山東省青島市智榮中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

山東省青島市智榮中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在下列條件下，可判斷平面α與平面β平行的是A.α、β都垂直于平面γ

B.α內(nèi)不共線的三個點到β的距離相等C.l,m是α內(nèi)兩條直線且l∥β,m∥β

D.l,m是異面直線,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β參考答案：D2.若a＞1，則a+1/（a-1）的最小值是A.0；

B.2；

C.2/（a-1）

D.3；參考答案：D略3.已知＜＜0，則（

）(A)n＜m＜1

(B)m＜n＜1

(C)1＜m＜n

(D)1＜n＜m參考答案：D4.若，，是虛數(shù)單位，且，則的值為

（

）A． B．

C． D．參考答案：D根據(jù)復(fù)數(shù)相等，可知，即，所以，選D.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果隨機(jī)輸入的t∈[﹣2，2]，則事件“輸出的S∈（﹣1，7]”發(fā)生的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【分析】根據(jù)程序框圖，分析程序的功能，結(jié)合輸出自變量的范圍條件，利用函數(shù)的性質(zhì)即可得到輸出S∈[﹣3，﹣1]∪（2，10]，區(qū)間長為10，即可求出概率．【解答】解：若0≤t≤2，則不滿足條件輸出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，則滿足條件，此時t=2t2+2∈（2，10]，此時不滿足條件，∴輸出S∈[﹣3，﹣1]∪（2，10]，區(qū)間長為10，∴事件“輸出的S∈（﹣1，7]”發(fā)生的概率為=．故選B．6.函數(shù)的定義域為（

）A.(,∞)

B(,1)

C（1，+∞）D.(,1)∪（1，+∞）參考答案：B7.等差數(shù)列中，，則（

）A．10

B．20

C．40

D．2+log25參考答案：B8.高三某班6名同學(xué)站成一排照相，同學(xué)甲．乙不能相鄰，并且甲在乙的右邊，則不同的排法種數(shù)共有（

）A．120

B．240

C．360

D．480參考答案：B9.已知=（a，﹣2），=（1，1﹣a），且∥，則a=（）A．﹣1 B．2或﹣1 C．2 D．﹣2參考答案：B【考點】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【分析】根據(jù)兩向量平行的坐標(biāo)表示，列出方程，求出a的值即可．【解答】解：∵=（a，﹣2），=（1，1﹣a），且∥，∴a（1﹣a）﹣（﹣2）×1=0，化簡得a2﹣a﹣2=0，解得a=2或a=﹣1；∴a的值是2或﹣1．故選：B．10.，則實數(shù)a取值范圍為

（

）A

B

[-1,1]

C

D

(-1,1]參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為_________.參考答案：12.已知向量，，，，如果∥，則

.參考答案：略13.

設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為

.參考答案：4略14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點在橢圓上，點滿足，且，則線段在軸上的投影長度的最大值為

．參考答案：，即，則三點共線，，所以與同向，∴，設(shè)與軸夾角為，設(shè)點坐標(biāo)為，為點在軸的投影，則在軸上的投影長度為.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．則線段在軸上的投影長度的最大值為．15.設(shè)（5x﹣）n的展開式的各項系數(shù)和為M，二項式系數(shù)和為N，若M﹣N=240，則展開式中x的系數(shù)為

．參考答案：150【考點】二項式定理的應(yīng)用．【專題】計算題．【分析】根據(jù)M﹣N=240，解得2n的值，可得n=4．再求出（5x﹣）n的展開式的通項公式，令x的冪指數(shù)等于1，求得r的值，即可求得展開式中x的系數(shù)．【解答】解：由于（5x﹣）n的展開式的各項系數(shù)和M與變量x無關(guān)，故令x=1，即可得到展開式的各項系數(shù)和M=（5﹣1）n=4n．再由二項式系數(shù)和為N=2n，且M﹣N=240，可得4n﹣2n=240，即22n﹣2n﹣240=0．解得2n=16，或2n=﹣15（舍去），∴n=4．（5x﹣）n的展開式的通項公式為Tr+1=?（5x）4﹣r?（﹣1）r?=（﹣1）r??54﹣r?．令4﹣=1，解得r=2，∴展開式中x的系數(shù)為（﹣1）r??54﹣r=1×6×25=150，故答案為150?【點評】本題主要考查二項式的各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和的關(guān)系，二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于中檔題．16.（2016鄭州一測）已知向量、是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若，則的最大值為________．參考答案：設(shè)，．∵，∴，∴，∴，∴．17.等差數(shù)列中，恰好成等比數(shù)列，則的值是____________;參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知等差數(shù)列的前項和為，，，.(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.參考答案：(1)設(shè)出等差數(shù)列的首項及公差，解方程組可得的通項公式(2)從的取值發(fā)現(xiàn)數(shù)列需分奇偶討論，再結(jié)合分組求和可得的前項和.(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

由題意，得解得所以an＝2n－1.(2)因為當(dāng)為奇數(shù)時，當(dāng)為偶數(shù)時，當(dāng)為偶數(shù)時，當(dāng)為奇數(shù)時，綜上：知識點：等差數(shù)列，數(shù)列求和，分類討論思想難度：419.已知橢圓的左、右兩個焦點，過其中兩個端點的直線斜率為，過兩個焦點和一個頂點的三角形面積為1.（1）求橢圓的方程；（2）如圖，點為橢圓上一動點（非長軸端點），的延長線與橢圓交于點，的延長線與橢圓交于點，求面積的最大值，并求此時直線的方程.參考答案：(1)；(2)，.試題分析：(1)借助題設(shè)條件建立方程組求解；(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用直線與橢圓的位置關(guān)系建立目標(biāo)函數(shù)求解.試題解析：（2）設(shè)直線的方程為，，由消去并整理，得，因為直線與橢圓交于兩點，所以，，點到直線的距離.考點：直線與橢圓的位置關(guān)系等有關(guān)知識的綜合運(yùn)用．【易錯點晴】本題是一道考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合問題.解答本題的第一問時,直接依據(jù)題設(shè)條件建立方程組求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；第二問的求解過程中,為了避免分類討論將直線的方程設(shè)為,然后再將直線的方程和橢圓的方程聯(lián)立,借助坐標(biāo)之間的關(guān)系求得弦長及三角形的面積的函數(shù)表達(dá)式.然后再基本不等式求出其最大值為,從而使得問題獲解.本題對運(yùn)算求解能力和推理論證能力的要求較高,有一定難度.20.

已知函數(shù)處取得極值.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若當(dāng)恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）對任意的是否恒成立？如果成立，給出證明，如果不成立，

請說明理由.參考答案：

（Ⅰ）∵f(x)=x3－x2+bx+c，

∴f′(x)=3x2－x+b.

……2分

∵f(x)在x=1處取得極值，

∴f′(1)=3－1+b=0.

∴b=－2.

……3分

經(jīng)檢驗，符合題意.

……4分

（Ⅱ）f(x)=x3－x2－2x+c.

∵f′(x)=3x2－x－2=(3x+2)(x－1)，

…5分x

1(1,2)

2f′(x)

+

0

－

0

+f(x)

……7分

∴當(dāng)x=－時，f(x)有極大值+c.

又

∴x∈[－1，2]時，f(x)最大值為f(2)=2+c.

……8分

∴c2>2+c.

∴c<－1或c>2.

…………10分

（Ⅲ）對任意的恒成立.

由（Ⅱ）可知，當(dāng)x=1時，f(x)有極小值.

又

…12分

∴x∈[－1，2]時，f(x)最小值為.

，故結(jié)論成立.……14分

略21.（本小題滿分13分）如圖，設(shè)是由個實數(shù)組成的行列的數(shù)表，其中表示位于第行第列的實數(shù)，且.記為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合．對于，記為的第行各數(shù)之積，為的第列各數(shù)之積．令．（Ⅰ）請寫出一個，使得；（Ⅱ）是否存在，使得？說明理由；（Ⅲ）給定正整數(shù)，對于所有的，求的取值集合．

參考答案：（Ⅰ）解：答案不唯一，如圖所示數(shù)表符合要求．

………………3分（Ⅱ）解：不存在，使得．

………………4分

證明如下：假設(shè)存在，使得．

因為，

，

所以，，，，，，，這個數(shù)中有個，個．

令．

一方面，由于這個數(shù)中有個，個，從而．

①

另一方面，表示數(shù)表中所有元素之積（記這個實數(shù)之積為）；也表示，

從而．

②①、②相矛盾，從而不存在，使得．

………………8分（Ⅲ）解：記這個實數(shù)之積為．

一方面，從“行”的角度看，有；

另一方面，從“列”的角度看，有．從而有．

③

………………10分注意到，

．下面考慮，，，，，，，中的個數(shù)：由③知，上述個實數(shù)中，的個數(shù)一定為偶數(shù)，該偶數(shù)記為；則的個數(shù)為，所以．

………………12分對數(shù)表：，顯然．將數(shù)表中的由變?yōu)?，得到?shù)表，顯然．將數(shù)表中的由變?yōu)?，得到?shù)表，顯然．依此類推，將數(shù)表中的由變?yōu)椋玫綌?shù)表．即數(shù)表滿足：，其余．所以，．所以．由的任意性知，的取值集合為．……………13分22.如圖，已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，O為CD的中點，沿AO將三角形AOD折起，使.（Ⅰ）求證：平面AOD⊥ABCO；（Ⅱ）求直線BC與平面ABD所成角的正弦值.

參考答案：（Ⅰ）∵在矩形ABCD中，AB=2AD=2，O為CD中點，

∴△AOD，△BOC為等腰直角三角形，

∴∠AOB=90o,即OB⊥OA.………………（1分）

取AO中點H，連結(jié)DH，BH，則OH=DH=，

在Rt△BOH中，BH2=BO2+OH2=,

在△BHD中，DH2+BH2=又DB2=3，

∴DH2+BH2=DB2，∴DH⊥BH.…………（2分）

又DH⊥OA,OA∩BH=H……………（3分）

∴DH⊥面ABCO，……………………（4分）

而DH∈平面AOD