第1章 解直角三角形（基礎(chǔ)、典型、易錯(cuò)、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）

第1章解直角三角形（基礎(chǔ)、典型、易錯(cuò)、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練【基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·浙江·金華市南苑中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知在中，，，，則（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江湖州·九年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，則tanB的值是（

）A． B． C． D．3．（2022·浙江麗水·一模）如圖，點(diǎn)A為邊上的任意一點(diǎn)，作于點(diǎn)C，于點(diǎn)D，下列用線段比表示的值，錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．4．（2022·浙江寧波·二模）如圖，在Rt中，為上一點(diǎn)且于，連結(jié)，則（

）A． B． C． D．5．（2022·浙江溫州·一模）如圖，小羽利用儀器測(cè)量一電線桿AB的拉線AC的長(zhǎng)度，測(cè)得拉線AC與水平地面BC的夾角為，并測(cè)得C點(diǎn)到電線桿的距離BC為5米，則拉線AC的長(zhǎng)度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米6．（2022·浙江·溫州市第十四中學(xué)三模）“兒童放學(xué)歸來(lái)早，忙趁東風(fēng)放紙鳶”，小明周末在龍?zhí)豆珗@草坪上放風(fēng)箏，已知風(fēng)箏拉線長(zhǎng)100米且拉線與地面夾角為（如圖所示，假設(shè)拉線是直的，小明身高忽略不計(jì)），則風(fēng)箏離地面的高度可以表示為（）A． B． C． D．7．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，小慧的眼睛離地面的距離為，她用三角尺測(cè)量廣場(chǎng)上的旗桿高度，仰角恰與三角板角的邊重合，量得小慧與旗桿之間的距離為，則旗桿的高度（單位：）為（

）A．6.6 B．11.6 C． D．二、填空題8．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：sin30°＝____．9．（2022·浙江寧波·九年級(jí)專題練習(xí)）比較與的大小，結(jié)果為：______．10．（2022·浙江湖州·模擬預(yù)測(cè)）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，則cosB=___．三、解答題11．（2022·浙江金華·三模）計(jì)算：12．（2022·浙江金華·九年級(jí)期中）計(jì)算：．13．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：14．（2022·浙江金華·一模）計(jì)算：15．（2022·浙江寧波·九年級(jí)期末）如圖，某漁船向正東方向以14海里/時(shí)的速度航行，在處測(cè)得小島在北偏東方向，2小時(shí)后漁船到達(dá)處，測(cè)得小島在北偏東方向，已知該島周圍20海里范圍內(nèi)有暗礁．（參考數(shù)據(jù)：）(1)求處距離小島的距離（精確到海里）；(2)為安全起見(jiàn)，漁船在處向東偏南轉(zhuǎn)了繼續(xù)航行，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明船是否安全？【典型】一、單選題1．（2022·浙江紹興·一模）如圖，A，B，C，三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則的值為（

）A． B． C． D．二、填空題2．（2021·浙江溫州·三模）如圖，在直角坐標(biāo)系中有一直角三角板的直角頂點(diǎn)C落在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)A，B分別落在反比例函數(shù)y＝的兩個(gè)分支上，∠CAB＝30°，若AC邊與y軸相交于AC的中點(diǎn)D，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2，則k的值為_(kāi)____．三、解答題3．（2022·浙江衢州·模擬預(yù)測(cè)）在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AC于點(diǎn)N，∠EMF=135°．將∠EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，使∠EMF的兩邊交直線AB于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)∠EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到如圖①的位置時(shí)，求證：BE+CF=BM；（2）當(dāng)∠EMF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到如圖②，圖③的位置時(shí)，請(qǐng)分別寫出線段BE，CF，BM之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；（3）在（1）和（2）的條件下，tan∠BEM=，AN=+1，則BM=，CF=．4．（2021·浙江杭州·九年級(jí)期末）如圖，在中，，垂足為D，．（1）求的值；（2）過(guò)點(diǎn)B作，若，求的長(zhǎng)．5．（2020·浙江臺(tái)州·二模）某校組織數(shù)學(xué)興趣探究活動(dòng)，愛(ài)思考的小實(shí)同學(xué)在探究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí)發(fā)現(xiàn)，兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．如圖1、圖2、圖3中，、是的中線，于點(diǎn)，像這樣的三角形均稱為“中垂三角形”．【特例探究】（1）如圖1，當(dāng)，時(shí)，_____，______；如圖2，當(dāng)，時(shí)，_____，______；【歸納證明】（2）請(qǐng)你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想、、三者之間的關(guān)系，用等式表示出來(lái)，并利用圖3證明你的結(jié)論；【拓展證明】（3）如圖4，在中，，，、、分別是邊、的中點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)至，使得，連結(jié)，當(dāng)于點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)．6．（2021·浙江杭州·一模）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，以線段為直徑作圓，圓心為，直線交于點(diǎn)，連接.（1）求證：直線是的切線；（2）點(diǎn)為軸上任意一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接：①當(dāng)時(shí)，求所有點(diǎn)的坐標(biāo)（直接寫出）；②求的最大值.【易錯(cuò)】一．選擇題（共6小題）1．（2022春?鄞州區(qū)校級(jí)月考）如圖，先鋒村準(zhǔn)備在坡角為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（）A．5cosα B． C．5sinα D．2．（2022春?蘭溪市月考）若∠A是銳角，且sinA＝，則（）A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°3．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)三模）鐵路道口的欄桿如圖．已知欄桿長(zhǎng)為3米，當(dāng)欄桿末端從水平位置上升到點(diǎn)C處時(shí)，欄桿前端從水平位置下降到點(diǎn)A處，下降的垂直距離AD為0.5米（欄桿的粗細(xì)忽略不計(jì)），上升前后欄桿的夾角為α，則欄桿末端上升的垂直距離CE的長(zhǎng)為（）A．米 B．米 C．（3tanα﹣0.5）米 D．（3sinα﹣0.5）米4．（2022?西湖區(qū)模擬）如圖，邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、E在格點(diǎn)上，連接AE、BC，點(diǎn)D在BC上且滿足AD⊥BC，則∠AED的正切值是（）A． B．2 C． D．5．（2022?瑞安市二模）某村計(jì)劃挖一條引水渠，渠道的橫斷面ABCD是一個(gè)軸對(duì)稱圖形（如圖所示）．若渠底寬BC為2m，渠道深BH為3m，渠壁CD的傾角為α，則渠口寬AD為（）A．（2+3?tanα）m B．（2+6?tanα）m C．（2+）m D．（2+）m6．（2022春?杭州月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，E為AC邊的中點(diǎn)，線段BE的垂直平分線交邊BC于點(diǎn)D．設(shè)BD＝x，tan∠ACB＝y(tǒng)，則x與y滿足關(guān)系式為（）A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝6 C．3x﹣y2＝9 D．4x﹣y2＝12二．填空題（共7小題）7．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，則cosB＝．8．（2022?長(zhǎng)興縣開(kāi)學(xué)）計(jì)算tan45°的正確結(jié)果是．9．（2022春?定海區(qū)期末）公元前240年前后，在希臘的亞歷山大城圖書館當(dāng)館長(zhǎng)的埃拉托色尼通過(guò)測(cè)得有關(guān)數(shù)據(jù)，求得了地球圓周的長(zhǎng)度，他是如何測(cè)量的呢？如圖所示，由于太陽(yáng)距離地球很遠(yuǎn)，太陽(yáng)射來(lái)的光線可以看作平行線，在同時(shí)刻，光線與A城和地心的連線OP所夾的銳角記為∠1，光線與B城和地心的連線OQ重合，通過(guò)測(cè)量A，B兩城間的路程（即弧AB）和∠1的度數(shù)，利用圓的有關(guān)知識(shí)，地球圓周的長(zhǎng)度就可以大致算出來(lái)了．已知弧AB的長(zhǎng)度約為800km，若∠1≈7.2°，則地球的周長(zhǎng)約為km．10．（2022?麗水一模）如圖1的一湯碗，其截面為軸對(duì)稱圖形，碗體ECDF呈半圓形狀（碗體厚度不計(jì)），直徑EF＝26cm，碗底AB＝10cm，∠A＝∠B＝90°，AC＝BD＝3cm．（1）如圖1，當(dāng)湯碗平放在桌面MN上時(shí)，碗的高度是cm．（2）如圖2，將碗放在桌面MN上，繞點(diǎn)B緩緩傾斜倒出部分湯，當(dāng)碗內(nèi)湯的深度最小時(shí)，tan∠ABM的值是．11．（2022?蕭山區(qū)校級(jí)一模）如圖，在△ABC中，sinB＝，tanC＝，AB＝4，則AC的長(zhǎng)為．12．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，如果∠A、∠B滿足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2＝0，那么∠C＝．13．（2022?富陽(yáng)區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，∠OAB＝45°，∠ABO＝60°，BD＝8．點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿著BD方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)O停止運(yùn)動(dòng)．連接AP，點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為Q．當(dāng)點(diǎn)Q落在AC上時(shí)，則OQ＝，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)Q到直線BD的距離的最大值為．三．解答題（共8小題）14．（2022?嘉興一模）倡導(dǎo)“低碳環(huán)?！弊尅熬G色出行”成為一種生活常態(tài)．嘉嘉買了一輛自行車作為代步工具，各部件的名稱如圖1所示，該自行車的車輪半徑為30cm，圖2是該自行車的車架示意圖，立管AB＝27cm，上管AC＝36cm，且它們互相垂直，座管AE可以伸縮，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，且∠ABD＝75°．（1）求下管BC的長(zhǎng)；（2）若后下叉BD與地面平行，座管AE伸長(zhǎng)到18cm，求座墊E離地面的距離．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）15．（2022春?磐安縣期中）某數(shù)學(xué)興趣小組通過(guò)調(diào)查研究把“如何測(cè)量嵩岳寺塔的高度”作為一項(xiàng)課題活動(dòng)，他們制訂了測(cè)量方案，并利用課余時(shí)間實(shí)地測(cè)量．課題測(cè)量嵩岳寺塔的高度測(cè)量工具測(cè)量角度的儀器，皮尺等測(cè)量方案在點(diǎn)C處放置高為1.3米的測(cè)角儀CD，此時(shí)測(cè)得塔頂端A的仰角為45°，再沿BC方向走22米到達(dá)點(diǎn)E處，此時(shí)測(cè)得塔頂端A的仰角為32°．說(shuō)明：E、C、B三點(diǎn)在同一水平線上請(qǐng)你根據(jù)表中信息結(jié)合示意圖幫助該數(shù)學(xué)興趣小組求嵩岳寺塔AB的高度．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62）16．（2022?溫嶺市一模）如圖所示是國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)的籃球架，某興趣小組想知道籃筐中心A到地面的高度，現(xiàn)測(cè)得如下數(shù)據(jù)：CD垂直于地面，CD＝255cm，BC＝90cm，AB平行于地面，∠ABC＝145°，請(qǐng)你利用學(xué)過(guò)的知識(shí)幫他們求出該高度．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）17．（2022?金東區(qū)三模）如圖，一個(gè)書架上放著8個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方體檔案盒，其中左邊7個(gè)檔案盒緊貼書架內(nèi)側(cè)豎放，右邊一個(gè)檔案盒自然向左斜放，檔案盒的頂點(diǎn)D在書架底部，頂點(diǎn)F靠在書架右側(cè)，頂點(diǎn)C靠在檔案盒上，若書架內(nèi)側(cè)長(zhǎng)為60cm，∠CDE＝53°，檔案盒長(zhǎng)度AB＝35cm．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）（1）求點(diǎn)C到書架底部距離CE的長(zhǎng)度；（2）求ED的長(zhǎng)度；（3）求出該書架中最多能放幾個(gè)這樣的檔案盒．18．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)三模）如圖1是某路燈，圖2是此路燈在鉛垂面內(nèi)的示意圖，燈芯A在地面上的照射區(qū)域BC長(zhǎng)為7米，從B，C兩處測(cè)得燈芯A的仰角分別為α和β，且tanα＝6，tanβ＝1．（1）求燈芯A到地面的高度．（2）立柱DE的高為6米，燈桿DF與立柱DE的夾角∠D＝120°，燈芯A到頂部F的距離為1米，且DF⊥AF，求燈桿DF的長(zhǎng)度．19．（2022?諸暨市模擬）圖1是一種可折疊臺(tái)燈，它放置在水平桌面上，將其抽象成圖2，其中點(diǎn)B，E，D均為可轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)測(cè)得AB＝BE＝ED＝CD＝20cm，經(jīng)多次調(diào)試發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)B，E都在CD的垂直平分線上時(shí)（如圖3所示）放置最平穩(wěn)．（1）求放置最平穩(wěn)時(shí)燈座DC與燈桿DE的夾角的大??；（2）當(dāng)A點(diǎn)到水平桌面（CD所在直線）的距離為42cm﹣43cm時(shí)，臺(tái)燈光線最佳，能更好的保護(hù)視力．若臺(tái)燈放置最平穩(wěn)時(shí)，將∠ABE調(diào)節(jié)到105°，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明此時(shí)光線是否為最佳．（參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73）20．（2022?北侖區(qū)一模）某鎮(zhèn)為創(chuàng)建特色小鎮(zhèn)，助力鄉(xiāng)村振興，決定在轄區(qū)的一條河上修建一座步行觀光橋．如圖，該河旁有一座小山，山高BC＝100m，坡面AB的坡比為1：0.7（注：坡比是指坡面的鉛垂高度與水平寬度的比），點(diǎn)C、A與河岸E，F(xiàn)在同一水平線上，從山頂B處測(cè)得河岸E和對(duì)岸F的俯角∠DBE，∠DBF分別為45°，28°．（1）求山腳A到河岸E的距離；（2）若在此處建橋，試求河寬EF的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）21．（2022?柯城區(qū)二模）圖①是某小區(qū)折疊道閘的實(shí)景圖，圖②是其工作示意圖，道閘由垂直于地面的立柱AB，CD和折疊桿“AE﹣EF”組成，其中AB＝CD＝1.2m，AB，CD之間的水平距離BD＝2.5m，AE＝1.5m．道閘工作時(shí)，折疊桿“AE﹣EF”可繞點(diǎn)A在一定范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，張角為∠BAE（90°≤∠BAE≤150°），同時(shí)桿EF始終與地面BD保持平行．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）（1）當(dāng)張角∠BAE為135°時(shí)，求桿EF與地面BD之間的距離（結(jié)果精確到0.01m）；（2）試通過(guò)計(jì)算判斷寬度為1.8m，高度為2.45m的小型廂式貨車能否正常通過(guò)此道閘？

【壓軸】一、單選題1．（2021·浙江·溫州市第二中學(xué)三模）如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形內(nèi)放一個(gè)Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角頂點(diǎn)D在半徑OB上，OD＝2DB，點(diǎn)E在半徑OA上，點(diǎn)F在弧上．則半徑OA的長(zhǎng)為（

）A． B．2 C． D．二、填空題2．（2022·浙江·溫州市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）飛機(jī)導(dǎo)航系統(tǒng)的正常工作離不開(kāi)人造衛(wèi)星的信號(hào)傳輸（如圖1）．五顆同軌道同步衛(wèi)星，其位置A，B，C，D，E如圖2所示，是它們的運(yùn)行軌道，弧AC度數(shù)為120°，點(diǎn)B到點(diǎn)C和點(diǎn)A的距離相等，于M，AD交BE于N，交CE于H，連結(jié)CD，AE．已知一架飛機(jī)從M飛到N的直線距離為8千公里，則軌道的半徑為_(kāi)_____千公里．當(dāng)時(shí)，則線段AE，CD的長(zhǎng)度之和為_(kāi)_____千公里．三、解答題3．（2022·浙江·寧波外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）已知一個(gè)直角三角形紙片，其中，，，點(diǎn)、分別是、邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，將紙片的一角沿折疊．(1)若折疊后點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處（如圖，且，求的長(zhǎng)；(2)若，折疊后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)（如圖，連結(jié)．①若點(diǎn)恰好在邊上（如圖，求的長(zhǎng)．②求的最小值．4．（2022·浙江·義烏市賓王中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，小明將一張直角梯形紙片沿虛線剪開(kāi)，得到矩形和三角形兩張紙片，測(cè)得，．在進(jìn)行如下操作時(shí)遇到了下列幾個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解決．(1)如圖2，將的頂點(diǎn)G移到矩形的頂點(diǎn)B處，再將三角形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使E點(diǎn)落在邊上，此時(shí)EF恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，請(qǐng)證明：；(2)如圖3，在（1）的條件下，小明先將的邊和矩形的邊重合，然后將△EFG沿直線向右平移，至F點(diǎn)與B重合時(shí)停止．在平移過(guò)程中，設(shè)G點(diǎn)平移的距離為x，兩紙片重疊部分面積為y，求在平移的整個(gè)過(guò)程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式．(3)如圖，在（1）的條件下，小明把該圖形放在直角坐標(biāo)系中，使B（G）為坐標(biāo)原點(diǎn)為x軸，在x軸和y上分別找P，Q兩點(diǎn)使與相似，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)．5．（2022·浙江寧波·一模）如圖1，在中，，于D，E為邊上的點(diǎn)，過(guò)A、D、E三點(diǎn)的交于F，連接，．(1)求證：．(2)若，求的面積．(3)如圖2，點(diǎn)P為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，．①若P為的中點(diǎn)，設(shè)為x，的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；②在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試探索，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．6．（2022·浙江麗水·一模）在菱形中，，，點(diǎn)E在邊上，，點(diǎn)P是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，將沿翻折得到．(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)若點(diǎn)F落在對(duì)角線上，求證：；(3)若點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線與直線交于點(diǎn)H，問(wèn)當(dāng)為何值時(shí)，為直角三角形．7．（2022·浙江·溫州市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）如圖1，中，，，，延長(zhǎng)BC至D，使，E為AC邊上一點(diǎn)，連結(jié)DE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F．作的外接圓，EH為的直徑，射線AC交于點(diǎn)G，連結(jié)GH．(1)求證：．(2)①如圖2，當(dāng)時(shí)，求GH的長(zhǎng)及的值．②如圖3，隨著E點(diǎn)在CA邊上從下向上移動(dòng)，的值是否發(fā)生變化，若不變，請(qǐng)你求出的值，若變化，求出的范圍．(3)若要使圓心O落在的內(nèi)部（不包括邊上），求CE的長(zhǎng)度范圍．8．（2022·浙江金華·三模）在四邊形中，，，．(1)如圖1，①求證：；②求的正切值；(2)如圖2，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位每秒速度，沿折線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位每秒速度，沿射線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，以為斜邊作，使點(diǎn)落在線段或上，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)不再連接其他線段，且圖中存在與相似的三角形時(shí)，求的值．9．（2022·浙江溫州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)．平分交于點(diǎn)，并經(jīng)過(guò)邊的中點(diǎn)．(1)求證：．(2)求的值．(3)若，試在上找一點(diǎn)（不與，重合），使直線經(jīng)過(guò)四邊形一邊的中點(diǎn)，求所有滿足條件的的值．10．（2021·浙江·紹興市第一初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）定義：如果一個(gè)四邊形能被一條直線分割成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)等腰三角形，那么稱這個(gè)四邊形為平等四邊形，這條分割線為平等線．(1)如圖1，在四邊形ABCD中，ADBC，AD＝AB＝2，∠B＝30°，若四邊形ABCD為平等四邊形，直接寫出BC邊可能的長(zhǎng)；(2)如圖2，AD為四邊形EBCD的平等線，且BC＝ED，求證：BD2﹣BC2＝AB?BE；(3)如圖3，在（2）的條件下，作平等四邊形EBCD的外接圓，連接AC，若∠BAC＝∠BDE，那么BD與BC有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．11．（2021·浙江·溫州市第二中學(xué)二模）如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，∠A的平分線AF交BC邊于點(diǎn)E，交DC的廷長(zhǎng)線于點(diǎn)F．取EF的中點(diǎn)G，連結(jié)DG(1)求證：BC＝DF．(2)當(dāng)△ADE≌△FDG時(shí)，求tan∠DEC的值．(3)連結(jié)BD，BG，若S△ADE＝2S△DEG．①求S△DBG：S△DGF的值．②記BD與AE的交點(diǎn)為M，P是線段AM上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．將△ABP沿BP翻折得到△A′BP，A′B與AG交于點(diǎn)Q，當(dāng)與△BDG的一邊平行時(shí)，求的值．12．（2022·浙江·衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校教育集團(tuán)（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團(tuán)）九年級(jí)