專題09函數(shù)的概念及其表示（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)9種題型）

專題09函數(shù)的概念及其表示（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)9種題型）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.函數(shù)的概念知識(shí)點(diǎn)3.函數(shù)的三種表示法知識(shí)點(diǎn)4.分段函數(shù)【方法二】實(shí)例探索法題型1.函數(shù)定義的理解題型2.函數(shù)的定義域【方法三】成果評(píng)定法【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.函數(shù)的概念函數(shù)的概念定義一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)三要素對(duì)應(yīng)關(guān)系y＝f(x)，x∈A定義域自變量x的取值范圍值域與x的值相對(duì)應(yīng)的y的函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}知識(shí)點(diǎn)3.函數(shù)的三種表示法知識(shí)點(diǎn)4.分段函數(shù)如果函數(shù)y＝f(x)，x∈A，根據(jù)自變量x在A中不同的取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，則稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)．【方法二】實(shí)例探索法題型1.函數(shù)定義的理解【例1】下列四個(gè)圖象中，不是函數(shù)圖象的是()ABCDB[根據(jù)函數(shù)的定義知：y是x的函數(shù)中，x確定一個(gè)值，y就隨之確定一個(gè)值，體現(xiàn)在圖象上，圖象與平行于y軸的直線最多只能有一個(gè)交點(diǎn)，對(duì)照選項(xiàng)，可知只有B不符合此條件．故選B.]題型2.函數(shù)的定義域【例2】求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝2＋eq\f(3,x－2)；(2)f(x)＝(x－1)0＋eq\r(\f(2,x＋1))；(3)f(x)＝eq\r(3－x)·eq\r(x－1)；(4)f(x)＝eq\f(x＋12,x＋1)－eq\r(1－x).[思路點(diǎn)撥]要求函數(shù)的定義域，只需分母不為0，偶次方根中被開方數(shù)大于等于0即可．[解](1)當(dāng)且僅當(dāng)x－2≠0，即x≠2時(shí)，函數(shù)f(x)＝2＋eq\f(3,x－2)有意義，所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠2}．(2)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≠0，,\f(2,x＋1)≥0，,x＋1≠0，))解得x>－1且x≠1，所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>－1且x≠1}．(3)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x≥0，,x－1≥0，))解得1≤x≤3，所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|1≤x≤3}．(4)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值必須滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,1－x≥0，))解得x≤1且x≠－1，即函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≤1且x≠－1}．【規(guī)律方法】求函數(shù)定義域的常用方法1若fx是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零.2若fx是偶次根式，則被開方數(shù)大于或等于零.3若fx是指數(shù)冪，則函數(shù)的定義域是使冪運(yùn)算有意義的實(shí)數(shù)集合.4若fx是由幾個(gè)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個(gè)部分定義域的交集.5若fx是實(shí)際問(wèn)題的解析式，則應(yīng)符合實(shí)際問(wèn)題，使實(shí)際問(wèn)題有意義.【變式】．將函數(shù)y＝eq\f(3,1－\r(1－x))的定義域用區(qū)間表示為________．(－∞，0)∪(0,1][由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x≥0，,1－\r(1－x)≠0，))解得x≤1且x≠0，用區(qū)間表示為(－∞，0)∪(0,1]．]【例3】設(shè)f(x)＝2x2＋2，g(x)＝eq\f(1,x＋2)，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．(2)求g(f(x))．[思路點(diǎn)撥](1)直接把變量的取值代入相應(yīng)函數(shù)解析式，求值即可；(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．[解](1)因?yàn)閒(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12ag(x)＝eq\f(1,x＋2)，所以g(a)＋g(0)＝eq\f(1,a＋2)＋eq\f(1,0＋2)＝eq\f(1,a＋2)＋eq\f(1,2)(a≠－2)．g(f(2))＝g(10)＝eq\f(1,10＋2)＝eq\f(1,12).(2)g(f(x))＝eq\f(1,fx＋2)＝eq\f(1,2x2＋2＋2)＝eq\f(1,2x2＋4).【規(guī)律方法】函數(shù)求值的方法1已知fx的表達(dá)式時(shí)，只需用a替換表達(dá)式中的x即得fa的值.2求fga的值應(yīng)遵循由里往外的原則.【變式1】已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值．[解]f(1)＝13＋2×1＋3＝6；f(t)＝t3＋2t＋3；f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a；f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.【變式2】已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)，(1)求f(x)的定義域；(2)求f(－1)，f(2)的值；(3)當(dāng)a≠－1時(shí)，求f(a＋1)的值．[解](1)要使函數(shù)f(x)有意義，必須使x≠0，∴f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)f(－1)＝－1＋eq\f(1,－1)＝－2，f(2)＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).(3)當(dāng)a≠－1時(shí)，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋eq\f(1,a＋1).【例4】(1)下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是()①f(x)＝eq\r(－2x3)與g(x)＝xeq\r(－2x)；②f(x)＝x與g(x)＝eq\r(x2)；③f(x)＝x0與g(x)＝eq\f(1,x0)；④f(x)＝x2－2x－1與g(t)＝t2－2t－1.A．①② B．①③C．③④ D．①④(1)C[①f(x)＝eq\r(－2x3)＝|x|eq\r(－2x)與g(x)＝xeq\r(－2x)的對(duì)應(yīng)法則和值域不同，故不是同一函數(shù)．②g(x)＝eq\r(x2)＝|x|與f(x)＝x的對(duì)應(yīng)法則和值域不同，故不是同一函數(shù)．③f(x)＝x0與g(x)＝eq\f(1,x0)都可化為y＝1且定義域是{x|x≠0}，故是同一函數(shù)．④f(x)＝x2－2x－1與g(t)＝t2－2t－1的定義域都是R，對(duì)應(yīng)法則也相同，而與用什么字母表示無(wú)關(guān)，故是同一函數(shù)．由上可知是同一函數(shù)的是③④.故選C.]【規(guī)律方法】判斷函數(shù)相等的方法(1)先看定義域，若定義域不同，則不相等；(2)若定義域相同，再化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，看對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同．【變式1】下列各組函數(shù)中是相等函數(shù)的是()A．y＝x＋1與y＝eq\f(x2－1,x－1)B．y＝x2＋1與s＝t2＋1C．y＝2x與y＝2x(x≥0)D．y＝(x＋1)2與y＝x2B[A，C選項(xiàng)中兩函數(shù)的定義域不同，D選項(xiàng)中兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故A，C，D錯(cuò)誤，選B.]【變式2】下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x相等的是()A．y＝(eq\r(x))2 B．y＝eq\r(x2)C．y＝|x| D．y＝eq\r(3,x3)D[函數(shù)y＝x的定義域?yàn)镽；y＝(eq\r(x))2的定義域?yàn)閇0，＋∞)；y＝eq\r(x2)＝|x|，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同；y＝|x|對(duì)應(yīng)關(guān)系不同；y＝eq\r(3,x3)＝x，且定義域?yàn)镽.故選D.]【例5】判斷下列對(duì)應(yīng)是不是從集合A到集合B的函數(shù)．①A＝N，B＝N*，對(duì)應(yīng)法則f：對(duì)集合A中的元素取絕對(duì)值與B中元素對(duì)應(yīng)；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，對(duì)應(yīng)法則f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，對(duì)應(yīng)法則f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，對(duì)應(yīng)法則f：對(duì)A中元素求面積與B中元素對(duì)應(yīng)．[解]①對(duì)于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不屬于B，即A中的元素0在B中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，所以不是函數(shù)．②對(duì)于A中的元素±1，在f的作用下與B中的1對(duì)應(yīng)，A中的元素±2，在f的作用下與B中的4對(duì)應(yīng)，所以滿足A中的任一元素與B中唯一元素對(duì)應(yīng)，是“多對(duì)一”的對(duì)應(yīng)，故是函數(shù)．③對(duì)于A中的任一元素，在對(duì)應(yīng)關(guān)系f的作用下，B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，如±1對(duì)應(yīng)1，±2對(duì)應(yīng)4，所以是函數(shù)．④集合A不是數(shù)集，故不是函數(shù)．]【規(guī)律方法】判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的2個(gè)條件(1)A，B必須是非空實(shí)數(shù)集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)．對(duì)應(yīng)關(guān)系是“一對(duì)一”或“多對(duì)一”的是函數(shù)關(guān)系，“一對(duì)多”的不是函數(shù)關(guān)系．【例6】某商場(chǎng)新進(jìn)了10臺(tái)彩電，每臺(tái)售價(jià)3000元，試求售出臺(tái)數(shù)x與收款數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來(lái)．[解]①列表法如下：x(臺(tái))12345y(元)3000600090001200015000x(臺(tái))678910y(元)1800021000240002700030000②圖象法：如圖所示．③解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．【規(guī)律方法】列表法、圖象法和解析法是從三個(gè)不同的角度刻畫自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同一個(gè)函數(shù)可以用不同的方法表示．在用三種方法表示函數(shù)時(shí)要注意：①解析法必須注明函數(shù)的定義域；②列表法中選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征；③圖象法中要注意是否連線．【變式】(1)某學(xué)生離家去學(xué)校，一開始跑步前進(jìn)，跑累了再走余下的路程．下列圖中縱軸表示離校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時(shí)間，則較符合該學(xué)生走法的是()ABCD(2)由下表給出函數(shù)y＝f(x)，則f(f(1))等于()x12345y45321A.1 B．2C．4 D．5(1)D(2)B[(1)結(jié)合題意可知，該生離校的距離先快速減少，又較慢減少，最后到0，故選D.(2)由題意可知，f(1)＝4，f(4)＝2，∴f(f(1))＝f(4)＝2，故選B.]【例7】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤－2，,x2＋2x，－2<x<2，,2x－1，x≥2.))(1)求f(－5)，f(－eq\r(3))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))))的值；(2)若f(a)＝3，求實(shí)數(shù)a的值．[解](1)由－5∈(－∞，－2]，－eq\r(3)∈(－2,2)，－eq\f(5,2)∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－eq\r(3))＝(－eq\r(3))2＋2×(－eq\r(3))＝3－2eq\r(3).∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝－eq\f(5,2)＋1＝－eq\f(3,2)，而－2<－eq\f(3,2)<2，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(9,4)－3＝－eq\f(3,4).(2)當(dāng)a≤－2時(shí)，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合題意，舍去．當(dāng)－2<a<2時(shí)，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.∴(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，∴a＝1符合題意．當(dāng)a≥2時(shí)，2a－1＝3，即a＝2符合題意．綜上可得，當(dāng)f(a)＝3時(shí)，a＝1或a＝2.【規(guī)律方法】1．分段函數(shù)求函數(shù)值的方法：(1)確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間．(2)代入該段的解析式求值，直到求出值為止．當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．2．已知函數(shù)值求字母取值的步驟：(1)先對(duì)字母的取值范圍分類討論．(2)然后代入不同的解析式中．(3)通過(guò)解方程求出字母的值．(4)檢驗(yàn)所求的值是否在所討論的區(qū)間內(nèi)．【變式1】函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3，x≥10，,ffx＋5，x<10，))則f(7)＝________.8[∵函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3，x≥10，,ffx＋5，x<10，))∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8.]【變式2】已知函數(shù)f(x)＝1＋eq\f(|x|－x,2)(－2<x≤2)．(1)用分段函數(shù)的形式表示f(x)；(2)畫出f(x)的圖象；(3)寫出函數(shù)f(x)的值域．[思路點(diǎn)撥](1)分－2<x<0和0≤x≤2兩種情況討論，去掉絕對(duì)值可把f(x)寫成分段函數(shù)的形式；(2)利用(1)的結(jié)論可畫出圖象；(3)由(2)中得到的圖象，找到圖象最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可得值域．[解](1)當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)＝1＋eq\f(x－x,2)＝1，當(dāng)－2<x<0時(shí)，f(x)＝1＋eq\f(－x－x,2)＝1－x，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，0≤x≤2，,1－x，－2<x<0.))(2)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域?yàn)閇1,3)．【規(guī)律方法】分段函數(shù)圖象的畫法作分段函數(shù)的圖象時(shí)，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時(shí)，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可，作圖時(shí)要特別注意接點(diǎn)處點(diǎn)的虛實(shí)，保證不重不漏.【例8】某市“招手即?！惫财嚨钠眱r(jià)按下列規(guī)則制定：(1)5公里以內(nèi)(含5公里)，票價(jià)2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票價(jià)增加1元(不足5公里按照5公里計(jì)算)．如果某條線路的總里程為20公里，請(qǐng)根據(jù)題意，寫出票價(jià)與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖象．[解]設(shè)票價(jià)為y元，里程為x公里，定義域?yàn)?0,20]．由題意得函數(shù)的解析式如下：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，0<x≤5，,3，5<x≤10，,4，10<x≤15，,5，15<x≤20.))函數(shù)圖象如圖所示：題型9.函數(shù)解析式的求法【例9】(1)已知f(eq\r(x)＋1)＝x－2eq\r(x)，則f(x)＝________；(2)已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，若f(f(x))＝4x＋8，則f(x)＝________；(3)已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，則f(x)＝________.[思路點(diǎn)撥](1)用換元法或配湊法求解；(2)用待定系數(shù)法求解；(3)用方程組法求解．(1)x2－4x＋3(x≥1)(2)2x＋eq\f(8,3)或－2x－8(3)eq\f(2,3)x－1[(1)法一(換元法)：令t＝eq\r(x)＋1，則t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．法二(配湊法)：f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)＋1－4eq\r(x)－4＋3＝(eq\r(x)＋1)2－4(eq\r(x)＋1)＋3，因?yàn)閑q\r(x)＋1≥1，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．(2)設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又f(f(x))＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\f(8,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－8.))所以f(x)＝2x＋eq\f(8,3)或f(x)＝－2x－8.(3)由題意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，聯(lián)立可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx－2f－x＝1＋2x，,f－x－2fx＝1－2x，))消去f(－x)可得f(x)＝eq\f(2,3)x－1.]【規(guī)律方法】求函數(shù)解析式的四種常用方法1待定系數(shù)法：若已知fx的解析式的類型，設(shè)出它的一般形式，根據(jù)特殊值確定相關(guān)的系數(shù)即可.2換元法：設(shè)t＝gx，解出x，代入fgx，求ft的解析式即可.3配湊法：對(duì)fgx的解析式進(jìn)行配湊變形，使它能用gx表示出來(lái)，再用x代替兩邊所有的“gx”即可.4方程組法或消元法：當(dāng)同一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系中的兩個(gè)之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關(guān)系時(shí)，可構(gòu)造方程組求解.【變式】如圖所示，已知底角為45°的等腰梯形ABCD，底邊BC長(zhǎng)為7cm，腰長(zhǎng)為2eq\r(2)cm，當(dāng)垂直于底邊BC(垂足為F)的直線l從左至右移動(dòng)(與梯形ABCD有公共點(diǎn))時(shí)，直線l把梯形分成兩部分，令BF＝x，試寫出左邊部分的面積y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并畫出大致圖象．[思路點(diǎn)撥]可按點(diǎn)E所在的位置分E在線段AB，E在線段AD及E在線段CD三類分別求解．[解]過(guò)點(diǎn)A，D分別作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分別是G，H.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，底角為45°，AB＝2eq\r(2)cm，所以BG＝AG＝DH＝HC＝2cm，又BC＝7cm，所以AD＝GH＝3cm.(1)當(dāng)點(diǎn)F在BG上，即x∈[0,2]時(shí)，y＝eq\f(1,2)x2；(2)當(dāng)點(diǎn)F在GH上，即x∈(2,5]時(shí)，y＝eq\f(x＋x－2,2)×2＝2x－2；(3)當(dāng)點(diǎn)F在HC上，即x∈(5,7]時(shí)，y＝S五邊形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝eq\f(1,2)(7＋3)×2－eq\f(1,2)(7－x)2＝－eq\f(1,2)(x－7)2＋10.綜合(1)(2)(3)，得函數(shù)的解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2，x∈[0，2]，,2x－2，x∈2，5]，,－\f(1,2)x－72＋10，x∈5，7].))圖象如圖所示．【規(guī)律方法】1．當(dāng)目標(biāo)在不同區(qū)間有不同的計(jì)算表達(dá)方式時(shí)，往往需要用分段函數(shù)模型來(lái)表示兩變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而分段函數(shù)圖象也需要分段畫．2．通過(guò)本例讓學(xué)生初步嘗試用分段函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的建模素養(yǎng)．【方法三】成果評(píng)定法一、單選題1．（2023秋·浙江嘉興·高一浙江省海鹽高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)，則（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)表達(dá)式直接代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C2．（2023秋·浙江臺(tái)州·高一路橋中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由分段函數(shù)概念，代入對(duì)應(yīng)解析式求解即可.【詳解】∵∴.故選：A.3．（2023秋·浙江臺(tái)州·高一路橋中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)定義域得到，解得答案.【詳解】函數(shù)的定義域滿足：，解得且.故選：D4．（2023秋·安徽阜陽(yáng)·高一阜陽(yáng)市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的解析式是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】利用配湊法求解析式即可.【詳解】，且，所以，.故選：B.5．（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)的值及函數(shù)的解析式，代入計(jì)算可得答案．【詳解】由題意得．故選：B．6．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，實(shí)數(shù)（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，解?故選：C7．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，得到，聯(lián)立方程組，求得，即可求解.【詳解】由，可得，聯(lián)立方程組，解得，所以.故選：B.8．（2023秋·山東棗莊·高一棗莊市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)，則等于（

）A．1 B．0 C．1 D．3【答案】B【分析】取，代入計(jì)算得到答案.【詳解】，取得到.故選：B.二、多選題9．（2023秋·安徽阜陽(yáng)·高一阜陽(yáng)市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)值域中的每一個(gè)數(shù)在定義域中都有數(shù)與之對(duì)應(yīng)B．函數(shù)的定義域和值域一定是無(wú)限集合C．對(duì)于任何一個(gè)函數(shù)，如果x不同，那么y的值也不同D．表示當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值，這是一個(gè)常量【答案】AD【分析】結(jié)合函數(shù)的定義，對(duì)各選項(xiàng)逐項(xiàng)分析作答即可.【詳解】對(duì)A，函數(shù)是一個(gè)數(shù)集與另一個(gè)數(shù)集間的特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系，所給出的對(duì)應(yīng)是否可以確定為y是x的函數(shù)，主要是看其是否滿足函數(shù)的三個(gè)特征，A正確；對(duì)B，函數(shù)的定義域和值域不一定是無(wú)限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函數(shù)，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，B錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)x不同時(shí)，函數(shù)y的值可能相同，如函數(shù)，當(dāng)和時(shí)，y都為1，C錯(cuò)誤；對(duì)D，表示當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值是一個(gè)常量，D正確.故選：AD10．（2023秋·江蘇南京·高一南京市第十三中學(xué)校考階段練習(xí)）下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的有（

）A． B．C． D．，【答案】ACD【分析】根據(jù)同一函數(shù)的定義，分別判斷即可．【詳解】對(duì)于A，可知兩個(gè)函數(shù)的定義域均為R，且，故A正確；對(duì)于B，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)椋蔅錯(cuò)誤；對(duì)于C，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，?故C正確；對(duì)于D，可知兩個(gè)函數(shù)的定義域均為R，且，故D正確．故選：ACD．11．（2023秋·山東棗莊·高一校考階段練習(xí)）下列各選項(xiàng)給出的數(shù)學(xué)命題中，正確的是（

）A．函數(shù)與是相同函數(shù)B．若是一次函數(shù)，滿足，則C．函數(shù)的最小值為6D．關(guān)于的不等式的解集，則不等式的解集為【答案】AD【分析】對(duì)于A：根據(jù)函數(shù)相等分析判斷；對(duì)于B：利用待定系數(shù)法分析運(yùn)算；對(duì)于C：利用基本不等式分析求解，注意等號(hào)成立的條件；對(duì)于D：根據(jù)三個(gè)二次之間的關(guān)系分析求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：顯然兩個(gè)函數(shù)的定義域均為R，與對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，所以是同一函數(shù)，故A正確；選項(xiàng)B，因?yàn)槭且淮魏瘮?shù)，設(shè)，則，可得，解得或，所以或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：令，則原式化為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，但，故等號(hào)取不到，所以函數(shù)的最小值不為6，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：關(guān)于的不等式的解集，則方程的兩個(gè)解是或，并且，由韋達(dá)定理可得，解得，則不等式轉(zhuǎn)化為，由，則，解得，故不等式的解集為，故D正確.故選：AD.12．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）周末，自行車騎行愛(ài)好者甲、乙兩人相約沿同一路線從地出發(fā)前往地進(jìn)行騎行訓(xùn)練，甲、乙分別以不同的速度勻速騎行，乙比甲早出發(fā)分鐘.乙騎行分鐘后，甲以原速的繼續(xù)騎行，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，甲先到達(dá)地，乙一直保持原速前往地.在此過(guò)程中，甲、乙兩人相距的路程（單位：米）與乙騎行的時(shí)間（單位：分鐘）之間的關(guān)系如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．乙的速度為米/分鐘B．分鐘后甲的速度為米/分鐘C．乙比甲晚分鐘到達(dá)地D．，兩地之間的路程為米【答案】ABD【分析】根據(jù)圖象可知，前5分鐘為乙比甲多走的距離，即可計(jì)算出乙的速度為米/分鐘，可得A正確；利用第5到25分鐘的距離差可得，甲的原速度為250米/分鐘，所以分鐘后甲的速度為米/分鐘，即B正確；由圖象可看出86分鐘后甲乙兩人距離越來(lái)越小，即可知第86分鐘時(shí)甲到達(dá)地，利用時(shí)間差可得乙比甲晚到分鐘，即C錯(cuò)誤；根據(jù)甲行駛的總距離即可計(jì)算出，兩地之間的路程為米，即D正確.【詳解】因?yàn)橐冶燃自绯霭l(fā)分鐘，由圖知乙的速度為米/分鐘，故選項(xiàng)A正確；設(shè)甲的原速度為，由圖可知，解得米/分鐘，所以分鐘后甲的速度為米/分鐘，故選項(xiàng)B正確；根據(jù)圖像當(dāng)時(shí)，甲到達(dá)地，此時(shí)乙距離地還有米，所以還需要分鐘，所以乙比甲晚分鐘到達(dá)地，故選項(xiàng)C不正確；利用甲行駛的路程計(jì)算可得，，兩地之間的路程為米，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD三、填空題13．（2023秋·廣西河池·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的定義域是.【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，結(jié)合分母不為零、零指數(shù)冪的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)，則，即，即定義域是.故答案為：14．（2023秋·湖北荊門·高一鐘祥市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知滿足，則解析式為．【答案】【分析】用代得出一個(gè)式子，利用方程思想求解函數(shù)解析式.【詳解】由

①用代可得，

②由①②可得：故答案為：15．（2023秋·河南·高一安陽(yáng)一中校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)集合，，函數(shù)，已知，且，則的取值范圍為．【答案】【分析】利用分段函數(shù)的解析式直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋裕瑒t，由，可得，解得，故答案為：16．（2023秋·河南鄭州·高一中牟縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù).【答案】4或【分析】根據(jù)題設(shè)有或，由解析式再分別討論不同區(qū)間下對(duì)應(yīng)參數(shù)a的值，即得答案.【詳解】若，此時(shí)，令，滿足；令，不滿足，所以，；若，此時(shí)，令，不滿足；令，滿足，所以，；綜上，實(shí)數(shù)或.故答案為：4或四、解答題17．（2023秋