高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第15練 立體幾何精準提分練習(xí) 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第15練立體幾何[明晰考情]1.命題角度：空間中的平行、垂直關(guān)系的證明與探求，空間幾何體的表面積、體積，平面圖形的折疊問題.2.題目難度：中檔難度.考點一空間的平行、垂直關(guān)系方法技巧(1)平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線平行，比較常見的是利用三角形中位線構(gòu)造平行關(guān)系，利用平行四邊形構(gòu)造平行關(guān)系.(2)證明線線垂直的常用方法①利用特殊平面圖形的性質(zhì)，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到線線垂直；②利用勾股定理的逆定理；③利用線面垂直的性質(zhì).1.如圖，在六面體ABCDE中，平面DBC⊥平面ABC，AE⊥平面ABC.(1)求證：AE∥平面DBC；(2)若AB⊥BC，BD⊥CD，求證：AD⊥DC.證明(1)過點D作DO⊥BC，O為垂足.又∵平面DBC⊥平面ABC，平面DBC∩平面ABC＝BC，DO?平面DBC，∴DO⊥平面ABC.又AE⊥平面ABC，∴AE∥DO.又AE?平面DBC，DO?平面DBC，故AE∥平面DBC.(2)由(1)知，DO⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴DO⊥AB.又AB⊥BC，且DO∩BC＝O，DO，BC?平面DBC，∴AB⊥平面DBC.∵DC?平面DBC，∴AB⊥DC.又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB?平面ABD，∴DC⊥平面ABD.又AD?平面ABD，∴AD⊥DC.2.(2018·江蘇)如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求證：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.證明(1)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因為AB?平面A1B1C，A1B1?平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形.又因為AA1＝AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，因此AB1⊥A1B.又因為AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.又因為A1B∩BC＝B，A1B，BC?平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因為AB1?平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.3.(2018·全國Ⅱ)如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點.(1)證明：PO⊥平面ABC；(2)若點M在棱BC上，且MC＝2MB，求點C到平面POM的距離.(1)證明因為PA＝PC＝AC＝4，O為AC的中點，所以O(shè)P⊥AC，且OP＝2eq\r(3).如圖，連接OB.因為AB＝BC＝eq\f(\r(2),2)AC，所以△ABC為等腰直角三角形，所以O(shè)B⊥AC，OB＝eq\f(1,2)AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.因為OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，OB，AC?平面ABC，所以PO⊥平面ABC.(2)解作CH⊥OM，垂足為H，又由(1)可得OP⊥CH，因為OM∩OP＝O，OM，OP?平面POM，所以CH⊥平面POM.故CH的長為點C到平面POM的距離.由題意可知OC＝eq\f(1,2)AC＝2，CM＝eq\f(2,3)BC＝eq\f(4\r(2),3)，∠ACB＝45°，所以在△OMC中，由余弦定理可得，OM＝eq\f(2\r(5),3)，CH＝eq\f(OC·MC·sin∠ACB,OM)＝eq\f(4\r(5),5).所以點C到平面POM的距離為eq\f(4\r(5),5).考點二幾何體的表面積、體積方法技巧(1)空間幾何體的表面積是各個面的面積之和，求解時可利用相應(yīng)的面積公式計算.(2)幾何體體積的常用解法①直接法；②割補法；③等積轉(zhuǎn)換法.4.(2018·全國Ⅰ)如圖，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC為折痕將△ACM折起，使點M到達點D的位置，且AB⊥DA.(1)證明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BP＝DQ＝eq\f(2,3)DA，求三棱錐Q－ABP的體積.(1)證明由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.又BA⊥AD，AC∩AD＝A，AD，AC?平面ACD，所以AB⊥平面ACD.又AB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)解由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3eq\r(2).又BP＝DQ＝eq\f(2,3)DA，所以BP＝2eq\r(2).如圖，過點Q作QE⊥AC，垂足為E，則QE∥DC且QE＝eq\f(1,3)DC.由(1)知平面ACD⊥平面ABC，又平面ACD∩平面ABC＝AC，CD⊥AC，CD?平面ACD，所以DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.因此，三棱錐Q－ABP的體積VQ－ABP＝eq\f(1,3)×S△ABP×QE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×2eq\r(2)sin45°×1＝1.5.如圖，在棱長均為4的三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分別是BC和B1C1的中點.(1)求證：A1D1∥平面AB1D；(2)若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC＝60°，求三棱錐B1－ABC的體積.(1)證明連接DD1，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∵D，D1分別是BC和B1C1的中點，∴B1D1∥BD，且B1D1＝BD，∴四邊形B1BDD1為平行四邊形，∴BB1∥DD1，且BB1＝DD1.又∵AA1∥BB1，AA1＝BB1，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，∴四邊形AA1D1D為平行四邊形，∴A1D1∥AD.又∵A1D1?平面AB1D，AD?平面AB1D，∴A1D1∥平面AB1D.(2)解在△ABC中，邊長均為4，則AB＝AC，D為BC的中點，∴AD⊥BC.∵平面ABC⊥平面B1C1CB，平面ABC∩平面B1C1CB＝BC，AD?平面ABC，∴AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱錐A－B1BC的高.在△ABC中，由AB＝AC＝BC＝4，得AD＝2eq\r(3)，在△B1BC中，B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°，∴△B1BC的面積為4eq\r(3).∴三棱錐B1－ABC的體積即為三棱錐A－B1BC的體積V＝eq\f(1,3)×4eq\r(3)×2eq\r(3)＝8.6.(2018·龍巖質(zhì)檢)已知空間幾何體ABCDE中，△BCD與△CDE均為邊長為2的等邊三角形，△ABC為腰長為3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.(1)試在平面BCD內(nèi)作一條直線，使得直線上任意一點F與E的連線EF均與平面ABC平行，并給出詳細證明；(2)求三棱錐E－ABC的體積.解(1)如圖所示，取DC的中點N，取BD的中點M，連接MN，則MN即為所求直線.證明如下：取BC的中點H，連接AH，∵△ABC是腰長為3的等腰三角形，H為BC的中點，∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH?平面ABC，∴AH⊥平面BCD，同理，可證EN⊥平面BCD，∴EN∥AH，∵EN?平面ABC，AH?平面ABC，∴EN∥平面ABC.又M，N分別為BD，DC的中點，∴MN∥BC，∵MN?平面ABC，BC?平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN∩EN＝N，MN?平面EMN，EN?平面EMN，∴平面EMN∥平面ABC，又EF?平面EMN，∴EF∥平面ABC.(2)連接DH，取CH的中點G，連接NG，則NG∥DH，NG＝eq\f(1,2)DH，由(1)可知EN∥平面ABC，所以點E到平面ABC的距離與點N到平面ABC的距離相等.又△BCD是邊長為2的等邊三角形，∴DH⊥BC，DH＝eq\r(3)，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH?平面BCD，∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC，NG＝eq\f(\r(3),2)，又AC＝AB＝3，BC＝2，∴S△ABC＝eq\f(1,2)·BC·AH＝2eq\r(2).∴VE－ABC＝VN－ABC＝eq\f(1,3)·S△ABC·NG＝eq\f(\r(6),3).考點三立體幾何的綜合問題方法技巧(1)和折疊有關(guān)的平行、垂直問題，關(guān)鍵是弄清折疊前后變與不變的關(guān)系，找出隱含的平行、垂直關(guān)系.(2)立體幾何中的探索性問題，可利用推理證明得出結(jié)論或利用特例得出結(jié)論，再針對一般情形給出證明.7.(2018·全國Ⅲ)如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點.(1)證明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在線段AM上是否存在點P，使得MC∥平面PBD？說明理由.(1)證明由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD.因為BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，又DM?平面CMD，故BC⊥DM.因為M為上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，BC，CM?平面BMC，所以DM⊥平面BMC.又DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(2)解當P為AM的中點時，MC∥平面PBD.證明如下：連接AC，BD，交于點O.因為ABCD為矩形，所以O(shè)為AC中點.連接OP，因為P為AM中點，所以MC∥OP.又MC?平面PBD，OP?平面PBD，所以MC∥平面PBD.8.如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，AC與BD交于點O，將正方形ABCD沿對角線BD折起，得到三棱錐A－BCD.(1)求證：平面AOC⊥平面BCD；(2)若三棱錐A－BCD的體積為eq\f(\r(6),3)，且∠AOC是鈍角，求AC的長.(1)證明∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AO，BD⊥CO.折起后仍有BD⊥AO，BD⊥CO，AO∩CO＝O，AO，CO?平面AOC，∴BD⊥平面AOC.∵BD?平面BCD，∴平面AOC⊥平面BCD.(2)解由(1)知BD⊥平面AOC，∴VA－BCD＝eq\f(1,3)S△AOC·BD，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)OA·OC·sin∠AOC·BD＝eq\f(\r(6),3)，即eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×sin∠AOC×2eq\r(2)＝eq\f(\r(6),3)，∴sin∠AOC＝eq\f(\r(3),2).又∵∠AOC是鈍角，∴∠AOC＝120°.在△AOC中，由余弦定理，得AC2＝OA2＋OC2－2·OA·OC·cos∠AOC＝(eq\r(2))2＋(eq\r(2))2－2×eq\r(2)×eq\r(2)×cos120°＝6，∴AC＝eq\r(6).9.如圖所示，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱錐P－ABC的體積；(2)證明：在線段PC上存在點M，使得AC⊥BM，并求eq\f(PM,MC)的值.解(1)∵AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，∴S△ABC＝eq\f(1,2)·AB·AC·sin60°＝eq\f(\r(3),2).由PA⊥平面ABC可知，PA是三棱錐P－ABC的高，且PA＝1，∴三棱錐P－ABC的體積V＝eq\f(1,3)·S△ABC·PA＝eq\f(\r(3),6).(2)在平面ABC內(nèi)，過點B作BN⊥AC，垂足為N，在平面PAC內(nèi)，過點N作MN∥PA交PC于點M，連接BM.∵PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴PA⊥AC，∴MN⊥AC.又∵BN⊥AC，BN∩MN＝N，BN，MN?平面BMN，∴AC⊥平面MBN.又∵BM?平面MBN，∴AC⊥BM.在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝eq\f(1,2)，從而NC＝AC－AN＝eq\f(3,2)，由MN∥PA，得eq\f(PM,MC)＝eq\f(AN,NC)＝eq\f(1,3).綜上所述，在線段PC上存在點M，使得AC⊥BM且eq\f(PM,MC)＝eq\f(1,3).典例(12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)證明：直線BC∥平面PAD；(2)若△PCD的面積為2eq\r(7)，求四棱錐P—ABCD的體積.審題路線圖(1)eq\x(平面ABCD內(nèi)，∠BAD＝∠ABC＝90°)→eq\x(BC∥AD)→eq\x(BC∥平面PAD)(2)eq\x(欲求VP－ABCD)→eq\x(求SABCD和棱錐的高)eq\o(→,\s\up7(取AD中點M))eq\x(證明PM⊥平面ABCD)→eq\x(利用S△PCD＝2\r(7)求解線段長度)規(guī)范解答·評分標準(1)證明在平面ABCD內(nèi)，因為∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.1分又BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD.3分(2)解如圖，取AD的中點M，連接PM，CM.因為側(cè)面PAD為等邊三角形，所以PM⊥AD，又底面ABCD⊥平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PM?平面PAD，所以PM⊥底面ABCD.4分由AB＝BC＝eq\f(1,2)AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四邊形ABCM為正方形，則CM⊥AD.6分因為CM?底面ABCD，所以PM⊥CM.8分設(shè)BC＝x，則CM＝x，CD＝eq\r(2)x，PM＝eq\r(3)x，PC＝PD＝2x，取CD的中點N，連接PN，則PN⊥CD，所以PN＝eq\f(\r(14),2)x.因為△PCD的面積為2eq\r(7)，所以eq\f(1,2)×eq\r(2)x×eq\f(\r(14),2)x＝2eq\r(7).解得x＝－2(舍去)或x＝2.10分于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2eq\r(3).所以四棱錐P－ABCD的體積V＝eq\f(1,3)S四邊形ABCD·PM＝eq\f(1,3)×eq\f(2×2＋4,2)×2eq\r(3)＝4eq\r(3).12分構(gòu)建答題模板[第一步]證關(guān)系：空間中的線面關(guān)系以線線關(guān)系為基礎(chǔ)，先尋找圖形中的線線平行或線線垂直，再利用判定定理證線面平行或線面垂直.[第二步]找底面：計算幾何體的體積，關(guān)鍵是確定幾何體的底面和相應(yīng)的高，理清計算的思路.[第三步]巧計算：利用已知條件巧妙搭建和要求體積的關(guān)系，計算所求面積或體積.1.(2018·北京)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點.(1)求證：PE⊥BC；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD；(3)求證：EF∥平面PCD.證明(1)因為PA＝PD，E為AD的中點，所以PE⊥AD.因為底面ABCD為矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.(2)因為底面ABCD為矩形，所以AB⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.又因為PA⊥PD，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如圖，取PC的中點G，連接FG，DG.因為F，G分別為PB，PC的中點，所以FG∥BC，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)BC，因為四邊形ABCD為矩形，且E為AD的中點，所以DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四邊形DEFG為平行四邊形，所以EF∥DG.又因為EF?平面PCD，DG?平面PCD，所以EF∥平面PCD.2.(2017·北京)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點.(1)求證：PA⊥BD；(2)求證：平面BDE⊥平面PAC；(3)當PA∥平面BDE時，求三棱錐E－BCD的體積.(1)證明因為PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC?平面ABC，所以PA⊥平面ABC.又因為BD?平面ABC，所以PA⊥BD.(2)證明因為AB＝BC，D是AC的中點，所以BD⊥AC.由(1)知PA⊥BD，又AC∩PA＝A，AC，PA?平面PAC，所以BD⊥平面PAC.又BD?平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC.(3)解因為PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE.因為D為AC的中點，所以DE＝eq\f(1,2)PA＝1，BD＝DC＝eq\r(2).由(1)知PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC，所以三棱錐E－BCD的體積V＝eq\f(1,3)DE·S△BDC＝eq\f(1,6)BD·DC·DE＝eq\f(1,3).3.(2018·柳州模擬)如圖，在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝2，現(xiàn)將△ACD沿AC折起，使D折到P的位置且P在平面ABC的投影E恰好在線段AB上.(1)證明：AP⊥PB；(2)求三棱錐P－EBC的表面積.(1)證明由題意知PE⊥平面ABC，又BC?平面ABC，∴PE⊥BC，又AB⊥BC且AB∩PE＝E，AB，PE?平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又AP?平面PAB，∴BC⊥AP，又AP⊥CP且BC∩CP＝C，BC，CP?平面PBC，∴AP⊥平