高中數(shù)學(xué)新人教A版選修 1

選修2—1教案

第一章常用邏輯用語

1.1命題及其關(guān)系

1.1.1命題

(--)教學(xué)目標(biāo)

1、知識與技能：理解命題的概念和命題的構(gòu)成，能判斷給定陳述句是否為命題，能判斷命題的真假；能

把命題改寫成“若P，則q”的形式；

2、過程與方法：多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的

能力；

3、情感、態(tài)度與價值觀：通過學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

(-)教學(xué)重點與難點

重點：命題的概念、命題的構(gòu)成

難點：分清命題的條件、結(jié)論和判斷命題的真假

(=)教學(xué)過程

1.復(fù)習(xí)回顧

初中已學(xué)過命題的知識，請同學(xué)們回顧：什么叫做命題？

2.思考、分析

下列語句的表述形式有什么特點？你能判斷他們的真假嗎？

(1)若直線a〃b,則直線a與直線b沒有公共點.

(2)2+4=7.

(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.

(4)若x2=l,則x=l.

(5)兩個全等三角形的面積相等.

(6)3能被2整除.

3.討論、判斷

學(xué)生通過討論，總結(jié)：所有句子的表述都是陳述句的形式，每句話都判斷什么事情。其中(1)(3)(5)

的判斷為真，(2)(4)(6)的判斷為假。

教師的引導(dǎo)分析：所謂判斷，就是肯定一個事物是什么或不是什么，不能含混不清。

4.抽象、歸納

定義：一般地，我們把用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題.

命題的定義的要點：能判斷真假的陳述句.

在數(shù)學(xué)課中，只研究數(shù)學(xué)命題，請學(xué)生舉幾個數(shù)學(xué)命題的例子.教師再與學(xué)生共同從命題的定義，

判斷學(xué)生所舉例子是否是命題，從“判斷”的角度來加深對命題這概念的理解.

5.練習(xí)、深化

判斷下列語句是否為命題？

(1)空集是任何集合的子集.

(2)若整數(shù)a是素數(shù)，則是a奇數(shù).

(3)指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？

(4)若平面上兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

(5))(-2)2=_2.

(6)x>15.

讓學(xué)生思考、辨析、討論解決，且通過練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：判斷一個語句是不是命題，關(guān)鍵看兩點:

第一是“陳述句”，第二是“可以判斷真假”，這兩個條件缺一不可.疑問句、祈使句、感嘆句均不是命題.

解略。

引申：以前，同學(xué)們學(xué)習(xí)了很多定理、推論，這些定理、推論是否是命題？同學(xué)們可否舉出一些定理、

推論的例子來看看？

通過對此間的思考，學(xué)生將清晰地認(rèn)識到定理、推論都是命題.

過渡：同學(xué)們都知道，一個定理或推論都是由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成(結(jié)合學(xué)生所舉定理和推論的例

子，讓學(xué)生分辨定理和推論條件和結(jié)論，明確所有的定理、推論都是由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成)。緊接著

提出問題：命題是否也是由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成呢？

6.命題的構(gòu)成一一條件和結(jié)論

定義：從構(gòu)成來看，所有的命題都具由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成.在數(shù)學(xué)中，命題常寫成''若P，則q”或

者“如果P，那么q”這種形式，通常，我們把這種形式的命題中的p叫做命題的條件,q叫做命題結(jié)論.

7.練習(xí)、深化

指出下列命題中的條件p和結(jié)論q,并判斷各命題的真假.

(1)若整數(shù)a能被2整除，則a是偶數(shù).

(2)若四邊行是菱形，則它的對角線互相垂直平分.

(3)若a>0,b>0,則a+b>0.

(4)若a>0,b>0,則a+bVO.

(5)垂直于同一條直線的兩個平面平行.

此題中的(1)(2)(3)(4),較容易，估計學(xué)生較容易找出命題中的條件p和結(jié)論q,并能判斷

命題的真假。其中設(shè)置命題(3)與(4)的目的在于：通過這兩個例子的比較，學(xué)更深刻地理解命題的

定義——能判斷真假的陳述句，不管判斷的結(jié)果是對的還是錯的。

此例中的命題(5),不是“若P,則q”的形式，估計學(xué)生會有困難，此時，教師引導(dǎo)學(xué)生一起分析：

已知的事項為“條件”，由已知推出的事項為“結(jié)論

解略。

過渡：從例2中，我們可以看到命題的兩種情況，即有些命題的結(jié)論是正確的，而有些命題的結(jié)論是錯誤

的，那么我們就有了對命題的一種分類：真命題和假命題.

8.命題的分類一一真命題、假命題的定義.

真命題：如果由命題的條件P通過推理一定可以得出命題的結(jié)論q,那么這樣的命題叫做真命題.

假命題：如果由命題的條件P通過推理不一定可以得出命題的結(jié)論q,那么這樣的命題叫做假命題.

強調(diào)：

(1)注意命題與假命題的區(qū)別.如：“作直線AB”.這本身不是命題.也更不是假命題.

(2)命題是一個判斷，判斷的結(jié)果就有對錯之分.因此就要引入真命題、假命題的的概念，強調(diào)真假命

題的大前提，首先是命題。

9.怎樣判斷一個數(shù)學(xué)命題的真假？

(1)數(shù)學(xué)中判定一個命題是真命題，要經(jīng)過證明.

(2)要判斷一個命題是假命題，只需舉一個反例即可.

10.練習(xí)、深化

例3：把下列命題寫成“若P,則q”的形式，并判斷是真命題還是假命題：

(1)面積相等的兩個三角形全等。

(2)負(fù)數(shù)的立方是負(fù)數(shù)。

(3)對頂角相等。

分析：要把一個命題寫成“若P,則q”的形式，關(guān)鍵是要分清命題的條件和結(jié)論，然后寫成“若條件，

則結(jié)論”即“若P,則q”的形式.解略。

11、課堂練習(xí)：P42、3

12.課堂總結(jié)師生共同回憶本節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容.

1.什么叫命題？真命題？假命題？2.命題是由哪兩部分構(gòu)成的？

3.怎樣將命題寫成“若P,則q”的形式.4.如何判斷真假命題.

教師提示應(yīng)注意的問題：

1.命題與真、假命題的關(guān)系.2.抓住命題的兩個構(gòu)成部分，判斷一些語句是否為命題.

3.判斷假命題，只需舉一個反例，而判斷真命題，要經(jīng)過證明.

13.作業(yè)：P9：習(xí)題1.1人組第1題

1.1.2四種命題1.1.3四種命題的相互關(guān)系

(-)教學(xué)目標(biāo)

?知識與技能：了解原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四種命題的概念，掌握四種命題的形式和四種

命題間的相互關(guān)系，會用等價命題判斷四種命題的真假.

?過程與方法：多讓學(xué)生舉命題的例子，并寫出四種命題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、有

創(chuàng)造性地解決問題的能力；培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和思維能力.

?情感、態(tài)度與價值觀：通過學(xué)生的舉例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，培養(yǎng)他們的辨析能力以及

培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力.

(-)教學(xué)重點與難點

重點：(1)會寫四種命題并會判斷命題的真假；

(2)四種命題之間的相互關(guān)系.

難點：(1)命題的否定與否命題的區(qū)別；

(2)寫出原命題的逆命題、否命題和逆否命題；

(3)分析四種命題之間相互的關(guān)系并判斷命題的真假.

(三)教學(xué)過程

1.復(fù)習(xí)引入

初中已學(xué)過命題與逆命題的知識，請同學(xué)回顧：什么叫做命題的逆命題？

2.思考、分析

問題1：下列四個命題中，命題(1)與命題(2)、(3)、(4)的條件與結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？

(1)若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù).

(2)若f(x)是周期函數(shù),則f(x)是正弦函數(shù).

(3)若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù).

(4)若f(x)不是周期函數(shù),則f(x)不是正弦函數(shù).

3.歸納總結(jié)

問題一通過學(xué)生分析、討論可以得到正確結(jié)論.緊接結(jié)合此例給出四個命題的概念，(1)和(2)

這樣的兩個命題叫做互逆命題，(1)和(3)這樣的兩個命題叫做互否命題，(1)和(4)這樣的兩個

命題叫做互為逆否命題。

4.抽象概括

定義1：一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么

我們把這樣的兩個命題叫做互逆命題.其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的逆命題.

讓學(xué)生舉一些互逆命題的例子。

定義2：一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論

的否定，那么我們把這樣的兩個命題叫做互否命題.其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的

否命題.

讓學(xué)生舉一些互否命題的例子。

定義3：一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件

的否定，那么我們把這樣的兩個命題叫做互為逆否命題.其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命

題的逆否命題.

讓學(xué)生舉一些互為逆否命題的例子。

小結(jié)：

(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題就是它的逆命題：

(2)同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題就是它的否命題；

(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，所得的命題就是它的逆否命題.

強調(diào)：原命題與逆命題、原命題與否命題、原命題與逆否命題是相對的。

5.四種命題的形式

讓學(xué)生結(jié)合所舉例子，思考：

若原命題為“若P,則q”的形式，則它的逆命題、否命題、逆否命題應(yīng)分別寫成什么形式？

學(xué)生通過思考、分析、比較，總結(jié)如下：

原命題：若P,則q.貝IJ：

逆命題：若q,則P.

否命題：若rp,則rq.(說明符號的含義：符號叫做否定符號.“「p”表示p的否定；即

不是P;非P)

逆否命題：若則「P.

6.練習(xí)鞏固

寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題并判斷它們的真假：

(1)若一個三角形的兩條邊相等，則這個三角形的兩個角相等；

(2)若一個整數(shù)的末位數(shù)字是0,則這個整數(shù)能被5整除；

(3)若x?=l,則x=l；

(4)若整數(shù)a是素數(shù)，則是a奇數(shù)。

7.思考、分析

結(jié)合以上練習(xí)思考：原命題的真假與其它三種命題的真假有什么關(guān)系？

通過此問，學(xué)生將發(fā)現(xiàn)：

①原命題為真，它的逆命題不一定為真。

②原命題為真，它的否命題不一定為真。

③原命題為真，它的逆否命題一定為真。

原命題為假時類似。

結(jié)合以上練習(xí)完成下列表格：

原命題逆命題否命題逆否命題

真真

假真

假真

假假

由表格學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：原命題與逆否命題總是具有相同的真假性，逆命題與否命題也總是具有相同的

真假性.

由此會引起我們的思考：

一個命題的逆命題、否命題與逆否命題之間是否還存在著一定的關(guān)系呢？

讓學(xué)生結(jié)合所做練習(xí)分析原命題與它的逆命題、否命題與逆否命題四種命題間的關(guān)系.

學(xué)生通過分析，將發(fā)現(xiàn)四種命題間的關(guān)系如下圖所示:

8.總結(jié)歸納

若P,則q.若q,IMP.

由于逆命題和否命題也是互為逆否命題，因此四種命題的真假性之間的關(guān)系如下：

(1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

(2)兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.

由于原命題和它的逆否命題有相同的真假性，所以在直接證明某一?個命題為真命題有困難時，可以通

過證明它的逆否命題為真命題，來間接地證明原命題為真命題.

9.例題分析

例4：證明：若p'+q?=2,則p+qW2.

分析：如果直接證明這個命題比較困難，可考慮轉(zhuǎn)化為對它的逆否命題的證明。

將“若P?+q2=2,則p+qW2”視為原命題，要證明原命題為真命題，可以考慮證明它的逆否

命題“若P+q>2,則p2+/N2”為真命題，從而達(dá)到證明原命題為真命題的目的.

證明：若p+q>2,則

p'+q"=—[(p—q)(p+q)2]>—(p+q)">—X2?=2

222

所以p2+qV2.

這表明，原命題的逆否命題為真命題，從而原命題為真命題。

練習(xí)鞏固：證明：若a2-b?+2a-4b—3W0,貝ija-b#l.

10：課堂總結(jié)

(1)逆命題、否命題與逆否命題的概念；

(2)兩個命題互為逆否命題，他們有相同的真假性；

(3)兩個命題為互逆命題或互否命題，他們的真假性沒有關(guān)系；

(4)原命題與它的逆否命題等價；否命題與逆命題等價.

11：作業(yè)P9：習(xí)題1.1A組第2、3、4題

L2充分條件與必要條件

(-)教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能：正確理解充分不必要條件、必要不充分條件的概念；會判斷命題的充分條件、必要條件.

2.過程與方法：通過對充分條件、必要條件的概念的理解和運用，培養(yǎng)學(xué)生分析、判斷和歸納的邏輯思維

能力.

3.情感、態(tài)度與價值觀：通過學(xué)生的舉例，培養(yǎng)他們的辨析能力以及培養(yǎng)他們的良好的思維品質(zhì)，在練

習(xí)過程中進行辯證唯物主義思想教育.

(-)教學(xué)重點與難點

重點：充分條件、必要條件的概念.

(解決辦法：對這三個概念分別先從實際問題引起概念，再詳細(xì)講述概念，最后再應(yīng)用概念進行論證.)

難點：判斷命題的充分條件、必要條件

關(guān)鍵：分清命題的條件和結(jié)論，看是條件能推出結(jié)論還是結(jié)論能推出條件

(三)教學(xué)過程

1.練習(xí)與思考

寫出下列兩個命題的條件和結(jié)論，并判斷是真命題還是假命題？

(1)若x>a'+b'，則x>2ab,

(2)若ab=0,則a=0.

學(xué)生容易得出結(jié)論；命題(1)為真命題，命題(2)為假命題.

置疑：對于命題“若p,則q"，有時是真命題，有時是假命題.如何判斷其真假的？

答：看P能不能推出q，如果P能推出q,則原命題是真命題，否則就是假命題.

2.給出定義

命題“若P，則q”為真命題，是指由P經(jīng)過推理能推出q,也就是說，如果p成立，那么q一定成

立.換句話說，只要有條件P就能充分地保證結(jié)論q的成立，這時我們稱條件P是q成立的充分條件.

搬地，“若P，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q.這時.，我們就說，由p可推出q,

記作：pnq.

定義：如果命題“若p,則q"為真命題，即pnq,那么我們就說p是q的充分條件：q是p必要條件.

上面的命題(1)為真命題，即

x>aJ+b'nx>2ab,

所以“x>a2+b?”是“x>2ab”的充分條件，“x>2ab”是“x>a2+b"'"的必要條件.

3.例題分析：

例1:下列“若P，則q”形式的命題中，那些命題中的P是q的充分條件？

(1)若x=1,則/-4x+3=0；

(2)若f(x)=x,則f(x)為增函數(shù);

(3)若x為無理數(shù)，則/為無理數(shù).

分析：要判斷P是否是q的充分條件，就要看P能否推出q.

解略.

例2：下列“若p,則q”形式的命題中，那些命題中的q是p的必要條件？

⑴若x=y,則x2=y2；

(2)若兩個三角形全等，則這兩個三角形的面積相等；

⑶若a>b，則ac>bc.

分析：要判斷q是否是P的必要條件，就要看P能否推出q.

解略.

4.練習(xí)鞏固：P12練習(xí)第1、2、3、4題

5.課堂總結(jié)

充分、必要的定義.

在“若P，則q"中，若p=>q,則P為q的充分條件，q為P的必要條件.

6.作業(yè)

P14：習(xí)題L2A組第1(1)(2),2(1)⑵題

注(1)條件是相互的；

(2)p是q的什么條件，有四種回答方式：

①P是q的充分而不必要條件；

②p是q的必要而不充分條件；

③P是q的充要條件；

④P是q的既不充分也不必要條件.

1.2.2充要條件

(一)教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能目標(biāo)：

(1)正確理解充要條件的定義，了解充分而不必要條件，必要而不充分條件，既不充分也不必要

條件的定義.

(2)正確判斷充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件.

(3)通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生明白對條件的判定應(yīng)該歸結(jié)為判斷命題的真假，.

2.過程與方法目標(biāo)：在觀察和思考中，在解題和證明題中，培養(yǎng)學(xué)生思維能力的嚴(yán)密性品質(zhì).

3.情感、態(tài)度與價值觀：

激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)積極進取的精神.

(-)教學(xué)重點與難點

重點：

1、正確區(qū)分充要條件

2、正確運用“條件”的定義解題

難點：正確區(qū)分充要條件.

(三)教學(xué)過程

1.思考、分析

已知P：整數(shù)a是2的倍數(shù)；q：整數(shù)a是偶數(shù).

請判斷：P是q的充分條件嗎？P是q的必要條件嗎？

分析：要判斷P是否是q的充分條件，就要看P能否推出q,要判斷P是否是q的必要條件，就要看q能

否推出p.

易知：p=q,故p是q的充分條件；

又q=>P，故p是q的必要條件.

此時,我們說，P是q的充分必要條件

2.類比歸納

一般地,如果既有p=q,又有q=P就記作

P=q-

此時,我們說,那么P是q的充分必要條件,簡稱充要條件.顯然，如果P是q的充要條件,那么q也是P的充

要條件.

概括地說,如果p=q,那么p與q互為充要條件.

3.例題分析

例1:下列各題中，哪些P是q的充要條件？

(1)p:b=0,q:函數(shù)f(x)=ax'+bx+c是偶函數(shù)；

(2)p:x>0,y>0,q:xy>0；

(3)p:a>b,q:a+c>b+c；

(4)p:x>5,,q:x>10

(5)p:a>b,q:a">b'

分析：要判斷P是q的充要條件，就要看P能否推出q，并且看q能否推出p.

解：命題(1)和(3)中，pnq,且q=>p,即p。q,故p是q的充要條件；

命題(2)中，p=>q，但qW>p,故p不是q的充要條件；

命題(4)中，pw>q，但qnp,故p不是q的充要條件：

命題(5)中，pw>q,且qH>p,故p不是q的充要條件；

4.類比定義

一般地，

若p=q,但q豐>p)則稱P是q的充分但不必要條件；

若p/>q,但q=P，則稱P是q的必要但不充分條件；

若p#>q,且qX>P，則稱P是q的既不充分也不必要條件.

在討論P是q的什么條件時，就是指以下四種之一：

①若p=>q，但qp,則p是q的充分但不必要條件；

②若qnp,但p豐>q,則p是q的必要但不充分條件；

③若p=>q,且q=>p,則p是q的充要條件；

④若px>q,且q*>p,則p是q的既不充分也不必要條件.

5.練習(xí)鞏固：P14練習(xí)第1、2題

說明：要求學(xué)生回答p是q的充分但不必要條件、或p是q的必要但不充分條件、或P是q的充要條件、

或P是q的既不充分也不必要條件.

6.例題分析

例2：已知：?0的半徑為r,圓心0到直線1的距離為d.求證：d=r是直線1與。0相切的充要條件.

分析：設(shè)p：d=r,q：直線1與(DO相切.要證p是q的充要條件，只需要分別證明充分性(pnq)和必

要性(qnp)即可.

證明過程略.

例3、設(shè)p是r的充分而不必要條件，q是r的充分條件，r成立，則s成立.s是q的充分條件，問(1)

s是r的什么條件？(2)p是q的什么條件？

7.課堂總結(jié)：

充要條件的判定方法

如果“若P，則q”與“若P則q”都是真命題，那么P就是q的充要條件，否則不是.

8.作業(yè):P14：習(xí)題L2A組第1(3)(2),2(3),3題

1.3簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

1.3.1且1.3.2或

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能目標(biāo)：

（1）掌握邏輯聯(lián)結(jié)詞“或、且”的含義

（2）正確應(yīng)用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或、且”解決問題

（3）掌握真值表并會應(yīng)用真值表解決問題

2.過程與方法目標(biāo)：

在觀察和思考中，在解題和證明題中，本節(jié)課要特別注重學(xué)生思維的嚴(yán)密性品質(zhì)的培養(yǎng).

3.情感態(tài)度價值觀目標(biāo)：

激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)積極進取的精神.

（二）教學(xué)重點與難點

重點：通過數(shù)學(xué)實例，了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或、且”的含義，使學(xué)生能正確地表述相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容。

難點：

1、正確理解命題“PAq”“PVq”真假的規(guī)定和判定.

2、簡潔、準(zhǔn)確地表述命題“PAq”“PVq”.

（三）教學(xué)過程：

1、引入

在當(dāng)今社會中，人們從事任何工作、學(xué)習(xí)，都離不開邏輯.具有一定邏輯知識是構(gòu)成一個公民的文化

素質(zhì)的重要方面.數(shù)學(xué)的特點是邏輯性強，特別是進入高中以后，所學(xué)的數(shù)學(xué)比初中更強調(diào)邏輯性.如果

不學(xué)習(xí)一定的邏輯知識，將會在我們學(xué)習(xí)的過程中不知不覺地經(jīng)常犯邏輯性的錯誤.其實，同學(xué)們在初中

已經(jīng)開始接觸一些簡易邏輯的知識.

在數(shù)學(xué)中，有時會使用一些聯(lián)結(jié)詞，如“且”“或”“非在生活用語中，我們也使用這些聯(lián)結(jié)詞，

但表達(dá)的含義和用法與數(shù)學(xué)中的含義和用法不盡相同。下面介紹數(shù)學(xué)中使用聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”聯(lián)結(jié)

命題時的含義和用法。

為敘述簡便，今后常用小寫字母P，q,r,s,…表示命題。（注意與上節(jié)學(xué)習(xí)命題的條件p與結(jié)論q的區(qū)

別）

2、思考、分析

問題1：下列各組命題中，三個命題間有什么關(guān)系？

（1）①12能被3整除;

②12能被4整除；

③12能被3整除且能被4整除。

（2）①27是7的倍數(shù)；

②27是9的倍數(shù)；

③27是7的倍數(shù)或是9的倍數(shù)。

學(xué)生很容易看到，在第（1）組命題中，命題③是由命題①②使用聯(lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)得到的新命題，在第

（2）組命題中，命題③是由命題①②使用聯(lián)結(jié)詞“或”聯(lián)結(jié)得到的新命題，。

問題2：以前我們有沒有學(xué)習(xí)過象這樣用聯(lián)結(jié)詞“且”或“或”聯(lián)結(jié)的命題呢？你能否舉一些例子？

例如：命題p：菱形的對角線相等且菱形的對角線互相平分。

命題q：三條邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似或兩個角相等的兩個三角形相似。

3、歸納定義

?般地，用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題P和命題q聯(lián)結(jié)起來，就得到一個新命題，記作

pAq

讀作“P且q”。

一般地，用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，就得到一個新命題，記作pVq,讀作“P或q”。

命題“pAq”與命題“pVq”即，命題“p且q”與命題“P或q”中的“且”字與“或”字與下面

兩個命題中的“且”字與“或”字的含義相同嗎？

(1)若xGA且xWB,則xGAABo

(2)若xCA或xGB,貝IJxGAUB。

定義中的“且”字與“或”字與兩個命題中的“且”字與“或”字的含義是類似。但這里的邏輯聯(lián)結(jié)

詞“且”與日常語言中的“和”，“并且”，“以及”，“既…又…”等相當(dāng)，表明前后兩者同時兼有，同時滿

足，邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與生活中“或”的含義不同，例如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去這種可

能.

說明：符號"八”與“C”開口都是向下，符號“V”與“U”開口都是向上。

注意：“P或q”，“P且q”，命題中的“P”、“q”是兩個命題，而原命題，逆命題，否命題，逆否命

題中的“P”，“q”是一個命題的條件和結(jié)論兩個部分.

4、命題“pAq”與命題“pVq”的真假的規(guī)定

你能確定命題“p/\q”與命題“pVq”的真假嗎？命題“pAq”與命題“pVq”的真假和命題p,q

的真假之間有什么聯(lián)系？

引導(dǎo)學(xué)生分析前面所舉例子中命題P，q以及命題p/\q的真假性，概括出這三個命題的真假之間的關(guān)系的

一般規(guī)律。

例如：在上面的例子中，第(1)組命題中，①②都是真命題，所以命題③是真命題。

第(2)組命題中，①是假命題，②是真命題，但命題③是真命題。

PqPAq

PqpVq

真真真

真真真

真假假

真假真

假真假

假真真

假假假

假假假

(即一假則假)(即一真則真)

一般地，我們規(guī)定：

當(dāng)P，q都是真命題時，p/\q是真命題；當(dāng)P，q兩個命題中有一個命題是假命題時，pAq是假命題;

當(dāng)P，q兩個命題中有一個是真命題時，pVq是真命題；當(dāng)P，q兩個命題都是假命題時，pVq是假命題。

5、例題

例1：將下列命題分別用“且”與“或”聯(lián)結(jié)成新命題“pAq”與“pVq”的形式，并判斷它們的真假。

(Dp：平行四邊形的對角線互相平分，q：平行四邊形的對角線相等。

(2)p：菱形的對角線互相垂直，q：菱形的對角線互相平分；

(3)p：35是15的倍數(shù)，q：35是7的倍數(shù).

解(l)p/\q：平行四邊形的對角線互相平分且平行四邊形的對角線相等.也可簡寫成

平行四邊形的對角線互相平分且相等.

pVq：平行四邊形的對角線互相平分或平行四邊形的對角線相等.也可簡寫成

平行四邊形的對角線互相平分或相等.

由于P是真命題,且q也是真命題,所以pAq是真命題，pVq也是真命題.

(2)pAq：菱形的對角線互相垂直且菱形的對角線互相平分.也可簡寫成

菱形的對角線互相垂直且平分.

pVq：菱形的對角線互相垂直或菱形的對角線互相平分.也可簡寫成

菱形的對角線互相垂直或平分.

由于P是真命題,且q也是真命題,所以pAq是真命題，pVq也是真命題.

(3)pAq：35是15的倍數(shù)且35是7的倍數(shù).也可簡寫成

35是15的倍數(shù)且是7的倍數(shù).

pVq:35是15的倍數(shù)或35是7的倍數(shù).也可簡寫成

35是15的倍數(shù)或是7的倍數(shù).

由于P是假命題，q是真命題，所以pAq是假命題，pVq是真命題.

說明，在用"且"或"或"聯(lián)結(jié)新命題時，如果簡寫，應(yīng)注意保持命題的意思不變.

例2：選擇適當(dāng)?shù)倪壿嬄?lián)結(jié)詞“且”或“或”改寫下列命題，并判斷它們的真假。

(1)1既是奇數(shù)，又是素數(shù)；

(2)2是素數(shù)且3是素數(shù)；

(3)2W2.

解略.

例3、判斷下列命題的真假；

(1)6是自然數(shù)且是偶數(shù)

(2)。是A的子集且是A的真子集；

(3)集合A是ACB的子集或是AUB的子集；

(4)周長相等的兩個三角形全等或面積相等的兩個三角形全等.

解略.

6.練習(xí)

P20練習(xí)第1，2題

7.課堂總結(jié)

(1)掌握邏輯聯(lián)結(jié)詞“或、且”的含義

(2)正確應(yīng)用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或、且”解決問題

(3)掌握真值表并會應(yīng)用真值表解決問題

PqPAqPVq

真真真真

真假假真

假真假真

假假假假

8.作業(yè)：

P20：習(xí)題1.3A組第1、2題

1.3.3非

(一)教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能目標(biāo)：

(1)掌握邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”的含義

(2)正確應(yīng)用邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”解決問題

(3)掌握真值表并會應(yīng)用真值表解決問題

2.過程與方法目標(biāo)：

觀察和思考中，在解題和證明題中，本節(jié)課要特別注重學(xué)生思維能力中嚴(yán)密性品質(zhì)的培養(yǎng).

3.情感態(tài)度價值目標(biāo)：

激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)積極進取的精神.

(二)教學(xué)重點與難點

重點：通過數(shù)學(xué)實例，了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”的含義，使學(xué)生能正確地表述相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容.

難點：1、正確理解命題“「P”真假的規(guī)定和判定.

2、簡潔、準(zhǔn)確地表述命題“「P”.

(三)教學(xué)過程：

1、思考、分析

問題1：下列各組命題中的兩個命題間有什么關(guān)系？

(1)①35能被5整除；②35不能被5整除；

(2)①方程d+x+l=O有實數(shù)根。②方程d+x+FO無實數(shù)根。

學(xué)生很容易看到，在每組命題中，命題②是命題①的否定。

2、歸納定義

一般地，對一個命題p全盤否定，就得到一個新命題，記作

p

讀作“非p”或“P的否定”。

3、命題“「p”與命題p的真假間的關(guān)系

命題“rp”與命題p的真假之間有什么聯(lián)系？

引導(dǎo)學(xué)生分析前面所舉例子中命題p與命題「P的真假性，概括出這兩個命題的真假之間的關(guān)系的一般規(guī)

律。

例如：在上面的例子中，第(1)組命題中，命題①是真命題，而命題②是假命題。

第(2)組命題中，命題①是假命題，而命題②是真命題。

由此可以看出，既然命題「P是命題P的否定，那么「P與P不能同時為真命題，也不能同時為假命題，

也就是說，

若P是真命題，則-'p必是假命題；若p是假命題，則fp必是真命題；

■

假

宣真1

4、命題的否定與否命題的區(qū)別

讓學(xué)生思考：命題的否定與原命題的否命題有什么區(qū)別？

命題的否定是否定命題的結(jié)論，而命題的否命題是對原命題的條件和結(jié)論同時進行否定，因此在解題時應(yīng)

分請命題的條件和結(jié)論。

例：如果命題p：5是15的約數(shù)，那么

命題「P：5不是15的約數(shù)；

P的否命題：若一個數(shù)不是5,則這個數(shù)不是15的約數(shù)。

顯然，命題p為真命題，而命題p的否定「P與否命題均為假命題。

5.例題分析

例1寫出下表中各給定語的否定語。

至多有一至少有

若給定語為等于大于是都是

個一個

其否定語分別為

分析：“等于”的否定語是“不等于”；

“大于”的否定語是“小于或者等于”；

“是"的否定語是“不是”；

“都是”的否定語是“不都是”；

“至多有一個”的否定語是“至少有兩個”；

“至少有一個”的否定語是“一個都沒有”；

例2：寫出下列命題的否定，判斷下列命題的真假

(1)p：y=sinx是周期函數(shù)；

(2)p：3<2；

(3)p：空集是集合A的子集。

解略.

6.練習(xí)鞏固：P20練習(xí)第3題

7.小結(jié)

(1)正確理解命題“「P”真假的規(guī)定和判定.

(2)簡潔、準(zhǔn)確地表述命題“「P”.

8.作業(yè)P20：習(xí)題1.3A組第3題

1.4全稱量詞與存在量詞

1.4.1全稱量詞1.4.2存在量詞

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能目標(biāo)

（1）通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實例理解全稱量詞與存在量詞的含義，熟悉常見的全稱量詞和存在量詞.

（2）了解含有量詞的全稱命題和特稱命題的含義，并能用數(shù)學(xué)符號表示含有量詞的命題及

判斷其命題的真假性.

2.過程與方法目標(biāo)

使學(xué)生體會從具體到一般的認(rèn)知過程，培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括的能力.

3.情感態(tài)度價值觀

通過學(xué)生的舉例，培養(yǎng)他們的辨析能力以及培養(yǎng)他們的良好的思維品質(zhì)，在練習(xí)過程中進行辯證唯物

主義思想教育.

（二）教學(xué)重點與難點

重點：理解全稱量詞與存在量詞的意義

難點：全稱命題和特稱命題真假的判定.

（三）教學(xué)過程

1.思考、分析

下列語句是命題嗎？假如是命題你能判斷它的真假嗎？

（1）2x+1是整數(shù)：

（2）x>3；

（3）如果兩個三角形全等，那么它們的對應(yīng)邊相等；

（4）平行于同一條直線的兩條直線互相平行；

（5）海師附中今年所有高中一年級的學(xué)生數(shù)學(xué)課本都是采用人民教育出版社A版的教科書；

（6）所有有中國國籍的人都是黃種人；

（7）對所有的xeR,x>3；

（8）對任意一個xWZ,2x+1是整數(shù)。

1.推理、判斷

（讓學(xué)生自己表述）

（1）、（2）不能判斷真假，不是命題。

（3）、（4）是命題且是真命題。

（5）-（8）如果是假，我們只要舉出一個反例就行。

注：對于（5）-（8）最好是引導(dǎo)學(xué)生將反例用命題的形式寫出來。因為這些命題的反例涉及到“存

在量詞”“特稱命題”“全稱命題的否定”這些后續(xù)內(nèi)容。

（5）的真假就看命題：海師附中今年存在個別（部分）高一學(xué)生數(shù)學(xué)課本不是采用人民教育出版社A

版的教科書；這個命題的真假，該命題為真，所以命題（5）為假；

命題（6）是假命題.事實上，存在一個（個別、部分）有中國國籍的人不是黃種人.

命題（7）是假命題.事實上，存在一個（個別、某些）實數(shù)（如x=2）,x<3.

（至少有一個xWR,xW3）

命題（8）是真命題。事實上不存在某個xez,使2x+l不是整數(shù)。也可以說命題：存在某個XGZ

使2x+1不是整數(shù)，是假命題.

3.發(fā)現(xiàn)、歸納

命題（5）-（8）跟命題（3）、（4）有些不同，它們用到“所有的”“任意一個”這樣的詞語，這

些詞語一般在指定的范圍內(nèi)都表示整體或全部，這樣的詞叫做全稱量詞，用符號“V”表示，含有全稱量

詞的命題，叫做全稱命題.命題（5）—（8）都是全稱命題。

通常將含有變量X的語句用。（x）,q（x）,r（x）,……表示，變量X的取值范圍用〃表示。那么全稱

命題”對材中任意一個x,有pG9成立”可用符號簡記為：vxwM,p（x）,讀做“對任意x屬于M有

p(x)成立”。

剛才在判斷命題(5)-(8)的真假的時候，我們還得出這樣一些命題：

(5)存在個別高一學(xué)生數(shù)學(xué)課本不是采用人民教育出版社A版的教科書；

(6),存在一個(個別、部分)有中國國籍的人不是黃種人.

(7)?存在一個(個別、某些)實數(shù)x(如x=2),使xW3.(至少有一個xCR,x<3)

(8)-不存在某個xdZ使2x+1不是整數(shù).

這些命題用到了“存在一個”“至少有一個”這樣的詞語，這些詞語都是表示整體的一部分的詞叫做

存在量詞。并用符號“三”表示。含有存在量詞的命題叫做特稱命題(或存在命題)命題(5)--(8)'都

是特稱命題(存在命題).

特稱命題：“存在M中一個x,使0行)成立”可以用符號簡記為：3xeM,/?(x)o讀做“存在一個

X屬于也使P(X)成立

全稱量詞相當(dāng)于日常語言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一個”等；存在量詞相當(dāng)于日常語言中“存

在一個”，“有一個”，“有些”，“至少有一個”，“至多有一個”等.

4.練習(xí)、感悟

(1)下列全稱命題中，真命題是：

A.所有的素數(shù)是奇數(shù)；B.VxeR,(x—Ip>0；

C.Vxe7?,x+—>2D.Vxe(0,—),sinx+―-—>2

x2sinx

(2)下列特稱命題中，假命題是：

A.3xe/?,x2-2x-3=0B.至少有一個xeZ,x能被2和3整除

C,存在兩個相交平面垂直于同一直線D.是無理數(shù)｝是有理數(shù).

(3)已知I：對Vx€R+,aYx+，恒成立，則a的取值范圍是：

x

變式：已知：對VxeR+,x2-ax+lY0恒成立，則a的取值范圍是；

(4)求函數(shù)/(x)=-cos?x-sinx+3的值域；

變式：已知：對WxeR,方程cos?x+sinx-3+a=0有解，求a的取值范圍.

5.作業(yè)、探究

(1)作業(yè)：P”習(xí)題1.4A組1、2題：

判斷下列全稱命題的真假：

①末位是。的整數(shù)，可以被5整除；

②線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等；

③負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)；

④梯形的對角線相等。

(2)判斷下列特稱命題的真假：

①有些實數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；

②有些三角形不是等腰三角形；

③有些菱形是正方形。

(3)探究：

①請課后探究命題(5)'-(8),跟命題(5)-(8)分別有什么關(guān)系？

②請你自己寫出兒個全稱命題，并試著寫出它們的否命題.寫出兒個特稱命題，并試著寫出它們的

否命題。

1.4.3含有一個量詞的命題的否定

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能目標(biāo)

（1）通過探究數(shù)學(xué)中一些實例，使學(xué)生歸納總結(jié)出含有一個量詞的命題與它們的否定在形式上的變化規(guī)

律.

（2）通過例題和習(xí)題的教學(xué)，使學(xué)生能夠根據(jù)含有?個量詞的命題與它們的否定在形式上的變化規(guī)律，

正確地對含有一個量詞的命題進行否定.

2.過程與方法目標(biāo)

使學(xué)生體會從具體到一般的認(rèn)知過程，培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括的能力.

3.情感態(tài)度價值觀

通過學(xué)生的舉例，培養(yǎng)他們的辨析能力以及培養(yǎng)他們的良好的思維品質(zhì)，在練習(xí)過程中進行辯證唯物

主義思想教育.

（二）教學(xué)重點與難點

教學(xué)重點：通過探究，了解含有一個量詞的命題與它們的否定在形式上.的變化規(guī)律，會正確地對含有一個

量詞的命題進行否定.

教學(xué)難點：正確地對含有一個量詞的命題進行否定.

（三）教學(xué)過程

1.回顧

我們在上一節(jié)中學(xué)習(xí)過邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”.對給定的命題p,如何得到命題p的否定（或非p），它

們的真假性之間有何聯(lián)系？

2.思考、分析

判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，你能寫出下列命題的否定嗎？

（1）所有的矩形都是平行四邊形；

（2）每一個素數(shù)都是奇數(shù)；

（3）VxGR,X'—2x+1>0o

（4）有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)；

（5）某些平行四邊形是菱形；

（6）3x￡R,x2+l<0?

3.推理、判斷

你能發(fā)現(xiàn)這些命題和它們的否定在形式上有什么變化？

（讓學(xué)生自己表述）

前三個命題都是全稱命題，即具有形式“

其中命題（1）的否定是“并非所有的矩形都是平行四邊形”，也就是說，

存在一個矩形不都是平行四邊形；

命題（2）的否定是“并非每一個素數(shù)都是奇數(shù)；”，也就是說，

存在一個素數(shù)不是奇數(shù)；

命題（3）的否定是“并非VxGR,x~—2x+l>0",也就是說，

3x￡R,X2-2X+1<0；

后三個命題都是特稱命題，即具有形式

其中命題（4）的否定是“不存在一個實數(shù)，它的絕對值是正數(shù)”，也就是說，

所有實數(shù)的絕對值都不是正數(shù)；

命題（5）的否定是“沒有?個平行四邊形是菱形”，也就是說，

每一個平行四邊形都不是菱形；

命題（6）的否定是“不存在x￡R,x'+lVO"，也就是說，

VxER,x2+1^0：

4.發(fā)現(xiàn)、歸納

從命題的形式上看，前三個全稱命題的否定都變成了特稱命題。后三個特稱命題的否定都變成了全稱

命題。

一般地，對于含有一個量詞的全稱命題的否定，有下面的結(jié)論：

全稱命題P：

VxeM,p(x)

它的否定T

3x&M,

特稱命題P：

BxeM,p(x)

它的否定一P：

VxGM,~~'P(x)

全稱命題和否定是特稱命題。特稱命題的否定是全稱命題。

5.練習(xí)、感悟

判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并寫出它們的否定：

(Dp：所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)；

(2)p：每一個四邊形的四個頂點共圓：

(3)p：對VxCZ,Y個位數(shù)字不等于3；

(4)p：3xGR,x?+2x+2W0；

(5)p：有的三角形是等邊三角形；

(6)p：有一個素數(shù)含三個正因數(shù)。

6.小結(jié)與作業(yè)

(1)小結(jié)：如何寫出含有一個量詞的命題的否定，原先的命題與它的否定在形式上有什么變化？

(2)作業(yè)：P29習(xí)題L4A組第3題：B組(1)(2)(3)(4)

第二章圓錐曲線與方程

2.1曲線與方程

2.1.1曲線與方程2.1.2求曲線的軌跡方程

一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識教學(xué)點

使學(xué)生掌握常用動點的軌跡以及求動點軌跡方程的常用技巧與方法.（二）能力訓(xùn)練點

通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的歸納和介紹，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用各方面知識的能力.

（三）學(xué)科滲透點

通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的介紹，使學(xué)生掌握常用動點的軌跡，為學(xué)習(xí)物理等學(xué)科打下扎實的

基礎(chǔ).

二、教材分析

1.重點：求動點的軌跡方程的常用技巧與方法.

（解決辦法：對每種方法用例題加以說明，使學(xué)生掌握這種方法.）2.難點：作相關(guān)點法求動點的軌跡方

法.

（解決辦法：先使學(xué)生了解相關(guān)點法的思路，再用例題進行講解.）

三、活動設(shè)計

提問、講解方法、演板、小測驗.

四、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)引入

大家知道，平面解析幾何研究的主要問題是：

（1）根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；

（2）通過方程，研究平面曲線的性質(zhì).

我們已經(jīng)對常見曲線圓、橢圓、雙曲線以及拋物線進行過這兩個方面的研究，今天在上面已經(jīng)研究的基礎(chǔ)

上來對根據(jù)已知條件求曲線的軌跡方程的常見技巧與方法進行系統(tǒng)分析.

（~）兒種常見求軌跡方程的方法

1.直接法

由題設(shè)所給（或通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出）的動點所滿足的兒何條件列出等式，再用坐標(biāo)代替這等

式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法.

例1（D求和定圓x2+y2=k2的圓周的距離等于k的動點P的軌跡方程；

（2）過點A（a,o）作圓0：x2+y2=R2（a>R>o）的割線，求割線被圓0截得弦的中點的軌跡.

對（1）分析：

動點P的軌跡是不知道的，不能考查其幾何特征，但是給出了動點P的運動規(guī)律：|0P|=2R或|0P|=0.

解：設(shè)動點P（x,y）,則有|0P|=2R或|0P|=0.

即x2+y2=4R2或x2+y2=0.

故所求動點P的軌跡方程為x2+y2=4R2或x2+y^0.

對（2）分析：

題設(shè)中沒有具體給出動點所滿足的幾何條件，但可以通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出，即圓心與弦的中點

連線垂直于弦，它們的斜率互為負(fù)倒數(shù).由學(xué)生演板完成，解答為：

設(shè)弦的中點為M（x,y）,連結(jié)OM,

則OM±AM.

VkOM?kAM=-l,

化簡得：(x-|)2+y2=(|)2.

其軌跡是以0A為直徑的圓在圓。內(nèi)的一段弧(不含端點).

2.定義法

利用所學(xué)過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點的軌跡方程，這

種方法叫做定義法.這種方法要求題設(shè)中有定點與定直線及兩定點距離之和或差為定值的條件，或利用平

面幾何知識分析得出這些條件.

例2設(shè)Q是圓x?+y2=4上的動點，另有點做0，0),線段AQ的垂

直平分線1交半徑OQ于點P(見圖2—45),當(dāng)Q點在圓周上運動時，求點P的軌跡方程.

圖2-45

分析：

?.?點P在AQ的垂直平分線上，

.*.|PQ|=|PA|.

又P在半徑OQ上.

A|PO|+|PQ|=R,即：PO|+|PA|=R.

故P點到兩定點距離之和是定值，可用橢圓定義

寫出P點的軌跡方程.

解：連接PAV