高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí)層級二專題四立體幾何第1講幾何體的表面積與體積線面位置關(guān)系的判斷課時作業(yè)

第1講幾何體的表面積與體積、線面位置關(guān)系的判斷限時40分鐘滿分80分一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1．(2020·濟(jì)南模擬)“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體．它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)，其直觀圖如圖(1)所示，圖(2)中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線，當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時，它的正視圖和俯視圖分別可能是()A．a(chǎn)，b B．a(chǎn)，cC．c，b D．b，d解析：A[當(dāng)正視圖和側(cè)視圖完全相同時，“牟合方蓋”相對的兩個曲面正對前方，正視圖為一個圓，俯視圖為一個正方形，且兩條對角線為實線，故選A.]2．(2020·四省八校聯(lián)考)m，n是兩條不同的直線，α是平面，n⊥α，則m∥α是m⊥n的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件解析：A[當(dāng)m∥α?xí)r，在平面α內(nèi)存在一條直線b，使得b∥m，結(jié)合n⊥α，知n⊥b，所以n⊥m，所以m∥α是m⊥n的充分條件；當(dāng)n⊥α，m⊥n時，m∥α或m?α，所以m∥α是m⊥n的不必要條件．綜上，m∥α是m⊥n的充分不必要條件，故選A.]3．(2020·洛陽聯(lián)考)一個簡單幾何體的正視圖、側(cè)視圖如圖所示，則其俯視圖可能是()①長、寬不相等的長方形②正方形③圓④橢圓A．①② B．①④C．②③ D．③④解析：B[由題設(shè)條件知，正視圖中的長與側(cè)視圖中的長不一致，對于①，俯視圖是長方形是可能的，比如此幾何體為一個長方體時，滿足題意；對于②，由于正視圖中的長與側(cè)視圖中的長不一致，故俯視圖不可能是正方形；對于③，由于正視圖中的長與側(cè)視圖中的長不一致，故俯視圖不可能是圓形；對于④，如果此幾何體是一個橢圓柱，滿足正視圖中的長與側(cè)視圖中的長不一致，故俯視圖可能是橢圓．綜上知①④是可能的圖形．]4．(多選)(2020·江西省紅色七校聯(lián)考)設(shè)m，n是空間中兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是()A．若m∥n，n?α，則m∥α或m?αB．若m?α，n?β，α∥β，則m∥nC．若α∥β，m⊥α，則m⊥βD．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α∥β解析：AC[若m∥n，n?α，則m∥α或m?α，所以選項A正確；若m?α，n?β，α∥β，則m∥n或m與n異面，所以選項B不正確；由面面平行的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)知選項C正確；若m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α∥β或α與β相交，所以選項D不正確．故選AC.]5．(2018·北京卷)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：C[由三視圖可得四棱錐P－ABCD，四棱錐P－ABCD中PD＝2，AD＝2，CD＝2，AB＝1.由勾股定理可知：PA＝2eq\r(2)，PC＝2eq\r(2)，PB＝3，BC＝eq\r(5).則在四棱錐中，直角三角形有：△PAD，△PCD，△PAB，共三個，故選C.]6．(2020·湖南省五市十校聯(lián)考)某四棱錐的三視圖如圖所示，其側(cè)視圖是等腰直角三角形，俯視圖的輪廓是直角梯形，則該四棱錐的各側(cè)面面積的最大值為()A．8 B．4eq\r(5)C．8eq\r(2) D．12eq\r(2)解析：D[由三視圖可知該幾何體是一個底面為直角梯形，高為4的四棱錐，如圖，其中側(cè)棱PA⊥平面ABCD，PA＝4，AB＝4，BC＝4，CD＝6，所以AD＝2eq\r(5)，PD＝6，PB＝4eq\r(2)，連接AC，則AC＝4eq\r(2)，所以PC＝4eq\r(3)，顯然在各側(cè)面面積中△PCD的面積最大，又PD＝CD＝6，所以PC邊上的高為eq\r(62－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),2)))2)＝2eq\r(6)，所以S△PCD＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×2eq\r(6)＝12eq\r(2)，故該四棱錐的各側(cè)面面積的最大值為12eq\r(2).故選D.]7．(2020·廣州調(diào)研)如圖為一個多面體的三視圖，則該多面體的體積為()A．6 B．7C.eq\f(22,3) D.eq\f(23,3)解析：B[如圖，根據(jù)三視圖可畫出對應(yīng)多面體的直觀圖，該多面體是由棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1被截去三棱錐A－PQA1和三棱錐D－PC1D1之后得到的一個幾何體，其中P，Q分別是棱A1D1，A1B1的中點．故所求多面體的體積V＝V正方體－V三棱錐A－PQA1－V三棱錐D－PC1D1＝23－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1))×2－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×2))×2＝7.故選B.]8．(2018·新課標(biāo)Ⅱ卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2) D.eq\f(\r(7),2)解析：C[如圖取DD1的中點F，連接AF、EF，則EF∥CD，∴∠AEF即是AE與CD所成的角，設(shè)正方體的棱長為a，在直角三角形AFE中，EF＝a，AF＝eq\r(a2＋\f(1,2)a2)＝eq\f(\r(5),2)a，∴tan∠AEF＝eq\f(AF,EF)＝eq\f(\f(\r(5),2)a,a)＝eq\f(\r(5),2).]9．(2018·全國Ⅰ卷)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點M在正視圖上的對應(yīng)點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)C．3 D．2解析：B[圓柱中點M，N的位置如圖1，其側(cè)面展開圖如圖2，則最短路徑如圖2中的MN.由已知MC＝2，CN＝eq\f(1,4)×16＝4，∴MN＝eq\r(MC2＋CN2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).]10．(2019·益陽三模)在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若AB＝2，BC＝3，PA＝4，則該三棱錐的外接球的表面積為()A．13π B．20πC．25π D．29π解析：D[把三棱錐P－ABC放在長方體中，如圖所示，所以長方體的體對角線長為eq\r(22＋32＋42)＝eq\r(29)，所以三棱錐外接球的半徑為eq\f(\r(29),2)，所以外接球的表面積為4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(29),2)))2＝29π.]11．(2019·重慶市二模)某幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖為等腰梯形，則該幾何體的表面積是()A．18 B．8＋8eq\r(3)C．24 D．12＋6eq\r(5)解析：C[根據(jù)給定的三視圖，可得原幾何體如圖所示，其中面ABB1A1表示邊長分別為2和4的矩形，其面積為S1＝2×4＝8，△ABC和△A1B1C1為底邊邊長為2，腰長為eq\r(5)的等腰三角形，其高為h＝2，所以面積為S2＝S3＝eq\f(1,2)×2×2＝2，面AA1C1C和面BB1C1C為全等的等腰梯形，上底邊長為2，下底邊長為4，高為2，所以面積為S4＝S5＝eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝6，所以幾何體的表面積為S＝8＋2×2＋2×6＝24，故選C.]12．(2020·陜西省質(zhì)量檢測)已知三棱錐S－ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2eq\r(3).SA＝1.則該三棱錐的外接球的體積為()A.eq\f(13,8)eq\r(13)π B．13πC.eq\f(\r(13),6)π D.eq\f(13\r(13),6)π解析：D[∵∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2eq\r(3)，∴△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，其外接圓半徑r＝eq\f(AC,2)＝eq\r(3)，則三棱錐外接球即為以△ABC為底面，以SA為高的三棱錐的外接球．∴三棱錐外接球的半徑R滿足R＝eq\r(r2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(SA,2)))2)＝eq\f(\r(13),2).故三棱錐外接球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(13\r(13),6)π.]二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．(2020·黃岡模擬)三棱錐P－ABC中，D，E分別為PB，PC的中點，記三棱錐D－ABE的體積為V1，P－ABC的體積為V2，則eq\f(V1,V2)＝________.解析：如圖所示，由于D，E分別是邊PB與PC的中點，所以S△BDE＝eq\f(1,4)S△PBC.又因為三棱錐A－BDE與三棱錐A－PBC的高長度相等，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)14．(2019·全國Ⅰ卷)已知∠ACB＝90°，P為平面ABC外一點，PC＝2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為eq\r(3)，那么P到平面ABC的距離為________．解析：過P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，PO⊥平面ABC于O.連OD，OE，∵PD＝PE＝eq\r(3)，PC＝2，∴CD＝CE＝1.由題意，四邊形ODCE為圓內(nèi)接四邊形，又∠ACB＝90°∴四邊形ODCE為正方形，∴OD＝1，∴PO＝eq\r(PD2－OD2)＝eq\r(3－1)＝eq\r(2).即點P到平面ABC的距離為eq\r(2).答案：eq\r(2)15．(2020·麗水模擬)已知E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊BC與AD的中點，且BC＝2AB＝2，現(xiàn)沿EF將平面ABEF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，則三棱錐A－FEC外接球的半徑________，外接球的體積為________．解析：由題意，三棱錐A－FEC外接球是正方體AC的外接球，所以三棱錐A－EFC外接球的半徑是eq\f(\r(3),2)，所以三棱錐A－FEC外接球的體積為eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))3＝eq\f(\r(3),2)π.答案：eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(3)π,2)16.(2019·日照三模)如圖，在四棱錐P－