廣東省梅州市2024屆高三下學期總復習質檢（二模）數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省梅州市2024屆高三下學期總復習質檢（二模）數(shù)學試題一、選擇題1.常言道：“不經(jīng)歷風雨，怎么見彩虹”．就此話而言，“經(jīng)歷風雨”是“見彩虹”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗由題意，經(jīng)歷風雨不一定會見彩虹，但見彩虹一定是經(jīng)歷風雨，所以“經(jīng)歷風雨”是“見彩虹”的必要不充分條件．故選：B．2.已知集合，，則（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗因為，二次函數(shù)，當且僅當時取等號，所以，所以.故選：D.3.三個函數(shù)，，的零點分別為，則之間的大小關系為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)，，的零點，即函數(shù),,,的圖象交點的橫坐標，在同一平面直角坐標系中畫出，,,的圖象，由圖象可知，．故選：B．4.如圖，兩根繩子把物體M吊在水平桿子AB上.已知物體M的重力大小為20牛，且，在下列角度中，當角取哪個值時，繩承受的拉力最小.（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗作出示意圖，設與物體平衡的力對應的向量為，則，以為對角線作平行四邊形，則，是繩承受的拉力大小，由，得，所以，中，由正弦定理得，即，可得，結合，可知當時，達到最小值10綜上所述，當角時，繩承受的拉力最小.故選：C5.若把函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到的是一個偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗把函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到，，則，即，即，該方程對任意恒成立，則，解得．故選：C．6.據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，，，，求得經(jīng)驗回歸方程為，且平均數(shù)．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)這組樣本數(shù)據(jù)中有兩個樣本點和誤差較大，去除后，重新求得的經(jīng)驗回歸方程為，則（）A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8〖答案〗C〖解析〗因為原來的經(jīng)驗回歸方程為，且平均數(shù)，所以，因為去除的兩個樣本點和，并且，，所以去除兩個樣本點后，樣本點的中心仍為，代入重新求得的經(jīng)驗回歸方程，可得，解得．故選：C．7.某學校為參加辯論比賽，選出8名學生，其中3名男生和5名女生，為了更好備賽和作進一步選拔，現(xiàn)將這8名學生隨機地平均分成兩隊進行試賽，那么兩隊中均有男生的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意，從8人中選出人，有種選法，分種情況討論：①選出的人中有名男生和名女生，有種選法，②選出的人中有名男生和名女生，有種選法，則兩隊中均有男生的概率．故選：D．8.已知點F為雙曲線C：的右焦點，點N在x軸上（非雙曲線頂點），若對于在雙曲線C上（除頂點外）任一點P，恒是銳角，則點N的橫坐標的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得，所以，設,，，則，,，由恒是銳角，得，又，，不等式可化為：，整理得：，只需，解得．故選：C．二、選擇題9.設，是復數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C. D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗對于A，，則，解得，即，故A正確；對于B，，，滿足，但，故B錯誤；對于C，，，故C正確；對于D，，則，即，即，故D正確．故選：ACD．10.已知數(shù)列的通項公式為，，在中依次選取若干項（至少3項），，，，，，使成為一個等比數(shù)列，則下列說法正確的是（）A.若取，，則B.滿足題意的也必是一個等比數(shù)列C.在的前100項中，的可能項數(shù)最多是6D.如果把中滿足等比的項一直取下去，總是無窮數(shù)列〖答案〗AB〖解析〗因為數(shù)列的通項公式為，對于A，取，，則，，由于為等比數(shù)列，則，則有，即，故A正確；對于B，數(shù)列的通項公式為，則，若為等比數(shù)列，即，，，，，是等比數(shù)列，則，，，，，，是等比數(shù)列，故滿足題意的也必是一個等比數(shù)列，故B正確；對于C，在的前項中，可以取，，，，，，，可以使成為一個等比數(shù)列，此時為項，故C錯誤；對于D，取，，則，則，不是數(shù)列項，所以把中滿足等比的項一直取下去，不總是無窮數(shù)列，故D錯誤．故選：AB．11.如圖，平面，，M為線段AB的中點，直線MN與平面的所成角大小為30°，點P為平面內的動點，則（）A.以為球心，半徑為2的球面在平面上的截痕長為B.若P到點M和點N距離相等，則點P的軌跡是一條直線C.若P到直線MN的距離為1，則的最大值為D.滿足的點P的軌跡是橢圓〖答案〗BC〖解析〗對于A，由于MN與平面的所成角大小為30°，所以點到平面的距離，故半徑為的球面在平面上截面圓的半徑為,故截痕長為，A錯誤，對于B,由于平面，所以以為，在平面內過作,平面內作，建立如圖所示的空間直角坐標系，則設，則，化簡得，故P到點M和點N的距離相等，則點P的軌跡是一條直線，B正確，,所以P到直線MN的距離為，化簡可得，所以點的軌跡是平面內的橢圓上一點，如圖，當在短軸的端點時，此時最大，由于,故，因此,C正確，對于D,，,若，則，化簡得且，故滿足的點P的軌跡是雙曲線的一部分，D錯誤，故選：BC.三、填空題12.某中學1500名同學參加一分鐘跳繩測試,經(jīng)統(tǒng)計,成績X近似服從正態(tài)分布，已知成績大于170次的有300人，則可估計該校一分鐘跳繩成績X在130～150次之間的人數(shù)約為______.〖答案〗〖解析〗由題意可知，，又因為，所以所以跳繩成績X在130～150次之間的人數(shù)約為.故〖答案〗為：.13.已知數(shù)列的通項公式（），則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗由于當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，要求的最小值，只需要考慮出現(xiàn)奇數(shù)個奇數(shù)項時即可，又，且當時，，因此時，，當，，當，，綜上，最小值為.故〖答案〗為：14.在平面直角坐標系中，O為坐標原點，定義、兩點之間的“直角距離”為．已知兩定點，，則滿足的點M的軌跡所圍成的圖形面積為______．〖答案〗6〖解析〗設，由題意,,，可知，故當時，，當時，，當，，當時，，當時，，軌跡方程的圖形如圖，圖形的面積為：．故〖答案〗為：6．四、解答題15.已知橢圓C：（）的離心率為，且經(jīng)過點．（1）求橢圓C的方程：（2）求橢圓C上的點到直線l：的距離的最大值．解：（1）由橢圓的離心率為，可得，可得，設橢圓的方程為：，，又因為橢圓經(jīng)過點，所以，解得，所以橢圓的方程為：；（2）設與直線平行的直線的方程為，聯(lián)立，整理可得：，，可得，則，所以直線到直線的距離．所以橢圓上的點到直線的距離的最大值為．16.在中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，，，（1）求A的大小：（2）點D在BC上，（Ⅰ）當，且時，求AC的長；（Ⅱ）當，且時，求的面積．解：（1）因為，所以由正弦定理可得，又，所以，因為為三角形內角，，所以，可得，因為，所以；（2）（Ⅰ）此時，，所以，所以，在中，由正弦定理可得；（Ⅱ）設，由，可得，化簡可得有，由于，所以，所以，則．17.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為直角梯形，為等邊三角形，，，．（1）求證：；（2）點在棱上運動，求面積的最小值；（3）點為的中點，在棱上找一點，使得平面，求的值．（1）證明：取的中點，連接，，則且，又，所以四邊形為矩形，所以，又為等邊三角形，所以，，平面，所以平面，又平面，所以.（2）解：連接，由平面，又平面，所以，所以，要使的面積最小，即要使最小，當且僅當時取最小值，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，在中，，，所以，當時，所以面積的最小值為.（3）解：連接交于點，連接交于點，連接，因為且，所以，所以，因為平面，又平面，平面平面，所以，所以，在中，過點作，則有，所以，所以，即18.已知函數(shù)，，（）．（1）證明：當時，；（2）討論函數(shù)在上的零點個數(shù)．（1）證明：令，則，記，則，當時，，當時，，所以在上單調遞減：在上單調遞增，從而在上，，所以在上單調遞增，因此在上，，即；（2）解：，，，在上，，所以，在上遞增，，即函數(shù)在上無零點；，記，則，在上遞增，而，故存在，使，當時，遞減，時，遞增，，而，，在上無零點，在,上有唯一零點，綜上，當時，在上沒有零點：當時，在上有且僅有1個零點．19.已知是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前項的最大值記為，即；前項的最小值記為，即，令（），并將數(shù)列稱為的“生成數(shù)列”．（1）若，求其生成數(shù)列的前項和；（2）設數(shù)列的“生成數(shù)列”為，求證：；（3）若是等差數(shù)列，證明：存在正整數(shù)，當時，，，，是等差數(shù)列．（1）解：因為關于單調遞增，所以，，于是，的前項和．（2）證明：由題意可知，，所以，因此，即是單調遞增