導數(shù)的四則運算法則

第五章《一元函數(shù)的導數(shù)及其應用》導數(shù)的四則運算法則[核心素養(yǎng)·學習目標]課程標準課標解讀1.理解函數(shù)的和、差、積、商的求導法則.2.理解求導法則的證明過程，能夠綜合運用導數(shù)公式和導數(shù)運算法則求函數(shù)的導數(shù)．通過本節(jié)課的學習，要求熟練掌握導數(shù)的運算公式，并能準確應用公式計算函數(shù)的導數(shù)，并能解決與導數(shù)運算相關的綜合問題.課前預習課前預習1、兩個函數(shù)和的和（或差）的導數(shù)法則：.2、對于兩個函數(shù)和的乘積（或商）的導數(shù)，有如下法則：；.3、由函數(shù)的乘積的導數(shù)法則可以得出，也就是說，常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)，等于常數(shù)與函數(shù)的導數(shù)的積，即.知識講解知識講解導數(shù)運算法則(1)fx拓展：fx記憶：函數(shù)的和差的導數(shù)等于函數(shù)導數(shù)的和差；(2)fx記憶：兩函數(shù)積的導數(shù)等于“前導后不導+后導前不導”；特別：C?fx證明[cf(x)](3)fx記憶：兩函數(shù)商的導數(shù)等于“分母平分，子導母不導減母導子不導”.【大招總結(jié)】大招1初等函數(shù)求導【方法總結(jié)】（1）若所求函數(shù)符合導數(shù)公式，則直接利用公式求解.（2）對于不能直接利用公式的類型，一般遵循“先化簡，再求導”的基本原則，避免不必要的運算失誤.（3）要特別注意“1x與lnx”，“ax’與logax”，“sinx與cosx”的導數(shù)區(qū)別.大招2求切線方程【方法總結(jié)】利用導數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況（1）若已知點是切點，則在該點處的切線斜率就是該點處的導數(shù)；（2）如果已知點不是切點，則應先設出切點，再借助兩點連線的斜率公式進行求解。大招3在一點的切線方程【方法總結(jié)】求曲線在某點處的切線方程的步驟大招4過一點的切線方程【方法總結(jié)】過點“P”處的切線：(1)過某點的含義，切線過某點，這點不一定是切點．(2)過曲線外的點P(x1，y1)求曲線的切線方程的步驟①設切點為Q(x0，y0)；②求出函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)；=3\*GB3③利用Q在曲線上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)；=4\*GB3④根據(jù)直線的點斜式方程，得切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．典型例題典型例題【例1】求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【答案】（1）；（2）；（3）.（4）；（5）.【詳解】（1）因為，所以；（2）因為，所以；（3）因為，所以；（4）∵，∴.（5）∵，∴.【例2】設f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，若已知f′(x)＝xcosx，求f(x)的解析式．【答案】f(x)＝xsinx＋cosx．【詳解】因為f′(x)＝[(ax＋b)sinx]′＋[(cx＋d)cosx]′＝(ax＋b)′sinx＋(ax＋b)(sinx)′＋(cx＋d)′cosx＋(cx＋d)(cosx)′＝asinx＋(ax＋b)cosx＋ccosx－(cx＋d)sinx＝(a－d－cx)sinx＋(ax＋b＋c)cosx．又因為f′(x)＝xcosx，所以解方程組，得因此f(x)的解析式為f(x)＝xsinx＋cosx．【點睛】關鍵點點睛：該題考查的是有關導數(shù)的計算，在求解過程中，熟記求導公式和導數(shù)的運算法則是正確解題的關鍵.【例3】設函數(shù)，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為，求a，b的值．【答案】【詳解】f′（x）=aex﹣，∴f′（2）=，∵曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=x，∴=，f（2）=+b=3，又a＞0，解得．【點睛】本題考查了導數(shù)的運算法則、幾何意義、切線方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．【例4】曲線C：在點處的切線為：，在點處的切線為：，求曲線C的方程．【答案】．【詳解】由已知得點與點均在曲線C上，，由導數(shù)的幾何意義得，，，解得：．所以曲線C的方程為：．【點睛】方法點睛：本題考查了利用導數(shù)的幾何意義求曲線在某點處的切線方程，求切線常見考法：(1)已知切點求斜率k，即求該點處的導數(shù)值：．(2)已知斜率k，求切點，即解方程.(3)若求過點的切線方程，可設切點為，由，求解即可．【例5】函數(shù)的導函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】∵，∴，∴，∴為奇函數(shù)，故選：C.【例6】已知函數(shù)，則“”是“曲線存在垂直于直線的切線”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】由題得切線的斜率為2，所以因為,所以“”是“曲線存在垂直于直線的切線”的必要不充分條件.故答案為B強化訓練強化訓練一、單選題1．曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求導，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】求導函數(shù)，當時，，∴曲線在點處的切線方程為：，即.故選：A.2．已知函數(shù)，則等于（

）A．1 B．1 C．2 D．0【答案】A【分析】根據(jù)導數(shù)的定義及導數(shù)的運算法則即可求解.【詳解】由，得..故選：A.3．下列求導運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)求導公式依次判斷選項即可.【詳解】對選項A，，故A錯誤.對選項B，，故B正確.對選項C，，故C錯誤.對選項D，，故D錯誤.故選：B【點睛】本題主要考查導數(shù)的求導公式和求導法則，同時考查了符合函數(shù)的求導公式，屬于簡單題.4．曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義可求得切線斜率，結(jié)合切點處的函數(shù)值，即可求得答案.【詳解】由得，故，而，故曲線在點處的切線方程為，即，故選：C.5．若函數(shù)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用導數(shù)的運算法則求出f′（x），令x＝1可得f′（1）＝2f′（1）+2，計算可得f′（1），得到f′（x）、f（x）的解析式，代入x=1,即可得答案．【詳解】f′（x）＝2f′（1）+2x，令x＝1得f′（1）＝2f′（1）+2，∴f′（1）＝﹣2，∴f′（x）＝2x4，∴f′（1）＝6,又，∴故選C．【點睛】本題考查求函數(shù)的導函數(shù)值，先求出導函數(shù)，給導函數(shù)中的x賦值是解題的關鍵．6．已知函數(shù)，其中為函數(shù)的導數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】將函數(shù)解析式變形為，求得，進而可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】，所以，，，函數(shù)的定義域為，，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，因此，.故選：B.【點睛】結(jié)論點睛：本題考查利用函數(shù)奇偶性求值，關于奇函數(shù)、偶函數(shù)的導函數(shù)的奇偶性，有如下結(jié)論：（1）可導的奇函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù)；（2）可導的偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù).在應用該結(jié)論時，首先應對此結(jié)論進行證明.7．設,那么（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)乘積的導數(shù)運算法則即可求出．【詳解】因為，所以．故選：B．8．下列求導運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)導數(shù)的四則運算法則，求導即可得出答案.【詳解】對于A項，因為，故A項錯誤；對于B項，因為，故B項錯誤；對于C項，因為，故C項錯誤；對于D項，因為，故D項正確.故選：D.二、多選題9．已知雙曲函數(shù)是一類與三角函數(shù)性質(zhì)類似的函數(shù)．雙曲余弦函數(shù)為，雙曲正弦函數(shù)為．則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．是奇函數(shù)【答案】AC【分析】對于A，直接求導判斷，對于BC，通過計算判斷，對于D，由奇偶函數(shù)的定義判斷【詳解】解：對于A，，所以A正確，對于B，因為，所以B錯誤，對于C，因為，，所以，所以C正確，對于D，因為，所以是偶函數(shù)，所以D錯誤，故選：AC10．下列求導數(shù)運算正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】直接根據(jù)導數(shù)的運算法則及求導公式求解即可.【詳解】解：，故A正確；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D正確.故選：AD.11．已知是函數(shù)的一條切線，則實數(shù)的值可以為（

）A．0 B．1 C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)的切線過原點求得切點的橫坐標，結(jié)合導數(shù)求得的可能取值.【詳解】設是函數(shù)圖象上的一點，，所以在點的切線方程為①，直線過原點，由①令得，，所以或，當時，，當時，，綜上所述，的可能取值為.故選：ABD12．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)是增函數(shù)B．曲線關于對稱C．函數(shù)的值域為D．曲線有且僅有兩條斜率為的切線【答案】AB【分析】由可得是增函數(shù)，且對于任意，滿足，所以關于對稱，可得AB正確；利用指數(shù)函數(shù)值域易得函數(shù)的值域為，即C錯誤；令，整理可得，易知，可得，即方程無解，因此曲線不存在斜率為的切線，即D錯誤.【詳解】根據(jù)題意可得，易知是減函數(shù)，所以是增函數(shù)，即A正確；由題意可得，所以，即對于任意，滿足，所以關于對稱，即B正確；由指數(shù)函數(shù)值域可得，所以，即，所以函數(shù)的值域為，所以C錯誤；易知，令，整理可得，令，即，易知，又因為，即，所以，即，因此；即關于的一元二次方程無實數(shù)根；所以無解，即曲線不存在斜率為的切線，即D錯誤；故選：AB三、填空題13．函數(shù)的圖象在點處切線的方程為.【答案】【分析】利用導數(shù)求得切線方程.【詳解】切點為，，故切線方程為，即.故答案為：14．函數(shù)有一條斜率為2的切線，則切點的坐標為【答案】【分析】設切點坐標為，利用導數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】設切點坐標為，由函數(shù)可得，因為函數(shù)有一條斜率為2的切線，所以，解得，所以切點坐標為，故答案為：.15．已知函數(shù)，則過點與曲線相切的直線有條.【答案】2【分析】先判斷不在曲線上，求函數(shù)的導數(shù)，設切點為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義得出切線的斜率，由點斜式寫出切線方程，將點代入切線方程求出進而可以求出切線方程，得出結(jié)論．【詳解】曲線方程為，點不在曲線上，設切點為，則點的坐標滿足，由，得，由導數(shù)的幾何意義知，在處的切線的斜率為，故切線的方程為，因為點在切線上，所以聯(lián)立得，解得或，故所求切線方程為或，則過點與曲線相切的直線有2條.故答案為：2.16．若曲線過點的切線有且僅有兩條，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】或【分析】設切點，然后利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，將點的坐標代入切線方程化簡，得到關于的二次方程，則此方程有兩個不相等的實根，從而由可求得答案.【詳解】，設切點，則切線的斜率為，故切線方程為，取，代入，得，∵，∴有兩個不等實根，故，解之，得或，故答案為：或四、解答題17．求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）；（2）；【答案】（1）；（2）【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式以及導數(shù)的運算法則計算可得；【詳解】解：（1）因為所以，即（2）因為所以，即18．求下列函數(shù)的導數(shù)．(1)，；(2)，．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)求導公式，計算即可得答案.（2）根據(jù)求導公式，結(jié)合四則運算法則，計算即可得答案.【詳解】（1）（2）．19．已知是一次函數(shù)，，求的解析式．【答案】【分析】分析可知，函數(shù)為二次函數(shù)，可設，根據(jù)導數(shù)的運算法則結(jié)合已知條件可得出關于、、的方程組，解出這三個未知數(shù)的值，即可得出函數(shù)的解析式.【詳解】由為一次函數(shù)可知為二次函數(shù)．設，則．所以，，即，所以，，解得，因此，.20．求下列函數(shù)的導數(shù):(1)f(x)=(x+1)2(x1);

(2)f(x)=22s