2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第10章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第1講兩個(gè)計(jì)數(shù)原理排列組合提能訓(xùn)練

第1講兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列、組合A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2024·湖南部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)在如圖所示的表格中填寫(xiě)1,2,3三個(gè)數(shù)字，要求每一行、每一列均有這3個(gè)數(shù)字，則不同的填法種數(shù)為(C)A．6 B．9C．12 D．18[解析]第一行填數(shù)有Aeq\o\al(3,3)＝6種填法，第二行填數(shù)有2種填法，第三行填數(shù)只有1種填法，故總的填數(shù)方法有6×2×1＝12種．2．(2023·高考新課標(biāo)Ⅱ卷)某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有(D)A．Ceq\o\al(45,400)·Ceq\o\al(15,200)種 B．Ceq\o\al(20,400)·Ceq\o\al(40,200)種C．Ceq\o\al(30,400)·Ceq\o\al(30,200)種 D．Ceq\o\al(40,400)·Ceq\o\al(20,200)種[解析]根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60×eq\f(400,600)＝40人，高中部共抽取60×eq\f(200,600)＝20，根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有Ceq\o\al(40,400)·Ceq\o\al(20,200)種．故選D.3．(2024·黑龍江龍西北高中名校聯(lián)盟聯(lián)考)將編號(hào)為1、2、3、4、5、6的小球放入編號(hào)為1、2、3、4、5、6的六個(gè)盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球的編號(hào)相同，則不同的放法種數(shù)為(B)A．90 B．135C．270 D．360[解析]在6個(gè)盒子中任選2個(gè)，放入與其編號(hào)相同的小球，有Ceq\o\al(2,6)＝15種，剩下的4個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球編號(hào)不同，假設(shè)這4個(gè)盒子的編號(hào)為3,4,5,6，則3號(hào)小球可以放進(jìn)4,5,6號(hào)盒子，有3種選法，剩下的3個(gè)小球放進(jìn)剩下的3個(gè)盒子，有3種選法，所以不同的放法種數(shù)為15×3×3＝135種選法．故選B.4．(2023·黑龍江哈爾濱質(zhì)檢)小張接到5項(xiàng)工作，要在下周一、周二、周三、周四這4天中完成，每天至少完成1項(xiàng)，且周一只能完成其中1項(xiàng)工作，則不同的安排方式有(A)A．180種 B．480種C．90種 D．120種[解析]由題意可知不同的安排方式有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝180種．故選A.5．(2023·江西省萍鄉(xiāng)市模擬)如圖，給7條線(xiàn)段的5個(gè)端點(diǎn)染色，要求同一條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)不能同色，現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇，則不同的染色方法種數(shù)有(C)A.24種 B．48種C．96種 D．120種[解析]由表端點(diǎn)ABECD涂法432與A同色12與A不同色12知不同的涂色方法共有4×3×2×1×(2＋2)＝96(種)，故選C.6．(2024·江蘇揚(yáng)州模擬)重慶八中五四頒獎(jiǎng)典禮上有A，B，C，D，E，F(xiàn)共6個(gè)節(jié)日，在排演出順序時(shí)，要求A，B相鄰，C，D不相鄰，則該典禮節(jié)目演出順序的不同排法種數(shù)為(B)A．288種 B．144種C．72種 D．36種[解析]A，B相鄰，捆綁作為一個(gè)節(jié)目與E、F進(jìn)行全排列，然后把C、D插入其中的四個(gè)空檔中，排法總數(shù)為Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝144.故選B.7．(2024·江蘇南京六校聯(lián)考)從2位男生，3位女生中安排3人到三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每個(gè)場(chǎng)館各1人，且至少有1位男生入選，則不同安排方法有(C)A．16種 B．36種C．54種 D．96種[解析]當(dāng)選擇一個(gè)男生，二個(gè)女生時(shí)，不同的安排方法有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36；當(dāng)選擇二個(gè)男生，一個(gè)女生時(shí)，不同的安排方法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝18，所以不同安排方法有36＋18＝54種，故選C.8．(2024·湖南名校聯(lián)盟、河南焦作、陜西商洛階段測(cè)試)位于成都市龍泉驛區(qū)的東安湖體育公園是第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)的核心場(chǎng)館，它包含一座綜合運(yùn)動(dòng)場(chǎng)、一座多功能體育館、一座游泳跳水館和一座綜合小球館．現(xiàn)安排包含甲、乙在內(nèi)的6名同學(xué)到這4個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每人去1個(gè)場(chǎng)館，每個(gè)場(chǎng)館至少安排1個(gè)人，則甲、乙兩人安排在相同場(chǎng)館的方法種數(shù)為(C)A．96 B．144C．240 D．360[解析]先將6名同學(xué)分成4組：一種方式是甲、乙組成一組，再?gòu)牧硗?人任選2人組成一組，其余的一人一組，另一種方式是甲、乙與另外4人中的1人組成一組，其余的一人一組．再把4組人分到4個(gè)場(chǎng)館，所以安排方法種數(shù)為(Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(1,4))Aeq\o\al(4,4)＝240.故選C.9．(2024·河南洛陽(yáng)創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟階段測(cè)試)中國(guó)救援力量在國(guó)際自然災(zāi)害中為拯救生命做出了重要貢獻(xiàn)，很好地展示了國(guó)際形象，增進(jìn)了國(guó)際友誼．現(xiàn)有6支救援隊(duì)前往A，B，C三個(gè)受災(zāi)點(diǎn)執(zhí)行救援任務(wù)，若每支救援隊(duì)只能去其中的一個(gè)受災(zāi)點(diǎn)，且每個(gè)受災(zāi)點(diǎn)至少安排1支救援隊(duì)，其中A受災(zāi)點(diǎn)至少需要2支救援隊(duì)，則不同的安排方法種數(shù)是(D)A．180 B．320C．345 D．360[解析]若6支救援隊(duì)按1,1,4分成3組，則不同的安排方法種數(shù)是eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,5),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(2,2)＝30，若6支救援隊(duì)按1,2,3分成3組，則不同的安排方法種數(shù)是Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝240，若6支救援隊(duì)按2,2,2分成3組，則不同的安排方法種數(shù)是eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝90，故不同的安排方法種數(shù)是360.二、多選題10．(2024·河北石家莊摸底)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說(shuō)法正確的是(BD)A．若甲、乙、丙按從左到右的順序排列，則不同的排法有12種B．若甲、乙不相鄰，則不同的排法有72種C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，則不同的排法共有72種D．如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，則不同的排法有24種[解析]由eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(3,3))＝20(種)知A錯(cuò)；由Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝72(種)知B正確；若甲在最右端有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)排法，若甲不在最右端有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝54種排法，54＋24＝78(種)知C錯(cuò)；由Aeq\o\al(4,4)＝24(種)知D正確．故選BD.11．(2023·遼寧模擬)某中學(xué)為提升學(xué)生勞動(dòng)意識(shí)和社會(huì)實(shí)踐能力，利用周末進(jìn)社區(qū)義務(wù)勞動(dòng)，高三一共6個(gè)班，其中只有1班有2個(gè)勞動(dòng)模范，本次義務(wù)勞動(dòng)一共20個(gè)名額，勞動(dòng)模范必須參加并不占名額，每個(gè)班都必須有人參加，則下列說(shuō)法正確的是(BD)A．若1班不再分配名額，則共有Ceq\o\al(4,20)種分配方法B．若1班有除勞動(dòng)模范之外學(xué)生參加，則共有Ceq\o\al(5,19)種分配方法C．若每個(gè)班至少3人參加，則共有90種分配方法D．若每個(gè)班至少3人參加，則共有126種分配方法[解析]對(duì)于A，若1班不再分配名額，則20個(gè)名額分配到5個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少1個(gè)，根據(jù)插空法，有Ceq\o\al(4,19)種分配方法，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若1班有除勞動(dòng)模范之外學(xué)生參加，則20個(gè)名額分配到6個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少1個(gè)，根據(jù)插空法，有Ceq\o\al(5,19)種分配方法，故B正確；對(duì)于C、D，若每個(gè)班至少3人參加，相當(dāng)于16個(gè)名額被占用，還有4個(gè)名額需要分到6個(gè)班級(jí)，分5類(lèi)：①4個(gè)名額到一個(gè)班，有6種；②一個(gè)班3個(gè)名額，一個(gè)班1個(gè)名額，有Aeq\o\al(2,6)＝30種；③兩個(gè)班都是2個(gè)名額，有Ceq\o\al(2,6)＝15種；④兩個(gè)班1個(gè)名額，一個(gè)班2個(gè)名額，有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)＝60；⑤四個(gè)班都是1個(gè)名額，有Ceq\o\al(4,6)＝15種，則共有126種，故C錯(cuò)誤，D正確．故選BD.12．(2024·云南曲靖一中月考)下列說(shuō)法正確的是(BC)A．11×12×…×20可表示為Aeq\o\al(11,20)B．5個(gè)朋友聚會(huì)，見(jiàn)面后每?jī)扇宋帐忠淮?，一共握?0次C．若把英語(yǔ)單詞“happy”的字母順序?qū)戝e(cuò)，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有59種D．4名老師派到兩個(gè)學(xué)校支教，每個(gè)學(xué)校至少派1人，則共有8種不同的分派方法[解析]Aeq\o\al(11,20)＝10×11×12×13×…×20，故A錯(cuò)誤；5人兩兩握手，共握Ceq\o\al(2,5)＝10(次)，故B正確；在5個(gè)位置中選3個(gè)位置填入h，a，y，剩下2個(gè)位置填入p，共有Aeq\o\al(3,5)＝60(種)，其中正確的只有1種，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有60－1＝59(種)，故C正確；將4人按3,1分派，共Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝8種；將4人按2,2分派，共有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(2,2)＝6種．故每個(gè)學(xué)校至少派1人，共有14種分派方法，故D錯(cuò)誤．故選BC.三、填空題13．(2024·江蘇常州教育學(xué)會(huì)期中)將5本不同的書(shū)分發(fā)給4位同學(xué)，其中甲、乙兩本書(shū)不能同時(shí)發(fā)給某一位同學(xué)，每位同學(xué)都發(fā)到書(shū)，每本書(shū)只能給一位同學(xué)，則不同的分配方案數(shù)為216(用數(shù)字作答)[解析]5本書(shū)送4人共有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)＝240，甲，乙送一人有Aeq\o\al(4,4)＝24個(gè)結(jié)果，240－24＝216.14．(2024·浙江名校新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考)杭州亞運(yùn)會(huì)舉辦在即，主辦方開(kāi)始對(duì)志愿者進(jìn)行分配．已知射箭場(chǎng)館共需要6名志愿者，其中3名會(huì)說(shuō)韓語(yǔ)，3名會(huì)說(shuō)日語(yǔ)．目前可供選擇的志愿者中有4人只會(huì)韓語(yǔ)，5人只會(huì)日語(yǔ)，另外還有1人既會(huì)韓語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)，則不同的選人方案共有140種．(用數(shù)字作答)．[解析]若從只會(huì)韓語(yǔ)中選3人，則Ceq\o\al(3,4)(Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,1))＝4×20＝80種，若從只會(huì)韓語(yǔ)中選2人，則Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(3,5)＝6×10＝60種，故不同的選人方案共有60＋80＝140種．15．(2024·湖南衡陽(yáng)名校月考)在數(shù)學(xué)中，有一個(gè)被稱(chēng)為自然常數(shù)(又叫歐拉數(shù))的常數(shù)e≈2.71828.小明在設(shè)置銀行卡的數(shù)字密碼時(shí)，打算將自然常數(shù)的前6位數(shù)字2,7,1,8,2,8進(jìn)行某種排列得到密碼．如果排列時(shí)要求兩個(gè)2相鄰，兩個(gè)8不相鄰，那么小明可以設(shè)置的不同密碼共有36個(gè)．[解析]如果排列時(shí)要求兩個(gè)2相鄰，兩個(gè)8不相鄰，兩個(gè)2捆綁看作一個(gè)元素與7,1全排列，排好后有4個(gè)空位，兩個(gè)8插入其中的2個(gè)空位中，注意到兩個(gè)2，兩個(gè)8均為相同元素，那么小明可以設(shè)置的不同密碼共有Aeq\o\al(3,3)·Ceq\o\al(2,4)＝36.B組能力提升1．(2023·貴州遵義新高考協(xié)作體質(zhì)檢)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)要與兩位老師站成一排合影留念，則甲同學(xué)不站兩端且兩位老師必須相鄰的站法有(B)A．72種 B．144種C．288種 D．576種[解析]教師排兩端有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝72種排法，教師不排兩端有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝72種排法．故共有72＋72＝144種排法．選B.2．(多選題)(2024·廣東佛山S71聯(lián)考)現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2023年杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，則以下說(shuō)法正確的是(AD)A．若每人都安排一項(xiàng)工作，則不同的方法數(shù)為45B．若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為Aeq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,4)C．如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排1人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3))Aeq\o\al(3,3)D．每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲、乙不會(huì)開(kāi)車(chē)但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)[解析]每人都安排一項(xiàng)工作，每人有4種安排方法，則有45種安排方法，A正確；先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4項(xiàng)工作，有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)種安排方法，B錯(cuò)誤；先將5人分為3組，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))))種分組方法，將分好的三組安排翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作，有Aeq\o\al(3,3)種情況，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))))Aeq\o\al(3,3)種安排方法，C錯(cuò)誤；①?gòu)谋?，丁，戊中選出1人開(kāi)車(chē)，②從丙，丁，戊中選出2人開(kāi)車(chē)，則有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)種安排方法，D正確．故選AD.3．(2023·廣東茂名一中模擬)由數(shù)字0,1,2,3,4組成的各位上沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，從小到大排列第88個(gè)數(shù)為(C)A．42031 B．42103C．42130 D．42301[解析]由數(shù)字0,1,2,3,4組成的各位上沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，1在萬(wàn)位的有Aeq\o\al(4,4)＝24(個(gè))；2在萬(wàn)位的有Aeq\o\al(4,4)＝24(個(gè))；3在萬(wàn)位的有Aeq\o\al(4,4)＝24(個(gè))；4在萬(wàn)位的有Aeq\o\al(4,4)＝24(個(gè))；則從小到大排列第88個(gè)數(shù)為4在萬(wàn)位的五位數(shù).4在萬(wàn)位0在千位的有Aeq\o\al(3,3)＝6(個(gè))；4在萬(wàn)位1在千位的有Aeq\o\al(3,3)＝6(個(gè))；4在萬(wàn)位2在千位的有Aeq\o\al(3,3)＝6(個(gè))，則從小到大排列第88個(gè)數(shù)為4在萬(wàn)位2在千位的五位數(shù).4在萬(wàn)位2在千位的五位數(shù)從小到大排列依次為：42013,42031,42103,42130,42301,42310則從小到大排