第1章 解直角三角形【單元提升卷】（浙教版）（解析版）

第1章解直角三角形【單元提升卷】（浙教版）（滿分120分，完卷時(shí)間100分鐘）注意事項(xiàng)：1．本試卷分選擇題、填空題、解答題三部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。考試范圍：九上全部內(nèi)容單選題（每題3分，共30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin∠A＝，則cos∠A的值為()A． B． C． D．【答案】A【分析】作出圖形，設(shè)BC=5k，AB=13k，利用勾股定理列式求出AC，再根據(jù)銳角的余弦等于鄰邊比斜邊列式即可得解．【詳解】如圖，∵sin∠A=，∴設(shè)BC=5k，AB=13k，由勾股定理得，AC==12k，∴cos∠A=．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，利用“設(shè)k法”表示出三角形的三邊求解更加簡便．2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，則下列結(jié)論正確的是（）A．sinA＝ B．tanA＝ C．cosB＝ D．tanB＝【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2．∴AC＝，∴sinA＝，tanA＝，cosB＝，tanB＝．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，解答此題關(guān)鍵是正確理解和運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義．3．一個(gè)公共房門前的臺階高出地面1.2m，臺階拆除后，換成供輪椅行走的斜坡，數(shù)據(jù)如圖所示，則下列關(guān)系或說法正確的是(

)A．斜坡AB的坡度是10° B．斜坡AB的坡度是tan10°C．AC＝1.2tan10°m D．AB＝m【答案】B【分析】根據(jù)坡度是坡角的正切值，可得答案．【詳解】解：斜坡AB的坡度是tan10°=，故B正確；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了坡度坡角，利用坡度是坡角的正切值是解題關(guān)鍵．4．如圖是某水庫大壩橫斷面示意圖．其中AB、CD分別表示水庫上下底面的水平線，∠ABC=120°，BC的長是50m，則水庫大壩的高度h是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，∵∠ABC=120°，∴∠CBE=60°．在Rt△CBE中，BC=50m，∴CE=BC?sin60°=．故選A．5．下列式子：①sin60°>cos30°；②0<tanα<1(α為銳角)；③2cos30°＝cos60°；④sin30°＝cos60°，其中正確的個(gè)數(shù)有(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、同角三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷．【詳解】①sin60°=cos30°，故①錯(cuò)誤；②tanα>0(α為銳角)，故②錯(cuò)誤；③2cos30°=2×=≠＝cos60°，故③錯(cuò)誤；④sin30°＝cos60°，正確.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、同角三角函數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型，比較簡單．6．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則銳角α等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】B【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ=，從而可求出α的正弦值，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值確定α的度數(shù)．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴△=，解得：sinα=，∵α為銳角，∴α=30°．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與Δ=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．也考查了特殊角的三角函數(shù)值．7．小明在學(xué)完《解直角三角形》一章后，利用測角儀和校園旗桿的拉繩測量校園旗桿的高度，如圖，旗桿的高度與拉繩的長度相等，小明先將拉到的位置，測得為水平線），測角儀的高度為米，則旗桿的高度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】設(shè)PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根據(jù)，列出方程即可解決問題．【詳解】解：設(shè)PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，∴∴，∴（1-）x=1，∴x=．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形、三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)列方程，屬于中考?？碱}型．8．如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，則AB的長為(

)A．2 B．3 C．4 D．3【答案】A【分析】過A作AD與BC垂直，在直角三角形ACD中，根據(jù)題意確定出AD=CD，求出AD的長，再利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB的長即可．【詳解】過A作AD⊥BC，在Rt△ACD中，∠C=45°，AC=2，∴AD=CD=，在Rt△ABD中，∠B=30°，AD=2，∴AB=2AD=2，故選A．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形，以及勾股定理，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．9．在正方形網(wǎng)格中，∠BAC如圖放置，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則sin∠BAC的值為(

)?A．?

B．?

C．? D．?【答案】C【分析】連接BC，則利用勾股定理可得AC=，BC=，AB=，從而可得∠ACB=90°，在Rt△ABC中求解sin∠BAC的值即可．【詳解】連接BC，則可得AC=，BC=，AB=，∵AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，在RT△ABC中，sin∠BAC=．故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是求出AB、AC、BC的長度，判斷出△ABC是直角三角形．10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D．若AC=，BC=2，則sin∠ACD的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理即可求得AB，而∠B＝∠ACD，即可把求sin∠ACD轉(zhuǎn)化為求sinB．【詳解】在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理可得：AB3．∵∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∴sin∠ACD＝sin∠B．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，要熟練掌握好邊角之間的關(guān)系，難度適中．填空題（每題3分，共24分）11．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，則sinB的值為________.【答案】【詳解】試題分析：因?yàn)樵赗t△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，所以．考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)．12．已知α為銳角，且2cos2α－5cosα＋2＝0，則α＝________．【答案】60°【分析】用換元法先求出cosα的值，再利用特殊角的三角函數(shù)值求出α即可.【詳解】解：設(shè)cosα=A，則原式=,解得，A=2（因?yàn)閏osα≠2，舍）或，∴cosα=，∴α=60°.故答案為60°．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法和特殊角的三角函數(shù)值，應(yīng)用換元法使問題簡化是解題的關(guān)鍵.13．如圖，小明爬一土坡,他從A處爬到B處所走的直線距離AB=4米，此時(shí)，他離地面高度為h=2米，則這個(gè)土坡的坡角∠A=____°．【答案】30【詳解】解：由題意得AB＝4米，BC＝2米在Rt△ABC中，，∴∠A＝30°．故答案為：30．14．如圖，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，連接BE，則tan∠EBC=____．【答案】【詳解】解：作EF⊥BC于F，如圖，設(shè)DE=CE=a，∵△CDE為等腰直角三角形，∴CD=CE=a，∠DCE=45°，∵四邊形ABCD為正方形，∴CB=CD=a，∠BCD=90°，∴∠ECF=45°，∴△CEF為等腰直角三角形，∴CF=EF=CE=a，在Rt△BEF中，tan∠EBF===，即∠EBC=．故答案為．15．如圖，在中，∠B=60°，AB=2，BC=，求∠ACB的度數(shù)為____．【答案】45°【詳解】試題分析：過點(diǎn)A作AD⊥BC，∠B=60°，∠ADB=90°，AB=2，則BD=1，AD=，根據(jù)BC=1+，則CD=BC－BD=1+－1=，則AD=CD，所以△ACD為等腰直角三角形，即∠ACB=45°考點(diǎn)：直角三角形的性質(zhì)16．2cos30°－tan45°－＝_________．【答案】0【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入求解即可.【詳解】解：原式=2×-1-，=-1-（-1），=0.故答案為0.【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握特殊角的三角函數(shù)值．17．如圖，AC⊥BC，AD＝a，BD＝b，∠A＝α，∠B＝β，則AC等于_______．【答案】acosα＋bsinβ【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，可得四邊形DFCE是矩形，從而利用三角函數(shù)表示出AE,DF的長，即可求出AC的長.【詳解】解：過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，∵AC⊥BC,∴四邊形DFCE是矩形，∴DF=CE,∵AE=AD×cosα=acosα,CE=DF=BD×sinβ=bsinβ,∴AC=AE+EC=acosα＋bsinβ.故答案為acosα＋bsinβ.【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義和矩形的性質(zhì)和判定，熟練掌握相關(guān)定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.18．如圖，某同學(xué)用圓規(guī)BOA畫一個(gè)半徑為4cm的圓，測得此時(shí)∠O＝90°，為了畫一個(gè)半徑更大的同心圓，固定A端不動，將B端向左移至B′處，此時(shí)測得∠O′＝120°，則BB′的長為_______厘米【答案】(2－4)【分析】△ABO是等腰直角三角形，利用三角函數(shù)即可求得OA的長，過O'作O'D⊥AB于點(diǎn)D，在直角△AO'D中利用三角函數(shù)求得AD的長，則AB'=2AD，然后根據(jù)BB'=AB'-AB即可求解．【詳解】解：在等腰直角△OAB中，AB=4，則OA=AB=2cm，∠AO'D=×120°=60°，過O'作O'D⊥AB于點(diǎn)D,則AD=AO'?sin60°=2×=cm,則AB'=2AD=2cm，故BB'=AB'-AB=2-4（cm）．故答案為（2-4）．【點(diǎn)睛】此題考查了三角函數(shù)的基本概念，主要是三角函數(shù)的概念及運(yùn)算，關(guān)鍵把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以計(jì)算．三、解答題（共66分）19．計(jì)算：．【答案】【詳解】試題分析：求出各特殊角的三角函數(shù)值后，進(jìn)行二次根式化簡.試題解析：.考點(diǎn)：1.特殊角的三角函數(shù)值；2.二次根式化簡.20．計(jì)算：（﹣3）2+（）0﹣+2﹣1+?tan30°．【答案】9．【詳解】試題分析：原式利用零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則，乘方的意義，立方根定義，以及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得到結(jié)果．試題解析：原式=9+1﹣2++×=9．【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．21．計(jì)算：．【答案】2+【詳解】試題分析：根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案．試題解析：解：原式=﹣=﹣=2+﹣=2+．22．計(jì)算：【答案】【詳解】試題分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可.試題解析：原式考點(diǎn)：三角函數(shù)值的計(jì)算．23．等腰三角形中，兩腰和底的長分別是10和13，求三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)(精確到1′)．【答案】△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為：81°4′，49°28′，49°28′【詳解】解：如圖所示，AB=AC=10，BC=13，AD是底邊上的高，∵AD是底邊上的高，∴AD⊥BC

，又∵AB=AC，∴BD=CD=6.5，∠BAD=∠CAD=∠BAC，在Rt△ABD中，sin∠BAD==0.65，∴∠BAD≈40°32′，∴∠BAC≈2∠BAD≈81°4′，∠B=∠C≈49°28′．故△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為：81°4′，49°28′，49°28′．

24．甲、乙兩船同時(shí)從港口A出發(fā)，甲船以12海里/時(shí)的速度向北偏東35°航行，乙船向南偏東55°航行，2小時(shí)后，甲船到達(dá)C島，乙船到達(dá)B島，若C、B兩船相距30海里，問乙船的速度是每小時(shí)多少海里？【答案】9海里/時(shí)【分析】首先求得線段AC的長，然后利用勾股定理求得線段AB的長，然后除以時(shí)間即可得到乙船的速度．【詳解】解：根據(jù)題意得：AC=12×2=24，BC=30，∠BAC=90°．∴AC2+AB2=BC2．∴AB2=BC2-AC2=302-242=324∴AB=18．∴乙船的航速是：18÷2=9（海里/時(shí)）．25．如圖，在電線桿上的C處引拉線CE、CF固定電線桿，拉線CE和地面成60°角，在離電線桿6米的B處安置測角儀，在A處測得電線桿上C處的仰角為30°，已知測角儀高AB為1.5米，求拉線CE的長（結(jié)果保留根號）．【答案】CE的長為（4+）米【分析】由題意可先過點(diǎn)A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，進(jìn)而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的長．【詳解】解：過點(diǎn)A作AH⊥CD，垂足為H，由題意可知四邊形ABDH為矩形，∠CAH=30°，∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，在Rt△ACH中，tan∠CAH=，∴CH=AH?tan∠CAH，∴CH=AH?tan∠CAH=6tan30°=6×=2（米），∵DH=1.5，∴CD=2+1.5，在Rt△CDE中，∵∠CED=60°，sin∠CED=，∴CE==（4+）（米），答：拉線CE的長為（4+）米．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要求學(xué)生借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．26．高考英語聽力測試期間，需要杜絕考點(diǎn)周圍的噪音．如圖，點(diǎn)A是某市一高考考點(diǎn)，在位于A考點(diǎn)南偏西15°方向距離125米的點(diǎn)處有一消防隊(duì)．在聽力考試期間，消防隊(duì)突然接到報(bào)警電話，告知在位于C點(diǎn)北偏東75°方向的F點(diǎn)處突發(fā)火災(zāi)，消防隊(duì)必須立即趕往救火．已知消防車的警報(bào)聲傳播半徑為100米，若消防車的警報(bào)聲對聽力測試造成影響，則消防車必須改道行駛．試問：消防車是否需要改道行駛？說明理由.（取1.732）【答案】不需要改道行駛【詳解】解：過點(diǎn)A作AH⊥CF交CF于點(diǎn)H，由圖可知，∵∠ACH=75°－15°=60°，∴．∵AH＞100米，∴消防車不需要改道行駛．過點(diǎn)A作AH⊥CF交CF于點(diǎn)H，應(yīng)用三角函數(shù)求出AH的長，大于100米，不需要改道行駛，不大于100米，需要改道行駛．27．為緩解交通擁堵，某區(qū)擬計(jì)劃修建一地下通道，該通道一部分的截面如圖所示(圖中地面與通道平行)，通道水平寬度為8米，，通道斜面的長為6米，通道斜面的坡度.(1)求通道斜面的長為米;(2)為增加市民行走的舒適度，擬將設(shè)計(jì)圖中的通道斜面的坡度變緩，修改后的通道斜面的坡角為30°，求此時(shí)的長.(結(jié)果保留根號)【答案】(1)7.4米；（2）（8+3-3）米【詳解】試題分析:（1）過點(diǎn)A作AN⊥CB于點(diǎn)N，過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，根據(jù)已知得出DM=CM=CD=3，則AN=DM=3，再解Rt△ANB，由通道斜面AB的坡度i=1：，得出BN=AN=6，然后根據(jù)勾股定理求出AB；（2）先解Rt△MED，求出EM=DM=3，得出EC=EM-CM=3-3，再根據(jù)BE=BC-EC即可求解．試題解析：（1）過點(diǎn)A作AN⊥CB于點(diǎn)N，過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，∵∠BCD=135°，∴∠DCM=45°．∵在Rt△CMD中，∠CMD=90°，CD=6，∴DM=CM=CD=3，∴AN=DM=3，∵通道斜面AB的坡度i=1：，∴tan∠ABN