低于40歲年齡不低于40歲總計(jì)經(jīng)常使用多媒體教學(xué)不常使用多媒體教學(xué)總計(jì)附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.250.150.100.0500.0250.010k01.3232.0722.7063.8415.0246.635(2)若采用分層抽樣的方式從年齡低于40歲且經(jīng)常使用多媒體的教師中選出6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人，求這2人中至少有1人年齡在30～39歲的概率.解(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)可得如下2×2列聯(lián)表：年齡低于40歲年齡不低于40歲總計(jì)經(jīng)常使用多媒體教學(xué)18624不常使用多媒體教學(xué)121426總計(jì)302050由表中數(shù)據(jù)可得：K2＝eq\f(50×18×14－12×62,24×26×30×20)＝eq\f(225,52)≈4.327>3.841.∴有95%的把握認(rèn)為以40歲為分界點(diǎn)對(duì)是否經(jīng)常使用多媒體教學(xué)有差異.(2)由題意，得抽取6人，20～29歲有2人，分別記為A1，A2；30～39歲有4人，分別記為B1，B2，B3，B4；則抽取的結(jié)果共有15種：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，設(shè)“至少有1人年齡在30～39歲”為事件A，則事件A包含的基本事件有14種，∴P(A)＝eq\f(14,15)，即至少有1人年齡在30～39歲的概率為eq\f(14,15).典例(12分)(2018·全國(guó)Ⅰ)某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位：m3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0,0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6)[0.6，0.7)頻數(shù)13249265使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0,0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6)頻數(shù)151310165

(1)在下圖中作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；(2)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率；(3)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？(一年按365天計(jì)算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)審題路線圖eq\x(頻數(shù)分布表)eq\o(→,\s\up7(計(jì)算頻率))eq\x(頻率分布直方圖)eq\o(→,\s\up7(用頻率估計(jì)概率))eq\x(節(jié)水后日用水量小于0.35m3的概率)eq\o(→,\s\up7(計(jì)算節(jié)水前后日均用水量))eq\x(估計(jì)年節(jié)水量)規(guī)范解答·評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)解(1)4分(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率為0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，8分因此該家庭使用節(jié)水龍頭后日用水量小于0.35m3的概率的估計(jì)值為0.48.(3)該家庭未使用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為eq\x\to(x)1＝eq\f(1,50)(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.9分該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為eq\x\to(x)2＝eq\f(1,50)(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.10分估計(jì)使用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3).12分構(gòu)建答題模板[第一步]審數(shù)據(jù)：根據(jù)題中圖表確定統(tǒng)計(jì)中所需的數(shù)據(jù)，并計(jì)算頻率，頻率/組距等；[第二步]畫圖表：根據(jù)所得的數(shù)據(jù)畫出頻率分布直方圖；[第三步]估分布：根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)總體的分布或其他特征.1.某兒童樂(lè)園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng).參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：①若xy≤3，則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè)；②若xy≥8，則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè)；③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶.假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個(gè)區(qū)域劃分均勻，小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng).(1)求小亮獲得玩具的概率；(2)請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說(shuō)明理由.解(1)用數(shù)對(duì)(x，y)表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù)，則基本事件空間Ω與點(diǎn)集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一對(duì)應(yīng).因?yàn)镾中元素的個(gè)數(shù)是4×4＝16，所以基本事件總數(shù)n＝16.記“xy≤3”為事件A，則事件A包含的基本事件共5個(gè)，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，所以P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮獲得玩具的概率為eq\f(5,16).(2)記“xy≥8”為事件B，“3＜xy＜8”為事件C.則事件B包含的基本事件共6個(gè)，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4).所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).事件C包含的基本事件共5個(gè)，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1).所以P(C)＝eq\f(5,16).因?yàn)閑q\f(3,8)＞eq\f(5,16)，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.2.(2018·新余模擬)“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡(jiǎn)稱.某市為了了解人們對(duì)“一帶一路”的認(rèn)知程度，對(duì)不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分(90分及以上為認(rèn)知程度高).現(xiàn)從參賽者中抽取了x人，按年齡分成5組，第一組：[20,25)，第二組：[25,30)，第三組：[30,35)，第四組：[35,40)，第五組：[40,45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有6人.(1)求x；(2)求抽取的x人的年齡的中位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))；(3)從該市大學(xué)生、軍人、醫(yī)務(wù)人員、工人、個(gè)體戶五種人中用分層抽樣的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分別記為1～5組，從這5個(gè)按年齡分的組和5個(gè)按職業(yè)分的組中每組各選派1人參加知識(shí)競(jìng)賽，分別代表相應(yīng)組的成績(jī)，年齡組中1～5組的成績(jī)分別為93,96,97,94,90，職業(yè)組中1～5組的成績(jī)分別為93,98,94,95,90.①分別求5個(gè)年齡組和5個(gè)職業(yè)組成績(jī)的平均數(shù)和方差；②以上述數(shù)據(jù)為依據(jù)，評(píng)價(jià)5個(gè)年齡組和5個(gè)職業(yè)組對(duì)“一帶一路”的認(rèn)知程度.解(1)根據(jù)頻率分布直方圖得第一組頻率為0.01×5＝0.05，∴eq\f(6,x)＝0.05，∴x＝120.(2)設(shè)中位數(shù)為a，則0.01×5＋0.07×5＋(a－30)×0.06＝0.5，∴a＝eq\f(95,3)≈32，中位數(shù)為32.(3)①5個(gè)年齡組的平均數(shù)為eq\x\to(x)1＝eq\f(1,5)(93＋96＋97＋94＋90)＝94，方差為seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,5)[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.5個(gè)職業(yè)組的平均數(shù)為eq\x\to(x)2＝eq\f(1,5)(93＋98＋94＋95＋90)＝94，方差為seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,5)[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.②評(píng)價(jià)：從平均數(shù)來(lái)看兩組的認(rèn)知程度相同，從方差來(lái)看年齡組的認(rèn)知程度相對(duì)更穩(wěn)定.3.某烹飪學(xué)院為了弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)的飲食文化，舉辦了一場(chǎng)由在校學(xué)生參加的廚藝大賽，組委會(huì)為了解本次大賽參賽學(xué)生的成績(jī)情況，從參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了n名學(xué)生的成績(jī)(滿分100分)作為樣本，將所得分?jǐn)?shù)經(jīng)過(guò)分析整理后畫出了頻率分布直方圖和莖葉圖，其中莖葉圖受到污染，請(qǐng)據(jù)此解答下列問(wèn)題：(1)求頻率分布直方圖中a，b的值，并估計(jì)此次參加廚藝大賽學(xué)生的平均成績(jī)；(2)規(guī)定大賽成績(jī)?cè)赱80,90)的學(xué)生為廚霸，在[90,100]的學(xué)生為廚神，現(xiàn)從被稱為廚霸、廚神的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人去參加校際之間舉辦的廚藝大賽，求所抽取2人中至少有1人是廚神的概率.解(1)由題意可知，樣本容量n＝eq\f(5,0.0125×10)＝40，所以a＝eq\f(3,40×10)＝0.0075.所以10b＝1－(0.125＋0.150＋0.450＋0.075)＝0.2，所以b＝0.02，平均成績(jī)?yōu)?.125×55＋0.2×65＋0.45×75＋0.15×85＋0.075×95＝73.5.(2)由題意可知，廚霸有0.0150×10×40＝6(人)，分別記為a1，a2，a3，a4，a5，a6，廚神有0.0075×10×40＝3(人)，分別記為b1，b2，b3，共9人，從中任意抽取2人共有36種情況：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，a6)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，a6)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，a6)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(a4，a5)，(a4，a6)，