數(shù)學(xué)（必修3）課件623第2課時

第6章立體幾何初步6.2空間的直線與平面6.2.3垂直關(guān)系第2課時平面與平面垂直1．掌握平面與平面垂直的判定與性質(zhì)定理．(重點)2．理解線線垂直，線面垂直、面面垂直的內(nèi)在聯(lián)系．(難點)1．面面垂直的判定定理①定理：如果一個平面經(jīng)過________________________，那么這兩個平面垂直．②圖形表述：如圖所示．③符號語言：b⊥α，b?β?β⊥α.另一個平面的一條垂線2．面面垂直的性質(zhì)定理一個平面內(nèi)交線垂直a?αa⊥l線面

如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上異于A、B的任意一點，求證：平面PAC⊥平面PBC．平面與平面垂直的判定【思路探究】由C是圓周上異于直徑AB的點→AC⊥BC→由PA垂直于⊙O所在的平面→PA⊥BC→BC⊥平面PAC→平面PAC⊥平面PBC．解：連接AC，BC，則BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又BC?平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．

面面垂直的判定定理是證明面面垂直的常用方法，即要證面面垂直，只需轉(zhuǎn)證線面垂直，關(guān)鍵是在其中一個平面內(nèi)尋找一直線與另一個平面垂直．1．如圖，四棱錐P—ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．求證：平面AEC⊥平面PDB．證明：∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC．∵AC⊥BD，PD，BD為平面PDB內(nèi)兩條相交直線，∴AC⊥平面PDB．又∵AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB．

如圖，P是△ABC所在平面外的一點，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求證：BC⊥AC．平面與平面垂直的性質(zhì)解：過A作AE⊥PC于E，由平面PAC⊥平面PBC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，可知AE⊥平面PBC．又BC?平面PBC，故AE⊥BC．又PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，故PA⊥BC．∵PA∩AE＝A，∴BC⊥平面PAC．又AC?平面PAC，故BC⊥AC．

在運用面面垂直的性質(zhì)定理時，若沒有與交線垂直的直線，一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線，這樣便把面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題，進而轉(zhuǎn)化為線線垂直問題．2．如圖，四棱錐V—ABCD的底面是矩形，側(cè)面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD．求證：平面VBC⊥平面VAC．證明：∵平面VAB⊥面ABCD，且BC⊥AB．∴BC⊥平面VAB，VA?平面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC，∵VA?平面VAC．∴平面VBC⊥平面VAC．

如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是邊長為a的菱形，且∠DAB＝60°，側(cè)面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．線面垂直的綜合應(yīng)用(1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB．【思路探究】(1)由題中平面PAD⊥平面ABCD，只需要證明BG垂直于兩平面的交線即可．(2)轉(zhuǎn)化為證AD⊥平面PBG即可．解：(1)∵在菱形ABCD中，G為AD的中點，∠DAB＝60°，∴BG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD．(2)連接PG，如圖，∵△PAD為正三角形，G為AD的中點，∴PG⊥AD．由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB，∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB．

證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理，本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質(zhì)定理，利用面面垂直的性質(zhì)定理，證明線面垂直的問題時，要注意以下三點：(1)兩個平面垂直；(2)直線必須在其中一個平面內(nèi)；(3)直線必須垂直于它們的交線．3.如圖，已知四棱錐P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，側(cè)面PBC⊥底面ABCD．PA與BD是否相互垂直？請證明你的結(jié)論．證明：(1)如圖，取BC的中點O，連接PO、AO.∵PB＝PC，∴PO⊥BC，又側(cè)面PBC⊥底面ABCD，∴PO⊥底面ABCD，BD?平面ABCD．∴PO⊥BD，在直角梯形ABCD中，易證△ABO≌△BCD，∠BAO＝∠CBD，∠CBD＋∠ABD＝90°，∴∠BAO＋∠ABD＝90°，∴AO⊥BD，又PO∩AO＝O，∴BD⊥平面PAO，∴BD⊥PA，所以PA與BD相互垂直．1．面面垂直的性質(zhì)定理揭示了