江蘇省南京市六校聯(lián)合體考試2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市六校聯(lián)合體考試2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.2.已知向量，若與垂直，則（）A.13 B. C.11 D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)橄蛄?，所以，若與垂直，則，解得：.故選：A.3.在中，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，所以，由余弦定理可得，又，所?故選：B．4.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗易知，由正弦定理得，化簡得.故選：B.5.已知向量，是平面上兩個(gè)不共線的單位向量，且，，，則（）A.三點(diǎn)共線 B.三點(diǎn)共線C.三點(diǎn)共線 D.三點(diǎn)共線〖答案〗C〖解析〗因?yàn)橄蛄?，是平面上兩個(gè)不共線的單位向量，所以，可以作為一組基底，對(duì)于A，因?yàn)?，，若三點(diǎn)共線，設(shè)，，則，無解，所以三點(diǎn)不共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若三點(diǎn)共線，設(shè)，，則，無解，所以三點(diǎn)不共線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，因?yàn)橛泄颤c(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，設(shè)，，則，無解，所以三點(diǎn)不共線，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C.1 D.5〖答案〗D〖解析〗因?yàn)榻堑捻旤c(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以.故選：D.7.在平行四邊形中，，則（）A.12 B.16 C.14 D.10〖答案〗A〖解析〗，，所以.故選：A.8.已知，且，，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，化簡得：，所以，又由，可得，所以，即，所以，所以，又，所以，所?故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.計(jì)算下列各式，結(jié)果為的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，因，可得，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.對(duì)于有如下命題，其中正確的是（）A.若，則為鈍角三角形B.若，則的面積為C.在銳角中，不等式恒成立D.若且有兩解，則的取值范圍是〖答案〗ACD〖解析〗選項(xiàng)A：中，若，即，所以由正弦定理得，又由余弦定理得，所以，為鈍角三角形，A說法正確；選項(xiàng)B：中，若，則由正弦定理得，解得，所以或，所以或，的面積或，B說法錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以，又，所以，則，又因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，C說法正確；選項(xiàng)D：如圖所示，若有兩解，則，解得，D說法正確.故選：ACD.11.中國南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了已知三角形三邊求面積的公式，求其法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)，一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即，現(xiàn)有滿足，且，則（）A.的外接圓的半徑為B.的內(nèi)切圓的半徑為C.若為的中點(diǎn)，則D.若為的外心，〖答案〗ACD〖解析〗由題知，因?yàn)?，由正弦定理得，，設(shè)，所以，解得，則，又，所以，，所以的外接圓的半徑為，A正確；因周長為，所以由，可得，故B錯(cuò)；對(duì)于C，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以在中，，所以，C正確；對(duì)于D，如圖，，所以，，所以，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知燈塔A在海洋觀測站C的北偏東40°的方向上，A，C兩點(diǎn)間的距離為5海里．某時(shí)刻貨船B在海洋觀測站C的南偏東80°的方向上，此時(shí)B，C兩點(diǎn)間的距離為8海里，該時(shí)刻貨船B與燈塔A間的距離為______海里．〖答案〗7〖解析〗根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖，由已知可得AC＝5海里，BC＝8海里，∠ACB＝180°－40°－80°＝60°，由余弦定理可得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CBcos∠ACB，所以AB2＝52＋82－2×5×8×＝49，所以AB＝7海里．故〖答案〗為：7.13.已知，則________.〖答案〗〖解析〗由題意可得：.故〖答案〗為：.14.已知分別為的邊上的點(diǎn)，線段和相交于點(diǎn)，若，且其中，則的最小值為_______.〖答案〗〖解析〗如圖：因?yàn)?，所以，又，所以，，所以，，又三點(diǎn)共線，所以，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，，的夾角是60°，計(jì)算：（1），；（2）求和的夾角的余弦值.解：（1）由題可得，，所以.（2），設(shè)和的夾角為，所以.16.已知.（1）求的值；（2）若，求的值.解：（1）由，可得，.（2）由，可得，又，，，由，可得.17.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，，為的中點(diǎn)，求．解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，在中，，則有，，，又，，，，又，.（2）根據(jù)余弦定理有，

則有，解得或（舍去），為的中點(diǎn)，則，，．18.已知函數(shù)，xR.（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最小值并指出此時(shí)的取值；（3）若，求的值.解：（1），，的最小正周期為.（2）因?yàn)?，所以，?dāng)，時(shí)，，故有最小值，此時(shí).（3）因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，故，由，可得?19.如圖1，某景區(qū)是一個(gè)以C為圓心，半徑為的圓形區(qū)域，道路成60°角，且均和景區(qū)邊界相切，現(xiàn)要修一條與景區(qū)相切的觀光木棧道，點(diǎn)分別在和上，修建的木棧道與道路，圍成三角地塊.（注：圓的切線長性質(zhì)：圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線長相等）.（1）當(dāng)為正三角形時(shí)，求修建的木棧道與道路圍成的三角地塊面積；（2）若的面積，求木棧道長；（3）如圖2，若景區(qū)中心與木棧道段連線的.①將木棧道的長度表示為的函數(shù)，并指出定義域；②求木棧道的最小值.解：（1