《計算力學》課件

計算力學課堂教學課件Wednesday,May15,2024中國礦業(yè)大學xxx1h2h一、泛函的定義補充內容3h變分法是在一組容許函數中選定一個函數，使給定的泛函取駐值(研究求泛函極大（?。┲档姆椒?。簡單地說，泛函也是一種“函數”，它的獨立變量一般不是通常函數的“自變量”，而是通常函數本身。泛函是函數的函數。說明泛函具體含義的三個實例。4h實例1

在xy平面內有A、B兩定點，連接A、B有很多條曲線y=y(x),x是自變量，y是獨立函數，曲線的長度L是隨不同的曲線y而定的。L是一個泛函：5h實例2在xy平面內，假設在AB兩定點連成的曲線上有一質點。此質點在重力的作用下，無摩擦地從A滑到B需要一定的時間T。T是隨不同的曲線y(x)而改變的。所以T

是一個泛函。假設A在坐標原點，故質點由A滑到B的速度為則T為6h實例3

假設有一不計自重的彈性桿OB,長為L，截面面積A，彈性模量E。O端固定，x軸沿桿的軸線向下，B端受拉力P作用。受力以后，桿內各點產生隨x變化的位移u(x),因而產生應變ε和應力σ。在線彈性范圍內，定義應變能密度由于7h故桿內總應變能為拉力P所作的功：桿的總勢能：因此

是一個泛函。8h泛函的定義設{y(x)}是已給的函數集，如果對于這個函數集合中任一函數y(x)恒有某個確定的數與之對應，記為Π[y(x)]，則記Π[y(x)]是定義于集合{y(x)}上的一個泛函。泛函的基本點（1）泛函有它的定義域。定義域是指滿足一定的邊界條件、初始條件和函數的連續(xù)程度的函數集。定義域內的函數稱為可取函數或容許函數。y(x)亦稱為泛函Π的宗量。（2）泛函Π[y(x)]與可取函數y(x)有明確的對應關系。泛函的值是由一條可取曲線的整體性質決定的。9h對變分學發(fā)展有重大影響的三個歷史命題：1、最速降線問題。在A、B兩端點固定的邊界條件下，從A滑到B所需的時間最短。通過質點滑過曲線所需時間的變分為零，即求得最速降線。JohnBornouli于1696年提出。δT=010h2、短程線問題。求曲面

(x,y,z)=0上兩定點A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)間長度最短的曲線。問題歸結為求泛函的極小值。其中函數y(x)、z(x)滿足約束條件

(x,y,z)=0此問題屬于“條件變分”問題。——JohnBornouli于1697年解決。11h3、等周問題。在長度一定的封閉曲線中，什么樣的曲線所圍面積最大？已知曲線用參數表達為x=x(s),y=y(s)。周長為固定邊界條件為12h所圍面積等周問題可歸納為端點固定條件式及限制條件（長度一定的封閉曲線）下，從一切x=x(s),y=y(s)的函數中選取一對函數，使泛函R為最大?！獥l件變分問題。Euler于1744年解決。13h二、變分及其特性14h1、泛函宗量的變分定義：對于泛函Π[y(x)]，y(x)是定義域中的任何元素，如果y(x)由y0(x)變成y1(x)，則y1(x)-y0(x)，則叫做y(x)在y0(x)上的變分，記作δy=y1(x)-y0(x)常用δy=y1(x)-y0(x)作為泛函宗量的變分。變分δy和函數微分dy的區(qū)別：變分δy反映的是整個函數的改變，函數微分dy反映的是同一函數y(x)因x取不同值而產生的差異。15h函數接近度的概念如果兩條曲線滿足以下條件：則稱曲線y=y(x),有k

階接近度。接近度的階數越高，曲線接近得越好。Lagrange引用小量ε保證曲線有k

階接近度：小量ε→0。16h零階接近度曲線一階接近度曲線17h2、泛函的連續(xù)對于任意給定的ε>0，總可找到δ，并當就能使則稱泛函Π[y(x)]在y(x)=y1(x)處k階接近地連續(xù)。18h3、泛函的變分（1）泛函變分是泛函增量的線性主部“泛函變分”可以說是“函數微分”概念的推廣。什么是函數y=f(x)的微分？例如：y=f(x)=sinx如果x→x+Δx，則函數的增量從式中可看到：Δy與Δx之間的函數關系是非線性的。19h如果函數y=f(x)在給定點x

處有導數f

(x)，則于是所以第一項即dy是Δx的線性函數，第二項，是比Δx高階的無窮小量20h所以函數的微分dy=f

(x)Δx既是函數增量Δy的線性部分，又是Δy的主要部分，即“線性主要部分”。泛函的變分？例如泛函增量ΔΠ有兩項組成，第一項記為：21h當函數y(x)固定時，線性泛函。因為是關于

y的第二項：所以22h于是此式與函數的微分式非常相似，即泛函的變分亦可理解為兩部分：第一部分是δy

的線性泛函；第二部分是比δy更高階次的無窮小量。泛函變分的定義：即泛函[y(x)]的變分

是泛函隨宗量y(x)的微小增量δy而產生的增量

的線性主要部分。23h（2）拉格朗日泛函變分定義如果泛函[y(x)]的變分存在，那么此變分等于函數的導數在ε=0處的值，即24h4、泛函的駐值（1）函數的駐值如果函數y(x)在x=x0附近的任意點上的值都不大（?。┯趛(x0)，即則稱函數y(x)在x=x0上達到極大（極?。以趚=x0上有對于多元函數根據泰勒公式：25h式中是關于增量的一次、二次…齊次式，其中26h使多元函數為極大或極小的條件是：也可寫成：稱為函數的駐值條件，其解稱為駐點，駐點處的函數值稱為駐值。27h（2）泛函的駐值如果泛函[y(x)]在任何一條與y0(x)接近的曲線上的值不大（小）于[y0(x)]，即則稱泛函[y(x)]在曲線y=y0(x)上達到極大（或極?。┲?，而且在y=y0(x)上有駐值條件即泛函[y(x)]在y0(x)的一階變分為零。28h4、變分的計算方法1、微分與變分能夠互調：2、積分與變分能夠互調：3、設則29h4、設則5、設則6、設則30h三、歐拉方程31h1、變分法的基本預備定理如果函數F(x)在區(qū)間(x1,x2)上連續(xù)，而任意選定的函數

y(x)滿足下列一般條件：（1）一階或若干階可微；（2）（3）并且有下式成立則在區(qū)間(x1,x2)上有F(x)≡032h2、歐拉方程的建立假設一個自變量x,一個獨立函數y,一般泛函形式如下：如圖所示，如果存在過定點A、B兩點并且其一階導數是連續(xù)的極值曲線使上式泛函取極值，求此極值曲線。解：設y(x)就是欲求的極值曲線，在y(x)的近旁構造一類可取函數ε為與x無關的微小參量，

y(x)是滿足變分法預備定理中的3個一般條件的任意選定的函數。（1）（2）33h而且

y(x)具有下列邊界條件：（3）將（2）代入（1），得到以為參變量ε的泛函：根據泛函取極值的條件及泛函變分的Lagrange定義：即34h由于且ε=0時所以將（4）第二式進行分部積分：（4）因（5）35h所以（5）變?yōu)椋簞t（4）式為：由變分法預備定理得：（Euler-Lagrange方程）36h?注意：Euler方程式中的第二項為全導數。而且所以展開得：另外，根據泛函的變分是泛函增量的線性主部這一定義也可得到Euler方程：解：仍設y(x)就是欲求的極值曲線，則與y(x)鄰近的任意容許函數仍設為37h其中

y(x)是滿足變分法預備定理中的3個一般條件的任意選定的函數。并且要使泛函取極值，必須滿足駐值條件

=0，而38h記為分別為泛函的一階、二階、三階變分。因此以前述同樣的方法可以得到Euler方程，推導過程略。39h3、利用歐拉方程求解泛函極值問題（1）實例1（過A、B兩定點間長度最短的曲線）中，泛函形式為：被積函數為代入Euler方程得：40h解得代入邊界條件后得A、B兩點間最短曲線為直線。與實際情況一致。41h（2）實例2（最速降線問題）中，泛函形式為：利用展開后的Euler方程：因被積函數F不顯含x，可簡化為：42h現證明：即證：而43h所以即證明了（6）44h將被積函數代入（6），得：分離變量得：引入參數θ，令則45hEuler方程的解為令2θ=π-

，則解化為：又當

=0時，取x=0=y,E=D/2,于是46h這組方程是半徑為D/2的輪沿著x

軸滾動時，輪周上A點軌跡的方程。這是一組圓滾線方程，常數D由圓滾線通過B點確定，它能使其上質點滑下的時間最短。也稱其為最速降線（旋輪線或擺線）。47h變分法的幾個步驟：（1）從物理問題建立泛函及其條件；（2）通過泛函變分，利用變分法基本預備定理，求得Euler方程；（3）在邊界（或初始）條件下求解Euler方程，得到極值解。48h（3）實例3（受拉桿件問題）中，泛函形式為：將被積函數代入Euler方程得：求解得：位移u在桿內的分布是線性的。兩個待定常數由以下兩個邊界條件決定：49hx=0時，u=o;x=L

時，P=p。以下用變分的方法推導。令δΠ=0，得在x=0處，u=o，δu=0，但x=L處，δu≠0,所以50h由于在(0,L)開區(qū)間內δu的任意性，得微分方程：AEu”=0(a)邊界條件：

x=L時，AEu′=p(b)x=0處，u=0(c)（c)式為方程(a)的第一類邊界條件，也稱為位移邊界條件，是泛函極值曲線首先要滿足的邊界條件，所以也稱為強加邊界條件.(b)式為第二類邊界條件。是變分后從泛函中分離出來的，是為了使泛函滿足極值條件而又必須滿足的邊界條件，稱為自然邊界條件，即x=L處力的邊界條件。51h利用泛函形式求解的優(yōu)點：（1）泛函中包含了微分方程的第二類邊界條件（自然邊界條件），而在微分方程中卻不包含，需作專門考慮。（2）泛函被積函數中包括的最高階導數的階次低于微分方程中最高階導數的階次。因此，通過泛函進行求解更加方便。52h四、其他形式泛函的歐拉方程53h1、具有高階導數泛函的Euler方程泛函：Euler方程：這是關于y(x)的2n階微分方程，一般稱為泛函（1）的Euler-Poisson方程。其解的2n個待定常數由2n個端點條件決定：(1)54h例：假設有一不計自重的懸臂梁,長為L，截面面積A，彈性模量E。受分布荷載q(x)，并在自由端處受集中力P和集中力偶M作用,處于平衡狀態(tài)。求梁內各點隨x變化的位移v(x)。解：應變能55h所以外力功總位能（1）用Euler方程求解將被積函數代入Euler方程56h得到：此即撓曲線方程。此方程的解有四個待定常數需要確定。x=0時，v=0,v′=0力的邊界條件：梁自由端處的條件。（2）直接用泛函變分求解位移邊界條件：57h對第二項進行分部積分：代入δΠ式：58h由位移邊界條件，即有于是59h要使總位能取駐值，須使δΠ=0成立，則必須要有：60h2、含有多個待定函數的泛函泛函：Euler方程：61h3、含有多個自變量函數的泛函1）、二變量問題泛函：Euler方程：其中62h例：泛函由Euler方程知：它的極值條件歸結為求解Laplace方程：例：泛函由Euler方程知：它的極值條件歸結為求解Poisson方程：63h2）、多變量問題泛函：Euler方程：其中64h1．3變分原理和里茲方法65h1．3．1變分原理的定義和意義

66h1.變分原理與變分法若一連續(xù)介質問題存在一標量泛函

：（1.3.1）則連續(xù)介質問題的解u一定使泛函對微小變分

u

取駐值，即，使泛函的“變分”等于零：（1.3.2）稱為變分原理。由變分原理求解連續(xù)介質問題的方法稱為變分法。67h說明：（1）要求存在某一標量泛函

連續(xù)介質力學問題；

熱傳導問題；

流場問題；

電磁場問題等。（2）是等效積分形式的一種特殊情形。

對式（1.3.1）求變分，有

68h（3）彈性力學中基本變分原理：

最小勢（位）能原理最小余能原理平衡微分方程+力的邊界條件

幾何方程+位移邊界條件

69h2.變分法的求解過程（1）選取未知函數

u的近似解；（1.3.3）注意：使

u滿足強制邊界條件。（2）將函數

u的近似解代入泛函

(u):~~（3）對泛函

(ai

)

求變分，并令等于零；~（1.3.4）70h（1.3.4）由于是任意的，故上式成立時，必有：將上式表示成矩陣形式，有：71h其中：得到與待定參數

a

的個數相等的方程組，由此可求得待定參數a

?！?/p>

里茲（Ritz）法（1.3.5）72h特殊情形：

（1.3.6）式（1.3.6）為一線性方程組。式中，K為一對稱的常系數矩陣。若泛函

(u)

中

u及對u的導數的最高方次為二次，則稱此泛函

(u)為二次泛函。對于二次泛函

(u)，有：~且此泛函

(u)，可表示為：~（1.3.12）73h1.函數的定義和泛函的定義74h若對于自變量x域中的每一個值，y有一值與之對應，或數y對應于數x關系成立。則稱變量y是變量x的函數，即：y=y(x)函數的定義泛函的定義若對于某一類函數{y(x)}中的每一函數y(x)，Π有一值與之對應，或數Π對應于函數y(x)的關系成立。則稱變量Π是函數y(x)的泛函，即：Π=Π(y(x))。75h76h3.函數的微分和泛函的變分函數的微分1:函數的增量

y=y(x+

x)-y(x)可以展開為線性項和非線性項y=A(x)

x+φ(x,

x)

x，其中A(x)和

x無關φ(x,

x)則和

x有關，而且

x→0時，φ(x,

x)→0，稱y(x)是可微的，其線性部分稱為函數的微分。即dy=A(x)

x=y’(x)

x。A(x)=y’(x)是函數的導數，而且77h函數的微分2:設ε為一小參數，并將y(x+ε

x)對ε求導數，即得：當ε趨近于零時證明y(x+ε

x)在ε=0處對ε的導數就等于y(x)在x處的微分。這個定義與拉格朗日處理變分的定義是相似的。78h泛函的變分1:與函數的微分類似，泛函變分的定義也有兩個。δΠ=Π[y(x)+δy(x)]-Π[y(x)]=L[y(x),δy(x)]上式中就叫做泛函的變分，用δΠ表示。L[y(y(x),δy(x)]泛函的變分是泛函增量的主部，而且這個主部對于δy(x)來說是線性的。79h泛函的變分2:泛函變分是Π[y(x)+εδy(x)]對ε的導數在ε=0時的值，即拉格朗日的泛函變分定義為：80h4.函數極大極小問題如果函數y(x)在x=x0的附近的任意點上的值都不大（不?。┯趛(x0)，即dy=y(x)-y(x0)≤0(≥0)時，在x=x0上達到極大(極小)，在x=x0上，有:81h泛函Π[y(x)]也有相類似的定義。泛函極大極小問題如果泛函Π[y(x)]在任何一條與y=y0(x)接近的曲線上的值不大（不小）于Π[y0(x)]，即：δΠ=Π[y(x)]

-Π[y0(x)]≤0(或≥0)時，則稱泛函Π[y(x)]]在曲線y=y0(x)上達到極大值(或極小值)，而且在y=y0(x)上有:82h說明：泛函的極大(或極小)值，主要是說泛函的相對的極大(或極小)值，也就是說，從互相接近的許多曲線來研究一個最大(或最小)的泛函值，但是曲線的接近，有不同的接近度。因此，在泛函的極大極小定義里，還應該說明這些曲線有幾階的接近度。83h84h強變分和強極大如果對于與y=y0(x)的接近度為零階的一切曲線而言，即對于

y=y0(x)

非常小，但對于

y’(x)-y’0(x)并不小y=y0(x)上達到極大(或極小)值，則就把這類變分叫強變分。這樣達到的極大(或極小)值叫做強極大(強極小)，或強變分的極大(或極小).85h弱變分和弱極大如果只對于與y=y0(x)有一階接近度的曲線y=y(x)而言，或者只對于那些不僅在縱坐標間而且切線方向間都接近的曲線而言，泛函在曲線y=y0(x)上達到極大(或極小)值，則就稱這種變分為弱變分。這樣到的極大值(或極小值)叫做弱極大(弱極小)，或弱變分的極大(或極小).86h5.變分法的基本預備定理如果函數

F(x)在線段(x1,x2)上連續(xù),且對于只滿足某些一般條件的任意選定的函數δ

y(x)，有:則在線段上(x1,x2)

，有:F(x)=0δy(x)的一般條件為：(1)一階或若干階可微分；(2)在線段(x1,x2)的端點處為0；(3)

δy(x)

或

δy(x)

及

δy’(x)

<ε等。87h從泛函變分極值問題上可以看到變分法的幾個主要步驟：（1）從物理問題上建立泛函及其條件；（2）通過泛函變分，利用變分法基本預備定理求得歐拉方程；（3）求解歐拉方程，這是微分方程求解問題。88h由于δai的任意性，所以而對于等效積分的“弱”形式89h

1．3．2線性、自伴隨微分方程變分原理的建立90h1.線性、自伴隨微分算子如果微分方程具有線性、自伴隨的性質，則：不僅可以建立它的等效積分形式，并可利用加權余量法求其近似解；還可建立與之相等效的變分原理，基于它的另一種近似求解方法——Ritz法。91h線性、自伴隨微分方程的定義：微分方程為微分算子若具有性質：則稱為線性微分算子。92h對上式分部積分，直至u的導數消失，若內積后，求積；得：93h2.泛函的構造設有微分方程：利用

Galerkin（伽遼金）格式整理成：就得到泛函

94h因為算子是線性、自伴隨的，所以：95h微分方程的等效積分形式：96h整理得到：97h結論：（1）對于線性、自伴隨微分方程，一般都存在一標量泛函

（u）,原微分方程的邊值問題等價于該泛函

（u）取駐值，即：（2）對于線性、自伴隨微分方程，其等效積分的Galerkin形式等價于該泛函

（u）的變分等于零，即：

（u）取駐值。98h變分原理：變分原理是針對以下積分形式定義的標量泛函而言，對于未知場函數任意一個微小的變化使取駐值的即為問題的控制方程及邊界條件的解。99h自然變分原理原問題微分方程和邊界條件的等效積分的Galerkin提法等效于泛函取駐值。反之泛函取駐值則等效于微分方程和邊界條件。這里泛函可以通過等效積分的Galerkin提法得到。這種變分原理稱為自然變分原理。例如，彈性力學中的最小位能原理、粘性流體中最小能力耗散原理，稱為自然變分原理。100h3.泛函

(u)的極值性強制邊界條件與自然邊界條件：若算子L為偶數（2m）階的，即對于2m階的微分方程：對（在域

內）

（在邊界

上）

含

0~m-1

階導數的邊界條件，稱為強制邊界條件。近似解應事先滿足。含

m~2m-1

階導數的邊界條件，稱為自然邊界條件101h等價于泛函

（u）取駐值：極大值：極小值：不定：——取決于泛函（u）的特性

（u）極值性：102h例：二維熱傳導問題：（2）研究其極值性。試：（1）建立它的泛函；——強制邊界條件——自然邊界條件103h（1）解：原問題的Galerkin等效積分（變分）形式可表示為：分步積分：104h同理，得：代入（1）：105h對照變分原理：得到：（1）106h對（1）式求二階變分：把寫成如下形式得到，在時，泛函

（

）取極小值。107h1．3．3里茲法（RitZ）方法——基于變分原理的近似解法108hRitz（里茲）法——基于變分原理的近似解法1.求解步驟：1）假設近似解：為待定參數，滿足強制邊界條件。2）將代入泛函的極值問題（求函數u），轉化為求多元函數的極值問題。109h3）求解線性代數方程組u的近似解110h邊界條件例：用Ritz法求解以下二階常微分方程（1）（2）解：（1）建立變分原理，求原問題的泛函

(u)

（3）（4）111