柱、錐、臺(tái)體、圓的面積與體積公式

柱、錐、臺(tái)體、圓的面積與體積公式〔一〕圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積將側(cè)面沿母線展開(kāi)在平面上，那么其側(cè)面展開(kāi)圖的面積即為側(cè)面面積。1、圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖——矩形圓柱的側(cè)面積2、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖——扇形圓錐的側(cè)面積3、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖——扇環(huán)圓臺(tái)的側(cè)面積〔二〕直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積把側(cè)面沿一條側(cè)棱展開(kāi)在一個(gè)平面上，那么側(cè)面展開(kāi)圖的面積就是側(cè)面的面積。1、柱的側(cè)面展開(kāi)圖——矩形直棱柱的側(cè)面積2、錐的側(cè)面展開(kāi)圖——多個(gè)共點(diǎn)三角形正棱錐的側(cè)面積3、正棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖——多個(gè)等腰梯形正棱臺(tái)的側(cè)面積說(shuō)明：這個(gè)公式實(shí)際上是柱體、錐體和臺(tái)體的側(cè)面積公式的統(tǒng)一形式①即錐體的側(cè)面積公式；②c'＝c時(shí)即柱體的側(cè)面積公式；〔三〕棱柱和圓柱的體積斜棱柱的體積＝直截面的面積×側(cè)棱長(zhǎng)〔四〕棱錐和圓錐的體積〔五〕棱臺(tái)和圓臺(tái)的體積說(shuō)明：這個(gè)公式實(shí)際上是柱、錐、臺(tái)體的體積公式的統(tǒng)一形式：①時(shí)即為錐體的體積公式；②S上＝S下時(shí)即為柱體的體積公式。〔六〕球的外表積和體積公式〔一〕簡(jiǎn)單的組合幾何體的外表積和體積——割補(bǔ)法的應(yīng)用割——把不規(guī)那么的組合幾何體分割為假設(shè)干個(gè)規(guī)那么的幾何體；補(bǔ)——把不規(guī)那么的幾何體通過(guò)添補(bǔ)一個(gè)或假設(shè)干個(gè)幾何體構(gòu)造出一個(gè)規(guī)那么的新幾何體，如正四面體可以補(bǔ)成一個(gè)正方體，如圖：四、考點(diǎn)與典型例題考點(diǎn)一幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖例1.有一根長(zhǎng)為5cm，底面半徑為1cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞4圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端A、D，那么鐵絲的最短長(zhǎng)度為多少厘米？解：展開(kāi)后使其成一線段AC＝考點(diǎn)二求幾何體的面積例2.設(shè)計(jì)一個(gè)正四棱錐形的冷水塔頂，高是0.85m，底面的邊長(zhǎng)是1.5m，制造這種塔頂需要多少平方米鐵板？〔保存兩位有效數(shù)字〕解：答：略?？键c(diǎn)三求幾何體的體積例3.求棱長(zhǎng)為的正四面體的體積。分析：將正四面體通過(guò)補(bǔ)形使其成為正方體，然后將正方體的體積減去四個(gè)易求體積的小三棱錐的體積。解：如圖，將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體，那么正方體的棱長(zhǎng)為1，那么：V正四面體＝V正方體－4V三棱錐＝1－?？键c(diǎn)四求不規(guī)那么幾何體的體積例4.證明四面體的體積，其中a，b，c為自同一頂點(diǎn)S出發(fā)的三條棱SA、SB、SC的長(zhǎng)，α，β為點(diǎn)S處的兩個(gè)面角∠BSC、∠ASC，C為這兩個(gè)面所夾二面角的大小。證明：通過(guò)補(bǔ)形，可將此三棱錐補(bǔ)成一個(gè)三棱柱，如圖。那么該三棱柱的體積可以利用“直截面面積×側(cè)棱長(zhǎng)”來(lái)進(jìn)行求解，假設(shè)設(shè)過(guò)A點(diǎn)的直截面為AHD，那么由題意知：∠ADH＝C；又AD⊥SC，故AD＝SA×sinβ＝a·sinβ；假設(shè)過(guò)B作BE⊥SC于E，那么BE＝HD＝BC×sinα＝b·sinα.所以，從而有?？键c(diǎn)五球的外表積和體積例5.在球心的同側(cè)有相距為9的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為49π和400π，求球的外表積和體積。分析：畫(huà)出球的軸截面，利用球的截面性質(zhì)求球的半徑解：設(shè)球的半徑為R，O為球心，O1、O2分別是截面圓的圓心，如圖。那么O1A＝7，O2B＝20，OA＝OB＝R，從而分別解三角形OO2B和三角形OO1A得到OO1和OO2，由OO1－OO2＝9解得R＝球的外表積為2500π，球的體積為?？键c(diǎn)六求點(diǎn)到平面的距離——等積法的應(yīng)用例6.在正方體ABCD－A’B’C’D’中，棱長(zhǎng)為a，求B到平面AB’C的距離。解：設(shè)B到面AB’C的距離為h，因?yàn)锳B’＝B’C＝CA＝a，所以SΔAB’C＝〔a〕＝a，因此·a·h＝VB－AB′C＝VB′－ABC＝·a·a＝a，故h＝a，即B到面AB′C的距離為a。附：擬柱體通用體積公式擬柱體：所有的頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體.它在這兩個(gè)平面內(nèi)的面叫做擬柱體的底面.其余各面叫做擬柱體的側(cè)面，兩底面之間的距離叫做擬柱體的高。，選A。例2.如下圖，在多面體ABCDEF中，ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF//AB，，EF與面AC的距離為2，那么該多面體的體積為〔〕A. B.5 C.6 D.，選D?！灸M題】一、選擇題1.〔2008四川〕設(shè)M，N是球心O的半徑OP上的兩點(diǎn)，且NP=MN=OM，分別過(guò)N，M，O作垂直于OP的平面，截球面得三個(gè)圓，那么這三個(gè)圓的面積之比為：〔〕A.3：5：6B.3：6：8 C.5：7：9 D.5：8：92.〔2008山東〕以下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的外表積是〔〕A.9πB.10πC.11πD.12π3.〔2008湖北〕用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為，那么球的體積為〔〕A.B.C.D.4.〔2008湖南〕長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，且AB＝2，AD＝，AA1＝1，那么頂點(diǎn)A、B間的球面距離是〔〕A.2 B. C. D.*5.〔2008重慶〕如圖，體積為V的大球內(nèi)有4個(gè)小球，每個(gè)小球的球面過(guò)大球球心且與大球球面有且只有一個(gè)交點(diǎn)，4個(gè)小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個(gè)頂點(diǎn).V1為小球相交局部〔圖中陰影局部〕的體積，V2為大球內(nèi)、小球外的圖中黑色局部的體積，那么以下關(guān)系中正確的選項(xiàng)是〔〕A.V1＝ B.V2＝C.V1>V2 D.V1<V26.〔2008海南改〕一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面。該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為3，那么這個(gè)球的體積為〔〕A.B.C.D.7.〔2008天津改〕假設(shè)一個(gè)球的體積為，那么它的外表積為〔〕A.B.C.12D.24二、填空題：8.〔2008四川〕正四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)為，且對(duì)角線與底面所成角的余弦值為，那么該正四棱柱的體積等于________________。9.〔2008浙江〕如圖，球O的面上四點(diǎn)A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA＝AB＝BC＝，那么球O的體積等于___________。三、解答題*10.〔2008廣東卷〕如下圖，四棱錐的底面是半徑為的圓的內(nèi)接四邊形，其中是圓的直徑，，，垂直底面，，分別是上的點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于．〔1〕求與平面所成角的正弦值；〔2〕證明：是直角三角形；〔3〕當(dāng)時(shí)，求的面積。11.〔2008遼寧卷〕如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，AP＝BQ＝b〔0<b<1〕，截面PQEF∥，截面PQGH∥?！并瘛匙C明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；〔Ⅱ〕證明：截面PQEF和截面PQGH的面積之和是定值，并求出這個(gè)值；〔Ⅲ〕假設(shè)與平面PQEF所成的角為，求與平面PQGH所成角的正弦值。**12.在六條棱分別為2，3，3，4，5，5的所有四面體中，最大的體積是多少？并證明你的結(jié)論。13.設(shè)一直角四面體P－ABC〔即∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝90o〕的三條棱PA、PB、PC的長(zhǎng)之和為L(zhǎng)，試求〔并證明〕其最大體積?！驹囶}答案】一、選擇題DDBCDAB二、填空題8、2；9、三、解答題10、【解】〔1〕在中，，而PD垂直于底面ABCD，，在中，，即為以為直角的直角三角形。設(shè)點(diǎn)到面的距離為，由有，即；〔2〕，而，即，，是直角三角形；〔3〕時(shí)，，即，的面積11、解：〔Ⅰ〕證明：在正方體中，，，又由可得，，，所以，，所以平面。所以平面和平面互相垂直。〔Ⅱ〕證明：由〔Ⅰ〕知，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ＝1，所以截面PQEF和截面PQGHR的面積之和是，是定值?！睮II〕解：連結(jié)BC′交EQ于點(diǎn)M。因?yàn)?，，所以平面和平面PQGH互相平行，因此與平面PQGH所成角與與平面所成角相等．與〔Ⅰ〕同理可證EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面，因此EM與的比值就是所求的正弦值．設(shè)AD’交PF于點(diǎn)N，連結(jié)EN，由知．因?yàn)锳D’⊥平面PQEF，又與平面PQEF成角，所以，即，解得，可知E為BC中點(diǎn)．所以EM＝，又，故D’E與平面PQGH所成角的正弦值為．12、【解】三角形兩邊之和大于第三邊，按題設(shè)的數(shù)據(jù)，一邊為2的三角形，其余兩邊只可能是：①3，3；②5，5；③4，5；④3，4。從而，四面體中以2為公共邊的有兩個(gè)面，其余兩邊只可能有以下三