福建省南平市浦城縣2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省南平市浦城縣2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，總40分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所?故選：D2.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的傾斜角為（）A.0 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率，則所求切線的傾斜角為．故選：B．3.已知p：，q：，若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗命題p：因?yàn)?，所以，解得，命題q：，因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以，故選：C4.已知隨機(jī)變量的分布列如表，若，則（）3A. B.4 C.6 D.12〖答案〗C〖解析〗由分布列的性質(zhì)可得：，解得，∵，解得.故選：C.5.長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約40%的人近視，而該校大約有20%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)1，這些人的近視率約為50%.現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過(guò)1的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令“玩手機(jī)時(shí)間超過(guò)的學(xué)生”，“玩手機(jī)時(shí)間不超過(guò)的學(xué)生”，“任意調(diào)查一人，此人近視”，則，且互斥，，，依題意，，解得，所以所求近視的概率為.故選：B6.楊輝是我國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家，其著作《詳析九章算法》中畫(huà)了一張表示二項(xiàng)式展開(kāi)式后的系數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)陣（如圖所示），稱(chēng)做“開(kāi)方做法本源”，現(xiàn)簡(jiǎn)稱(chēng)為“楊輝三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．若用表示三角形數(shù)陣中的第m行第n個(gè)數(shù)，則（）A.5050 B.4851 C.4950 D.5000〖答案〗B〖解析〗由二項(xiàng)式展開(kāi)式系數(shù)可知，第行第個(gè)數(shù)應(yīng)為，所以第100行第3個(gè)數(shù)為，即4851，故選：B7.已知在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由可得，由條件只需，即在上恒成立，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為4，只需．故選：B8.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令①,則，∵，∴，即，∴（c為常數(shù)）②，由①②知，，∴，又，∴，即，，不等式即，∴或，即不等式的解集為，故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有錯(cuò)選的得0分.把正確選項(xiàng)填在選擇題答題區(qū)域相應(yīng)的題號(hào)內(nèi).）9.盒子中共有個(gè)白球和個(gè)黑球，從中不放回任取兩次，每次取一個(gè)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.“取到個(gè)白球”和“取到個(gè)黑球”是對(duì)立事件B.“第一次取到白球”和“第二次取到白球”是相互獨(dú)立的事件C.“在第一次取到白球的條件下，第二次取到黑球”的概率為D.設(shè)隨機(jī)變量和分別表示取到白球和黑球的個(gè)數(shù)，則〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，“取到個(gè)白球”和“取到個(gè)黑球”是互斥事件，但不是對(duì)立事件，因?yàn)檫€有可能取到其他情況即“取到1個(gè)白球和1個(gè)黑球”；對(duì)于B選項(xiàng)，“第一次取到白球”的概率為，“第二次取到白球”的概率為，第一次取到白球且第二次取到白球的概率為，,所以?xún)烧卟皇窍嗷オ?dú)立事件；對(duì)于C選項(xiàng)：在第一次取到白球的條件下，第二次取到黑球”的概率為;對(duì)于D選項(xiàng)：，，，所以；，，，所以,所以；故選：D.10.關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.是的極大值B.函數(shù)有且只有個(gè)零點(diǎn)C.在上單調(diào)遞減D.設(shè)，則〖答案〗BCD〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，故A錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于B，函數(shù)，定義域?yàn)?，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，其函數(shù)值為，所以函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于D，，其定義域?yàn)椋瑒t，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在，上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，所以，故D正確．故選：BCD．11.的展開(kāi)式中，下列說(shuō)法正確的是（）A.所有項(xiàng)系數(shù)和為64 B.常數(shù)項(xiàng)為第4項(xiàng)C.整式共有3項(xiàng) D.項(xiàng)的系數(shù)〖答案〗AC〖解析〗令，由知，所有項(xiàng)系數(shù)和為64，故A正確；二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，故展開(kāi)式第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，展開(kāi)式為整式，故C正確；當(dāng)時(shí)，，，故D錯(cuò)誤.故選：AC12.一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，．假設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，且p是關(guān)于x的方程：的一個(gè)最小正實(shí)根，則下列說(shuō)法正確的是（）A.1是方程：的根B.當(dāng)時(shí)，C當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，〖答案〗ABD〖解析〗將代入中，成立，即1是方程：的根，故A正確；由以上分析可知，，則，所以，變形為，所以，即，即，令，若時(shí)，則的對(duì)稱(chēng)軸為，注意到，，若時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的正實(shí)根，即原方程的最小正實(shí)根，故B,D正確；當(dāng)時(shí)，，的正實(shí)根，即原方程的最小正實(shí)根，故C錯(cuò)誤；故選：ABD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把〖答案〗填在題中橫線上）13.已知隨機(jī)變量，若，則_________.〖答案〗0.66〖解析〗如圖，概率分布是按照X=1對(duì)稱(chēng)的，，.故〖答案〗為：0.66.14.展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)__________．（用數(shù)字填寫(xiě)〖答案〗）〖答案〗24〖解析〗展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式為，故第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，故當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大，故二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為.故〖答案〗為：24．15.某班宣傳小組有3名男生和2名女生.現(xiàn)從這5名同學(xué)中挑選2人參加小劇場(chǎng)演出，在已知抽取到有男生的條件下，2名都是男生概率是______.〖答案〗〖解析〗設(shè)事件A表示“有男生”，事件表示“兩名都是男生”，則，，故.故〖答案〗為：.16.若為定義在上的連續(xù)不斷的函數(shù)，滿足，且當(dāng)時(shí)，．若，則的取值范圍___________．〖答案〗〖解析〗，，設(shè)，則，則，為奇函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)，從而在上是減函數(shù)，又,等價(jià)于，即，，解得,故的取值范圍為，故〖答案〗為：四、簡(jiǎn)答題（本大題共6小題，第17小題10分，第18-22小題每題12分，共70分.解答過(guò)程必修有必要的文字說(shuō)明，公式和解題過(guò)程.）17.已知的展開(kāi)式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為512.（1）若，求；（2）求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).解：（1）∵的展開(kāi)式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，∴.∵，∴令，可得，∴再令，可得，即，∴.（2）設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，則，求得，∴，故展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.18.經(jīng)研究，中小學(xué)生戶(hù)外活動(dòng)時(shí)間太少，長(zhǎng)時(shí)間看近處是導(dǎo)致近視的主要原因，現(xiàn)通過(guò)隨機(jī)抽樣的方式調(diào)查某地100名中小學(xué)生每天進(jìn)行戶(hù)外活動(dòng)的時(shí)間和孩子的視力情況（規(guī)定每天戶(hù)外活動(dòng)時(shí)間不足1小時(shí)的為居家型，其余為戶(hù)外型），經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下列聯(lián)表：不近視近視合計(jì)居家型30戶(hù)外型30總計(jì)50100（1）請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有95％以上的把握認(rèn)為“是否為居家型與近視與否”有關(guān)？（2）從這50名不近視的學(xué)生中按是否居家型采取分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為5的樣本，現(xiàn)從這5名學(xué)生中隨機(jī)選取3名做深度采訪，求這3名學(xué)生中居家型學(xué)生人數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：0.0500.0100.0013.8416.63510.828（參考公式：，其中.）解：（1）列聯(lián)表補(bǔ)充如下：不近視近視合計(jì)居家型304070戶(hù)外型201030總計(jì)5050100，所以有95％以上的把握認(rèn)為“是否為居家型與近視與否”有關(guān).（2）由題可知，抽取的5人中，居家型有3人，戶(hù)外型有2人，從5人中再隨機(jī)抽取3名學(xué)生，居家型學(xué)生人數(shù)X的所有可能取值為1，2，3.，，，分布列為：X123P.19.已知函數(shù)，其中（1）若函數(shù)的極小值為0，求實(shí)數(shù)m的值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1），由，得或當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在時(shí)取到極小值．由，解得（2）由（1）知，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以區(qū)間上的最小值為由恒成立，知，即所以20.成都是全國(guó)聞名的旅游城市，有許多很有特色的旅游景區(qū).某景區(qū)為了提升服務(wù)品質(zhì)，對(duì)過(guò)去天每天的游客數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)這天每天的游客數(shù)都沒(méi)有超出八千人，統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)下面的頻率分布直方圖：為了研究每天的游客數(shù)是否和當(dāng)天的最高氣溫有關(guān)，從這一百天中隨機(jī)抽取了天，統(tǒng)計(jì)出這天的游客數(shù)千人分別為、、、、，已知這天的最高氣溫依次為、、、、．（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求游客數(shù)關(guān)于當(dāng)天最高氣溫的線性回歸方程系數(shù)保留一位小數(shù)；（2）根據(jù)（1）中的回歸方程，估計(jì)該景區(qū)這天中最高氣溫在內(nèi)的天數(shù)保留整數(shù)參考公式：由最小二乘法所得回歸直線方程是；其中：，．本題參考數(shù)據(jù)：，．解：（1）由題意知，計(jì)算，，又，，所以，，所以關(guān)于的線性回歸方程是；（2）當(dāng)最高氣溫在內(nèi)時(shí)，根據(jù)，得游客數(shù)在內(nèi)；頻率分布直方圖中這個(gè)范圍內(nèi)的條形圖面積為,所以天數(shù)為，所以這天中最高氣溫在內(nèi)的天數(shù)約為天．21.2022年冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)主辦城市是北京，北京成為第一個(gè)舉辦過(guò)夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)以及亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)三項(xiàng)國(guó)際賽事的城市！為迎接冬奧會(huì)的到來(lái)，某地很多中小學(xué)開(kāi)展了模擬冬奧會(huì)賽事的活動(dòng)，為了深入了解學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項(xiàng)活動(dòng)的參與情況，在該地隨機(jī)選取了10所學(xué)校進(jìn)行研究，得到如下數(shù)據(jù)：（1）在這10所學(xué)校中隨機(jī)選取3所來(lái)調(diào)查研究，求這3所學(xué)校參與“自由式滑雪”都超過(guò)40人的概率；（2）“單板滑雪”參與人數(shù)超過(guò)45人的學(xué)?？梢宰鳛椤盎貙W(xué)?！?，現(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機(jī)選出3所，記為選出可作“基地學(xué)?！钡膶W(xué)校個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）現(xiàn)在有一個(gè)“單板滑雪”集訓(xùn)營(yíng)，對(duì)“滑行、轉(zhuǎn)彎、停止”這3個(gè)動(dòng)作技巧進(jìn)行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測(cè)試．規(guī)定：在一輪測(cè)試中，這3個(gè)動(dòng)作中至少有2個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測(cè)試記為“優(yōu)秀”．在集訓(xùn)測(cè)試中，小明同學(xué)3個(gè)動(dòng)作中每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，每個(gè)動(dòng)作互不影響且每輪測(cè)試互不影響．如果小明同學(xué)在集訓(xùn)測(cè)試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的平均值達(dá)到不少于5次，那么理論上至少要進(jìn)行多少輪測(cè)試？解：（1）記“從10所學(xué)校中隨機(jī)選取3所學(xué)校參與“自由式滑雪”都超過(guò)40人”為事件A，參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過(guò)40人的學(xué)校共4所，隨機(jī)選擇3所學(xué)校共種，所以.（2）的所有可能取值為，參與“單板滑雪”人數(shù)在45人以上的學(xué)校共4所，所以，，，，所以的分布列如下表：0123所以.（3）記“小明同學(xué)在一輪測(cè)試中要想獲得