第7.4.1講二項分布-2023-2024學年新高二數(shù)學寶典（人教A版2019選修第三冊）

第七章隨機變量及其分布第7.4.1講二項分布班級_______姓名_______組號_______1．通過具體實例，了解n重伯努利試驗和二項分布的概念．2．會利用公式求服從二項分布的隨機變量的概率、均值以及方差．3．能利用二項分布概率模型解決簡單的實際問題．1、利用二項分布求分布列2、服從二項分布的概率最大問題3、二項分布的簡單應用一、n重伯努利試驗n重伯努利試驗(1)伯努利試驗：我們把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗．(2)n重伯努利試驗：將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗．(3)n重伯努利試驗的特征：①同一個伯努利試驗重復做n次；②各次試驗的結果相互獨立．二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(\s\up12(k),\s\do4(n))pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)．題型1、利用二項分布求分布列1．某射手每次射擊擊中目標的概率是0.6，且各次射擊的結果互不影響，則該射手射擊30次恰有18次擊中目標的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)二項分布的概率公式來解.【詳解】設為射手在30次射擊中擊中目標的次數(shù)，則，故在30次射擊中，恰有18次擊中目標的概率為.故選：B.2．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二項分布的知識求得正確答案.【詳解】因為，所以．故選：B3．有8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數(shù)，則A． B． C． D．【答案】D【分析】首先把取一次取得次品的概率算出來，再根據(jù)離散型隨機變量的概率即可算出．【詳解】因為是有放回地取產(chǎn)品，所以每次取產(chǎn)品取到次品的概率為．從中取3次，為取得次品的次數(shù)，則,,選擇D答案．【點睛】本題考查離散型隨機變量的概率,解題時要注意二項分布公式的靈活運用.屬于基礎題．4．口袋里放有大小相同的兩個紅球和一個白球，有放回地每次摸取一個球，每個球被摸到的機會均等．定義數(shù)列：，．如果為數(shù)列的前n項和，那么的概率是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出每次摸球摸到紅球的概率為，根據(jù)已知可知.然后分析得出摸到紅球的個數(shù)，即可根據(jù)二項分布的概率，求出答案.【詳解】由已知可知，每次摸球摸到紅球的概率為，則次摸球中，取到白球的次數(shù)服從二項分布，即.由可知，前7次摸到5次白球，2次紅球，即，.所以，的概率是.故選：B.5．已知每門大炮擊中目標的概率都是0.5，現(xiàn)有10門大炮同時對某一目標各射擊一次．記恰好擊中目標3次的概率為A；若擊中目標記2分，記10門大炮總得分的期望值為B，則A，B的值分別為（

）A．，5 B．，10 C．，5 D．，10【答案】B【分析】根據(jù)題意得其機種次數(shù)和期望符合二項分布，利用其期望公式即可得到值，再利用其概率公式計算值即可.【詳解】設10門大炮擊中目標的次數(shù)為,則根據(jù)題意可得,門大炮總得分的期望值為，，故選：B.n重伯努利試驗的判斷依據(jù)(1)要看該試驗是不是在相同的條件下重復進行；(2)每次試驗相互獨立，互不影響；(3)每次試驗都只有兩種結果(每種結果發(fā)生的概率穩(wěn)定)，即事件發(fā)生或不發(fā)生.題型2、服從二項分布的概率最大問題6．如果X～B(15，)，則使P(X＝k)最大的k值（

）A．3 B．4C．4或5 D．3或4【答案】D【分析】利用做商法比較大小，，得．即可得出結論．【詳解】解：，得．所以當時，，當時，，其中時，，從而或4時，取得最大值，故選：D7．若，則取得最大值時，（

）A．4或5 B．5或6 C．10 D．5【答案】D【分析】根據(jù)二項分布的概率公式得到，再根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)判斷即可；【詳解】解：因為，所以，由組合數(shù)的性質(zhì)可知當時取得最大值，即取得最大值，所以；故選：D8．擲一枚質(zhì)地均勻的骰子n次，設出現(xiàn)k次點數(shù)為1的概率為，若，則當取最大值時，k為（

）A．3 B．4 C．8 D．10【答案】A【分析】由題意可知出現(xiàn)的點數(shù)，根據(jù)二項分布求解即可.【詳解】擲一枚質(zhì)地均勻的骰子20次，其中出現(xiàn)點數(shù)為1的次數(shù)為X，則，當時，，；當時，，.因此當時，取最大值.故選：A9．若X～B，則使P(X＝k)最大的k的值是（

）A．2 B．3 C．2或3 D．4【答案】B【分析】求使取最大值的的值可通過比較和的大小得到．可利用做商法比較大小，從而可得出答案.【詳解】解：，則，得，所以當時，，當時，，從而時，取得最大值．故選：B．10．若，則當，1，2，…，100時（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用比大小的方法，即可求出k的值.【詳解】解：由題意得：即，化簡得：，又k為整數(shù),可得,所以，故選：C．利用二項分布求概率的三個步驟(1)判斷：依據(jù)n次獨立重復試驗的特征，判斷所給試驗是否為獨立重復試驗．(2)分拆：判斷所求事件是否需要分拆．(3)計算：就每個事件依據(jù)n次獨立重復試驗的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計算．題型3、二項分布的簡單應用11．在足球比賽中，撲點球的難度般比較大，假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性未撲出點球.若不考慮其他因素，在比賽打成平局進行點球大戰(zhàn)中，甲隊門將在前3次撲出點球的個數(shù)X的方差為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判斷服從二項分布，再利用二項分布的方差公式計算可得.【詳解】由題意，門將每次撲出點球的概率為：,若不考慮其他因素，門將在前3次撲出點球的個數(shù)服從二項分布，且，所以甲隊門將在前3次撲出點球的個數(shù)X的方差為：.故選：A12．甲、乙兩人進行比賽，假設每局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，且各局比賽互不影響．若采取“5局3勝制”，則概率最大的比賽結果是（

）A．乙贏得比賽 B．甲贏得比賽C．甲贏得比賽 D．甲贏得比賽【答案】C【分析】根據(jù)二項分布的概率公式一一計算比較大小即可.【詳解】若乙贏得比賽，即乙前四場贏兩場，第五場贏，故其概率為：；同理若甲贏得比賽，其概率為：；若甲贏得比賽，即甲前三場都贏，其概率為：；若甲贏得比賽，即甲前三場贏兩場，第四場贏，其概率為：，綜上甲贏得比賽，其概率最大.故選：C13．計算機內(nèi)部采用每一位只有0和1兩個數(shù)字的記數(shù)法，即二進制．其中字節(jié)是計算機中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由8個二進制構成．某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個字節(jié)，記為，其中出現(xiàn)0的概率為，出現(xiàn)1的概率為，記，則當程序運行一次時，X的均值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】得到，利用二項分布求期望公式求出答案.【詳解】X的可能取值為0,1,2,3,4,5,6,7,8，且的值即為1出現(xiàn)的次數(shù)，故，所以.故選：C14．“石頭?剪刀?布"，又稱“猜丁殼”，是一種流傳多年的猜拳游戲，起源于中國，然后傳到日本?朝鮮等地，隨著亞歐貿(mào)易的不斷發(fā)展，它傳到了歐洲，到了近代逐漸風靡世界游戲規(guī)則是：“石頭"勝"剪刀”?“剪刀”勝“布”?“布”勝“石頭”，若所出的拳相同，則為和局.小明和小華兩位同學進行三局兩勝制的“石頭?剪刀?布”游戲比賽，則小華經(jīng)過三局獲勝的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題設知小華經(jīng)過三局獲勝的基本事件為前兩局一勝一不勝，第三局獲勝，概率乘法公式求概率即可.【詳解】由題設知：小華經(jīng)過三局獲勝的基本事件為前兩局一勝一不勝，第三局獲勝，∴小華經(jīng)過三局獲勝的概率為.故選：C.15．唐代詩人張若虛在《春江花月夜》中曾寫道：“春江潮水連海平，海上明月共潮生．”潮水的漲落和月亮的公轉運行有直接的關系，這是一種自然現(xiàn)象．根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，已知沿海某地在某個季節(jié)中每天出現(xiàn)大潮的概率均為，則該地在該季節(jié)內(nèi)連續(xù)三天內(nèi)，至少有兩天出現(xiàn)大潮的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二項分布的概率公式以及概率的加法公式即可求解.【詳解】該地在該季節(jié)內(nèi)連續(xù)三天內(nèi)，至少有兩天出現(xiàn)大潮包括兩天或三天出現(xiàn)大潮，有兩天出現(xiàn)大潮概率為，有三天出現(xiàn)大潮概率為，所以至少有兩天出現(xiàn)大潮的概率為，故選：A.一、單選題1．已知隨機變量，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二項分布的方差公式計算.【詳解】隨機變量，則.故選：A2．隨機變量服從二項分布：，則它的期望（

）A．0.5 B．2.5 C．5 D．10【答案】C【分析】利用二項分布的期望公式直接計算即可得解.【詳解】因為隨機變量服從二項分布：，則它的期望.故選：C.3．在某次抽獎活動中，一個口袋里裝有5個白球和5個黑球，所有球除顏色外無任何不同，每次從中摸出2個球，觀察顏色后放回，若為同色，則中獎.則摸球三次僅中獎一次的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可先求出摸球一次中獎的概率，再由二項分布可得結果.【詳解】依題意設摸球一次中獎的概率為，則，所以摸球三次僅中獎一次的概率為.故選：A.4．電燈泡使用時數(shù)在1000小時以上的概率為0.8，則3個燈泡在使用1000小時內(nèi)恰好壞了一個的概率為（

）A．0.384 B． C．0.128 D．0.104【答案】A【分析】分析知這是二項分布，3重伯努利試驗.【詳解】電燈泡使用時數(shù)在1000小時以上的概率為0.8，1個燈泡在使用1000小時內(nèi)壞了的概率為，則3個燈泡在使用1000小時內(nèi)恰好壞了一個的概率為.故選：A5．若，則等于A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二項分布的性質(zhì)，可得結論．【詳解】，，故選：A．6．口袋里放有大小相同的兩個紅球和一個白球，有放回地每次摸取一球，定義數(shù)列：如果為數(shù)列的前和，那么的概率為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)獨立重復試驗概率計算公式求得正確答案.【詳解】第次摸到紅球的概率為，摸到白球的概率為，若，則中，有個和個，所以的概率為.故選：B7．甲、乙兩隊進行乒乓球比賽，比賽采取五局三勝制（當一隊贏得三場勝利時，該隊獲勝，比賽結束），假設每局比賽甲隊勝乙隊的概率均為p，沒有平局，且各局比賽相互獨立，則甲隊以獲勝的概率可以表示為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)甲隊以獲勝,得出4局比賽的勝負情況，求出概率即可.【詳解】甲隊以獲勝,則兩隊共比賽了4局，且第4局一定是甲獲勝，前3局里甲獲勝了2局，故概率為，即.故選：C.8．甲、乙兩羽毛球運動員之間的訓練，要進行三場比賽，且這三場比賽可看做三次伯努利試驗，若甲至少取勝一次的概率為，則甲恰好取勝一次的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設每次甲勝的概率為p，根據(jù)甲至少取勝一次的概率為，結合對立事件的概率計算求出p的值，繼而利用二項分布的概率公式，即可求得答案.【詳解】假設甲取勝為事件A，設每次甲勝的概率為p，由題意得，事件A發(fā)生的次數(shù)，則有，得，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為，故選：C.9．甲、乙兩位同學進行圍棋比賽，約定五局三勝制（無平局），已知甲每局獲勝的概率都為，則最后甲獲勝的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)進行分類討論，結合獨立重復試驗概率計算公式求得正確答案.【詳解】解：根據(jù)題意，甲獲勝包括三種情況，即.若甲獲勝，則概率為；若甲獲勝，則概率為；若甲獲勝，則概率為；所以甲勝的概率為.故選：D10．口袋里放有大小相同的3個紅球和2個白球，有放回地每次摸取一個球，每個球被摸到的機會均等.定義數(shù)列：.如果為數(shù)列的前項和，那么的概率是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】表示摸次球，其中次摸到紅球，次摸到白球，再根據(jù)二項分布的概率，即可求出答案.【詳解】由題意，每次摸到白球的概率為，每次摸到紅球的概率為，表示摸次球，其中次摸到紅球，次摸到白球，則的概率是.故選：A.二、多選題11．若隨機變量，下列說法中正確的有（

）A． B．期望C．期望 D．方差【答案】AC【分析】利用獨立重復試驗的概率公式可判斷A選項；利用二項分布的期望公式可判斷B選項；利用期望的性質(zhì)可判斷C選項；利用方差的性質(zhì)可判斷D選項.【詳解】因為隨機變量，則，，，由期望的性質(zhì)可得，由方差的性質(zhì)可得，AC對，BD錯.故選：AC.12．甲盒中有3個白球，2個黑球，乙盒中有2個白球，3個黑球，則下列說法中正確的是（

）A．若從甲盒中一次性取出2個球，記表示取出白球的個數(shù)，則B．若從甲盒和乙盒中各取1個球，則恰好取出1個白球的概率為C．若從甲盒中連續(xù)抽取3次，每次取1個球，每次抽取后都放回，則恰好得到2個白球的概率為D．若從甲盒中取出1球放入乙盒中，再從乙盒中取出1球，記：從乙盒中取出的1球為白球，則【答案】BCD【分析】A選項，選一個白球，一個黑球，利用古典概型求解；B選項，分從甲盒取出的是白球和從乙盒取出的白球，利用古典概型求解；C選項，設抽到白球個數(shù)為，則，利用二項分布求概率公式求解；D選項，分從甲盒中取出1球為黑球和白球兩種情況的概率，相加即可求解.【詳解】A選項，由題意得，故錯誤；B選項，由題意得取出1個白球的概率為，故正確；C選項，若從甲盒中連續(xù)抽取3次，每次取1個球，每次抽取后都放回，設抽到白球個數(shù)為，則，則恰好得到2個白球的概率為，故正確；D選項，從甲盒中取出白球放入乙盒中，從乙盒中取出的1球為白球，此時概率為，從甲盒中取出黑球放入乙盒中，從乙盒中取出的1球為白球，此時概率為，故，故正確.故選：BCD三、填空題13．某大學生將參加知識競賽，答題環(huán)節(jié)有6道題目，每答對一道題得3分，答錯一題扣1分，已知該學生每道題目答對的概率是，且各題目答對正確與否相互獨立，表示該生得分，則．【答案】10【分析】根據(jù)題意可知該生答對問題的個數(shù)服從二項分布，利用二項分布求得，再由與的關系求得即可.【詳解】依題意，設表示該生答對問題的個數(shù)，則服從二項分布，即，所以，又因為，所以.故答案為：10.14．設隨機變量服從二項分布，且，則.【答案】/【分析】根據(jù)題意，結合二項分布的期望和方差的計算公式，列出方程組，即可求解.【詳解】由題意，隨機變量服從二項分布，且，可得，可得，解得.故答案為：.四、解答題15．袋中裝有6個白球，3個黑球，從中隨機地連續(xù)抽取3次，每次取1個球.(1)若每次抽取后都不放回，設取到黑球的個數(shù)為X，求X的分布列；(2)若每次抽取后都放回，設取到黑球的個數(shù)為Y，求Y的