概率論中幾種具有可加性的分布及其關(guān)系

概率論中幾種具有可加性的分布及其關(guān)系概率論中幾種具有可加性的分布及其關(guān)系②取自然數(shù)的時候，有1.4.1伽瑪分布的定義定義1.4如果隨機(jī)變量的密度函數(shù)為就稱作服從伽瑪分布，記為且的值均大于0.為伽瑪分布的形狀參數(shù)，為其尺度參數(shù).當(dāng)時，為嚴(yán)格單調(diào)遞減的函數(shù)，在處取得奇異點(diǎn)；當(dāng)時，亦嚴(yán)格單調(diào)減，且時有當(dāng)時，為單峰函數(shù)，先上凸然后下凸；當(dāng)時，先下凸再上凸，最后下凸.而且隨著的增大，逐漸接近于正態(tài)分布的密度函數(shù).1.4.2伽瑪分布的可加性定理1.4.1設(shè)隨機(jī)變量且和彼此獨(dú)立，則證明知且與彼此獨(dú)立，所以此即為的特征函數(shù)，根據(jù)惟一性定理則可知結(jié)論得證！如正態(tài)分布，對于伽瑪分布，我們同樣可以利用連續(xù)場合的卷積公式對其可加性進(jìn)行證明，詳見文獻(xiàn)[5];1.5柯西分布[4]1.5.1柯西分布的密度函數(shù)柯西分布是幾個常見的連續(xù)分布之一.它的密度函數(shù)為時的柯西分布密度函數(shù)稱為標(biāo)準(zhǔn)柯西分布密度函數(shù)，即為方便起見，往后我們分別記這兩類密度函數(shù)為和對于柯西分布的數(shù)學(xué)期望和方差，因所以不收斂，故柯西分布的數(shù)學(xué)期望與方差均不存在.1.5.2柯西分布的可加性定理1.5.1設(shè)隨機(jī)變量且彼此獨(dú)立，則有證明因均服從于柯西分布，且的特征函數(shù)分別是又因彼此獨(dú)立，所以這恰好就是參數(shù)為的柯西分布的特征函數(shù)，所以即證！1.6卡方分布（分布）1.6.1卡方分布（分布）的定義及密度函數(shù)定義1.6[7]設(shè)獨(dú)立同分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布則稱所服從的分布為自由度為的卡方分布，記為卡方分布的密度函數(shù)為1.6.2卡方分布可加性卡方分布密度函數(shù)的圖像是一個只取非負(fù)值的偏態(tài)圖像.它的圖像隨著自由度的增加而逐漸趨于對稱，當(dāng)自由度時，其圖像趨于正態(tài)分布的圖像.這也從另一個側(cè)面告訴我們，卡方分布是由其自由度決定的，不同的自由度對應(yīng)了不同的卡方分布.由1.6.1，我們可以知道卡方分布即伽瑪分布的一個特例，所以由伽瑪分布的可加性我們易知卡方分布亦滿足可加性定理，即定理1.6.1[5]設(shè)且彼此獨(dú)立，則有證明由卡方分布的定義，設(shè)且彼此獨(dú)立.則有，從從卡方分布的定義，因此即證！2具有可加性的概率分布間的關(guān)系2.1二項(xiàng)分布的泊松近似[4]當(dāng)?shù)娜≈岛艽髸r，二項(xiàng)分布的計算是令人頭疼的.這里介紹了泊松分布的一個十分有用的特性，我們可利用泊松分布作為二項(xiàng)分布的一種特殊近似，即二項(xiàng)分布的泊松近似.下面我們來看泊松定理，當(dāng)取值較大，而取值偏小的情況下使用泊松定理，可大大減小二項(xiàng)分布的計算量.定理2.1[8]（定理)在重伯努利試驗(yàn)中，記事件在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為它與試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)有關(guān)，若當(dāng)時，有即則對任意給定的（為非負(fù)整數(shù)），有證明設(shè)則有所以由已知有，則對于給定的值，有且；所以有即證！因定理的條件之一為所以在二項(xiàng)分布的計算中，若值很大，的值卻很小，且的大小適中時（一般認(rèn)為當(dāng)且時），二項(xiàng)分布可以使用參數(shù)為的泊松分布來做近似，即有此即為二項(xiàng)分布的泊松近似，而且的值應(yīng)盡可能的大，這樣計算結(jié)果才能更精確.二項(xiàng)分布的泊松近似經(jīng)常被用于稀有事件（即每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率很?。┑难芯恐?，大量實(shí)例表明，一般情況下概率時，泊松近似非常好用，甚至的取值不必很大.2.2二項(xiàng)分布的正態(tài)近似這正是時的柯西分布的密度函數(shù)，所以結(jié)論得證！正態(tài)分布與卡方分布的關(guān)系如下：定理2.4.2若隨機(jī)變量則定理證明見文獻(xiàn)[10].這說明了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與自由度為1的卡方分布之間的關(guān)系.若且彼此獨(dú)立，記，根據(jù)卡方分布的定義，我們知服從自由度為的卡方分布.對于伽瑪分布，當(dāng)其參數(shù)時即為自由度為的卡方分布，記為3小結(jié)文章第一部分我們討論了六種具有可加性的分布以及它們的簡單性質(zhì)，上述分布的可加性均可利用卷積公式或者特征函數(shù)進(jìn)行證明.正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，一般地，如果某個數(shù)量指標(biāo)受到大量隨機(jī)因素影響，而每一因素起的作用很小，則這個數(shù)量指標(biāo)就近似服從正態(tài)分布.在第二部分里研究了二項(xiàng)分布、正態(tài)分布與泊松分布的關(guān)系，從此處我們可以知道二項(xiàng)分布不僅可以用泊松分布近似，同樣也可由正態(tài)分布來近似.參考文獻(xiàn)[1]羅建華.卷積公式的應(yīng)用注記[J].中南林業(yè)科技大學(xué)學(xué)報，2007年，第27卷，第1期：152頁.[2]李賢平，沈崇生，陳子毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2003.5：221-231.[3]唐玲，徐懷.復(fù)合泊松分布和泊松過程的可加性[J].安徽建筑工業(yè)學(xué)院學(xué)報，2007.05：83頁.[4]郭彥.對柯西分布性質(zhì)的進(jìn)一步討論[J].淮陰工學(xué)院學(xué)報，2005.05：12頁.[5]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京：高等教育出版社，2004.7:155-160;[6]王梓坤.概率論基礎(chǔ)及應(yīng)用[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1996.3:61-64.[7]宋立新.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：人民大學(xué)出版社，2003.9:176-177.[8]于洋.淺析二項(xiàng)分布、泊松分布和正態(tài)分布之間的關(guān)系[J].《企業(yè)科技與發(fā)展》，2008年第20期：120頁.[9]魏宗舒等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京：高等