概率論與數(shù)理統(tǒng)計總結(jié)(同名22548)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計總結(jié)(同名22548)隨機(jī)事件與概率隨機(jī)事件及其運(yùn)算隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象樣本空間：隨機(jī)現(xiàn)象的一切可能基本結(jié)果組成的集合，記為Ω={ω},其中ω表示基本結(jié)果，又稱為樣本點。隨機(jī)事件：隨機(jī)現(xiàn)象的某些樣本點組成的集合常用大寫字母A、B、C等表示，Ω表示必然事件，?表示不可能事件。隨機(jī)變量：用來表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量，常用大寫字母X、Y、Z等表示。時間的表示有多種：用集合表示，這是最基本形式用準(zhǔn)確的語言表示用等號或不等號把隨機(jī)變量于某些實屬聯(lián)結(jié)起來表示6、事件的關(guān)系（1）包含關(guān)系：如果屬于A的樣本點必屬于事件B，即事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱A被包含于B，記為A?B;（2）相等關(guān)系：若A?B且B?

A，則稱事件A與事件B相等，記為A＝B。（3）互不相容：如果A∩B=?，即A與B不能同時發(fā)生，則稱A與B互不相容7、事件運(yùn)算（1）事件A與B的并：事件A與事件B至少有一個發(fā)生，記為A∪B。（2）事件A與B的交：事件A與事件B同時發(fā)生，記為A∩B或AB。（3）事件A對B的差：事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生,記為A－B。用交并補(bǔ)可以表示為。（4）對立事件：事件A的對立事件（逆事件），即“A不發(fā)生”，記為。對立事件的性質(zhì)：。8、事件運(yùn)算性質(zhì)：設(shè)A，B，C為事件，則有（1）交換律：A∪B=B∪A，AB=BA（2）結(jié)合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪CA(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)、A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)=AB∪AC（4）棣莫弗公式（對偶法則）：9、事件域：含有必然事件Ω

，并關(guān)于對立運(yùn)算和可列并運(yùn)算都封閉的事件類ξ稱為事件域，又稱為σ代數(shù)。具體說，事件域ξ滿足：（1）Ω∈ξ;(2)若A∈ξ，則對立事件∈ξ；（3）若An∈ξ，n=1,2，···，則可列并ξ

。10、兩個常用的事件域：（1）離散樣本空間（有限集或可列集）內(nèi)的一切子集組成的事件域；（2）連續(xù)樣本空間（如R、R2等）內(nèi)的一切博雷爾集（如區(qū)間或矩形）逐步擴(kuò)展而成的事件域。概率的定義及其確定方法1、概率的公理化定義：定義在事件域ξ上的一個實值函數(shù)P（A）滿足：（1）非負(fù)性公理：若A∈ξ，則P(A)≥0；（2）正則性公理：P(Ω)＝1（3）可列可加性公理：若A,，A2，···，A3互不相容，則有，即，則稱P（A）為時間A的概率，稱三元素（Ω，ξ，P）為概率空間2、確定概率的頻率方法：（是在大量重復(fù)試驗中，用頻率的穩(wěn)定值去獲得頻率的一種方法）它的基本思想是：（1）與考察事件A有關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象可大量重復(fù)進(jìn)行；在n次重復(fù)試驗中，記n(A)為事件A出現(xiàn)的次數(shù)，稱fn(A)=，為事件A出現(xiàn)的頻率；頻率的穩(wěn)定值就是概率；當(dāng)重復(fù)次數(shù)n較大時，可用頻率作為概率的估計值。3、確定概率的古典方法：它的基本思想是：所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象只有有限個樣本點，譬如為n個；每個樣本點發(fā)生的可能性相等（等可能性）；若事件A含有k個樣本點，則事件A的概率為P（A）=。4、確定概率的幾何方法：它的基本思想是：如果一個隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間充滿某個區(qū)域，其度量（長度、面積、體積等）大小可用Sn表示；任意一點落在度量相同的子區(qū)域內(nèi)是等可能的；若事件A為中某個子區(qū)域，且其度量為SA,則事件A的概率為P（A）=.5、確定概率的主觀方法：一個事件A的概率P（A）使人們根據(jù)經(jīng)驗，對該事件發(fā)生的可能性大小所做出的個人信念。6、概率是定義在事件域ξ上的集合函數(shù)，且滿足三條公理。前三種確定概率的方法自動滿足三條公理，而主觀方法確定概率要加驗證，若不滿足三條公理就不能稱為概率。第三節(jié)概率的性質(zhì)：P(Φ)＝0有限可加性：若有限個事件A,，A2，···，A3互不相容，則有，對立事件的概率：對任一事件A，有減法公式（特定場合）：若AB,則P(A－B)＝P(A)－P(B)單調(diào)性：若AB，則P（A）P（B）減法公式（一般場合）：對任意兩個事件A、B，有P(A－B)＝P(A)－P(AB)加法公式：對任意兩個事件A、B，有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。對任意n個事件A1，A2，···，An，有半可加性：對任意兩個事件A、B，有.事件序列的極限：對ξ

中任一單調(diào)不減的事件序列，稱為可列并為極限{Fn}的極限事件，記為。對ξ

中任一單調(diào)不增的事件序列，稱為可列交為極限{En}的極限事件，記為。若,則稱概率P是上連續(xù)的概率的連續(xù)性：若P為事件域ξ

上的概率，則P既是上連續(xù)的，又是下連續(xù)的若P是ξ上滿足P（Ω）=1的非負(fù)集合函數(shù)，則P是可列可加性的充要條件是P具有有限可加性和下連續(xù)性。第四節(jié)條件概率1、條件概率：設(shè)A、B是兩個事件，若P(A)>0，則稱P(A|B)=為事件B發(fā)生條件下，事件A發(fā)生的條件概率。條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。2、乘法公式：（1）若P(B)>0,P(AB)=P(B)P(A|B)（2）若P(A1A2…An-1)>0…………。3、全概率公式：設(shè)事件互不相容，且，如果，則對任一事件A有，i=1,2,···，n。。4、貝葉斯共公式：設(shè)事件，，…，互不相容，且，如果P（A）>0，,則，i=1，2，…n。此公式即為貝葉斯公式。，（，，…，），通常叫Bi的先驗概率。，（，，…，），通常稱為Bi的后驗概率。第五節(jié)獨(dú)立性1、兩個事件的獨(dú)立性：如果滿足，則稱事件、是相互獨(dú)立的，簡稱A與B獨(dú)立。否則稱A與B不獨(dú)立或相依。若事件、相互獨(dú)立，且，則有2、若事件、相互獨(dú)立，則可得到與、與、與也都相互獨(dú)立。必然事件和不可能事件?與任何事件都相互獨(dú)立。?與任何事件都互斥。3、多個事件的獨(dú)立性：設(shè)有n個事件A1，A2，···，An，如果對任意的1I<j<k<···n，以下等式均成立則稱此n個事件A1，A2，···，An相互獨(dú)立。4、若n個事件相互獨(dú)立，則其任一部分與另一部分也相互獨(dú)立。特別把其中部分換為對立事件后，所得諸事件亦相互獨(dú)立。5、試驗的獨(dú)立性：假如實驗E1的任一結(jié)果（事件）與試驗E2的任一結(jié)果（事件）都是相互獨(dú)立的事件，則稱這兩個試驗相互獨(dú)立。6、n重獨(dú)立重復(fù)試驗：假如一個試驗重復(fù)進(jìn)行n次，并各次試驗間相互獨(dú)立，則稱其為n次獨(dú)立重復(fù)試驗。假如一個試驗只可能有兩個結(jié)果：A與，則稱其為伯努利試驗。假如一個伯努利試驗重復(fù)進(jìn)行n次，并各次試驗間相互獨(dú)立，則稱其為n重伯努利試驗。隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量：定義在樣本空間Ω上的實值函數(shù)X=X(ω)稱為隨機(jī)變量。離散隨機(jī)變量：僅取有限個或可列個值的隨機(jī)變量連續(xù)隨機(jī)變量:取值充滿某個空間（a，b）的隨機(jī)變量。這里a可為-∞，b可為+∞。2、分布函數(shù)：設(shè)X是一個隨機(jī)變量，對任意實數(shù)x，稱函數(shù)為X的分布函數(shù)，記為X~F(x)。分布函數(shù)具有如下三條基本性質(zhì)：單調(diào)性：F（x）是單調(diào)非減函數(shù)，即對任意的x1<x2,有F(x1)F(x2)；右連續(xù)性：F（x）是x的右連續(xù)函數(shù)，即對任意的x0，有，即F(x0+0)=F(x0)；有界性:對任意的x，有0≤F(x)≤1，且F(-∞)==0，F(xiàn)(+∞)==1可以證明：具有上述三條性質(zhì)的函數(shù)F（x）一定是某一個隨機(jī)變量的分布函數(shù)。如果將X看作數(shù)軸上隨機(jī)點的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)F(x)的值就表示X落在區(qū)間內(nèi)的概率3、離散型隨機(jī)變量的概率分布列:若離散型隨機(jī)變量的可能取值為xn(n=1,2,…)則稱X取xi的概率為Pi=P(xi=)P(X=xi)，i=1,2,…，則稱上式為離散型隨機(jī)變量的概率分布列，簡稱分布列。有時也用列表的形式給出：。分布列具有兩條基本性質(zhì)：非負(fù)性;，（2）正則性:。離散隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，它是有限級或可列有限級階梯函數(shù)。離散隨機(jī)變量X取值于區(qū)間（a，b]上的概率為P(a<X≤b)=F(a)-F(b).常數(shù)c可看作僅取一個值的隨機(jī)變量X，即P(X=c)=1，它的分布常稱為單點分布或退化分布。4、連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù):記連續(xù)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是F(x)，若存在非負(fù)可積函數(shù)p（x），對任意實數(shù)x，有，則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。p（x）稱為的概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)。密度函數(shù)p（x）具有下面2個基本性質(zhì)：非負(fù)性:;正則性：。5、離散分布：分布在離散場合可以是分布列或分布函數(shù)；連續(xù)分布：分布在連續(xù)場合可以是密度函數(shù)或分布函數(shù)。存在既非離散又非連續(xù)的分布。6、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)，則可用F(x)表示下列概率：（1）P(X≤a)=F(a)；（2）P(X<a)=F(a-0)；（3）P(X>a)=1-P(X≤a)=1-F(a)；(4)P(X=a)=P(X≤a)-P(X<a)=F(a)-F(a-0);(5)P(X≥a)=1-P(X<a)=1-F(a-0);(6)P(|X|<a)=P(-a<X<a)=P(X<a)-P(X≤-a)=F(a-0)-F(-a).第二節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望：設(shè)隨機(jī)變量X的分布列p（xi）或用密度函數(shù)p（x）表示，若，則稱E(X)=為X的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值，且稱X的數(shù)學(xué)期望存在。否則數(shù)學(xué)期望不存在。數(shù)學(xué)期望是有分布決定的，它是分布的位置特征。如果兩個隨機(jī)變量同分布，則其數(shù)學(xué)期望（存在的話）是相等的。期望相當(dāng)于重心。數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：假設(shè)數(shù)學(xué)期望存在，X的某一函數(shù)g（X）的數(shù)學(xué)期望為若C為常數(shù)，則E(C)=C對任意常數(shù)C，有E(CX)=CE(X)對任意的兩個函數(shù)g1（x）和g2（x），E[g1（x）±g2（x）]=E[g1（x）]±E[g2（x）]E(X+Y)=E(X)+E(Y)，E(XY)=E(X)E(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。第三節(jié)隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差：隨機(jī)變量X對其期望E（X）的偏差平方的數(shù)學(xué)期望（設(shè)其存在）Var（X）=E[X-E(X)]2稱為X的方差，方差的正平方根σ（X）=σX=稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差。方差是由分布決定的，它是分布的散布象征，方差越大，分布就越散；方差越小，分布就越集中。標(biāo)準(zhǔn)差與方差的功能相似，只是量綱不同。方差的性質(zhì)：假設(shè)方差存在，Var（X）=E(X2)-[E(X)]2若c是常數(shù)，則Var（c）=0Var（aX+b）=a2Var（X）若隨機(jī)變量X的方差存在，則Var（X）=0的充要條件是X幾乎處處為某個常數(shù)a，即P（X=a）=1若X,Y相互獨(dú)立，則D(X±Y)=D(X)+D(Y)切比雪夫不等式:設(shè)X的數(shù)學(xué)期望和方差都存在，則對任意常數(shù)ε>0,有,或。切比雪夫不等式給出隨機(jī)變量取值的大偏差（指事件{|X-E(X)|≥ε}）發(fā)生的概率的上限，該上限于分布的方差成正比。隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化：對任意隨機(jī)變量X，如果X的數(shù)學(xué)期望和方差存在，則稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量，此時有E(X*)=0，Var（X*）=1。第四節(jié)常用離散分布二項分布：設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為，，其中，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項分布。記為。背景：重貝努里試驗中成功的次數(shù)服從參數(shù)為，的二項分布。記為，其中p為一次伯努利試驗中成功發(fā)生的概率。n=1時的二項分布B（1，p）稱為二點分布，或0-1分布，（0-1）分布是二項分布的特例。當(dāng)X～B（1，p）時，X可表示一次伯努利試驗中成功的次數(shù)，它只能取0或1。二項分布B（1，p）的數(shù)學(xué)期望和方差分別是：E(X)=np，Var（X）=np（1-p）。若，則Y=n-X～B（n，1-p），其中Y=n-X是n重伯努利試驗中失敗的次數(shù)。泊松分布：設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列為，k=0,1,2，···，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為X～P()，其中參數(shù)。背景：單位時間（或單位面積、單位產(chǎn)品等）上某稀有事件（這里的稀有事件是指不經(jīng)常發(fā)生的事件）發(fā)生的次數(shù)服從泊松分布P()，其中為該稀有事件發(fā)生的強(qiáng)度。泊松分布P()的數(shù)學(xué)期望和方差分別是：E(X)=,Var（X）=。二項分布的泊松近似（泊松定理）：在n重伯努利試驗中，記事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為pn（與試驗次數(shù)n有關(guān)），如果當(dāng)n+∞時，有npn，則。超幾何分布若X的概率分布列為，k=0,1，···，r。則稱X服從超幾何分布，記為X～h（n，N,M）,其中r=min{M，n}，且M≤N，n≤N。n，N,M均為正整數(shù)。背景：設(shè)有N個產(chǎn)品，其中有M個不合格品。若從中不放回的隨機(jī)抽取n個，則其中含有的不合格品的個數(shù)X服從超幾何分布h（n，N,M）。超幾何分布h（n，N,M）的數(shù)學(xué)期望和方差分別是:E（X）=,Var（X）=。超幾何分布的二項近似：當(dāng)n<<N時，超幾何分布h（n，N,M）可用二項分布b（n，M/N）近似，即，其中p=M/N。實際應(yīng)用中，再不返回抽樣時，常用超幾何分布描述抽搐樣哦泥中不合格品數(shù)的分布；在返回抽樣時，常用二項分布b（n，p）描述抽出樣品中不合格聘書的分布；當(dāng)批量N較大，而抽出樣品數(shù)n較小時，不返回抽樣可近似看成返回抽樣。幾何分布：若X的概率分布列為P（X=k）=（1-p）k-1p，k=1,2，···，則稱為X服從幾何分布，記為X～Ge（p），其中0<p<1.背景：在伯努利試驗序列中，成功事件A首次出現(xiàn)時的試驗次數(shù)X服從幾何分布Ge（p），其中p為每次試驗中事件A發(fā)生的概率。幾何分布Ge（p）的數(shù)學(xué)期望和方差分別是;E(X)=,Var(X)=。幾何分布的無記憶性：若X～Ge（p），則對任意正整數(shù)m與n有P(X>m+n|X>m)=P(X>n)。負(fù)二項分布：若X的概率分布列為，k=r，r+1，···。則稱X服從負(fù)二項分布或巴斯卡分布，記為X～Nb（r，p），其中r為正整數(shù)，0<p<1。背景：在伯努利試驗序列中，成功事件A第r次出現(xiàn)時的試驗次數(shù)X服從負(fù)二項分布Nb（r，p），其中p為每次試驗中事件A發(fā)生的概率。r=1時的負(fù)二項分布為幾何分布，即Nb（r，p）=Ge（p）。負(fù)二項分布Nb（r，p）的數(shù)學(xué)期望和方差分別是:E(X)=r/p,Var(X)=r(1-p)/p2。負(fù)二項分布的隨機(jī)變量可以表示成r個獨(dú)立同分布的幾何分布隨機(jī)變量之和，即若X～Nb（r，p），則X=X1+X2+···+Xr，其中X1，X2，···，Xr是相互獨(dú)立、服從幾何分布Ge（p）的隨機(jī)變量。常用離散分布表分布列pk期望方差0-1分布pk=pk（1-p）1-k，k=0,1p二項分布pk=k=0,1，···，nnp泊松分布pk=k=0,1，···幾何分布pk=P（X=k）=（1-p）k-1p，k=1,2，···，超幾何分布pk=k=0,1，···，r。r=min{M，n}負(fù)二項分布Nb（r，p）pk=k=r，r+1，···。r/pr(1-p)/p2第五節(jié)常用連續(xù)分布正態(tài)分布若X的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為，-∞<x<+∞;,-∞<x<+∞;則稱X服從正態(tài)分布，記作X～N（μ，σ2），其中參數(shù)-∞<μ<+∞，σ>0。（2）背景：一個變量若是由大量微小的、獨(dú)立的隨機(jī)因素的疊加結(jié)果，則此變量一定是正態(tài)變量（服從正態(tài)分布的變量）。測量誤差就是量具偏差、測量環(huán)境的影響、測量技術(shù)的的影響等因素隨機(jī)因素疊加而成的，所以測量誤差常認(rèn)為服從正態(tài)分布。關(guān)于參數(shù)μ：μ是正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望，即E（X）=μ，稱μ為正態(tài)分布的位置參數(shù)。μ是正態(tài)分布的對稱中心，在μ的左側(cè)和p（x）下的面積為0.5；在μ的右側(cè)和p（x）下的面積為0.5；所以μ也是正態(tài)分布的中位數(shù)若X～N（μ，σ2），則X在離μ越近取值的可能性越大，離μ越遠(yuǎn)取值的可能性越小關(guān)于參數(shù)σ：σ2是正態(tài)分布的方差，即Var（X）=σ2；σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差，σ越小，正太分布越集中；σ越大，正態(tài)分布越分散；σ又稱為正態(tài)分布的尺度參數(shù)若X～N（μ，σ2），則其密度函數(shù)p（x）在μ±σ處有兩個拐點標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：稱μ=0，σ=1時的正態(tài)分布N（0,1）；記U為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，φ(u)和Φ(u)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)。φ(u)和Φ(u)滿足：φ(-u)=φ(u)Φ(-u)=1-Φ(u)。對u>0,Φ(u)的值有表可查標(biāo)準(zhǔn)化變換：若X～N（μ，σ2），則U=（X-μ）/σ～N（0,1），其中U=（X-μ）/σ稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化變換若X～N（μ，σ2），則對任意實數(shù)a與b，有P（X≤b）=，P（a<X）=1-,P（a<X≤b）=-。正態(tài)分布的3σ原則：設(shè)X～N（μ，σ2），則P（|X-μ|<kσ）=Φ(k)—Φ(-k)=均勻分布若X的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為則稱X服從區(qū)間（a，b）上的均勻分布，記作X～U（a，b）。背景：向區(qū)間（a，b）隨機(jī)投點，落點坐標(biāo)X一定服從均勻分布U（a，b）?！半S即投點”指：點落在任意相等長度的小區(qū)間上的可能性是相等的。均勻分布U（a，b）的數(shù)學(xué)期望和方差分別是E（X）=，Var（X）=。稱區(qū)間（0,1）上的均勻分布U（0,1）為標(biāo)準(zhǔn)均勻分布，它是導(dǎo)出其他分布隨機(jī)數(shù)的橋梁指數(shù)分布若X的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為則稱為X服從指數(shù)分布，記作X～Exp（λ），其中參數(shù)λ>0。背景：若一個元器件（或一臺設(shè)備、或一個系統(tǒng)）遇到外來沖擊時即告失效，則首次沖擊來到的時間X（壽命）服從指數(shù)分布。指數(shù)分布Exp（λ）的數(shù)學(xué)期望和方差分別是E(X)=,Var(X)=。指數(shù)分布的無記憶性：若X～Exp（λ），則對任意s>0,t>0,有P（X>s+t|X>s）=P(X>t)。伽瑪分布伽瑪函數(shù)：稱（）=為伽瑪函數(shù)，其中參數(shù)>0。伽瑪函數(shù)具有如下性質(zhì)：（1）=1；（1/2）=；（+1）=（）；（n+1）=n（n）=n！（n為自然數(shù)）。伽瑪分布：若X的密度函數(shù)為即稱X服從伽瑪分布，記作X～Ga（，λ），其中>0為形狀參數(shù)，λ>0為尺度參數(shù)。背景：若一個元器件（或一臺設(shè)備、或一個系統(tǒng)）能抵擋一些外來沖擊，但遇到第k次沖擊時即告失效，則第k次沖擊來到的時間X（壽命）服從形狀參數(shù)為k的伽瑪分布Ga（k，λ）。伽瑪分布Ga（，λ）的數(shù)學(xué)期望和方差分別為E（X）=，Var（X）=。伽瑪分布的兩個特例:=1時的伽瑪分布就是指數(shù)分布，即Ga（1，λ）=Exp（λ）。稱=n/2，λ=1/2時的伽瑪分布為自由度為n的χ2（卡方）分布，記為χ2（n），其密度函數(shù)為，χ2（n）分布的期望