第9章 中心對稱圖形-平行四邊形（教師版）

2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)八年級下冊章節(jié)培優(yōu)復(fù)習(xí)知識講練第9章中心對稱圖形—平行四邊形（思維導(dǎo)圖+知識梳理+九大重點(diǎn)考向舉一反三講練）1.掌握旋轉(zhuǎn)的概念，探索它的基本性質(zhì)，理解對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角.2.理解中心對稱圖形的定義和性質(zhì).3.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念,了解它們之間的關(guān)系.4.探索并掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的有關(guān)性質(zhì)和常用判別方法,并能運(yùn)用這些知識進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算.5.掌握三角形中位線定理.知識點(diǎn)01：確定事件與隨機(jī)事件【高頻考點(diǎn)精講】1.不可能事件在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生，這樣的事情是不可能事件．2.必然事件在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生，這樣的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是確定事件.3.隨機(jī)事件在一定條件下，很多事情我們事先無法確定它會(huì)不會(huì)發(fā)生，這樣的事情是隨機(jī)事件.【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】知識點(diǎn)01：旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)【高頻考點(diǎn)精講】將圖形繞一個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為圖形的旋轉(zhuǎn).一個(gè)圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，兩組對應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等.知識點(diǎn)02：中心對稱與中心對稱圖形【高頻考點(diǎn)精講】一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱這兩個(gè)圖形關(guān)于這點(diǎn)對稱，也稱這兩個(gè)圖形成中心對稱.這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心．成中心對稱的兩個(gè)圖形中，對應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分.把一個(gè)圖形繞某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對稱中心．知識點(diǎn)03：平行四邊形【高頻考點(diǎn)精講】1．定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.2．性質(zhì)：（1）對邊平行且相等；（2）對角相等；鄰角互補(bǔ)；（3）對角線互相平分；（4）中心對稱圖形.3．面積：4．判定：邊：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．角：（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；（5）兩組鄰角分別互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形．邊與角：（6）一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形；對角線：（7）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】平行線的性質(zhì)：（1）平行線間的距離都相等；（2）等底等高的平行四邊形面積相等.知識點(diǎn)04：矩形【高頻考點(diǎn)精講】1．定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.2．性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；（2）四個(gè)角都是直角；（3）對角線互相平分且相等；（4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3．面積：４．判定：（1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.（2）對角線相等的平行四邊形是矩形.（3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.知識要點(diǎn)：由矩形得直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）直角三角形中，30度角所對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半．知識點(diǎn)05：菱形【高頻考點(diǎn)精講】1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2．性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)；（2）四條邊相等；（3）兩條對角線互相平分且垂直，并且每一條對角線平分一組對角；（4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3．面積：4．判定：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊相等的四邊形是菱形.知識點(diǎn)06：正方形【高頻考點(diǎn)精講】1.定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.2．性質(zhì)：（1）對邊平行；（2）四個(gè)角都是直角；（3）四條邊都相等；（4）對角線互相垂直平分且相等，對角線平分對角；（5)兩條對角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；（6）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3．面積：邊長×邊長＝×對角線×對角線4．判定：（1）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；（3）對角線相等的菱形是正方形；（4）對角線互相垂直的矩形是正方形；（5）對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；（6）四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形.重點(diǎn)考向01：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)重點(diǎn)考向02：作圖-旋轉(zhuǎn)變換重點(diǎn)考向03：中心對稱重點(diǎn)考向04：中心對稱圖形重點(diǎn)考向05：平行四邊形的判定與性質(zhì)重點(diǎn)考向06：矩形的判定與性質(zhì)重點(diǎn)考向07：菱形的判定與性質(zhì)重點(diǎn)考向08：正方形的判定與性質(zhì)重點(diǎn)考向09：三角形中位線定理重點(diǎn)考向01：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)【典例精講】（2023秋?霸州市期末）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到△A'B'C，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'恰好落在AB邊上，若∠CAB＝65°，則旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)是（）A．65° B．60° C．50° D．45°【思路點(diǎn)撥】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知CA＝CA′，再利用等邊對等角即可解決問題．【規(guī)范解答】解：由旋轉(zhuǎn)可知，CA＝CA′，所以∠CAB＝∠CA′A．又因?yàn)椤螩AB＝65°，所以∠CA′A＝65°，所以∠ACA′＝180°﹣2×65°＝50°，即旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)是50°．故選：C．【考點(diǎn)評析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟知圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1-1】（2023秋?保定期末）（1）如圖1，△ABD，△AEC都是等邊三角形，線段BE和CD之間的數(shù)量關(guān)系為BE＝CD．（2）如圖2，AO⊥MN，垂足為O，AO＝6，B為直線MN上一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊向右作等邊△ABC，則線段OC的最小值為3．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)SAS證明△DAC≌△BAE，即可得出線段BE和CD之間的數(shù)量關(guān)系；（2）以AO為一邊在AO的左邊作等邊△AOE，作ED⊥MN于點(diǎn)D，連接BE，根據(jù)SAS證明△EAB≌△OAC即可得出，求出OE的最小值即可．【規(guī)范解答】解：（1）∵△ABD，△AEC都是等邊三角形，∴AD＝AB．AE＝AC．∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠DAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE＝CD．故答案為：BE＝CD；（2）以AO為一邊在AO的左邊作等邊△AOE，作ED⊥MN于點(diǎn)D，連接BE，∵△ABC，△AEO都是等邊三角形，∴AO＝EO＝6，AB＝AC，∠BAC＝∠OAE＝60°，∴∠EAB＝∠OAC．∴△EAB≌△OAC（SAS），∴BE＝OC，∴點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí)，線段OC取得最小值：∵∠AOB＝90°，∠AOE＝60°，∴∠EOD＝30°，∴DE＝EO＝3，∴線段OC的最小值為3．故答案為：3．【考點(diǎn)評析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，垂線段最短，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1-2】（2024?沙坪壩區(qū)校級開學(xué)）如圖，在△ABC中，∠CAB＝100°，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB'C'，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C′，點(diǎn)C′恰好在BC邊上，且∠C′AB＝3∠ABC′，則∠ABB'角度為64°．【思路點(diǎn)撥】設(shè)∠ABC＝x，則∠C'AB＝3x，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推出∴∠C＝∠AC'C＝4x，∠CAC'＝∠BAB'，AB＝AB'，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出x的值即可推出結(jié)果．【規(guī)范解答】解：設(shè)∠ABC＝x，則∠C'AB＝3x，∴∠AC'C＝4x，∵將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB'C'，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C′，點(diǎn)C′恰好在BC邊上，∴∠C＝∠AC'C＝4x，∠CAC'＝∠BAB'，AB＝AB'，∵∠CAB＝100°，∴x+4x+100＝180，∴x＝16，∴∠AC'C＝∠C＝64°，∴∠CAC'＝∠BAB'＝180°﹣64°×2＝52°，∴∠ABB'＝＝64°，故答案為：64°．【考點(diǎn)評析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟記旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1-3】（2023秋?湖北月考）如圖，在△ABC，BA＝BC，∠ABC＝50°，將△ABC點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)100°，得到△DBE，連接AD，CE交于點(diǎn)F．（1）求證：△ABD≌△CBE；（2）求∠AFC度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到AB＝BD＝BC＝BE和∠ABC＝∠DBE，即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得∠BAD＝∠ADB＝∠BCE＝∠BEC，結(jié)合四邊形內(nèi)角和求得∠AFE，即可求得答案．【規(guī)范解答】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)得，AB＝BD，BC＝BE，∵BA＝BC，∴AB＝BD＝BC＝BE，∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS）．（2）解：由旋轉(zhuǎn)得，AB＝BD＝BC＝BE，∠ABD＝∠CBE＝100°，則∠BAD＝∠ADB＝∠BCE＝∠BEC＝40°，∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝150°，∴∠AFE＝360°﹣∠ABE﹣∠BAD﹣∠BEC＝130°，∴∠AFC＝180﹣∠AFE＝50°．【考點(diǎn)評析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和，解題關(guān)鍵是熟悉旋轉(zhuǎn)性質(zhì)．重點(diǎn)考向02：作圖-旋轉(zhuǎn)變換【典例精講】（2024?柳州一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（﹣3，4），B（﹣5，1），C（﹣1，2）．（1）若△A1B1C1與△ABC關(guān)于x軸對稱，請寫出點(diǎn)A1、B1的坐標(biāo)．（2）畫出△ABC繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2，并寫出點(diǎn)C2的坐標(biāo)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖，即可得出答案；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖，即可得出答案．【規(guī)范解答】解：（1）如圖1，△A1B1C1即為所求．點(diǎn)A1、B1的坐標(biāo)分別為（﹣3，﹣4），（﹣5，﹣1）；（2）如圖2，△A2B2C2即為所求．點(diǎn)C2的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1）．【考點(diǎn)評析】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換、軸對稱，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2-1】（2023秋?寧江區(qū)期末）如圖，方格紙中的每個(gè)小方格是邊長為1個(gè)單位長度的正方形．（1）畫出將Rt△ABC向右平移5個(gè)單位長度后的Rt△A1B1C1；（2）再將Rt△A1B1C1繞點(diǎn)C1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的Rt△A2B2C1．【思路點(diǎn)撥】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和平移的性質(zhì)作出點(diǎn)A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)A1、B1、C1，從而得到Rt△A1B1C1；（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出點(diǎn)A1、B1的對應(yīng)點(diǎn)A2、B2，從而得到Rt△A2B2C1．【規(guī)范解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；（2）如圖，Rt△A2B2C1為所作．【考點(diǎn)評析】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了平移變換．【變式訓(xùn)練2-2】（2023春?定陶區(qū)期末）如圖，D是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，BC是斜邊，將△ABD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到△ACD’的位置，如果AD＝3，那么DD’的長是2．【思路點(diǎn)撥】證明△ADD′是等腰直角三角形即可解決問題．【規(guī)范解答】解：由旋轉(zhuǎn)可知：△ABD≌△ACD′，∴∠BAD＝∠CAD′，AD＝AD′＝3，∴∠BAC＝∠DAD′＝90°，∴DD′＝＝3，故答案為：3．【考點(diǎn)評析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．【變式訓(xùn)練2-3】（2021春?安國市期末）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對稱，再作△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點(diǎn)B2成中心對稱，如此作下去，完成下列問題：（1）△B4A5B5的頂點(diǎn)A5的坐標(biāo)是（9，）；（2）△B2nA2n+1B2n+1（n是正整數(shù)）的頂點(diǎn)A2n+1的坐標(biāo)是（4n+1，）．【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，可得A1的坐標(biāo)為（1，），B1的坐標(biāo)為（2，0）；然后根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，分別求出點(diǎn)A2、A3、A4、A5坐標(biāo)各是多少；最后總結(jié)出An的坐標(biāo)的規(guī)律，求出A2n+1的坐標(biāo)是多少即可．【規(guī)范解答】解：∵△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，∴A1的坐標(biāo)為（1，），B1的坐標(biāo)為（2，0），∵△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對稱，∴點(diǎn)A2與點(diǎn)A1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對稱，∵2×2﹣1＝3，2×0﹣＝﹣，∴點(diǎn)A2的坐標(biāo)是（3，﹣），∵△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點(diǎn)B2成中心對稱，∴點(diǎn)A3與點(diǎn)A2關(guān)于點(diǎn)B2成中心對稱，∵2×3﹣1＝5，2×0﹣（﹣）＝，∴點(diǎn)A3的坐標(biāo)是（5，），∵△B3A4B4與△B3A3B2關(guān)于點(diǎn)B3成中心對稱，∴點(diǎn)A4與點(diǎn)A3關(guān)于點(diǎn)B3成中心對稱，∵2×4﹣1＝7，2×0﹣＝﹣，∴點(diǎn)A4的坐標(biāo)是（7，﹣），A5（9，），…，∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，∴An的橫坐標(biāo)是2n﹣1，A2n+1的橫坐標(biāo)是2（2n+1）﹣1＝4n+1，∵當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，An的縱坐標(biāo)是，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，An的縱坐標(biāo)是﹣，∴頂點(diǎn)A2n+1的縱坐標(biāo)是，∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整數(shù)）的頂點(diǎn)A2n+1的坐標(biāo)是（4n+1，）．故答案為：（9，），（4n+1，）．【考點(diǎn)評析】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)問題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是分別判斷出An的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)各是多少重點(diǎn)考向03：中心對稱【典例精講】（2023春?市南區(qū)校級期中）如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于O成中心對稱，下列不成立的是（）A．OC＝OC′ B．∠ABC＝∠A′B′C′ C．CC′＝BB′ D．BC∥B′C′【思路點(diǎn)撥】根據(jù)成中心對稱的兩個(gè)圖象之間的關(guān)系即可解決問題．【規(guī)范解答】解：因?yàn)椤鰽BC與△A′B′C′關(guān)于O成中心對稱，所以△A′B′C′可由△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到，所以∠ABC＝∠A′B′C′．故B選項(xiàng)中的結(jié)論成立．根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，所以O(shè)C＝OC′，OB＝OB′．故A選項(xiàng)中的結(jié)論成立．在△OBC和△OB′C′中，，所以△OBC≌△OB′C′（SAS），所以∠OBC＝∠OB′C′，所以BC∥B′C′．故D選項(xiàng)中的結(jié)論成立．故選：C．【考點(diǎn)評析】本題考查中心對稱，熟知成中心對稱的兩個(gè)圖形之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3-1】（2023秋?長嶺縣期中）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C（0，﹣1）旋轉(zhuǎn)180°得到△A′B′C，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，﹣3），則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（4，1）．【思路點(diǎn)撥】分別過A，A′向y軸引垂線，可得△A′EC≌△ADC，利用全等得到A到x軸，y軸的距離，進(jìn)而根據(jù)所在象限可得相應(yīng)坐標(biāo)．【規(guī)范解答】解：作A′E⊥y軸于點(diǎn)E，AD⊥y軸于點(diǎn)D，則∠A′EC＝∠ADC，∵∠A′CE＝∠ACD，AC＝A′C，∴△A′EC≌△ADC（AAS），∴AD＝A′E＝4，CE＝CD，∵OD＝3，OC＝1，∴CD＝2，∴CE＝2，∴OE＝1，∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（4，1）．故答案為：（4，1）．【考點(diǎn)評析】考查坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換問題；利用全等得到對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是解決本題的突破點(diǎn)．【變式訓(xùn)練3-2】（2023春?豐縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、F在BC邊上（均不與端點(diǎn)重合），DG∥EF．將△BDG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°，將△CEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°，拼成四邊形MGFN，則四邊形MGFN周長的最小值是19.6．【思路點(diǎn)撥】連接DE，作AH⊥BC于H，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)等積法求出，根據(jù)中位線定理求出CE∥BC，，證明四邊形DGEF是平行四邊形，得出GF＝DE＝5，證明四邊形MNFG是平行四邊形，得出MN＝GF＝5，MG＝NF，根據(jù)垂線段最短，得出MG＝NF＝AH時(shí)，四邊形MNFG的周長最小，求出最小值即可．【規(guī)范解答】解：如圖，連接DE，作AH⊥BC于H，如圖所示：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，∴，∵，∴，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，，∵DG∥EF，∴四邊形DGFE是平行四邊形，∴GF＝DE＝5，根據(jù)題意：MN∥BC，GM∥FN，∴四邊形MNFG是平行四邊形，∴MN＝GF＝5，MG＝NF，∵垂線段最短，∴當(dāng)MG＝NF＝AH時(shí)，四邊形MNFG的周長最小，且最小值為：2×（5+4.8）＝19.6，故答案為：19.6．【考點(diǎn)評析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積的計(jì)算，平行四邊形的判定和性質(zhì)，中位線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，找出當(dāng)MG＝NF＝AH時(shí)，四邊形MNFG的周長最?。咀兪接?xùn)練3-3】（2023春?雁塔區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，4），（4，2），C（3，5）．（1）請畫出△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，并寫出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)．（2）求△A1B1C1的面積？【思路點(diǎn)撥】（1）作出△ABC各點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，再順次連接即可；（2）利用面積差即可求得答案．【規(guī)范解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求．A1（﹣1，﹣4），B1（﹣4，﹣2），C1（﹣3，﹣5）；（2）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)可得S＝3×3﹣＝9﹣﹣1﹣3＝．【考點(diǎn)評析】本題考查的是作圖﹣中心對稱，根據(jù)題意作出各點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．重點(diǎn)考向04：中心對稱圖形【典例精講】（2023春?新田縣期末）習(xí)近平主席在2022年新年賀詞中提到“人不負(fù)青山，青山定不負(fù)人”，一語道出“人與自然和諧共生”的至簡大道，下列有關(guān)環(huán)保的四個(gè)圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對稱中心，進(jìn)行逐一判斷即可．【規(guī)范解答】解：A、既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故A選項(xiàng)不合題意；B、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故B選項(xiàng)符合題意；C、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故C選項(xiàng)不合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故D選項(xiàng)不合題意．故選：B．【考點(diǎn)評析】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義．【變式訓(xùn)練4-1】（2022秋?萊州市期末）如圖，在2×2的正方形格紙中，有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC，請你找出格紙中所有與△ABC成中心對稱且也以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有2個(gè)；（不包括△ABC本身）【思路點(diǎn)撥】認(rèn)真讀題，觀察圖形，根據(jù)圖形特點(diǎn)先確定對稱中心，再根據(jù)對稱中心找出相應(yīng)的三角形．【規(guī)范解答】解：如圖：與△ABC成中心對稱的三角形有：①△ACG關(guān)于中心點(diǎn)I對稱；②△DFG關(guān)于中心點(diǎn)O對稱．共2個(gè)．故答案為：2．【考點(diǎn)評析】此題考查中心對稱的基本性質(zhì)，結(jié)合了圖形的常見的變化，根據(jù)直角三角形的特點(diǎn)從圖中找到有關(guān)的直角三角形再判斷是否為中心對稱圖形．【變式訓(xùn)練4-2】（2021春?汝陽縣期末）圖1和圖2中所有的小正方形都全等，將圖1的正方形放在圖2中①②③④的某一位置，使它與原來7個(gè)小正方形組成的圖形是中心對稱圖形，這個(gè)位置是③．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心，進(jìn)而得出答案．【規(guī)范解答】解：當(dāng)正方形放在③的位置，即是中心對稱圖形．故答案為：③．【考點(diǎn)評析】此題主要考查了中心對稱圖形的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4-3】（2023春?遵化市期中）如圖，我們給中國象棋棋盤建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系（每個(gè)小正方形的邊長均為1），根據(jù)象棋中“馬”走“日”的規(guī)定，若“馬”的位置在圖中的點(diǎn)P．（1）寫出下一步“馬”可能到達(dá)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0），（0，2），（1，3），（3，3），（4，2），（4，0）（寫出所有可能的點(diǎn)的坐標(biāo)）；（2）順次連接（1）中的所有點(diǎn)，得到的圖形是軸對稱圖形（填“中心對稱”、“旋轉(zhuǎn)對稱”或“軸對稱”）；（3）將（2）中得到的圖形的各頂點(diǎn)的坐標(biāo)都乘以1.5，請?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出變化后的圖形，并與原圖形比較，形狀和大小有怎樣的變化？【思路點(diǎn)撥】（1）馬走日，就是說在平面直角坐標(biāo)系中要走到與P相鄰正方形的對角位置，（2）連線可以看出是軸對稱圖形；（3）畫出圖形解答即可．【規(guī)范解答】解：（1）下一步“馬”可能到達(dá)的點(diǎn)的坐標(biāo)：（0，0），（0，2），（1，3），（3，3），（4，2），（4，0）；（2）連線可以看出得的圖形為軸對稱；（3）將（2）中得到的圖形的各頂點(diǎn)的坐標(biāo)都乘以1.5，如圖所示，與原圖形比較，形狀不變，圖形變大了．故答案為：（1）（0，0），（0，2），（1，3），（3，3），（4，2），（4，0）；（2）軸對稱．【考點(diǎn)評析】本題主要考查軸對稱的性質(zhì)和坐標(biāo)確定位置等知識點(diǎn)，不是很難，做題要細(xì)心．重點(diǎn)考向05：平行四邊形的判定與性質(zhì)【典例精講】（2023?新華區(qū)校級二模）如圖?ABCD中，要在對角線BD上找兩點(diǎn)E，F(xiàn)，使四邊形AECF為平行四邊形，現(xiàn)有甲、乙、丙三種方案，甲：只需要滿足BF＝DE乙：只需要滿足AE＝CF丙：只需要滿足AE∥CF則正確的方案是（）A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、丙才是 C．只有甲、乙才是 D．只有乙、丙才是【思路點(diǎn)撥】只要證明△ABE≌△CDF，即可解決問題．【規(guī)范解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，甲：∵BF＝DE，∴BF﹣EF＝DE﹣EF，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∴四邊形AECF為平行四邊形，故甲正確；乙：由AE＝CF，不能證明△ABE≌△CDF，不能使四邊形AECF為平行四邊形，故乙不正確；丙：∵AE∥CF，∴∠AEF＝∠CF，∴∠AEB＝∠CFDE，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，∴四邊形AECF為平行四邊形，故丙正確；故選：B．【考點(diǎn)評析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5-1】（2023春?寬甸縣期末）如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC，斜邊AB為邊向外作等邊△ACD和△ABE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，則以下4個(gè)結(jié)論：①AC⊥DF；②四邊形BCDF為平行四邊形；③DA+DF＝BE；④S△ACD：S四邊形BCDE＝1：7，其中正確的是①②④．【思路點(diǎn)撥】由平行四邊形的判定定理判斷②正確，再由平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)判斷①正確，然后由三角形三邊關(guān)系判斷③錯(cuò)誤，最后由等邊三角形的性質(zhì)分別求出△ACD、△ACB、△ABE的面積，即可判斷④正確，即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝60°，AC＝AB，∵△ACD是等邊三角形，∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠BAC，∴CD∥AB，∵F為AB的中點(diǎn)，∴BF＝AB，∴BF∥AB，CD＝BF，∴四邊形BCDF為平行四邊形，故②正確；∵四邊形BCDF為平行四邊形，∴DF∥BC，又∵∠ACB＝90°，∴AC⊥DF，故①正確；∵DA＝CA，DF＝BC，AB＝BE，BC+AC＞AB，∴DA+DF＞BE，故③錯(cuò)誤；設(shè)AC＝x，則CD＝AC＝x，AB＝2x，如圖，過A作AG⊥CD于G，則CG＝DG＝CD＝x，∴AG＝＝＝x，∴S△ACD＝CD?AG＝xx＝x2，同理S△ABE＝x2，∵BC＝＝＝x，∴S△ACB＝AC?BC＝x?x＝x2，∴＝＝，故④正確；故答案為：①②④．【考點(diǎn)評析】本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，證明四邊形BCDF為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5-2】（2023秋?廣饒縣期末）如圖，?ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在OB和OD上．（1）當(dāng)BE，DF滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是平行四邊形？請說明理由；（2）當(dāng)∠AEB與∠CFD滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是平行四邊形？請說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：（1）當(dāng)BE＝DF時(shí)，四邊形AECF是平行四邊形，理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，同理，AF＝CE，∴四邊形AECF是平行四邊形；（2）當(dāng)∠AEB＝∠CFD時(shí)，四邊形AECF是平行四邊形，理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵∠AEB＝∠CFD，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∵∠AEB＝∠CFD，∴∠AEO＝∠CFO，∴AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．【考點(diǎn)評析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．重點(diǎn)考向06：矩形的判定與性質(zhì)【典例精講】（2024?市南區(qū)校級開學(xué)）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，若AC＝8，BD＝6，則EF的最小值為（）A．3 B．2 C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)菱形的性質(zhì)，可證四邊形OEPF是矩形，如圖所示，連接OP，則EF＝OP，當(dāng)OP⊥AB時(shí)，OP的值最小，即EF的值最小，再根據(jù)等面積法求高即可求解．【規(guī)范解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×8＝4，OB＝OD＝BD＝×6＝3，在Rt△AOB中，AB＝＝＝5，如圖所示，連接OP，∵PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，∴四邊形OEPF是矩形，∴EF＝OP，當(dāng)OP⊥AB時(shí)，OP的值最小，即EF的值最小，∵S△AOB＝OA?OB＝AB?OP，∴OP＝＝＝，∴EF的最小值為，故選：C．【考點(diǎn)評析】本題主要考查菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理及垂線段最短，掌握菱形，矩形的性質(zhì)，等面積法求三角形的高的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練6-1】（2023春?隨縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，點(diǎn)G為四邊形DEAF對角線交點(diǎn)，則線段GF的最小值為．【思路點(diǎn)撥】由勾股定理求出BC的長，再證明四邊形DEAF是矩形，可得EF＝AD，根據(jù)垂線段最短和三角形面積即可解決問題．【規(guī)范解答】解：連接AD、EF，∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，∴BC＝＝15，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°，∴四邊形DEAF是矩形，∴EF＝AD，∴當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD的值最小，此時(shí)，△ABC的面積＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝＝，∴EF的最小值為，∵點(diǎn)G為四邊形DEAF對角線交點(diǎn)，∴GF＝EF＝；故答案為：．【考點(diǎn)評析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形面積、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．【變式訓(xùn)練6-2】2023?澤州縣一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，且AE＝CF，連接BE，ED，DF，F(xiàn)B．若添加一個(gè)條件使四邊形BEDF是矩形，則該條件可以是OE＝BD．（填寫一個(gè)即可）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)定理以及矩形的判定定理即可得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：OE＝BD，理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵AE＝CF，∴AO﹣AE＝CO﹣CE．即EO＝FO．∴四邊形BEDF為平行四邊形，∴OE＝OF，OB＝OD，∵OE＝BD，∴BD＝EF，∴四邊形BEDF是矩形．故答案為：OE＝BD．【考點(diǎn)評析】此題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練6-3】（2023春?朝天區(qū)期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，延長CB到點(diǎn)E，使得BE＝BC．連接AE．過點(diǎn)B作BF∥AC，交AE于點(diǎn)F，連接OF．（1）求證：四邊形AFBO是矩形；（2）若∠E＝30°，BF＝1，求OF的長．【思路點(diǎn)撥】（1）證四邊形ADBE是平行四邊形，再證AE⊥AC，則∠OAF＝90°，然后由矩形的判定即可得出結(jié)論；（2）由矩形的性質(zhì)得∠AFB＝90°，OF＝AB，所以∠BFE＝90°．又由∠E＝30°，BF＝1，由直角三角形性質(zhì)得BE＝2BF＝2．在Rt△AEC中，BE＝BC，由直角三角形性質(zhì)得AB＝BE＝2，即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AC⊥BD，AD＝BC，∵BE＝BC，∴AD＝BE，∴四邊形AEBD是平行四邊形，∴AE∥BD．∵BF∥AC，∴四邊形AFBO是平行四邊形．∵AC⊥BD，AE∥BD∴AE⊥AC，∴∠OAF＝90°，∴平行四邊形AFBO是矩形．（2）解：由（1）知四邊形AFBO是矩形，∴∠AFB＝90°，OF＝AB，∴∠BFE＝90°．又∵∠E＝30°，BF＝1，∴BE＝2BF＝2．在Rt△AEC中，BE＝BC，∴AB＝BE＝2，∴OF＝2．【考點(diǎn)評析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．重點(diǎn)考向07：菱形的判定與性質(zhì)【典例精講】（2023秋?嶗山區(qū)期中）如圖1，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，要在對角線AC上找兩點(diǎn)E，F(xiàn)，使得四邊形BFDE是菱形，現(xiàn)有如圖2所示的甲、乙兩種方案，則正確的方案是（）A．只有甲對 B．只有乙對 C．甲、乙都對 D．甲、乙都不對【思路點(diǎn)撥】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，然后根據(jù)給出的方案進(jìn)行判定即可．【規(guī)范解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∵OB＝OD，EF⊥BD，∴四邊形BFDE是菱形，故方案甲正確；∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，∠BDA＝∠BDC，∵DE，BF是∠ADO和∠CBO的平分線，∴∠EDO＝∠FDO，∵∠DOE＝∠DOF＝90°，在△DOE和△DOF中，，∴△DOE≌△DOF（ASA），∴OE＝OF，∵OB＝OD，∴四邊形BFDE是平行四邊形，∵BD⊥EF，∴四邊形BFDE是菱形．故方案乙正確．故選：C．【考點(diǎn)評析】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定方法，菱形的判定：①四條邊都相等的四邊形是菱形菱形．②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形菱形．③一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．【變式訓(xùn)練7-1】（2023春?黃梅縣月考）如圖，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC、BD交于點(diǎn)O，E為CD延長線上的一點(diǎn)，且CD＝DE，連接BE分別交AC，AD于點(diǎn)F、G，連接OG、AE．則下列結(jié)論：①；②四邊形ABDE是菱形；③S四邊形ODGF＝S△ABF．其中正確的有①②③．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB＝AD＝CD，AB∥CD，進(jìn)而證明△ABD是等邊三角形，得到BD＝AB，再證明四邊形ABDE是平行四邊形，進(jìn)而證明平行四邊形ABDE是菱形即可判斷②；進(jìn)一步證明OG是△ABD的中位線，得到，即可判斷①；根據(jù)OB＝OD，得到S△ABO＝S△ADO，同理可得S△ABG＝S△BDG，則S△ABF+S△BOF+S△ABF+S△AFG＝S四邊形ODGF+S△AFG+S四邊形ODGF+S△BOF，由此即可判斷③．【規(guī)范解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD，AB∥CD，OA＝OC，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD＝AB，∵CD＝DE，∴AB＝DE＝BD，又∵AB∥DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴平行四邊形ABDE是菱形，故②正確；∴AG＝DG，∴OG是△ABD的中位線，∴，故①正確；∵OB＝OD，∴S△ABO＝S△ADO，同理可得S△ABG＝S△BDG，∴S△ABF+S△BOF+S△ABF+S△AFG＝S四邊形ODGF+S△AFG+S四邊形ODGF+S△BOF，∴S四邊形ODGF＝S△ABF，故③正確；故答案為：①②③．【考點(diǎn)評析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練7-2】（2023春?秦淮區(qū)期中）鄰邊長分別為1，a（a＞1）的平行四邊形紙片，如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長等于1的菱形（稱為第一次操作）；再把剩下的平行四邊形如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長等于此時(shí)平行四邊形一邊長的菱形（稱為第二次操作）；再把剩下的平行四邊形如此反復(fù)操作下去．若在第三次操作后，剩下的平行四邊形為菱形，則a的值或4或或．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，進(jìn)行分類討論，再根據(jù)菱形的性質(zhì)，列出方程求解即可．【規(guī)范解答】解：①如圖，經(jīng)歷三次折疊后，四邊形IJHF為菱形，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝1，∴DF＝CE＝a﹣1，∵四邊形GCEH為菱形，∴GC＝CE＝a﹣1，∴DG＝FH＝1﹣（a﹣1）＝2﹣a，∵四邊形DGJI為菱形，∴DI＝DG＝2﹣a，∴IF＝a﹣1﹣（2﹣a）＝2a﹣3，∵四邊形IJHF為菱形，∴IF＝HF，即2﹣a＝2a﹣3，解得：；②如圖，經(jīng)歷三次折疊后，四邊形DIHF為菱形，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝1，∴DF＝CE＝a﹣1，∵四邊形JCEG，IJGH，DIHF都為菱形，∴，∴，解得：；③如圖，經(jīng)歷三次折疊后，四邊形FIJH為菱形，∵四邊形ABCD，DCEF為菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝CE＝DF＝EF＝1，∴FH＝a﹣2，∵四邊形FIJH，IEGJ都為菱形，∴，∴，解得：；④如圖，經(jīng)歷三次折疊后，四邊形HGIJ為菱形，∵四邊形ABCD，DCEF，F(xiàn)EGH，HGIJ都為菱形，∴AB＝AD＝DF＝FH＝1，∴HJ＝a﹣3，∴HJ＝IJ，∴a﹣3＝1，解得：a＝4；綜上：a的值為或4或或．【考點(diǎn)評析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的四條邊都相等．重點(diǎn)考向08：正方形的判定與性質(zhì)【典例精講】（2023春?仙桃月考）如圖，已知四邊形ABCD為正方形，，E為對角線AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長線于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．下列結(jié)論：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分∠DCF；④CE＝CF．其中正確的是①③（填序號）．【思路點(diǎn)撥】過E作EM⊥BC，過E作EN⊥CD于N，如圖所示，根據(jù)正方形性質(zhì)得∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，推出四邊形EMCN是正方形，由矩形性質(zhì)得EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得ED＝EF，推出矩形DEFG是正方形，故①正確；根據(jù)正方形性質(zhì)得AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°推出△ADE≌△CDG，得到AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，由此推出CG平分∠DCF，故③正確；進(jìn)而求得，故②錯(cuò)誤；當(dāng)DE⊥AC時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，得到CE不一定等于CF，故④錯(cuò)誤．【規(guī)范解答】解：過E作EM⊥BC，過E作EN⊥CD于N，如圖所示，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四邊形EMCN是正方形，∴EM＝EN，∵四邊形DEFG是矩形，∴∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG是正方形，故①正確；∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∵∠DCF＝90°，∴CG平分∠DCF，故③正確；∴，故②錯(cuò)誤；當(dāng)DE⊥AC時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，∴CE不一定等于CF，故④錯(cuò)誤．故答案為：①③．【考點(diǎn)評析】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練8-1】（2023春?汕頭校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是邊AB上一點(diǎn)，且∠DCE＝45°，則DE的長度是（）A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4【思路點(diǎn)撥】過C作CG⊥AD，交AD延長線于G，延長DG至F，使GF＝BE，先證四邊形ABCG是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形），再設(shè)DE＝x，在Rt△AED中利用勾股定理可求出ED的長．【規(guī)范解答】解：如圖，過C作CG⊥AD于G，并延長DG至F，使GF＝BE，∵∠A＝∠B＝∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四邊形ABCG為正方形，∴AG＝BC＝4，∠BCG＝90°，BC＝CG，∵AD＝3，∴DG＝4﹣3＝1，∵BC＝CG，∠B＝∠CGF，BE＝FG，∴△EBC≌△FGC（SAS），∴CE＝CF，∠ECB＝∠FCG，∵∠DCE＝45°，∴∠BCE+∠DCG＝∠DCG+∠FCG＝45°，∴∠DCE＝∠DCF，∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，∴△ECD≌△FCD（SAS），∴ED＝DF，設(shè)ED＝x，則EB＝FG＝x﹣1，∴AE＝4﹣（x﹣1）＝5﹣x，Rt△AED中，AE2+AD2＝DE2，∴（5﹣x）2+32＝x2，解得：x＝3.4，∴DE＝3.4．故選：B．【考點(diǎn)評析】本題考查的是正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練8-2】（2023春?鄖陽區(qū)期末）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，則下列判斷：①四邊形AEDF一定是平行四邊形；②若AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是正方形；③若AD⊥BC，則四邊形AEDF是菱形；④若∠BAC＝90°，則四邊形AEDF是矩形．正確的是①③④.（填序號）【思路點(diǎn)撥】①由三角形的中位線定理可以判定結(jié)論正確；②利用AD平分∠A可以判定四邊形AEDF是菱形而非正方形，可得②的結(jié)論錯(cuò)誤；③利用斜邊上的中線等于斜邊的一半可得出DE＝DF，從而得出四邊形AEDF是菱形；④∠A＝90°，則根據(jù)①的結(jié)論可得四邊形AEDF是矩形．【規(guī)范解答】解：①∵D是BC的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，∴DE∥AC．∵D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，∴DF∥AB．∴四邊形AEDF是平行四邊形．∴①正確；②如圖，由①知：AE∥DF，∴∠EAD＝∠ADF．若AD平分∠BAC，則∠EAD＝∠FAD．∴∠FAD＝∠ADF，∴AF＝FD，∵四邊形AEDF是平行四邊形，∴四邊形AEDF是菱形．∴②不正確；③如圖，若AD⊥BC，∵D是BC的中點(diǎn)，∴AD是BC的垂直平分線，∴AB＝AC．∵AD⊥BC，E是AB的中點(diǎn)，∴DE＝AB．同理：DF＝AC，∴DE＝DF．由①知：四邊形AEDF是平行四邊形，∴四邊形AEDF是菱形．∴③正確；④若∠A＝90°，如圖，由①知：四邊形AEDF是平行四邊形，∵∠A＝90°，∴四邊形AEDF是矩形，∴④正確；綜上可得，正確的結(jié)論有：①③④，故答案為：①③④．【考點(diǎn)評析】本題主要考查了三角形的中位線，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定，直角三角形斜邊上的直線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)．利用三角形的中位線定理得出平行線是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練8-3】（2023春?雄縣期中）如圖，在正方形ABCD和?ECGF中，點(diǎn)B，C，G在同一條直線上，P是線段AF的中點(diǎn)，連接DP，連接EP并延長，交AD于點(diǎn)Q．請證明：（1）四邊形ECGF是矩形．（2）當(dāng)∠DPE＝90°時(shí)，四邊形ECGF是正方形．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和平角的定義證明∠GCE＝90°即可證明平行四邊形ECGF是矩形；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，結(jié)合已知條件，證明△APQ≌△FPE（ASA），得出AQ＝EF，進(jìn)而證明△PDQ，△PDE（SAS），QD＝DE，得出AQ＝EC，即可得出EC＝EF，根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形．【規(guī)范解答】（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴∠GCE＝90°，∵四邊形ECGF是平行四邊形，∴平行四邊形ECGF是矩形；（2）證明：在正方形ABCD和?ECGF中，點(diǎn)B，C，G在同一條直線上，∴AD∥BG，EF∥BG，∠ADC＝90°，∴AD∥EF，∴∠QAP＝∠EFP，∵P是線段AF的中點(diǎn)，∴AP＝PF，又∠APQ＝∠FPE，∴△APQ≌△FPE（ASA），∴AQ＝EF，QP＝PE，∵∠DPE＝90°，∴∠DPQ＝90°，在△PDQ和△PDE中，，∴△PDQ≌△PDE（SAS），∴QD＝DE，∵AD＝DC，∴AQ＝EC，∴EC＝EF，∴矩形ECGF是正方形．【考點(diǎn)評析】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，矩形的判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．重點(diǎn)考向09：三角形中位線定理【典例精講】（2023秋?鄲城縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2cm，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿EF方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BF方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（0＜t＜1），則當(dāng)t＝2﹣或時(shí)，△PQF為等腰三角形．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)直角三角形30°角的性質(zhì)和勾股定理計(jì)算AC和BC的長，由中位線定理計(jì)算EF＝，根據(jù)速度、時(shí)間可得P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為EP和BQ的長；分三種情況討論：分別令△PQF任意兩邊相等，畫圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)列方程可得結(jié)論．【規(guī)范解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2cm，∴AC＝2AB＝4cm，BC＝＝2，∵E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴EF＝BC＝cm，BF＝AC＝2cm，由題意得：EP＝t，BQ＝2t，∴PF＝﹣t，F(xiàn)Q＝2﹣2t，分三種情況：①當(dāng)PF＝FQ時(shí)，如圖1，△PQF為等腰三角形．則﹣t＝2﹣2t，t＝2﹣；②如圖2，當(dāng)PQ＝FQ時(shí)，△PQF為等腰三角形，過Q作QD⊥EF于D，∴PF＝2DF，∵BF＝CF，∴∠FBC＝∠C＝30°，∵E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，∴∠PFQ＝∠FBC＝30°，∵FQ＝2﹣2t，∴DQ＝FQ＝1﹣t，∴DF＝（1﹣t），∴PF＝2DF＝2（1﹣t），∵EF＝EP+PF＝，∴t+2（1﹣t）＝，t＝