13.5.2-線段的垂直平分線

第13章

全等三角形13.5逆命題與逆定理第2課時

線段的垂直

平分線1課堂講解線段垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線的判定2課時流程逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升1知識點線段垂直平分線的性質(zhì)

我們已經(jīng)知道線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對稱軸.

如圖13.5.1，直線MN是線段AB的垂直平分線，P是MN上任一點，連結(jié)PA、PB.將線段AB沿直線MN對折，我們發(fā)現(xiàn)PA與PB完全重合.

由此即有：知1－導(dǎo)（來源于教材）知1－講1.線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂

直平分線上的點到線段兩端的距離相等；條件：點在線段的垂直平分線上；結(jié)論：這個點到線段兩端的距離相等．表達方式：如圖13.5--2，l⊥AB，AO＝BO，點P在l上，則AP＝BP.2．作用：可用來證明兩線段相等．（此講解來源于《點撥》）圖13.5--2知1－講線段垂直平分線的性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.已知：如圖13.5.1，MN丄AB，垂足為點C，AC=BC，點P是直線MN上的任意一點.求證：PA=PB.分析：圖中有兩個直角三角形APC和BPC，只要證明這兩個三角形全等，便可證得PA=PB.（此講解來源于教材）請寫出完整的證明過程.知1－講

例1

如圖13.5--3，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分線DE分別交AB，AC于點E，D，(1)若△BCD的周長為8，求BC的長；(2)若BC＝4，求△BCD的周長．（此講解來源于《點撥》）圖13.5--3知1－講導(dǎo)引：由DE是AB的垂直平分線，得AD＝BD，所以

BD與CD的長度和等于AC的長，所以由△BCD的周長可求BC的長，同樣由BC的長也可求△BCD的周長．（此講解來源于《點撥》）知1－講解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.(1)∵△BCD的周長為8，∴BC＝△BCD的周長－(BD＋CD)＝8－5＝3.

(2)∵BC＝4，∴△BCD的周長＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.

（此講解來源于《點撥》）知1－講總結(jié)本題運用了轉(zhuǎn)化思想，用線段垂直平分線的性質(zhì)把BD的長轉(zhuǎn)化成AD的長，從而把未知的BD與CD的長度和轉(zhuǎn)化成已知的線段AC的長．本題中AC的長、BC的長及△BCD的周長三者可互相轉(zhuǎn)化，知其二可求第三者.（此講解來源于《點撥》）知1－講

例2如圖13.5--4，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，線段AC的垂直平分線MN與AB交于點D，與AC交于點E，則∠BCD的度數(shù)是______．（此講解來源于《點撥》）圖13.5--410°知1－講導(dǎo)引：在△ABC中，∵∠B＝90°，∠A＝40°，∴∠ACB＝50°.∵MN是線段AC的垂直平分線，∴DC＝DA，AE＝CE.又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE，∴∠DCE＝∠A＝40°.∴∠BCD＝∠ACB－∠DCA＝50°－40°＝10°.（此講解來源于《點撥》）知1－講總結(jié)

利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出邊相等，從而得出三角形全等，再利用全等三角形中對應(yīng)角相等確定∠DCA的度數(shù)，根據(jù)角度差解決問題．（此講解來源于《點撥》）(中考·義烏)如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點，已知線段PA＝5，則線段PB的長度為(

)A．6B．5C．4D．3

知1－練（來自《典中點》）2

如圖，已知線段AB，BC的垂直平分線l1，l2交于點M，則線段AM，CM的大小關(guān)系是(

)A．AM>CM

B．AM＝CMC．AM<CM

D．無法確定知1－練（來自《典中點》）3

(中考·荊州)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交邊AB于D點，交邊AC于E點，若△ABC與△EBC的周長分別是40cm，24cm，則AB＝________．知1－練（來自《典中點》）2知識點線段垂直平分線的判定知2－導(dǎo)這一定理描述了線段垂直平分線的性質(zhì)，那么反過來會有什么結(jié)果呢？探索

條件

結(jié)論性質(zhì)定理

逆命題

寫出該定理與它的逆命題的條件和結(jié)論，想想看，其逆命題是否是一個真命題？你一定發(fā)現(xiàn)到線段兩端距離相等的點的確在該線段的垂直平分線上.我們可以通過“證明”說明這一結(jié)論正確.知2－講線段垂直平分線的判定定理：到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上．(1)條件：點到線段兩端距離相等；結(jié)論：點在線段垂直平分線上．(2)表達方式：如圖13.5--5，∵PA＝PB，∴點P在線段AB的垂直平分線上．(3)作用：①作線段的垂直平分線的依據(jù)；②可用來證線段垂直、相等．

拓展：三角形三邊的垂直平分線交于一點，這點到三角形的三個頂點的距離相等，這個點叫這個三角形的外心．（此講解來源于《點撥》）圖13.5--5知2－講已知：如圖13.5.2,

QA=QB.

求證：點Q在線段AB的垂直平分線上.分析：為了證明點Q在線段AB的垂直平分線上，可以先經(jīng)過點Q作線段AB的垂線，然后證明該垂線平分線段AB;也可以先平分線段AB，設(shè)線段AB的中點為點C，然后證明QC垂直于線段AB.（此講解來源于教材）知2－講證明：過點Q作MN丄AB，垂足為點C，

故∠QCA=∠QCB=90°.

在Rt

△QCA

和Rt△QCB中，∵QA=QB,QC=QC,Rt

△QCA

≌Rt

△QCB

(H.L).∴AC=BC (全等三角形的對應(yīng)邊相等）.∴點Q在線段AB的垂直平分線上.你能根據(jù)分析中后一種添加輔助線的方法，寫出它的證明過程嗎？（此講解來源于教材）知2－講于是就有定理：到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.上述兩條定理互為逆定理，根據(jù)上述兩條定理，我們就能證明：三角形三邊的垂直平分線交于一點.（此講解來源于教材）知2－講

例2

如圖13.5--6，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.求證：直線AD是CE的垂直平分線．

證明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC.∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠AED＝90°，易證△ADE≌△ADC，∴CD＝DE，∴點D在CE的垂直平分線上；AC＝AE，∴點A也在CE的垂直平分線上，∴直線AD是CE的垂直平分線．

圖13.5--6（此講解來源于《點撥》）總結(jié)知2－講利用判定定理要證一條直線是線段的垂直平分線，必須證明這條直線上有兩點到線段兩端點的距離相等(即證有兩點在線段的垂直平分線上)．易錯之處：只證明一個點在線段的垂直平分線上，就說過該點的直線是線段的垂直平分線．因為過該點的直線有無窮多條，其中只有一條是線段的垂直平分線．注意：證線段的垂直平分線也可以利用定義．（來自《點撥》）知2－講從圖13.5.3中可以看出，要證明三角形三條邊的垂直平分線交于一點，只需證明其中兩條邊的垂直平分線的交點一定在第三條邊的垂直平分線上就可以了.其思路可表示如下：試試看，現(xiàn)在你會證明了嗎？（此講解來源于教材）試一試知2－講

例3

如圖13.5--7，已知AB＝AD，BC＝DC，E是AC上一點，求證：(1)BE＝DE；(2)∠ABE＝∠ADE.導(dǎo)引：(1)連結(jié)BD，要證BE＝DE，只要證明E點

是線段BD的垂直平分線上的點即可．由AB＝AD，說明A點是線段BD的垂直平分

線上的點，由BC＝DC，說明C點也是線

段BD的垂直平分線上的點，所以AC是線

段BD的垂直平分線，而已知E是AC上一

點，問題得以解決．(2)要證明角相等，只需證明△ABE≌△ADE即可．（此講解來源于《點撥》）圖13.5--7知2－講證明：(1)連結(jié)BD，如圖13.5-7，∵AB＝AD，BC＝CD，∴A，C兩點均在線段BD的垂直平分線上．∴AC是線段BD的垂直平分線．

又∵E是AC上一點，∴BE＝DE.(2)在△ABE和△ADE中，∵AB＝AD，BE＝DE，AE＝AE，∴△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE.（此講解來源于《點撥》）總結(jié)知2－講由線段垂直平分線的判定定理確定AC是線段BD的垂直平分線，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得BE＝DE，這是線段垂直平分線的性質(zhì)和判定定理的綜合運用．（來自《點撥》）知2－講

例4如圖13.5--8，某城市規(guī)劃局為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區(qū)A，B，C之間修建一個購物中心，試問：該購物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個小區(qū)的距離相等？（此講解來源于《點撥》）圖13.5-8知2－講導(dǎo)引：本題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題就是要找一個點，使它到三角形的三個頂點的距離相等．首先考慮到A，B兩點距離相等的點應(yīng)該在線段AB的垂直平分線上，到B，C兩點距離相等的點應(yīng)該在線段BC的垂直平分線上，兩條垂直平分線的交點即為所求的點．（此講解來源于《點撥》）圖13.5--9知2－講解：連結(jié)AB，BC，分別作AB，BC的垂直平分線DE，GF，兩直線交于點M，則點M就是所要確定的購物中心的位置．如圖13.5--9.（此講解來源于《點撥》）圖13.5--9總結(jié)知2－講解決作圖選點性問題：若要找到某兩個點的距離相等的點，一般在這兩點所連線段的垂直平分線上去找．（來自《點撥》）總結(jié)知2－講線段垂直平分線的判定有兩種方法：(1)定義法；(2)判定定理．我們一般習(xí)慣用定義法進行證明，但利用判定定理則更為簡單，用判定定理判定一條直線是線段的垂直平分線時，需證直線上有兩點到線段兩端點的距離相等．（來自《點撥》）銳角三角形ABC內(nèi)有一點P，滿足PA＝PB＝PC，則點P是△ABC(

)A．三條角平分線的交點

B．三條中線的交點C．三條高的交點

D．三邊垂直平分線的交點知2－練（來自《典中點》）2如圖，點D在△ABC的BC邊上，且BC＝BD＋AD，則點D在線段(

)的垂直平分線