高中數(shù)學必修3本章教材分析

本章教材分析

算法是數(shù)學及其應用的重要組成部分，是計算科學的重要基礎.算法的應用是學習數(shù)學的一個重要方面.

學生學習算法的應用，目的就是利用已有的數(shù)學知識分析問題和解決問題.通過算法的學習，對完善數(shù)學的思

想，激發(fā)應用數(shù)學的意識，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，增強進行實踐的能力等，都有很大的幫助.

本章主要內(nèi)容：算法與程序框圖、基本算法語句、算法案例和小結.教材從學生最熟悉的算法入手，通

過研究程序框圖與算法案例，使算法得到充分的應用，同時也展現(xiàn)了古老算法和現(xiàn)代計算機技術的密切關

系.算法案例不僅展示了數(shù)學方法的嚴謹性、科學性，也為計算機的應用提供了廣闊的空間.讓學生進一步

受到數(shù)學思想方法的熏陶，激發(fā)學生的學習熱情.

在算法初步這一章中讓學生近距離接近社會生活，從生活中學習數(shù)學，使數(shù)學在社會生活中得到應用

和提高，讓學生體會到數(shù)學是有用的，從而培養(yǎng)學生的學習興趣.“數(shù)學建模”也是高考考查重點.

本章還是數(shù)學思想方法的載體，學生在學習中會經(jīng)常用到“算法思想''"轉(zhuǎn)化思想”，從而提高自己數(shù)學

能力.因此應從三個方面把握本章：

(1)知識間的聯(lián)系；

(2)數(shù)學思想方法；

(3)認知規(guī)律.

本章教學時間約需12課時，具體分配如下(僅供參考):

1.1.1算法的概念約1課時

1.1.2程序框圖與算法的基本邏輯結構約4課時

1.2.1輸入語句、輸出語句和賦值語句約1課時

1.2.2條件語句約1課時

1.2.3循環(huán)語句約1課時

1.3算法案例約3課時

本章復習約1課時

1.1算法與程序框圖

1.1.1算法的概念

整體設計

教學分析

算法在中學數(shù)學課程中是一個新的概念，但沒有一個精確化的定義，教科書只對它作了如下描述：“在

數(shù)學中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確有限的步驟.”為了讓學生更好理解這一概念，

教科書先從分析一個具體的二元一次方程組的求解過程出發(fā)，歸納出了二元一次方程組的求解步驟，這些

步驟就構成了解二元?次方程組的算法.教學中，應從學生非常熟悉的例子引出算法，再通過例題加以鞏固.

三維目標

1.正確理解算法的概念，掌握算法的基本特點.

2.通過例題教學，使學生體會設計算法的基本思路.

3.通過有趣的實例使學生了解算法這一概念的同時，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.

重點難點

教學重點：算法的含義及應用.

教學難點：寫出解決一類問題的算法.

課時安排

1課時

教學過程

導入新課

思路1(情境導入)

一個人帶著三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可容納一個人和兩只動物，沒有人在的時候，

如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量狼就會吃羚羊.該人如何將動物轉(zhuǎn)移過河？請同學們寫出解決問題的步驟，

解決這一問題將要用到我們今天學習的內(nèi)容一算法.

思路2(情境導入)

大家都看過趙本山與宋丹丹演的小品吧，宋丹丹說了一個笑話，把大象裝進冰箱總共分幾步？

答案：分三步，第一步：把冰箱門打開；第二步：把大象裝進去；第三步：把冰箱門關上.

上述步驟構成了把大象裝進冰箱的算法，今天我們開始學習算法的概念.

思路3(直接導入)

算法不僅是數(shù)學及其應用的重要組成部分，也是計算機科學的重要基礎.在現(xiàn)代社會里，計算機已成為

人們?nèi)粘Ｉ詈凸ぷ髦胁豢扇鄙俚墓ぞ?聽音樂、看電影、玩游戲、打字、畫卡通畫、處理數(shù)據(jù)，計算機是

怎樣工作的呢？要想弄清楚這個問題，算法的學習是一個開始.

推進新課

新知探究

提出問題

(1)解二元一次方程組有兒種方法？

(2)結合教材實例*—2)'=-I")總結用加減消元法解二元一次方程組的步驟.

[2x+y=\,(2)

(3)結合教材實例4.總結用代入消元法解二元一次方程組的步驟.

2x+y=\,(2)

(4)請寫出解一般二元一次方程組的步驟.

(5)根據(jù)上述實例談談你對算法的理解.

(6)請同學們總結算法的特征.

(7)請思考我們學習算法的意義.

討論結果：

(1)代入消元法和加減消元法.

(2)回顧二元一次方程組

x—2丫=-](1)

<,一的求解過程，我們可以歸納出以下步驟：

2x+y=\,(2)

第一步，①+②x2,得5x=l.③

第二步，解③，得x=(.

第三步，②-①x2,得5y=3.④

3

第四步，解④，得丫=二.

5

1

了一55

第五步，得到方程組的解為13

(3)用代入消元法解二元一次方程組

x-2v=-1⑴

{我們可以歸納出以下步驟:

[2x+y=l,(2)

第一步，由①得x=2y-l.③

第二步，把③代入②，得2(2y-l)+y=l.④

3

第三步，解④得.⑤

31

第四步，把⑤代入③，得x=2x3-l=—.

55

1

x-5,

第五步，得到方程組的解為13

a.x+b.y-c.,(l)

(4)對于一般的二元一次方程組1?17'

a2x-\-h2y=C2,(2)

其中ab—@2也網(wǎng),可以寫出類似的求解步驟：

第一步,①xb2-②xbi，得

-

(a]b2a2b])x=b2Ci—b]C2.?

第二步，解③，得xJq-bg

Q也一a2bl

第三步，②xa「①xa2，得(ab—a?')yuag—a2cl.④

第四步，解④，得y=3-a2G

a}b2—a2bl

xb2cx-bxc2

第五步，得到方程組的解為，""一牝'

ac-ac

y—x22x.

a也一的仇

(5)算法的定義：廣義的算法是指完成某項工作的方法和步驟，那么我們可以說洗衣機的使用說明書是操作

洗衣機的算法，菜譜是做菜的算法等等.

在數(shù)學中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確有限的步驟.

現(xiàn)在，算法通?？梢跃幊捎嬎銠C程序，讓計算機執(zhí)行并解決問題.

(6)算法的特征：①確定性：算法的每?步都應當做到準確無誤、不重不漏.“不重”是指不是可有可無的，甚

至無用的步驟，“不漏”是指缺少哪一步都無法完成任務.②邏輯性：算法從開始的“第一步”直到“最后一步”

之間做到環(huán)環(huán)相扣，分工明確，“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的繼續(xù).③有窮性：算法

要有明確的開始和結束，當?shù)竭_終止步驟時所要解決的問題必須有明確的結果，也就是說必須在有限步內(nèi)

完成任務，不能無限制地持續(xù)進行.

(7)在解決某些問題時，需要設計出一系列可操作或可計算的步驟來解決問題，這些步驟稱為解決這些問題

的算法.也就是說，算法實際上就是解決問題的一種程序性方法.算法一般是機械的，有時需進行大量重復

的計算，它的優(yōu)點是一種通法，只要按部就班地去做，總能得到結果.因此算法是計算科學的重要基礎.

應用示例

思路1

例1(1)設計一個算法，判斷7是否為質(zhì)數(shù).

(2)設計一個算法，判斷35是否為質(zhì)數(shù).

算法分析：(1)根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義，可以這樣判斷：依次用2—6除7,如果它們中有一個能整除7,則7不

是質(zhì)數(shù)，否則7是質(zhì)數(shù).

算法如下：(1)第一步，用2除7,得到余數(shù)1.因為余數(shù)不為0,所以2不能整除7.

第二步，用3除7,得到余數(shù)1.因為余數(shù)不為0,所以3不能整除7.

第三步，用4除7,得到余數(shù)3.因為余數(shù)不為0,所以4不能整除7.

第四步，用5除7,得到余數(shù)2.因為余數(shù)不為0,所以5不能整除7.

第五步，用6除7,得到余數(shù)1.因為余數(shù)不為0,所以6不能整除7.因此，7是質(zhì)數(shù).

(2)類似地，可寫出“判斷35是否為質(zhì)數(shù)”的算法：第一步，用2除35,得到余數(shù)1.因為余數(shù)不為0,所

以2不能整除35.

第二步，用3除35,得到余數(shù)2.因為余數(shù)不為0,所以3不能整除35.

第三步，用4除35,得到余數(shù)3.因為余數(shù)不為0,所以4不能整除35.

第四步，用5除35,得到余數(shù)0.因為余數(shù)為0,所以5能整除35.因此，35不是質(zhì)數(shù).

點評：上述算法有很大的局限性，用上述算法判斷35是否為質(zhì)數(shù)還可以，如果判斷1997是否為質(zhì)數(shù)就麻

煩了，因此，我們需要尋找普適性的算法步驟.

變式訓練

請寫出判斷n(n>2)是否為質(zhì)數(shù)的算法.

分析：對于任意的整數(shù)n(n>2),若用i表示2—(n-1)中的任意整數(shù)，貝U“判斷n是否為質(zhì)數(shù)”的算法包含下

面的重復操作：用i除n,得到余數(shù)r.判斷余數(shù)r是否為0,若是，則不是質(zhì)數(shù)；否則，將i的值增加1,再

執(zhí)行同樣的操作.

這個操作一直要進行到i的值等于(n-l)為止.

算法如下：第一步，給定大于2的整數(shù)n.

第二步，令i=2.

第三步，用i除n,得到余數(shù)r.

第四步，判斷“r=0”是否成立.若是，則n不是質(zhì)數(shù)，結束算法；否則，將i的值增加1,仍用i表示.

第五步，判斷“i>(n-l)”是否成立.若是，則n是質(zhì)數(shù)，結束算法；否則，返回第三步.

例2寫出用“二分法”求方程x?-2=0(x>0)的近似解的算法.

分析：令f(x)=x2-2,則方程X2-2=0(x>0)的解就是函數(shù)f(x)的零點.

“二分法”的基本思想是：把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間［a,b］(滿足f(a>f(b)<0)“一分為二”，得ij［a,m］

和［m,b］.根據(jù)“f(a),f(m)<0”是否成立,取出零點所在的區(qū)間［a,m］或［m,b］,仍記為［a,b］.對所得的區(qū)

間［a,b］重復上述步驟，直到包含零點的區(qū)間［4b］“足夠小”，則［a,b］內(nèi)的數(shù)可以作為方程的近似解.

解：第一步，令f(x)=x2-2,給定精確度d.

第二步，確定區(qū)間［a,b］,滿足f(a>f(b)<0.

第三步，取區(qū)間中點m=33.

2

第四步，若f(a).f(m)<0,則含零點的區(qū)間為［a,mJ；否則，含零點的區(qū)間為［m,b］.將新得到的含零點的

區(qū)間仍記為［a,b］.

第五步，判斷［%b］的長度是否小于d或f(m)是否等于0.若是，則m是方程的近似解；否則，返回第三

步.

當d=0.005時，按照以上算法，可以得到下表.

abla-bl

121

11.50.5

1.251.50.25

1.3751.50.125

1.3751.43750.0625

1.406251.43750.03125

1.406251.4218750.015625

1.41406251.4218750.0078125

1.41406251.417968750.00390625

于是，開區(qū)間(1.4140625,1.41796875)中的實數(shù)都是當精確度為0.005時的原方程的近似解.實際上，

上述步驟也是求V2的近似值的一個算法.

點評：算法一般是機械的，有時需要進行大量的重復計算，只要按部就班地去做，總能算出結果，通常把

算法過程稱為“數(shù)學機械化”.數(shù)學機械化的最大優(yōu)點是它可以借助計算機來完成，實際上處理任何問題都需

要算法.如：中國象棋有中國象棋的棋譜、走法、勝負的評判準則；而國際象棋有國際象棋的棋譜、走法、

勝負的評判準則；再比如申請出國有一系列的先后手續(xù)，購買物品也有相關的手續(xù)……

思路2

例1一個人帶著三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可容納一個人和兩只動物，沒有人在的時候，

如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量就會吃羚羊.該人如何將動物轉(zhuǎn)移過河？請設計算法.

分析：任何動物同船不用考慮動物的爭斗但需考慮承載的數(shù)量，還應考慮到兩岸的動物都得保證狼的數(shù)量

要小于羚羊的數(shù)量，故在算法的構造過程中盡可能保證船里面有狼，這樣才能使得兩岸的羚羊數(shù)量占到優(yōu)

勢.

解：具體算法如下：

算法步驟：

第一步：人帶兩只狼過河，并自己返回.

第二步：人帶一只狼過河，自己返回.

第三步：人帶兩只羚羊過河，并帶兩只狼返回.

第四步：人帶一只羊過河，自己返回.

第五步：人帶兩只狼過河.

點評：算法是解決某一類問題的精確描述，有些問題使用形式化、程序化的刻畫是最恰當?shù)?這就要求我們

在寫算法時應精練、簡練、清晰地表達，要善于分析任何可能出現(xiàn)的情況，體現(xiàn)思維的嚴密性和完整性.

本題型解決問題的算法中某些步驟重復進行多次才能解決，在現(xiàn)實生活中，很多較復雜的情境經(jīng)常遇到這

樣的問題，設計算法的時候，如果能夠合適地利用某些步驟的重復，不但可以使得問題變得簡單，而且可

以提高工作效率.

例2喝一杯茶需要這樣兒個步驟：洗刷水壺、燒水、洗刷茶具、沏茶.問：如何安排這兒個步驟？并給

出兩種算法，再加以比較.

分析：本例主要為加深對算法概念的理解，可結合生活常識對問題進行分析，然后解決問題.

解：算法一：

第一步，洗刷水壺.

第二步，燒水.

第三步，洗刷茶具.

第四步，沏茶.

算法二：

第一步，洗刷水壺.

第二步，燒水，燒水的過程當中洗刷茶具.

第三步，沏茶.

點評：解決個問題可有多個算法，可以選擇其中最優(yōu)的、最簡單的、步驟盡量少的算法.上面的兩種算

法都符合題意，但是算法二運用了統(tǒng)籌方法的原理，因此這個算法要比算法一?更科學.

例3寫出通過尺軌作圖確定線段AB一個5等分點的算法.

分析：我們借助于平行線定理，把位置的比例關系變成已知的比例關系，只要按照規(guī)則一步一步去做就能

完成任務.

解：算法分析：

第一步，從已知線段的左端點A出發(fā)，任意作一條與AB不平行的射線AP.

第二步，在射線上任取一個不同于端點A的點C,得到線段AC.

第三步，在射線上沿AC的方向截取線段CE=AC.

第四步，在射線上沿AC的方向截取線段EF=AC.

第五步，在射線上沿AC的方向截取線段FG=AC.

第六步，在射線上沿AC的方向截取線段GD=AC,那么線段AD=5AC.

第七步，連結DB.

第八步，過C作BD的平行線，交線段AB于M,這樣點M就是線段AB的一個5等分點.

點評：用算法解決幾何問題能很好地訓練學生的思維能力，并能幫助我們得到解決幾何問題的一般方法，

可謂一舉多得，應多加訓練.

知能訓練

設計算法判斷一元二次方程ax2+bx+c=O是否有實數(shù)根.

解：算法步驟如下：

第一步，輸入一元二次方程的系數(shù)：a,b,c.

第二步，計算A=b2-4ac的值.

第三步，判斷△川是否成立.若△卻成立，輸出“方程有實根”；否則輸出“方程無實根”，結束算法.

點評：用算法解決問題的特點是：具有很好的程序性，是一種通法.并且具有確定性、邏輯性、有窮性.讓

我們結合例題仔細體會算法的特點.

拓展提升

中國網(wǎng)通規(guī)定：撥打市內(nèi)電話時，如果不超過3分鐘，則收取話費0.22元；如果通話時間超過3分鐘,

則超出部分按每分鐘01元收取通話費，不足一分鐘按一分鐘計算.設通話時間為K分鐘)，通話費用y(元),

如何設計一個程序，計算通話的費用.

解：算法分析：

數(shù)學模型實際上為：y關于t的分段函數(shù).

關系式如下：

0.22,(0<Z<3),

y=<0.22+0.-3),“>3/eZ),

0.22+0.1([7-3]+1),(T>3,tiZ).

其中[t-3]表示取不大于t—3的整數(shù)部分.

算法步驟如下：

第一步，輸入通話時間t.

第二步，如果乜3,那么y=0.22；否則判斷tGZ是否成立，若成立執(zhí)行

y=0.2+0.1x(t-3)；否則執(zhí)行y=0.2+0.1x([t-3]+1).

第三步，輸出通話費用c.

課堂小結

(1)正確理解算法這一概念.

(2)結合例題掌握算法的特點，能夠?qū)懗龀Ｒ妴栴}的算法.

作業(yè)

課本本節(jié)練習1、2.

設計感想

本節(jié)的引入精彩獨特，讓學生在感興趣的故事里進入本節(jié)的學習.算法是本章的重點也是本章的基礎，

是一個較難理解的概念.為了讓學生正確理解這一概念，本節(jié)設置了大量學生熟悉的事例，讓學生仔細體會

反復訓練.本節(jié)的事例有古老的經(jīng)典算法，有兒何算法等，因此這是?節(jié)很好的課例.

1.1.2程序框圖與算法的基本邏輯結構

整體設計

教學分析

用自然語言表示的算法步驟有明確的順序性，但是對于在一定條件下才會被執(zhí)行的步驟，以及在一定

條件下會被重復執(zhí)行的步驟，自然語言的表示就顯得困難，而且不直觀、不準確.因此，本節(jié)有必要探究使

算法表達得更加直觀、準確的方法.程序框圖用圖形的方式表達算法，使算法的結構更清楚、步驟更直觀也

更精確.為了更好地學好程序框圖，我們需要掌握程序框的功能和作用，需要熟練掌握三種基本邏輯結構.

三維目標

1.熟悉各種程序框及流程線的功能和作用.

2.通過模仿、操作、探索，經(jīng)歷通過設計程序框圖表達解決問題的過程.在具體問題的解決過程中，理解

程序框圖的三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、循環(huán)結構.

3.通過比較體會程序框圖的直觀性、準確性.

重點難點

數(shù)學重點：程序框圖的畫法.

數(shù)學難點：程序框圖的畫法.

課時安排

4課時

教學過程

第1課時程序框圖及順序結構

導入新課

思路1（情境導入）

我們都喜歡外出旅游，優(yōu)美的風景美不勝收，如果迷了路就不好玩了，問路有時還聽不明白，真是急

死人，有的同學說買張旅游圖不就好了嗎，所以外出旅游先要準備好旅游圖.旅游圖看起來直觀、準確，本

節(jié)將探究使算法表達得更加直觀、準確的方法.今天我們開始學習程序框圖.

思路2（直接導入）

用自然語言表示的算法步驟有明確的順序性，但是對于在一定條件下才會被執(zhí)行的步驟，以及在一定

條件下會被重復執(zhí)行的步驟，自然語言的表示就顯得困難，而且不直觀、不準確.因此，本節(jié)有必要探究使

算法表達得更加直觀、準確的方法.今天開始學習程序框圖.

推進新課

新知探究

提出問題

（1）什么是程序框圖？

（2）說出終端框（起止框）的圖形符號與功能.

（3）說出輸入、輸出框的圖形符號與功能.

（4）說出處理框（執(zhí)行框）的圖形符號與功能.

（5）說出判斷框的圖形符號與功能.

（6）說出流程線的圖形符號與功能.

（7）說出連接點的圖形符號與功能.

（8）總結幾個基本的程序框、流程線和它們表示的功能.

（9）什么是順序結構？

討論結果：

（1）程序框圖又稱流程圖，是一種用程序框、流程線及文字說明來表示算法的圖形.

在程序框圖中，一個或兒個程序框的組合表示算法中的一個步驟：帶有方向箭頭的流程線將程序框連接起

來，表示算法步驟的執(zhí)行順序.

（2）橢圓形框：O表示程序的開始和結束，稱為終端框（起止框）.表示開始時只有?個出口；表示結

束時只有一個入口.

（3）平行四邊形框：表示一個算法輸入和輸出的信息,又稱為輸入、輸出框，它有一個入口和一個出

口.

（4）矩形框：口表示計算、賦值等處理操作，又稱為處理框（執(zhí)行框），它有一個入口和一個出口.

（5）菱形框：O是用來判斷給出的條件是否成立，根據(jù)判斷結果來決定程序的流向，稱為判斷框，它

有一個入口和兩個出口.

（6）流程線：一表示程序的流向.

（7）圓圈：。連接點.表示相關兩框的連接處，圓圈內(nèi)的數(shù)字相同的含義表示相連接在一起.

（8）總結如下表.

圖形符號名稱功能

終端框（起止框）表示一個算法的起始和結束

一輸入、輸出框表示一-個算法輸入和輸出的信息

—處理框（執(zhí)行框）賦值、計算

判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標明

判斷框

O“是”或“Y”；不成立時標明“否”或“N”

h流程線連接程序框

O連接點連接程序框圖的兩部分

（9）很明顯，順序結構是由若干個依次執(zhí)行的步驟組成的，這是任何一個算法都離不開的基本結構.

三種邏輯結構可以用如下程序框圖表示：

例1請用程序框圖表示前面講過的“判斷整數(shù)n（n>2）是否為質(zhì)數(shù)”的算法.

解：程序框圖如下：

點評：程序框圖是用圖形的方式表達算法，使算法的結構更清楚，步驟更直觀也更精確.這里只是讓同學們

初步了解程序框圖的特點，感受它的優(yōu)點，暫不要求掌握它的畫法.

變式訓練

觀察下面的程序框圖，指出該算法解決的問題.

解：這是一個累加求和問題，共99項相加，該算法是求」一+」一+」一+…+―1—的值.

1x22x33x499x100

例2已知一個三角形三條邊的邊長分別為a,b,c,利用海倫一秦九韶公式設計一個計算三角形面積的算

法，并畫出程序框圖表示.(已知三角形三邊邊長分別為&b,c,則三角形的面積為

S=dp(p-a)(p-b)(p-c)),其中p=”卡.這個公式被稱為海倫一秦九韶公式)

算法分析：這是一個簡單的問題，只需先算出p的值，再將它代入分式，最后輸出結果.因此只用順序結構

應能表達出算法.

算法步驟如下：

第一步，輸入三角形三條邊的邊長a,b,c.

皿Ea+b+c

第二步，計算p=------------.

2

第三步，計算S=Jp(p-a)(P—b)(p一c).

第四步，輸出S.

程序框圖如下：

/輸出s/

［結束）

點評：很明顯，順序結構是由若干個依次執(zhí)行的步驟組成的，它是最簡單的邏輯結構，它是任何一個算法

都離不開的基本結構.

變式訓練

下圖所示的是一個算法的流程圖，已知ai=3,輸出的b=7,求a?的值.

［開始］

r

/輸Aflg/

,I,

I將“汕的和汜作M

i

|將*記作力

,I

/輸出方/

［結束］

解：根據(jù)題意4+巧=7,

2

,；ai=3,；.a?=l1.即a?的值為11.

例3寫出通過尺軌作圖確定線段AB的一個5等分點的程序框圖.

解：利用我們學過的順序結構得程序框圖如下：

點評：這個算法步驟具有一般性，對于任意自然數(shù)n,都可以按照這個算法的思想，設計出確定線段的n

等分點的步驟，解決問題，通過本題學習可以鞏固順序結構的應用.

知能訓練

有關專家建議，在未來幾年內(nèi)，中國的通貨膨脹率保持在3%左右，這將對我國經(jīng)濟的穩(wěn)定有利無

害.所謂通貨膨脹率為3%,指的是每年消費品的價格增長率為3%.在這種情況下，某種品牌的鋼琴2004

年的價格是10000元，請用流程圖描述這種鋼琴今后四年的價格變化情況，并輸出四年后的價格.

解：用P表示鋼琴的價格，不難看出如下算法步驟：

2005年P=10000x(1+3%)=10300；

2006年P=10300x(1+3%)=10609；

2007年P=10609x(1+3%)=10927.27；

2008年P=10927.27,(1+3%)=11255.09；

因此，價格的變化情況表為：

年份20042005200620072008

鋼琴的價格10000103001060910927.2711255.09

程序框圖如下:

［開始)

|尸=13ooo|

|?=10000x1.03=103001

I

|P=IO3OO..O3=1O6O9|

|尸=IO6O9xI；O3=lO927.27］

|P=10927.27；1.03=11255詢

/輸出一/

jr

［結束)

點評：順序結構只需嚴格按照傳統(tǒng)的解決數(shù)學問題的解題思路，將問題解決掉.最后將解題步驟“細化”就

可以.“細化”指的是寫出算法步驟、畫出程序框圖.

拓展提升

如下給出的是計算…的值的一個流程圖，其中判斷框內(nèi)應填入的條件是

24620

/輸出s/

［結束］

答案：i>10.

課堂小結

(1)掌握程序框的畫法和功能.

(2)了解什么是程序框圖，知道學習程序框圖的意義.

(3)掌握順序結構的應用，并能解決與順序結構有關的程序框圖的畫法.

作業(yè)

習題1.1A1.

設計感想

首先，本節(jié)的引入新穎獨特，旅游圖的故事闡明了學習程序框圖的意義.通過豐富有趣的事例讓學生了

解了什么是程序框圖，進而激發(fā)學生學習程序框圖的興趣.本節(jié)設計題目難度適中，逐步把學生帶入知識的

殿堂，是一節(jié)好的課例.

第2課時條件結構

導入新課

思路1(情境導入)

我們以前聽過這樣一個故事，野獸與鳥發(fā)生了一場戰(zhàn)爭，蝙蝠來了，野獸們喊道：你有牙齒是我們一

伙的，鳥們喊道：你有翅膀是我們一伙的，蝙蝠一時沒了主意.過了一會兒蝙蝠有了一個好辦法，如果野獸

贏了，就加入野獸這一伙，否則加入另一伙，事實上蝙蝠用了分類討論思想，在算法和程序框圖中也經(jīng)常

用到這一思想方法，今天我們開始學習新的邏輯結構——條件結構.

思路2(直接導入)

前面我們學習了順序結構，順序結構像是一條沒有分支的河流，奔流到海不復回，事實上多數(shù)河流是

有分支的，今天我們開始學習有分支的邏輯結構——條件結構.

推進新課

新知探究

提出問題

(1)舉例說明什么是分類討論思想？

(2)什么是條件結構？

(3)試用程序框圖表示條件結構.

(4)指出條件結構的兩種形式的區(qū)別.

討論結果：

(1)例如解不等式ax>8(承)),不等式兩邊需要同除％需要明確知道a的符號，但條件沒有給出，因此需要

進行分類討論，這就是分類討論思想.

(2)在一個算法中，經(jīng)常會遇到一些條件的判斷，算法的流程根據(jù)條件是否成立有不同的流向.條件結構

就是處理這種過程的結構.

(3)用程序框圖表示條件結構如下.

條件結構：先根據(jù)條件作出判斷，再決定執(zhí)行哪種操作的結構就稱為條件結構(或分支結構)，如圖1

所示.執(zhí)行過程如下：條件成立，則執(zhí)行A框；不成立，則執(zhí)行B框.

1.

:\\

1"1"

是

，是

1.__::_

：步驟A步驟6步驟4

??^—^―|—^―??—―j——J1

?::__—:

?.L______*____________t

圖1圖2

注：無論條件是否成立，只能執(zhí)行A、B之一,不可能兩個框都執(zhí)行.A、B兩個框中，可以有一個是空

的，即不執(zhí)行任何操作，如圖2.

(4)一種是在兩個“分支”中均包含算法的步驟，符合條件就執(zhí)行“步驟A”，否則執(zhí)行“步驟B”；另一種是

在一個“分支,,中均包含算法的步驟A,而在另?個“分支”上不包含算法的任何步驟，符合條件就執(zhí)行“步驟

A”，否則執(zhí)行這個條件結構后的步驟.

應用示例

例1任意給定3個正實數(shù)，設計一個算法，判斷以這3個正實數(shù)為三邊邊長的三角形是否存在，并

畫出這個算法的程序框圖.

算法分析：判斷以3個任意給定的正實數(shù)為三條邊邊長的三角形是否存在，只需驗證這3個數(shù)中任意兩個

數(shù)的和是否大于第3個數(shù).這個驗證需要用到條件結構.

算法步驟如下：

第一步，輸入3個正實數(shù)a,b,c.

第二步，判斷a+b>c,b+c>a,c+a>b是否同時成立.若是，則存在這樣的三角形；否則，不存在這樣的三角

形.

程序框圖如右圖：

點評：根據(jù)構成三角形的條件，判斷是否滿足任意兩邊之和大于第三邊，如果滿足則存在這樣的三角形，

如果不滿足則不存在這樣的三角形.這種分類討論思想是高中的重點，在畫程序框圖時，常常遇到需要討論

的問題，這時要用到條件結構.

例2設計一個求解一元二次方程ax?+bx+c=O的算法，并畫出程序框圖表示.

算法分析：我們知道，若判別式△=b2-4ac>0,則原方程有兩個不相等的實數(shù)根

-/?+VA-b-y[X

若△=(),則原方程有兩個相等的實數(shù)根X|=X2=-2；

2a

若△<(),則原方程沒有實數(shù)根.也就是說，在求解方程之前，可以先判斷判別式的符號，根據(jù)判斷的結果執(zhí)

行不同的步驟，這個過程可以用條件結構實現(xiàn).

又因為方程的兩個根有相同的部分，為了避免重復計算，可以在計算XI和X2之前,先計算P=-2,q=巫.

2a2a

解決這一問題的算法步驟如下：

第一步，輸入3個系數(shù)a,b,c.

第二步，計算A=l)2-4ac.

第三步，判斷A20是否成立.若是，則計算p=-2,q=—；否則，輸出“方程沒有實數(shù)根”，結束算法.

2a2a

第四步，判斷A=0是否成立.若是，則輸出Xi=X2=p；否則,計算Xi=p+q,x2=p-q)并輸出x”x2.

程序框圖如下：

/輸入叫c/

|a=//_4ac|

例3設計算法判斷一元二次方程ax2+bx+c=0是否有實數(shù)根，并畫出相應的程序框圖.

解：算法步驟如下：

第一步，輸入3個系數(shù)：a,b,c.

第二步，計算A=b2—4ac.

第三步，判斷△川是否成立.若是，則輸出“方程有實根”；否則，輸出“方程無實根”.結束算法.

相應的程序框圖如右：

［開始］

/輸兒的c/

|4=A2-4ac~|

/輸出療程有實根；//輸出“方程無實根；/

［.?

［結束］

點評：根據(jù)一元二次方程的意義，需要計算判別式A=b2—4ac的值.再分成兩種情況處理：3)當△或時，

一元二次方程有實數(shù)根；

(2)當AVO時，-元二次方程無實數(shù)根.該問題實際上是一個分類討論問題，根據(jù)一元二次方程系數(shù)的不

同情況，最后結果就不同.因而當給出一個一元二次方程時，必須先確定判別式的值，然后再用判別式的值

的取值情況確定方程是否有解.該例僅用順序結構是辦不到的，要對判別式的值進行判斷，需要用到條件結

構.

例4(1)設計算法，求ax+b=O的解，并畫出流程圖.

解：對于方程ax+b=O來講，應該分情況討論方程的解.

我們要對一次項系數(shù)a和常數(shù)項b的取值情況進行分類，分類如下：

(1)當曲)時，方程有唯一的實數(shù)解是-2；

a

（2）當a=0,b=0時，全體實數(shù)都是方程的解；

（3）當a=0,b#）時，方程無解.

聯(lián)想數(shù)學中的分類討論的處理方式，可得如下算法步驟：

第一步，判斷a#）是否成立.若成立，輸出結果“解為

a

第二步，判斷a=0,b=0是否同時成立.若成立，輸出結果“解集為R”.

第三步，判斷a=0,b#0是否同時成立.若成立，輸出結果“方程無解”，結束算法.

程序框圖如下：

I開始）

/轎人fl力/

輸出“解為-2

輸出“解集為R”

輸出“方程無解2

［結束）

點評：這是條件結構疊加問題，條件結構疊加，程序執(zhí)行時需依次對“條件1”“條件2”“條件3”……都進行

判斷，只有遇到能滿足的條件才執(zhí)行該條件對應的操作.

知能訓練

設計算法，找出輸入的三個不相等實數(shù)a、b、c中的最大值，并畫出流程圖.

解：算法步驟：

第一步,輸入a,b,c的值.

第二步,判斷a>b是否成立，若成立,則執(zhí)行第三步；否則執(zhí)行第四步.

第三步,判斷a>c是否成立，若成立,則輸出a,并結束；否則輸出c,并結束.

第四步,判斷b>c是否成立，若成立,則輸出b,并結束；否則輸出c,并結束.

程序框圖如下:

點評：條件結構嵌套與條件結構疊加的區(qū)別：

（1）條件結構疊加，程序執(zhí)行時需依次對“條件1”“條件2”“條件3”……都進行判斷，只有遇到能滿足的

條件才執(zhí)行該條件對應的操作.

（2）條件結構的嵌套中，“條件2”是“條件1”的一個分支，“條件3”是“條件2”的一個分支……依此類推，

這些條件中很多在算法執(zhí)行過程中根據(jù)所處的分支位置不同可能不被執(zhí)行.

(3)條件結構嵌套所涉及的“條件2”“條件3”……是在前面的所有條件依次一個一個的滿足“分支條件成

立”的情況下才能執(zhí)行的此操作，是多個條件同時成立的疊加和復合.

例5“特快專遞”是目前人們經(jīng)常使用的異地郵寄信函或托運物品的一種快捷方式.某快遞公司規(guī)定甲、乙

兩地之間物品的托運費用根據(jù)下列方法計算：

［0.53(y,(ty<50),

f=?

50x0.53+(<y-50)x0.85,3>50).

其中f(單位：元)為托運費，3為托運物品的重量(單位：千克).

試畫出計算費用f的程序框圖.

［開始)

/.I。/

I/=O.53wI|/=5OxO.53；?-5O)xO.85

/輸出叫//

1、

［結束)

分析：這是一個實際問題，根據(jù)數(shù)學模型可知，求費用f的計算公式隨物品重量S的變化而有所不同，因

此計算時先看物品的重量，在不同的條件下，執(zhí)行不同的指令，這是條件結構的運用，是二分支條件結構.

其中，物品的重量通過輸入的方式給出.

解：算法程序框圖如右圖：

拓展提升

有一城市，市區(qū)為半徑為15km的圓形區(qū)域，近郊區(qū)為距中心15—25km的范圍內(nèi)的環(huán)形地帶，距中

心25km以外的為遠郊區(qū)，如右圖所示.市區(qū)地價每公頃100萬元，近郊區(qū)地價每公頃60萬元，遠郊區(qū)

地價為每公頃20萬元，輸入某一點的坐標為(x,y),求該點的地價.

分析：由該點坐標(x,y),求其與市中心的距離r=ylx2+y2,確定是市區(qū)、近郊區(qū)，還是遠郊區(qū)，進而

100,0<r<15,

確定地價p.由題意知，p=<60,15<r<25,

20,r>25.

解：程序框圖如下:

課堂小結

(1)理解兩種條件結構的特點和區(qū)別.

(2)能用學過的兩種條件結構解決常見的算法問題.

作業(yè)

習題1.1A組3.

設計感想

本節(jié)采用引人入勝的方法引入正課，選用的例題難度適中，有的經(jīng)典實用，有的新穎獨特，每個例題

都是很好的素材.條件結構是邏輯結構的核心，是培養(yǎng)學生邏輯推理的好素材，本節(jié)設計符合新課標精神，

難度設計略高于教材.

第3課時循環(huán)結構

導入新課

思路1(情境導入)

我們都想生活在一個優(yōu)美的環(huán)境中，希望看到的是碧水藍天，大家知道工廠的污水是怎樣處理的嗎？

污水進入處理裝置后進行第一次處理，如果達不到排放標準，則需要再進入處理裝置進行處理，直到達到

排放標準.污水處理裝置是一個循環(huán)系統(tǒng)，對于處理需要反復操作的事情有很大的優(yōu)勢.我們數(shù)學中有很多

問題需要反復操作，今天我們學習能夠反復操作的邏輯結構一一循環(huán)結構.

思路2(直接導入)

前面我們學習了順序結構，順序結構像一條沒有分支的河流，奔流到海不復回；上?節(jié)我們學習了條

件結構，條件結構像有分支的河流最后歸入大海：事實匕艮多水系是循環(huán)往復的，今天我們開始學習循環(huán)

往復的邏輯結構——循環(huán)結構.

推進新課

新知探究

提出問題

(1)請大家舉出一些常見的需要反復計算的例子.

(2)什么是循環(huán)結構、循環(huán)體？

(3)試用程序框圖表示循環(huán)結構.

(4)指出兩種循環(huán)結構的相同點和不同點.

討論結果：

(1)例如用二分法求方程的近似解、數(shù)列求和等.

(2)在一些算法中，經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始，按照一定的條件反復執(zhí)行某些步驟的情況，這就是循環(huán)結

構.反復執(zhí)行的步驟稱為循環(huán)體.

（3）在?些算法中要求重復執(zhí)行同一操作的結構稱為循環(huán)結構.即從算法某處開始，按照一定條件重復執(zhí)

行某一處理的過程.重復執(zhí)行的處理步驟稱為循環(huán)體.

循環(huán)結構有兩種形式：當型循環(huán)結構和直到型循環(huán)結構.

1°當型循環(huán)結構，如圖（1）所示，它的功能是當給定的條件P成立時，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，

返回來再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，返回來再執(zhí)行A框，如此反復執(zhí)行A框，直到某一次返

回來判斷條件P不成立時為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結構.繼續(xù)執(zhí)行下面的框圖.

2。直到型循環(huán)結構，如圖（2）所示，它的功能是先執(zhí)行重復執(zhí)行的A框，然后判斷給定的條件P是

否成立，如果P仍然不成立，則返回來繼續(xù)執(zhí)行A框，再判斷條件P是否成立.繼續(xù)重復操作，直到某一

次給定的判斷條件P時成立為止，此時不再返回來執(zhí)行A框，離開循環(huán)結構.繼續(xù)執(zhí)行下面的框圖.

見示意圖：

當型循環(huán)結構直到型循環(huán)結構

（4）兩種循環(huán)結構的不同點：直到型循環(huán)結構是程序先進入循環(huán)體，然后對條件進行判斷，如果條件不滿足,

就繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體，直到條件滿足時終止循環(huán).

當型循環(huán)結構是在每次執(zhí)行循環(huán)體前，先對條件進行判斷，當條件滿足時，執(zhí)行循環(huán)體，否則終止循

環(huán).

兩種循環(huán)結構的相同點：兩種不同形式的循環(huán)結構可以看出，循環(huán)結構中一定包含條件結構，用于確

定何時終止執(zhí)行循環(huán)體.

應用示例

思路1

例1設計一個計算1+2+……+100的值的算法，并畫出程序框圖.

算法分析：通常，我們按照下列過程計算1+2+……+100的值.

第1步,0+1=1.

第2步,1+2=3.

第3步,3+3=6.

第4步，6+4=10.

第100步，4950+100=5050.

顯然，這個過程中包含重復操作的步驟，可以用循環(huán)結構表示.分析上述計算過程，可以發(fā)現(xiàn)每一步都

可以表示為第（i-1）步的結果石=第1步的結果.

為了方便、有效地表示上述過程，我們用一個累加變量S來表示第一步的計算結果，即把S+i的結果

仍記為S,從而把第i步表示為S=S+i,

其中S的初始值為0,i依次取1,2，…，100,由于i同時記錄了循環(huán)的次數(shù)，所以也稱為計數(shù)變量.

解決這一問題的算法是：

第一步，令i=l,S=0.

第二步，若運100成立，則執(zhí)行第三步；否則，輸出S,結束算法.

第三步，S=S+i.

第四步，i=i+l,返回第二步.

程序框圖如右：

上述程序框圖用的是當型循環(huán)結構,則程序框圖如下:

點評：這是一個典型的用循環(huán)結構解決求和的問題，有典型的代表意義，可把它作為一個范例，仔細體會

三種邏輯結構在程序框圖中的作用，學會畫程序框圖.

變式訓練

已知有一列數(shù)工,2,3,…,‘一，設計框圖實現(xiàn)求該列數(shù)前20項的和.

234H+1

分析：該列數(shù)中每一項的分母是分子數(shù)加1,單獨觀察分子，恰好是1,2,3,4,n,因此可用循環(huán)

結構實現(xiàn)，設計數(shù)器i,用1=1+1實現(xiàn)分子，設累加器S,用5=5+—L,可實現(xiàn)累加，注意i只能加到

/+1

20.

解：程序框圖如下：

方法一：方法二：

點評：在數(shù)學計算中，i=i+l不成立，S=S+i只有在i=0時才能成立.在計算機程序中，它們被賦予了其他

的功能，不再是數(shù)學中的“相等”關系，而是賦值關系.變量i用來作計數(shù)器，i=i+l的含義是：將變量i的

值加1,然后把計算結果再存貯到變量i中，即計數(shù)器i在原值的基礎上又增加了1.

變量S作為累加器，來計算所求數(shù)據(jù)之和.如累加器的初值為0,當?shù)谝粋€數(shù)據(jù)送到變量i中時，累

加的動作為S=S+i,即把S的值與變量i的值相加，結果再送到累加器S中，如此循環(huán)，則可實現(xiàn)數(shù)的累

加求和.

例2某廠2005年的年生產(chǎn)總值為