專題26 多邊形與平行四邊形【二十個(gè)題型】（舉一反三）（原卷版）

專題26多邊形與平行四邊形【二十個(gè)題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1計(jì)算多邊形對(duì)角線條數(shù)】 1【題型2對(duì)角線分三角形個(gè)數(shù)問題】 3【題型3多邊形內(nèi)角和問題】 3【題型4多邊形的外角問題】 4【題型5多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線、平行線的綜合運(yùn)用】 5【題型6利用平行四邊形的性質(zhì)求解】 6【題型7利用平行四邊形的性質(zhì)證明】 7【題型8構(gòu)成平行四邊形的條件】 9【題型9證明四邊形是平行四邊形】 10【題型10與平行四邊形有關(guān)的新定義問題】 11【題型11利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解】 13【題型12利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明】 14【題型13平行四邊形性質(zhì)與判定的實(shí)際應(yīng)用】 15【題型14與三角形中位線有關(guān)的計(jì)算】 17【題型15與三角形中位線有關(guān)的證明】 18【題型16與三角形中位線有關(guān)的規(guī)律探究】 20【題型17與三角形中位線有關(guān)的格點(diǎn)作圖】 21【題型18三角形中位線的實(shí)際應(yīng)用】 23【題型19連接兩點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線】 25【題型20已知中點(diǎn)，取另一條線段的中點(diǎn)構(gòu)造中位線】 26【知識(shí)點(diǎn)多邊形與平行四邊形】1.多邊形的相關(guān)概念定義1：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形。按照組成多邊形的線段的條數(shù)可以分為：三角形.四邊形.五邊形.六邊形.···。三角形是最簡單的圖形。如果一個(gè)多邊形由n條線段組成，那么這個(gè)多邊形叫做n邊形。定義2：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。定義3：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線。定義4：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。n邊形內(nèi)角和等于(n-2)×180°，對(duì)角線條數(shù)為。多邊形的外角和等于360°。2.平行四邊形的性質(zhì)與判定(1)定義兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形用符號(hào)“□ABCD”表示，如平行四邊形ABCD記作“□ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”。(2)平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等；平行四邊形的對(duì)角相等；平行四邊形的對(duì)角線互相平分。平行四邊形的判定兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。（4）兩條平行線的距離兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。平行線間的距離處處相等。（5）平行四邊形的面積S平行四邊形=底×高(6)中位線定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半?！绢}型1計(jì)算多邊形對(duì)角線條數(shù)】【例1】（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍，那么這個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)引對(duì)角線的條數(shù)是（）條．A．3 B．4 C．5 D．6【變式1-1】（2023·吉林長春·統(tǒng)考二模）如圖所示的五邊形木架不具有穩(wěn)定性，若要使該木架穩(wěn)定，則要釘上的細(xì)木條的數(shù)量至少為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-2】（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）通過畫出多邊形的對(duì)角線，可以把多邊形內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問題．如果從某個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線共有2條，那么該多邊形的內(nèi)角和是度．【變式1-3】（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預(yù)測(cè)）一個(gè)正多邊形的中心角是72°，則過它的一個(gè)頂點(diǎn)有條對(duì)角線．【題型2對(duì)角線分三角形個(gè)數(shù)問題】【例2】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1080°，從該多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引對(duì)角線，可以把這個(gè)多邊形分割成個(gè)三角形．【變式2-1】（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）過某多邊形一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線，將這個(gè)多邊形分成3個(gè)三角形，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是．【變式2-2】（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）從七邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的所有對(duì)角線，可以把這個(gè)七邊形分割成個(gè)三角形．【變式2-3】（2023·廣東深圳·校聯(lián)考一模）如圖，從多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作多邊形的對(duì)角線，試根據(jù)下面幾種多邊形的頂點(diǎn)數(shù)、線段數(shù)及三角形個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，推斷f,e,v三個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系是:多邊形：

頂點(diǎn)個(gè)數(shù)f1:

4

5

6

…線段條數(shù)e:

5

7

9

…三角形個(gè)數(shù)v1:

2

3

4

…【題型3多邊形內(nèi)角和問題】【例3】（2023·山東·中考真題）一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為720°，那么原多邊形的邊數(shù)為（

）A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7【變式3-1】（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為540°，則這個(gè)多邊形是邊形．【變式3-2】（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)多邊形過頂點(diǎn)剪去一個(gè)角后，所得多邊形的內(nèi)角和為720°，則原多邊形的邊數(shù)是．【變式3-3】（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）剪紙片：有一張長方形的紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片；從這2張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有3張紙片：從這3張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有4張紙片；……；如此下去，若最后得到10張紙片，其中有1張五邊形紙片，3張三角形紙片，5張四邊形紙片，則還有一張多邊形紙片的邊數(shù)為．【題型4多邊形的外角問題】【例4】（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）第29屆自貢國際恐龍燈會(huì)“輝煌新時(shí)代”主題燈組上有一幅不完整的正多邊形圖案，小華量得圖中一邊與對(duì)角線的夾角∠ACB=15°，算出這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（

）

A．9 B．10 C．11 D．12【變式4-1】（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖1是我國古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個(gè)正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個(gè)畫框之中．如圖2是八角形空窗的示意圖，它的一個(gè)外角∠1=（

）

A．45° B．60° C．110° D．135°【變式4-2】（2023·河北·統(tǒng)考二模）如圖，將幾個(gè)全等的正八邊形進(jìn)行拼接，相鄰的兩個(gè)正八邊形有一條公共邊，圍成一圈后中間形成一個(gè)正方形．設(shè)正方形的邊長為1，則該圖形外輪廓的周長為；若n個(gè)全等的正多邊形中間圍成的圖形是正三角形，且相鄰的兩個(gè)正多邊形有一條公共邊，設(shè)正三角形的邊長為1，則該圖形外輪廓的周長是．【變式4-3】（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）如圖，CG平分正五邊形ABCDE的外角∠DCF，并與∠EAB的平分線交于點(diǎn)O，則∠AOG的度數(shù)為（

）A．144° B．126° C．120° D．108°【題型5多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線、平行線的綜合運(yùn)用】【例5】（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一束太陽光平行照射在正n邊形A1A2A3……A

【變式5-1】（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分線與∠CDE的平分線交于點(diǎn)F【變式5-2】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB∥CD，AD平分∠BDC，CE∥AD，∠DCE=150°.(1)求∠BAD的度數(shù)：(2)若∠F=40°，求∠E的度數(shù).【變式5-3】（2023·浙江·三模）如圖，在△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B1折疊，剪掉重復(fù)部分……將余下部分沿∠B（1）若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（設(shè)∠B>∠C）之間的等量關(guān)系為．（2）若一個(gè)三角形的最小角是4°，且該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角．請(qǐng)寫出符合要求三角形的另兩個(gè)角的度數(shù)．（寫出一種即可）【題型6利用平行四邊形的性質(zhì)求解】【例6】（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，將?ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到?A'B'C'D'的位置，使點(diǎn)B'落在BC上，B'C'與CD交于點(diǎn)E若

【變式6-1】（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD(AB<AD)中，按如下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AB，AD于點(diǎn)M，N；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠BAD內(nèi)交于點(diǎn)P；③作射線AP交BC于點(diǎn)E．若∠B=120°，則∠EAD為

【變式6-2】（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=3+1,BC=2,AH⊥CD，垂足為H,AH=3．以點(diǎn)A為圓心，AH長為半徑畫弧，與AB,AC,AD分別交于點(diǎn)E,F,G．若用扇形AEF圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，記這個(gè)圓錐底面圓的半徑為r1；用扇形AHG圍成另一個(gè)圓錐的側(cè)面，記這個(gè)圓錐底面圓的半徑為r

【變式6-3】（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°<α<360°）得到AP，連接PC，PD．當(dāng)△PCD為直角三角形時(shí)，旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為

【題型7利用平行四邊形的性質(zhì)證明】【例7】（2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）在?ABCD中，∠ADB=90°，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G在AB上，點(diǎn)F在BD的延長線上，連接EF，DG．∠FED=∠ADG，

(1)如圖1，當(dāng)k=1時(shí)，請(qǐng)用等式表示線段AG與線段DF的數(shù)量關(guān)系______；(2)如圖2，當(dāng)k=3時(shí)，寫出線段AD，DE(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)時(shí)，連接BE，求tan∠EBF【變式7-1】（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC和AD上的點(diǎn)，連接AE，CF，且AE∥

(1)∠1=∠2；(2)△ABE≌【變式7-2】（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∠DCB的平分線交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)G，H分別是AE和CF的中點(diǎn)．

(1)求證：△ABE≌△CDF；(2)連接EF．若EF=AF，請(qǐng)判斷四邊形GEHF的形狀，并證明你的結(jié)論．【變式7-3】（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）?ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，連接DE，將ED繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到EF，連接BF．

(1)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上，∠ABC=45°時(shí)，如圖①，求證：(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC延長線上，∠ABC=45°時(shí)，如圖②：當(dāng)點(diǎn)E在線段CB延長線上，∠ABC=135°時(shí)，如圖③，請(qǐng)猜想并直接寫出線段AE，EC，(3)在（1）、（2）的條件下，若BE=3，DE=5，則CE=_______．【題型8構(gòu)成平行四邊形的條件】【例8】（2023·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（

）

A．AB∥CD，AB=CD B．AB=CD，AD=CBC．AB∥CD，AD=CB D．OA=OC，OB=OD【變式8-1】（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）請(qǐng)你只添加一個(gè)條件（不另加輔助線），使得四邊形AECF為平行四邊形，你添加的條件是________；（2）添加了條件后，證明四邊形AECF為平行四邊形．【變式8-2】（2023·河北保定·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）圖中每個(gè)四邊形上所做的標(biāo)記中，線段上的劃記數(shù)量相同的表示線段相等，角的標(biāo)記弧線數(shù)量相同的表示角相等，則下列一定為平行四邊形的有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式8-3】（2023·河南洛陽·校聯(lián)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．E、F是對(duì)角線AC上的兩個(gè)不同點(diǎn)，當(dāng)E、F兩點(diǎn)滿足下列條件時(shí)，四邊形DEBF不一定是平行四邊形（

）．A．AE＝CF B．DE＝BFC．∠ADE=∠CBF D．∠AED=∠CFB【題型9證明四邊形是平行四邊形】【例9】（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)H在線段CE上，連接BH，點(diǎn)G、F分別為

(1)求證：四邊形DEFG為平行四邊形(2)DG⊥BH，BD=3，【變式9-1】（2023·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，∠CAE是△ABC的一個(gè)外角，AB=AC，CF∥

(1)尺規(guī)作圖：作∠CAE的平分線，交CF于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)求證：四邊形ABCD是平行四邊形.【變式9-2】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E,F在對(duì)角線BD上，且BE=EF=FD，連接AE,EC，CF,FA．

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形．(2)若△ABE的面積等于2，求△CFO的面積．【變式9-3】（2023·上海·統(tǒng)考中考真題）如圖（1）所示，已知在△ABC中，AB=AC，O在邊AB上，點(diǎn)F為邊OB中點(diǎn)，為以O(shè)為圓心，BO為半徑的圓分別交CB，AC于點(diǎn)D，E，聯(lián)結(jié)EF交OD于點(diǎn)G．

(1)如果OG=DG，求證：四邊形CEGD為平行四邊形；(2)如圖（2）所示，聯(lián)結(jié)OE，如果∠BAC=90°,∠OFE=∠DOE,AO=4，求邊OB的長；(3)聯(lián)結(jié)BG，如果△OBG是以O(shè)B為腰的等腰三角形，且AO=OF，求OGOD【題型10與平行四邊形有關(guān)的新定義問題】【例10】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）百度百科這樣定義凹四邊形：把四邊形的某邊向兩方延長，其他各邊有不在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形．關(guān)于凹四邊形ABCD（如圖），以下結(jié)論：①∠BCD=∠A+∠B+∠D；②若AB=AD,BC=CD，則AC⊥BD；③若∠BCD=2∠A，則BC=CD；④存在凹四邊形ABCD，有AB=CD,AD=BC．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④【變式10-1】（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，由25個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的5×5的正方形點(diǎn)陣中，橫、縱方向相鄰的兩點(diǎn)之間的距離都是1個(gè)單位．定義：由點(diǎn)陣中的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形叫做陣點(diǎn)平行四邊形．圖中以A，B為頂點(diǎn)，面積為4的陣點(diǎn)平行四邊形的個(gè)數(shù)為（

）A．6個(gè) B．7個(gè) C．9個(gè) D．11個(gè)【變式10-2】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）定義：有兩個(gè)相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．

(1)如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，對(duì)角線BD平分∠ADC．求證：四邊形ABCD為鄰等四邊形．(2)如圖2，在6×5的方格紙中，A，B，C三點(diǎn)均在格點(diǎn)上，若四邊形ABCD是鄰等四邊形，請(qǐng)畫出所有符合條件的格點(diǎn)D．(3)如圖3，四邊形ABCD是鄰等四邊形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD為鄰等角，連接AC，過B作BE∥AC交DA的延長線于點(diǎn)E．若AC=8,DE=10，求四邊形EBCD的周長．【變式10-3】（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）【定義】對(duì)角線相等且所夾銳角為60°的四邊形叫“60°等角線四邊形”．如圖1，四邊形ABCD為“60°等角線四邊形”，即AC=BD，∠AOB=60°，【定義探究】(1)判斷下列四邊形是否為“60°等角線四邊形”，如果是在括號(hào)內(nèi)打“√”，如果不是打“×”．①對(duì)角線所夾銳角為60°的平行四邊形．

（

）②對(duì)角線所夾銳角為60°的矩形．

（

）③對(duì)角線所夾銳角為60°，且順次連接各邊中點(diǎn)所形成的四邊形是菱形的四邊形．

（

）【性質(zhì)探究】(2)如圖2，以AC為邊，向下構(gòu)造等邊△ACE，連接BE，請(qǐng)直接寫出AB+CD與AC的大小關(guān)系；(3)請(qǐng)判斷AD+BC與3AC【應(yīng)用提升】(4)若“60°等角線四邊形”的對(duì)角線長為2，則該四邊形周長的最小值為________．【題型11利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解】【例11】（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)B作BE∥AC，交DA的延長線于點(diǎn)B，連接OE，交AB于點(diǎn)F，則四邊形BCOF的面積與△AEF的面積的比值為．

【變式11-1】（2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，兩張寬為3的長方形紙條疊放在一起，已知∠ABC=60°，則陰影部分的面積是（

）

A．92 B．33 C．93【變式11-2】（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上（點(diǎn)C在點(diǎn)A，D之間），分別以AD，BC為邊向同側(cè)作等邊三角形ADE與等邊三角形CBF，邊長分別為a，b．CF與DE交于點(diǎn)H，延長

（1）若四邊形EHFG的周長與△CDH的周長相等，則a，b，（2）若四邊形EHFG的面積與△CDH的面積相等，則a，b，c之間的等量關(guān)系為．【變式11-3】（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線BD是⊙O的直徑．

(1)如圖1，連接OA,CA，若OA⊥BD，求證；CA平分∠BCD；(2)如圖2，E為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，滿足AE⊥BC,CE⊥AB，若BD=33，AE=3，求弦BC【題型12利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明】【例12】（2023·遼寧大連·統(tǒng)考二模）如圖1，△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在BC，AC，AB上，AB=AD，DE∥AB，BE，EF分別與AD相交于點(diǎn)G，H，

(1)求證：∠DEG=∠DHE；(2)求證：BG=EF；(3)如圖2，若H是AD中點(diǎn)，AB=kDE，求k的值．【變式12-1】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)D、E、F分別是三角形ABC的邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，DE∥BA，DF∥CA

(1)求證：∠FDE=∠A．(2)若BD:DC=1:4，直接寫出S△CDE【變式12-2】（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）【閱讀理解】如圖1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得AC2=a2【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形ABCD為平行四邊形，若AB=a,BC=b，則上述結(jié)論是否依然成立？請(qǐng)加以判斷，并說明理由．【拓展提升】如圖3，已知BO為△ABC的一條中線，AB=a,BC=b,AC=c．求證：BO【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，點(diǎn)P在邊AD上，則PB2+PC2的最小值為【變式12-3】（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，AD是△ABC的中線，過CD上一點(diǎn)F作EG∥AB，分別與AD的延長線和AC相交于點(diǎn)E，G，連接BE．(1)若DFCF=2(2)如圖2，在AD上取一點(diǎn)P，使得DP=DE，連接FP并延長交AB于點(diǎn)H．①求證：HF∥②連接GH．求證：GH=BE．【題型13平行四邊形性質(zhì)與判定的實(shí)際應(yīng)用】【例13】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）問題提出：（1）如圖①，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝3，AC=22，求BC問題解決：（2）如圖②，某幼兒園有一塊平行四邊形ABCD的空地，其中AB＝6米，BC＝10米，∠B＝60°，為了豐富孩子們的課業(yè)生活，將該平行四邊形空地改造成多功能區(qū)域，已知點(diǎn)E、G在邊BC上，點(diǎn)F在邊AD上，連接AE、EF、DG．現(xiàn)要求將其中的陰影三角形ABE區(qū)域設(shè)置成木工區(qū)，陰影四邊形EFDG區(qū)域設(shè)置成益智區(qū)，其余區(qū)域?yàn)榻巧螒騾^(qū)，若AB∥EF，∠1＋∠2＝【變式13-1】（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，從A地到B地要經(jīng)過一條小河（河的兩岸平行），現(xiàn)要在河上建一座橋（橋垂直于河的兩岸），應(yīng)如何選擇橋的位置，才能使從A地到B地的路程最短？

【變式13-2】（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）問題提出（1）如圖1，在?ABCD中，∠A=45°，AB=8，AD=6，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在DC上且DF=5求四邊形ABFE的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）問題解決（2）某市進(jìn)行河灘治理，優(yōu)化美化人居生態(tài)環(huán)境．如圖2所示，現(xiàn)規(guī)劃在河畔的一處灘地上建一個(gè)五邊形河畔公園ABCDE按設(shè)計(jì)要求，要在五邊形河畔公園ABCDE內(nèi)挖一個(gè)四邊形人工湖OPMN，使點(diǎn)O、P、M、N分別在邊BC、CD、AE、AB上，且滿足BO=2AN=2CP，AM=OC．已知五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AB=800m，BC=1200m，CD=600m，AE=900m．滿足人工湖周邊各功能場所及綠化用地需要，想讓人工湖面積盡可能?。?qǐng)問，是否存在符合設(shè)計(jì)要求的面積最小的四邊形人工湖OPMN？若存在，求四邊形OPMN面積的最小值及這時(shí)點(diǎn)【變式13-3】（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，如圖，在正方形紙板ABCD中，BD為對(duì)角線，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，AP⊥EF分別交BD，EF于O，P兩點(diǎn)，M，N分別為BO，DO的中點(diǎn)，連接MP，NF，沿圖中實(shí)線剪開即可得到一副七巧板，則在剪開之前，關(guān)于該圖形的下列說法：①圖中的三角形都是等腰直角三角形；②圖中的四邊形MPEB是菱形；③四邊形EFNB的面積占正方形ABCD面積的58．正確的有（

A．①③ B．①② C．只有① D．②③【題型14與三角形中位線有關(guān)的計(jì)算】【例14】（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABD=60°，AE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn)是OC的中點(diǎn)，連接EF，若EF=23，則矩形ABCD的周長是（

A．163 B．83+4 C．4【變式14-1】（2023·山東東營·統(tǒng)考一模）如圖1，在△ABC中，∠ABC=60°，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→D的路徑以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D．線段DP的長度y隨時(shí)間x變化的關(guān)系圖象如圖2所示，點(diǎn)N是曲線部分的最低點(diǎn)，則△ABC的面積為（

）A．4 B．43 C．8 D．【變式14-2】（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=4，D是線段AB上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，延長CB到點(diǎn)E，使得BE=12BC，連接DE．若P，Q分別是DE，AC的中點(diǎn)，則

A．4 B．352 C．13 D【變式14-3】（2023·浙江寧波·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AC=4，D，F(xiàn)分別是AB，BC邊的中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)EA．2 B．3 C．22 D．【題型15與三角形中位線有關(guān)的證明】【例15】（2023·福建泉州·南安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)AX，BY，CZ是△ABC的三條中線，求證：AX，BY，CZ三線共點(diǎn)．

【變式15-1】（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，延長DE至F，使EF=2DE，連結(jié)BE，CF

(1)求證：四邊形BCFE是平行四邊形．(2)已知BE=3，EG=DE，求【變式15-2】（2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）問題背景：如圖1，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，在△AEF中，∠AEF=90°，∠EAF=12∠BAC，連接BF，M是BF觀察發(fā)現(xiàn)：(1)為了探究線段EM和DM之間的數(shù)量關(guān)系，可先將圖形位置特殊化，將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使AE與AB重合，如圖2，易知EM和DM之間的數(shù)量關(guān)系為操作證明：(2)繼續(xù)將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使AE與AD重合時(shí)，如圖3，（1）中線段EM和問題解決：(3)根據(jù)上述探究的經(jīng)驗(yàn)，我們回到一般情況，如圖1，在其他條件不變的情況下，上述的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明你的理由．【變式15-3】（2023·安徽宿州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)P，交CA的延長線于點(diǎn)D，連接BD．

(1)求作⊙O的切線PQ，PQ交AC于點(diǎn)Q；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，求證：PQ=1【題型16與三角形中位線有關(guān)的規(guī)律探究】【例16】（2023·黑龍江·校聯(lián)考三模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=4，分別連接AB，AC，BC的中點(diǎn)，得到第1個(gè)等腰直角三角形A1B1C1；分別連接A1B，A1C1，BC1【變式16-1】（2023·重慶·統(tǒng)考中考模擬）如圖，在圖1中，A1、B1、C1分別是等邊ΔABC的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，在圖2中，A2，B2，C2分別是ΔA1B1C1A．n2 B．2n C．3n D．【變式16-2】（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，點(diǎn)D、點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是AC，AB，BC邊的中點(diǎn)，連接DE、EF，得到△AED，它的面積記作S；點(diǎn)D1、點(diǎn)E1、點(diǎn)F1分別是EF，EB，F(xiàn)B邊的中點(diǎn)，連接D1E1、E1【變式16-3】（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，BC=1，點(diǎn)P1，M1分別是AB，AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P2，M2分別是AP1，AM1的中點(diǎn)，點(diǎn)P3，M3分別是AP2，AM2的中點(diǎn)，按這樣的規(guī)律下去，PnMn的長為（n為正整數(shù)）．【題型17與三角形中位線有關(guān)的格點(diǎn)作圖】【例17】（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）圖①、圖②、圖③分別是6×6的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長均為1，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格點(diǎn)上，僅用無刻度的直尺在下列網(wǎng)格中按要求作圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中，畫線段AB的中點(diǎn)F．(2)在圖②中，畫△CDE的中位線GH，點(diǎn)G、H分別在線段CD、CE上，并直接寫出△CGH與四邊形DEHG的面積比．(3)在圖③中，畫△PQR，點(diǎn)R在格點(diǎn)上，且△PQR被線段MN分成的兩部分圖形的面積比為1：3．【變式17-1】（2023·吉林長春·統(tǒng)考二模）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長為1，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按要求畫出相應(yīng)圖形，保留作圖痕跡．

(1)在網(wǎng)格①中的AC邊上找點(diǎn)D，在BC邊上找點(diǎn)E，連接ED，使AB=2DE．(2)在網(wǎng)格②中的AC邊上找點(diǎn)D，連接BD，使∠CAB=∠CBD．(3)在網(wǎng)格③中的AC邊上找點(diǎn)E，連接BE，使△ABE的面積是△BCE面積的4倍．【變式17-2】（2023·吉林長春·校考模擬預(yù)測(cè)）圖①、圖②、圖③均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，僅用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按要求畫圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中的AC邊上找一點(diǎn)D，連結(jié)BD，使得△ABD的面積等于△ABC面積的12(2)在圖②中的△ABC的內(nèi)部找一點(diǎn)E，連結(jié)AE、BE，使得△ABE的面積等于△ABC面積的12(3)在圖③中的△ABC的內(nèi)部找一點(diǎn)F，連結(jié)AF、BF、CF，使得△ABF、△ACF和△BCF的面積相等．【變式17-3】（2023·湖北武漢·武漢市第一初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖是由小正方形組成的9×9網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．A、B、C三點(diǎn)是格點(diǎn)，F(xiàn)，T分別是BC，AC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，僅用無刻度直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖．

(1)在圖1中，取AB的中點(diǎn)D，AC的中點(diǎn)E，連接ED；再作平行四邊形BDEK；(2)在圖2中，在AB上畫出一點(diǎn)G，使S△ACG(3)在圖2中，在△ABT的邊AT上畫一點(diǎn)M，使得M是正方形MNHP的一個(gè)頂點(diǎn)，且正方形的頂點(diǎn)N在AB上，頂點(diǎn)H、P在BT上．（只需畫出點(diǎn)M）【題型18三角形中位線的實(shí)際應(yīng)用】【例18】（2023·河南省直轄縣級(jí)單位·校聯(lián)考一模）阿基米德說：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我就能撬動(dòng)地球．”（如圖1）這句話形容杠桿的作用之大：只要有合適的工具和一個(gè)合適的支點(diǎn)（或像地球一樣重的物體）輕松撬動(dòng)．小亮看到廣場上有一塊球形的大石頭，他想知道這塊球形石頭的半徑為多少，他找來一塊棱長為20cm的正方體和長度為200cm的木棒，模仿阿基米德撬動(dòng)地球的方法，如圖2，木棒和石頭相切于點(diǎn)N，正方體橫截面上的點(diǎn)E，點(diǎn)M，A，E，

(1)求證：∠MON=∠BCD；(2)若木棒與水平面的夾角∠BAF=45°，切點(diǎn)N恰好為AC的中點(diǎn)，則石頭的半徑為多少？（結(jié)果保留根號(hào)）【變式18-1】（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，要測(cè)量被池塘隔開的A，B兩點(diǎn)間的距離，可以在池塘外選一點(diǎn)C，連接AC，BC，分別取AC，BC的中點(diǎn)D，E，測(cè)得DE=40m，則AB的長是m

【變式18-2】（2023·山東青島·校考一模）如圖一只羊在山坡BD中點(diǎn)E處吃草，