廣東大埔華僑二中2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁(yè)
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廣東大埔華僑二中2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,則()A.5 B. C.13 D.2.若非零實(shí)數(shù)、滿足,則下列式子一定正確的是()A. B.C. D.3.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn),延長(zhǎng)交右支于點(diǎn),若,則雙曲線的離心率是()A. B. C. D.4.過(guò)直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線,,,為切點(diǎn),當(dāng)直線,關(guān)于直線對(duì)稱時(shí),()A. B. C. D.5.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.6.若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積是()A.36cm3 B.48cm3 C.60cm3 D.72cm37.已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a5=16,a3a4=﹣32,則S8=()A.﹣21 B.﹣24 C.85 D.﹣858.在中,角的對(duì)邊分別為,若.則角的大小為()A. B. C. D.9.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)利用暑假游玩某風(fēng)景名勝大峽谷,四人各自去景區(qū)的百里絕壁、千丈瀑布、原始森林、遠(yuǎn)古村寨四大景點(diǎn)中的一個(gè),每個(gè)景點(diǎn)去一人.已知:①甲不在遠(yuǎn)古村寨,也不在百里絕壁;②乙不在原始森林,也不在遠(yuǎn)古村寨;③“丙在遠(yuǎn)古村寨”是“甲在原始森林”的充分條件;④丁不在百里絕壁,也不在遠(yuǎn)古村寨.若以上語(yǔ)句都正確,則游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁10.設(shè)全集,集合,,則()A. B. C. D.11.已知集合,則全集則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.12.已知斜率為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),若為線段中點(diǎn)且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線的離心率為()A. B.3 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù),則的值為_(kāi)_____.14.已知數(shù)列滿足,且,則______.15.如圖所示,在正三棱柱中,是的中點(diǎn),,則異面直線與所成的角為_(kāi)___.16.在△ABC中,∠BAC=,AD為∠BAC的角平分線,且,若AB=2,則BC=_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)橢圓:的離心率為,點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若斜率為的直線過(guò)點(diǎn),且與橢圓交于兩點(diǎn),為橢圓的下頂點(diǎn),求證:對(duì)于任意的實(shí)數(shù),直線的斜率之積為定值.18.(12分)設(shè)橢圓:的右焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,已知橢圓離心率為,過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為3.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)(不在軸上),垂直于的直線與交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),若,且,求直線斜率的取值范圍.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線與曲線交于兩點(diǎn).(1)求的長(zhǎng);(2)在以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,求點(diǎn)到線段中點(diǎn)的距離.20.(12分)如圖,在四棱錐中,側(cè)棱底面,,,,是棱的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)若,點(diǎn)是線段上一點(diǎn),且,求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位,建立極坐標(biāo)系,已知曲線,曲線(為參數(shù)),求曲線交點(diǎn)的直角坐標(biāo).22.(10分)橢圓的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程;(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于,兩點(diǎn).為坐標(biāo)原點(diǎn),為橢圓的右頂點(diǎn),求四邊形面積的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),再求,最后求即可.【詳解】解:,,故選:C【點(diǎn)睛】考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.2、C【解析】

令,則,,將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式得、后,然后取絕對(duì)值作差比較可得.【詳解】令,則,,,,,因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用作差法比較大小,同時(shí)也考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化,考查推理能力,屬于中等題.3、D【解析】

設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為,連接,,,設(shè),則,,,和中,利用勾股定理計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為,連接,,,設(shè),則,,,,根據(jù)對(duì)稱性知四邊形為矩形,中:,即,解得;中:,即,故,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.4、C【解析】

判斷圓心與直線的關(guān)系,確定直線,關(guān)于直線對(duì)稱的充要條件是與直線垂直,從而等于到直線的距離,由切線性質(zhì)求出,得,從而得.【詳解】如圖,設(shè)圓的圓心為,半徑為,點(diǎn)不在直線上,要滿足直線,關(guān)于直線對(duì)稱,則必垂直于直線,∴,設(shè),則,,∴,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查直線的對(duì)稱性,解題關(guān)鍵是由圓的兩條切線關(guān)于直線對(duì)稱,得出與直線垂直,從而得就是圓心到直線的距離,這樣在直角三角形中可求得角.5、D【解析】

由圖象可以求出周期,得到,根據(jù)圖象過(guò)點(diǎn)可求,根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)增區(qū)間即可.【詳解】由圖象知,所以,,又圖象過(guò)點(diǎn),所以,故可取,所以令,解得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),利用“五點(diǎn)法”求函數(shù)解析式,屬于中檔題.6、B【解析】試題分析:該幾何體上面是長(zhǎng)方體,下面是四棱柱;長(zhǎng)方體的體積,四棱柱的底面是梯形,體積為,因此總的體積.考點(diǎn):三視圖和幾何體的體積.7、D【解析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)求得a1q4=16,a12q5=﹣32,通過(guò)解該方程求得它們的值,求首項(xiàng)和公比,根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解答即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,∵a5=16,a3a4=﹣32,∴a1q4=16,a12q5=﹣32,∴q=﹣2,則,則,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,根據(jù)等比數(shù)列建立條件關(guān)系求出公比是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得,結(jié)合,可得,結(jié)合范圍,可得,可得,即可得解的值.【詳解】解:∵,∴由正弦定理可得:,∵,∴,∵,,∴,∴.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

根據(jù)演繹推理進(jìn)行判斷.【詳解】由①②④可知甲乙丁都不在遠(yuǎn)古村寨,必有丙同學(xué)去了遠(yuǎn)古村寨,由③可知必有甲去了原始森林,由④可知丁去了千丈瀑布,因此游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是丁.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查演繹推理,掌握演繹推理的定義是解題基礎(chǔ).10、D【解析】

求解不等式,得到集合A,B,利用交集、補(bǔ)集運(yùn)算即得解【詳解】由于故集合或故集合故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集和補(bǔ)集混合運(yùn)算,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.11、D【解析】

化簡(jiǎn)集合,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),化簡(jiǎn)集合,按照集合交集、并集、補(bǔ)集定義,逐項(xiàng)判斷,即可求出結(jié)論.【詳解】由,則,故,由知,,因此,,,,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算以及集合間的關(guān)系,求解不等式是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

設(shè),代入雙曲線方程相減可得到直線的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而得到的等式,求出離心率.【詳解】,設(shè),則,兩式相減得,∴,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題方法是點(diǎn)差法,即出現(xiàn)雙曲線的弦中點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可設(shè)弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程相減后得出弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)題意,由函數(shù)的解析式求出的值,進(jìn)而計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù),則,則;故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查運(yùn)算求解能力.14、【解析】

數(shù)列滿足知,數(shù)列以3為公比的等比數(shù)列,再由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求得的值即可.【詳解】,數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列,又,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列定義,考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,是中檔題.15、【解析】

要求兩條異面直線所成的角,需要通過(guò)見(jiàn)中點(diǎn)找中點(diǎn)的方法,找出邊的中點(diǎn),連接出中位線,得到平行,從而得到兩條異面直線所成的角,得到角以后,再在三角形中求出角.【詳解】取的中點(diǎn)E,連AE,,易證,∴為異面直線與所成角,設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為,易算得∴在∴故答案為【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角,本題是一個(gè)典型的異面直線所成的角的問(wèn)題,解答時(shí)也是應(yīng)用典型的見(jiàn)中點(diǎn)找中點(diǎn)的方法,注意求角的三個(gè)環(huán)節(jié),一畫,二證,三求.16、【解析】

由,求出長(zhǎng)度關(guān)系,利用角平分線以及面積關(guān)系,求出邊,再由余弦定理,即可求解.【詳解】,,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查共線向量的應(yīng)用、面積公式、余弦定理解三角形,考查計(jì)算求解能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程,解得,,進(jìn)而得到橢圓方程;(2)設(shè)直線,代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式,以及點(diǎn)在直線上滿足直線方程,化簡(jiǎn)整理,即可得到定值.【詳解】(1)因?yàn)?,所以,①又橢圓過(guò)點(diǎn),所以②由①②,解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)證明設(shè)直線:,聯(lián)立得,設(shè),則易知故所以對(duì)于任意的,直線的斜率之積為定值.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程的求法,注意運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程,考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式,化簡(jiǎn)整理,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.18、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)由題意可得,,,解得即可求出橢圓的C的方程;(Ⅱ)由已知設(shè)直線l的方程為y=k(x-2),(k≠0),聯(lián)立直線方程和橢圓方程,化為關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系求得B的坐標(biāo),再寫出MH所在直線方程,求出H的坐標(biāo),由BF⊥HF,解得.由方程組消去y,解得,由,得到,轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的不等式,求得k的范圍.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為3,所以,因?yàn)闄E圓離心率為,所以,又,解得,,,所以橢圓的方程為;(Ⅱ)設(shè)直線的斜率為,則,設(shè),由得,解得,或,由題意得,從而,由(Ⅰ)知,,設(shè),所以,,因?yàn)?,所以,所以,解得,所以直線的方程為,設(shè),由消去,解得,在中,,即,所以,即,解得,或.所以直線的斜率的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查在直線與橢圓的位置關(guān)系中由已知條件求直線的斜率取值范圍問(wèn)題,還考查了由離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,屬于難題.19、(1);(2).【解析】

(1)將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,由點(diǎn)到直線距離公式可求得圓心到直線距離,結(jié)合垂徑定理即可求得的長(zhǎng);(2)將的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),將直線方程與圓的方程聯(lián)立,求得直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得的坐標(biāo),再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式即可求得.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),化為直角坐標(biāo)方程為,即直線與曲線交于兩點(diǎn).則圓心坐標(biāo)為,半徑為1,則由點(diǎn)到直線距離公式可知,所以.(2)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,化為直角坐標(biāo)可得,直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,化簡(jiǎn)可得,解得,所以兩點(diǎn)坐標(biāo)為,所以,由兩點(diǎn)間距離公式可得.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程轉(zhuǎn)化,極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化,點(diǎn)到直線距離公式應(yīng)用,兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用,直線與圓交點(diǎn)坐標(biāo)求法,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)證明見(jiàn)解析;(2)【解析】

(1)的中點(diǎn),連接,,證明四邊形是平行四邊形可得,故而平面;(2)以為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量,計(jì)算與的夾角的余弦值得出答案.【詳解】(1)證明:取的中點(diǎn),連接,,,分別是,的中點(diǎn),,,又,,,,四邊形是平行四邊形,,又平面,平面,平面.(2)解:,,又,故,以為原點(diǎn),以,,為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,0,,,0,,,2,,,0,,,2,,是的中點(diǎn),是的三等分點(diǎn),,1,,,,,,,,,0,,,2,,設(shè)平面的法向量為,,,則,即,令可得,,,,,直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定,空間向量與直線與平面所成角的計(jì)算,屬于中檔題.21、【解析】

利用極坐標(biāo)方程與普通方程、參數(shù)方程間的互化公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)椋?,所以曲線的直角坐標(biāo)

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