高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第16練 概率精準(zhǔn)提分練習(xí) 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第16練概率[明晰考情]1.命題角度：古典概型與幾何概型的概率計算.2.題目難度：中低檔難度.考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率要點(diǎn)重組(1)對立事件是互斥事件的特殊情況，互斥事件不一定是對立事件.(2)若事件A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；若事件A，B對立，則P(A)＝1－P(B).1.從10個事件中任取一個事件，若這個事件是必然事件的概率為0.2，是不可能事件的概率為0.3，則這10個事件中隨機(jī)事件的個數(shù)是()A.3 B.4C.5 D.6答案C解析這10個事件中，必然事件的個數(shù)為10×0.2＝2，不可能事件的個數(shù)為10×0.3＝3.而必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件是彼此互斥的事件，且它們的個數(shù)和為10.故隨機(jī)事件的個數(shù)為10－2－3＝5.故選C.2.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為()A.0.7 B.0.2C.0.1 D.0.3答案D解析∵“抽到的不是一等品”的對立事件是“抽到一等品”，事件A＝{抽到一等品}，P(A)＝0.7，∴“抽到的不是一等品”的概率是1－0.7＝0.3.3.口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是()A.0.42 B.0.28C.0.3 D.0.7答案C解析∵摸出黑球是摸出紅球或摸出白球的對立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故選C.4.在一次教師聯(lián)歡會上，到會的女教師比男教師多12人，從這些教師中隨機(jī)挑選一人表演節(jié)目，若選中男教師的概率為eq\f(9,20)，則參加聯(lián)歡會的教師共有________人.答案120解析可設(shè)參加聯(lián)歡會的教師共有n人，由于從這些教師中選一人，“選中男教師”和“選中女教師”兩個事件是對立事件，所以選中女教師的概率為1－eq\f(9,20)＝eq\f(11,20).再由題意，知eq\f(11,20)n－eq\f(9,20)n＝12，解得n＝120.考點(diǎn)二古典概型方法技巧求古典概型問題的兩種方法(1)轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解.(2)要用間接法，利用對立事件的概率公式進(jìn)行求解.5.(2018·全國Ⅱ)從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為()A.0.6 B.0.5C.0.4 D.0.3答案D解析設(shè)2名男同學(xué)為a，b,3名女同學(xué)為A，B，C，從中選出兩人的情形有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10種，而都是女同學(xué)的情形有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3種，故所求概率為eq\f(3,10)＝0.3.6.(2017·天津)有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)答案C解析從5支彩筆中任取2支不同顏色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫、黃藍(lán)、黃綠、黃紫、藍(lán)綠、藍(lán)紫、綠紫，共10種，其中取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫，共4種，所以所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).故選C.7.有兩張卡片，一張的正反面分別畫著老鼠和小雞，另一張的正反面分別畫著老鷹和蛇.現(xiàn)在有個小孩隨機(jī)地將兩張卡片排在一起放在桌面上，不考慮順序，則向上的圖案是老鷹和小雞的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)答案C解析向上的圖案為鼠鷹、鼠蛇、雞鷹、雞蛇四種情況，其中向上的圖案是雞鷹的概率為eq\f(1,4).故選C.8.如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC與BD的交點(diǎn)，P，Q，M，N分別是線段OA，OB，OC，OD的中點(diǎn)，在A，P，M，C中任取一點(diǎn)記為E，在B，Q，N，D中任取一點(diǎn)記為F，設(shè)G為滿足eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→))的點(diǎn)，則在上述的點(diǎn)G組成的集合中的點(diǎn)，落在平行四邊形ABCD外(不含邊界)的概率為________.答案eq\f(3,4)解析基本事件的總數(shù)是4×4＝16，在eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→))中，當(dāng)eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))，eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))，eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))時，點(diǎn)G分別為該平行四邊形的各邊的中點(diǎn)，此時點(diǎn)G在平行四邊形的邊界上，而其余情況的點(diǎn)G都在平行四邊形外，故所求的概率是1－eq\f(4,16)＝eq\f(3,4).考點(diǎn)三幾何概型要點(diǎn)重組幾何概型試驗的兩個基本特點(diǎn)(1)無限性.(2)等可能性.方法技巧幾何概型問題解決的關(guān)鍵是確定區(qū)域的測度，注意區(qū)分長度與角度、面積與體積等一般所選對象的活動范圍，在直線上選長度作為測度；在平面區(qū)域內(nèi)選面積作為測度；在空間區(qū)域中則選體積作為測度.9.某人從甲地去乙地共走了500m，途經(jīng)一條寬為xm的河流，該人不小心把一件物品丟在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品未掉在河里，則能找到，已知該物品能被找到的概率為eq\f(4,5)，則河寬大約為()A.80m B.50mC.40m D.100m答案D解析由長度的幾何概型公式并結(jié)合題意可知，河寬為500×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))＝100(m).10.在Rt△ABC中，直角頂點(diǎn)為C，∠A＝30°，在∠ACB的內(nèi)部任作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，則滿足BC＜AM＜AC的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案C解析記“BC＜AM＜AC”為事件D，在AB上取一點(diǎn)C1，使得AC1＝AC，連接CC1，則∠ACC1＝75°，在AB上取一點(diǎn)C2，使得BC2＝BC，連接CC2，則∠ACC2＝30°，那么∠C1CC2＝∠ACC1－∠ACC2＝45°，而∠ACB＝90°，根據(jù)幾何概型的概率計算公式知，P(D)＝eq\f(∠C1CC2,∠ACB)＝eq\f(45°,90°)＝eq\f(1,2).11.(2018·全國Ⅰ)下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則()A.p1＝p2 B.p1＝p3C.p2＝p3 D.p1＝p2＋p3答案A解析∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC，以AB為直徑的半圓的面積為eq\f(1,2)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))2＝eq\f(π,8)AB2，以AC為直徑的半圓的面積為eq\f(1,2)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))2＝eq\f(π,8)AC2，以BC為直徑的半圓的面積為eq\f(1,2)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,2)))2＝eq\f(π,8)BC2，∴SⅠ＝eq\f(1,2)AB·AC，SⅢ＝eq\f(π,8)BC2－eq\f(1,2)AB·AC，SⅡ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)AB2＋\f(π,8)AC2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)BC2－\f(1,2)AB·AC))＝eq\f(1,2)AB·AC.∴SⅠ＝SⅡ.由幾何概型概率公式得p1＝eq\f(SⅠ,S總)，p2＝eq\f(SⅡ,S總).∴p1＝p2.故選A.12.(2017·全國Ⅰ)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(π,8)C.eq\f(1,2)D.eq\f(π,4)答案B解析不妨設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，可得S正方形＝4.由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，得S黑＝S白＝eq\f(1,2)S圓＝eq\f(π,2)，所以由幾何概型知，所求概率P＝eq\f(S黑,S正方形)＝eq\f(\f(π,2),4)＝eq\f(π,8).故選B1.設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π－2,2)C.eq\f(π,6)D.eq\f(4－π,4)答案D解析如圖所示，其構(gòu)成的區(qū)域D為邊長為2的正方形，面積為S1＝4，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離大于2所表示的平面區(qū)域是以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的eq\f(1,4)圓外部，面積為S2＝4－eq\f(π×22,4)＝4－π.所以在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率P＝eq\f(4－π,4).故選D.2.若將一枚質(zhì)地均勻的骰子(一種各面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率為________.答案eq\f(1,12)解析將先后擲2次出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)記作點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)，則共可得點(diǎn)坐標(biāo)的個數(shù)為6×6＝36，而向上點(diǎn)數(shù)之和為4的點(diǎn)坐標(biāo)有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3個，故先后拋擲2次，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).解題秘籍(1)利用古典概型公式解題時，要注意基本事件的等可能性，正確把握基本事件的個數(shù).(2)當(dāng)基本事件受兩個連續(xù)變量控制時，一般是把兩個連續(xù)變量分別作為一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決.1.(2018·全國Ⅲ)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為()A.0.3 B.0.4C.0.6 D.0.7答案B解析由題意可知不用現(xiàn)金支付的概率為1－0.45－0.15＝0.4.2.齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)答案A解析分別用A，B，C表示齊王的上、中、下等馬，用a，b，c表示田忌的上、中、下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場比賽有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc共9種情況，其中田忌的馬獲勝的有Ba，Ca，Cb共3種情況，所以田忌的馬獲勝的概率為eq\f(1,3)，故選A.3.如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,10)D.eq\f(1,20)答案C解析從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)共有如下10個不同的結(jié)果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5)，所以概率為eq\f(1,10).故選C.4.一個袋中裝有大小相同，編號分別為1,2,3,4,5,6,7,8的八個球，從中有放回地每次取一個球，共取2次，則取得兩個小球的編號之和小于15的概率為()A.eq\f(29,32)B.eq\f(63,64)C.eq\f(31,32)D.eq\f(61,64)答案D解析基本事件總數(shù)為8×8＝64.兩球編號之和不小于15的情況有三種：(7,8)，(8,7)，(8,8)，則兩球編號之和不小于15的概率為eq\f(3,64)，因此兩個球的編號之和小于15的概率為1－eq\f(3,64)＝eq\f(61,64).5.如圖，在三棱錐S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，現(xiàn)從該三棱錐的6條棱中任選2條，則這2條棱互相垂直的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5) D.eq\f(2,9)答案A解析由已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，可推得SB⊥BC，從該三棱錐的6條棱中任選2條，基本事件為：(SA，SB)，(SA，SC)，(SA，AB)，(SA，AC)，(SA，BC)，(SB，SC)，(SB，AB)，(SB，AC)，(SB，BC)，(SC，AB)，(SC，AC)，(SC，BC)，(AB，AC)，(AB，BC)，(BC，AC)，共15種情況，而其中互相垂直的2條棱有(SA，AB)，(SA，BC)，(SA，AC)，(SB，BC)，(AB，BC)，共5種情況，所以這2條棱互相垂直的概率為P＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).6.(2017·全國Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)答案D解析從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖：基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故選D.7.已知a，b∈(0,1)，則函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(3,5)答案A解析函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，由二次函數(shù)的單調(diào)性可知－eq\f(－4b,2a)＝eq\f(2b,a)≤1，即a≥2b.由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,0<b<1，,a≥2b，))即圖中陰影部分.∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率為eq\f(\f(1,2)×1×\f(1,2),1×1)＝eq\f(1,4).故選A.8.(2018·衡水金卷模擬)三世紀(jì)中期，魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，為計算圓周率建立了嚴(yán)密的理論和完善的算法.所謂割圓術(shù)，就是不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)求出圓周率的方法.如圖是劉徽利用正六邊形計算圓周率時所畫的示意圖，現(xiàn)向圓中隨機(jī)投擲一個點(diǎn)，則該點(diǎn)落在正六邊形內(nèi)的概率為()A.eq\f(3\r(3),2π) B.eq\f(2\r(3),9π)C.eq\f(3\r(2),2π) D.eq\f(2\r(3),3π)答案A解析設(shè)圓的半徑為r，則圓的面積S圓＝πr2，正六邊形的面積S正六邊形＝6×eq\f(1,2)×r2×sin60°＝eq\f(3\r(3),2)r2，所以向圓中隨機(jī)投擲一個點(diǎn)，該點(diǎn)落在正六邊形內(nèi)的概率P＝eq\f(S正六邊形,S圓)＝eq\f(\f(3\r(3),2)r2,πr2)＝eq\f(3\r(3),2π)，故選A.9.在三棱錐P－ABC內(nèi)任取一點(diǎn)Q，使VQ－ABC<eq\f(1,3)VP－ABC的概率為________.答案eq\f(19,27)解析如圖，作出P在底面△ABC內(nèi)的射影O.若VQ－ABC＝eq\f(1,3)VP－ABC，則三棱錐Q－ABC的高h(yuǎn)＝eq\f(1,3)PO，則VQ－ABC<eq\f(1,3)VP－ABC的點(diǎn)Q位于三棱錐P－ABC的截面DEF以下的棱臺內(nèi)，其中D，E，F(xiàn)分別為BP，AP，CP的三等分點(diǎn).則VQ－ABC<eq\f(1,3)VP－ABC的概率P＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(19,27).10.某中學(xué)夏季