專題1旋轉(zhuǎn)中的全等手拉手模型八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊聚焦課本培優(yōu)專題訓(xùn)練講義

專題1旋轉(zhuǎn)中的全等手拉手模型專題1旋轉(zhuǎn)中的全等手拉手模型知識(shí)梳理知識(shí)梳理在同學(xué)們學(xué)習(xí)了三角形的初步認(rèn)識(shí)之后，在解答題目時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)的一道題目，也是必考題型，同學(xué)們要認(rèn)識(shí)什么是手拉手模型，其實(shí)就是有兩個(gè)等腰的三角形或者兩個(gè)等邊的三角形，他們有一個(gè)共同的頂點(diǎn)，且兩個(gè)等腰三角形的頂角是相等的，那么就可以用角的和差求得共頂點(diǎn)的另外兩個(gè)角相等等，然后利用等腰的邊對(duì)應(yīng)相等，可證明兩個(gè)三角形全等（邊角邊）組成這樣的圖形模樣的我們就說他是手拉手模型。熟知手拉手模型的做法和思路，不論是求證線段的關(guān)系，還是求證角度的關(guān)系都十分的簡單了，這里整理了部分手拉手模型的經(jīng)典題目，有余力的同學(xué)們一定要認(rèn)真練習(xí)。本專題就手拉手模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型分析模型分析模型.手拉手模型（全等模型）手拉手模型概念：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形共用頂角頂點(diǎn)，分別連接對(duì)應(yīng)的兩底角頂點(diǎn)，從而可以得到一個(gè)經(jīng)典的全等模型。因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，形象可以看作兩雙手，通常稱為“手拉手模型”。模型特征：雙等腰；共頂點(diǎn)；頂點(diǎn)相等；繞著頂點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)解題依據(jù)：等腰共頂手拉手，旋轉(zhuǎn)全等馬上有；左手拉左手，右手拉右手，兩根拉線抖一抖，它們相等不用愁；拉線夾角與頂角，相等互補(bǔ)答案有。解題思路：①連接拉手線：左手拉左手，右手拉右手②證全等：等腰三角形性質(zhì)；SAS③利用全等性質(zhì)得到角度關(guān)系+拉手線相等模型展示模型、旋轉(zhuǎn)中的手拉手全等模型模型展示雙等邊三角形型條件：△ABC和△DCE均為等邊三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)F。結(jié)論：①△ACD≌△BCE【證明】條件：△ABC和△DCE均為等邊三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)F。結(jié)論：②△BCM≌△ACN【證明】條件：△ABC和△DCE均為等邊三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)F。結(jié)論：③△MCE≌△NCD【證明】條件：△ABC和△DCE均為等邊三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)F。結(jié)論：④【證明】條件：△ABC和△DCE均為等邊三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)F。結(jié)論：⑤【證明】條件：△ABC和△DCE均為等邊三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)F。結(jié)論：⑥【證明】雙等腰直角三角形型條件：如圖，△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)N。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BFD。雙等腰三角形型條件：如圖，△ABC和△DCE均為等腰三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)F。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠BFD。雙正方形形型條件：如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形，連接EB和GD，兩者交于點(diǎn)O結(jié)論：①?AGD≌?AEB；②GD=EB；【證明】∵四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形∴∠GAE=∠BAD=90°，AB=AD，AE=AG∴∠GAE+∠1=∠BAD+∠1∴∠GAD=∠EAB在?AGD與?AEB中∴?AGD≌?AEB∴∠AGD=∠AEB，GD=EB條件：如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形，連接EB和GD，兩者交于點(diǎn)O結(jié)論：③GD⊥EB；④CN平分∠BNE?！咀C明】在?GOM與?AEM中∵∠OGM+∠GMO+∠MOG=180°∠MEA+∠AME+∠MAE=180°而∠AGD=∠AEB，∠GMO=∠AME∴∠MOG=∠MAE=90°∴GD⊥EB條件：如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形，連接EB和GD，兩者交于點(diǎn)O結(jié)論：④AO平分∠EOD?！咀C明】過點(diǎn)A分別作AW⊥BE交BE于點(diǎn)W,AX⊥GD交GD于點(diǎn)X∵?AGD≌?AEB∴S?AGD=S?AEB而GD=BE則AW=AX，∴AO平分∠EOD經(jīng)典例題經(jīng)典例題精析【典型例題】如圖，A，B，E三點(diǎn)在同一直線上，，都是等邊三角形，連接AD，BE，OC：下列結(jié)論中正確的是（

）①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等邊三角形；③平分；④△BPO≌△EDO．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，三角形的全等，逐一判斷即可．【詳解】∵△ABC，△CDE都是等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠PCQ=∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴①的說法是正確的；∵△ACD≌△BCE，∴∠PDC=∠QEC，∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE，∴△PCD≌△QCE，∴PC=QC，∴△CPQ是等邊三角形；∴②的說法是正確的；∵△PCD≌△QCE，∴PD=QE，，過點(diǎn)C作CG⊥PD，垂足為G，CH⊥QE，垂足為H，∴，∴CG=CH，∴OC平分∠AOE，∴③的說法是正確的；無法證明△BPO≌△EDO．∴④的說法是錯(cuò)誤的；故答案為①②③，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形的全等與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，靈活進(jìn)行三角形全等的判定，活用角的平分線性質(zhì)定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．典型例題例1、如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）典型例題A．∠AOB=60° B．AP=BQC．PQ∥AE D．DE=DP【答案】D【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，BC∥DE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，得出A正確；根據(jù)△CQB≌△CPA（ASA），得出B正確；由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根據(jù)∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC=∠DCE，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，得出C正確；根據(jù)∠CDE=60°，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，可知∠DQE≠∠CDE，得出D錯(cuò)誤．【詳解】解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD與△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE=∠DAC，又∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，又∵AC=BC，在△CQB與△CPA中，，∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CP=CQ，又∵∠PCQ=60°可知△PCQ為等邊三角形，∴∠PQC=∠DCE=60°，∴PQ∥AE，故C正確，∵△CQB≌△CPA，∴AP=BQ，故B正確，∵AD=BE，AP=BQ，∴ADAP=BEBQ，即DP=QE，∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，∴∠DQE≠∠CDE，故D錯(cuò)誤；∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∵等邊△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，故A正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)不變性，解題的關(guān)鍵是找到不變量．例2、如圖所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，則∠3＝（）A．55° B．50° C．45° D．60°【答案】A.【分析】求出∠BAD＝∠EAC，證△BAD≌△EAC，推出∠2＝∠ABD＝30°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出即可．【詳解】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，AB=AC∠BAD=∠EAC∴△BAD≌△EAC（SAS），∴∠2＝∠ABD＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)；解答時(shí)，除必備的知識(shí)外，還應(yīng)將條件和所求聯(lián)系起來，即將所求的角與已知角通過全等及內(nèi)角、外角之間的關(guān)系聯(lián)系起來．例3、如圖，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，點(diǎn)P，Q，R分別是BC，DC，DE的中點(diǎn)．把△ADE繞點(diǎn)A在平面自由旋轉(zhuǎn)，則△PQR的面積不可能是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【分析】連接BD、CE，BD的延長線交CE的延長線于O，AC交BO于H．證明△BAD≌△CAE,然后可推出△PQR是等腰直角三角形，S△PQR＝?PQ2,由AB＝5，AD＝2可知3≤BD≤7，從而得到≤PQ≤，那么≤?PQ2≤,即可得出答案．【詳解】解：連接BD、CE，BD的延長線交CE的延長線于O，AC交BO于H．∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ABH＝∠OCH，∵∠AHB＝∠CHO，∴∠O＝∠BAH＝90°，∵點(diǎn)P，Q，R分別是BC，DC，DE的中點(diǎn)，∴PQ＝BD，PQ∥BO，QR＝EC，QR∥CO，∵BO⊥OC，∴PQ⊥RQ，PQ＝QR，∴△PQR是等腰直角三角形，∴S△PQR＝?PQ2，∵AB＝5，AD＝2，∴3≤BD≤7，∴≤PQ≤，∴≤?PQ2≤，∴△PQR的面積不可能是8，故答案為：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．例4、如圖，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，點(diǎn)C、D、E、F共線．則下列結(jié)論，其中正確的是（）①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④【答案】A.【分析】想辦法證明△FAB≌△EAC（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題；【詳解】解：∵∠EAF＝∠BAC，∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△FAB≌△EAC（SAS），故①正確，∴BF＝EC，故②正確，∴∠ABF＝∠ACE，∵∠BDF＝∠ADC，∴∠BFC＝∠DAC，∵∠DAC＝∠EAF，∴∠BFC＝∠EAF，故③正確，無法判斷AB＝BC，故④錯(cuò)誤，故選：A．【點(diǎn)睛】該命題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出圖形中隱含的全等三角形，靈活運(yùn)用四點(diǎn)共圓等幾何知識(shí)來分析、判斷、推理或證明．例5、如圖，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于點(diǎn)H，連接CH，則∠CHE=_______．【答案】65°【分析】先判斷出，再判斷出即可得到平分，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，，，在和中，；過點(diǎn)作于，于，，，在和中，，，在與中，，平分；，，，，，，故答案為：65°．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．例6、如圖，∠1＝∠2＝30°，∠A＝∠B，AE＝BE，點(diǎn)D在邊AC上，AE與BD相交于點(diǎn)O，則∠C的度數(shù)為75°．【答案】75°.【分析】首先根據(jù)∠1＝∠2，得∠CEA＝∠DEB，再利用ASA證明△AEC≌△BED，得DE＝EC，利用等腰三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：∵∠1＝∠2，∴∠CEA＝∠DEB，在△AEC與△BED中，∠A=∠BAE=BE∴△AEC≌△BED（ASA），∴DE＝EC，∴∠EDC＝∠C，∵∠1＝∠2＝30°，∴∠C＝75°，故答案為：75°．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于中等題型．例7、如圖1，B、C、D三點(diǎn)在一條直線上，AD與BE交于點(diǎn)O，△ABC和△ECD是等邊三角形．(1)求證：△ACD≌△BCE；(2)求∠BOD的度數(shù)；(3)如圖2，若B、C、D三點(diǎn)不在一條直線上，∠BOD的度數(shù)是否發(fā)生改變？（填“改變”或“不改變”）【答案】(1)證明見解析；(2)∠BOD＝120°；(3)不改變，理由見解析?！痉治觥浚?）根據(jù)“SAS”證明△ACD≌△BCE即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得∠ADC＝∠BEC，再由三角形的外角性質(zhì)得∠AOB＝60°，即可求解；（3）同（1）得：△ACD≌△BCE，得出∠DAC＝∠EBC，根據(jù)三角形外角求出∠AOE=120°，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵△ABC和△ECD是等邊三角形，∴∠ACB＝∠ECD＝60°，BC＝AC，EC＝CD，∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中∵，∴△BCE≌△ACD（SAS）．（2）解：∵△BCE≌△ACD，∴∠ADC＝∠BEC，∵∠AOB＝∠EBC+∠ADC，∴∠AOB＝∠EBC+∠BEC＝∠DCE＝60°，∵∠AOB+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝120°．（3）解：不改變，理由如下：同（1）得：△ACD≌△BCE（SAS），∴∠DAC＝∠EBC，∵∠AOE＝∠ABO+∠OAB＝∠ABO+∠DAC+∠BAC＝∠ABO+∠EBC+∠BAC＝∠ABC+∠BAC＝120°∴∠BOD＝∠AOE＝120°，即∠BOD的度數(shù)不改變．故答案為：不改變．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，對(duì)頂角性質(zhì)，證明△ACD≌△BCE是解題的關(guān)鍵．例8、在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是直線BC上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），以AD為腰右側(cè)作等腰三角形△ADE，且AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，聯(lián)接CE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝90度．（2）設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．①點(diǎn)D是在線段BC上移動(dòng)時(shí)，如圖2，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說明理由．②點(diǎn)D是在射線CB上移動(dòng)時(shí)，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試直接寫出結(jié)論．【答案】（1）90；（2）①α+β＝180°，理由見詳解；②α＝β，理由見詳解【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，得∠B＝∠ACE，即可證明；（2）①與（1）同理證明△BAD≌△CAE，得∠ABD＝∠ACE，則∠BAC+∠BCE＝∠BAC+∠BCA+∠ACE＝∠BAC+∠BCA+∠B＝180°；②同理證明△ADB≌△AEC，得∠ABD＝∠ACE，由∠ABD＝∠BAC+∠ACB，則∠BAC＝∠BCE．【詳解】解：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD與△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，故答案為：90；（2）①α+β＝180°，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD與△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠BCA＝180°，∴∠BAC+∠BCE＝∠BAC+∠BCA+∠ACE＝∠BAC+∠BCA+∠B＝180°，∴α+β＝180°；②α＝β，理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，在△ADB與△AEC中，AD=AE∠DAE=∠EAC∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE，∴α＝β．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定，以及全等三角形的性質(zhì)；兩者綜合運(yùn)用，促進(jìn)角與角相互轉(zhuǎn)換，將未知角轉(zhuǎn)化為已知角是關(guān)鍵．本題的亮點(diǎn)是由特例引出一般情況．例9、如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．連接BD交AE于M，連接CE交AB于N，BD與CE交點(diǎn)為F，連接AF．（1）如圖1，求證：BD⊥CE；（2）如圖1，求證：FA是∠CFD的平分線；（3）如圖2，當(dāng)AC＝2，∠BCE＝15°時(shí)，求CF的長．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）CF=．【分析】（1）根據(jù)SAS即可求得△CAE≌△BAD，求得∠ACF=∠ABD．因?yàn)椤螦NC=∠BNF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理就可求得∠BFN=∠NAC=90°，從而證得BD⊥CE；

（2）作AG⊥CE于G，AK⊥BD于K．根據(jù)三角形面積公式即可求得AG=AK．根據(jù)角的平分線的性質(zhì)定理的逆定理即可證得FA是∠CFD的平分線；

（3）根據(jù)已知條件求得∠ACN=∠ACB∠BCE=30°=∠FBN．在Rt△ACN中，通過解直角三角形從而求得AN=，CN=．進(jìn)而求得BN=2．在Rt△ACN中通過解直角三角形求得NF=BN=．即可求得CF=CN+NF=．【詳解】（1）證明：如圖1．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠BAE＝∠BAE，∴∠CAE＝∠BAD．在△CAE和△BAD中，，∴△CAE≌△BAD（SAS），∴∠ACF＝∠ABD．∵∠ANC＝∠BNF，∴∠BFN＝∠NAC＝90°．∴BD⊥CE．（2）證明：如圖1，作AG⊥CE于G，AK⊥BD于K．由（1）知△CAE≌△BAD，∴CE＝BD，S△CAE＝S△BAD，∴AG＝AK．∴點(diǎn)A在∠CFD的平分線上．即FA是∠CFD的平分線．（3）如圖2．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝45°．∵∠BCE＝15°，∴∠ACN＝∠ACB﹣∠BCE＝30°＝∠FBN．在Rt△ACN中∵∠NAC＝90°，AC＝2，∠ACN＝30°，∴．∵AB＝AC＝2，∴BN＝2﹣．在Rt△ACN中∵∠BFN＝90°，∠FBN＝30°，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，角的平分線的判定等知識(shí)點(diǎn)，利用全等三角形得出線段相等和角相等是解題的關(guān)鍵．例10、（1）如圖①，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點(diǎn)B，C，E在一條直線上，連結(jié)BD和AE，直線BD，AE相交于點(diǎn)P．則線段BD與AE的數(shù)量關(guān)系為_____________．BD與AE相交構(gòu)成的銳角的度數(shù)為___________．（2）如圖②，點(diǎn)B，C，E不在同一條直線上，其它條件不變，上述的結(jié)論是否還成立．（3）應(yīng)用：如圖③，點(diǎn)B，C，E不在同一條直線上，其它條件依然不變，此時(shí)恰好有．設(shè)直線AE交CD于點(diǎn)Q，請把圖形補(bǔ)全．若，則DP___________．【答案】（1）相等，60°；（2）成立，證明見解析；（3）見解析，4.【分析】（1）證明△BCD≌△ACE，并運(yùn)用三角形外角和定理和等邊三角形的性質(zhì)求解即可；（2）是第（1）問的變式，只是位置變化，結(jié)論保持不變；（3）根據(jù)∠AEC=30°，判定AE是等邊三角形CDE的高，運(yùn)用前面的結(jié)論，把條件集中到一個(gè)含有30°角的直角三角形中求解即可.【詳解】（1）相等；60°.理由如下：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，在和中，∴．∴，．又∵，∴.（2）成立；理由如下：證明：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，在和中，∴．∴，．又∵，∴.（3）補(bǔ)全圖形（如圖）,∵△CDE是等邊三角形，∴∠DEC=60°，∵∠AEC=30°，∴∠AEC=∠AED，∴EQ⊥DQ，∴∠DQP=90°，根據(jù)（1）知，∠BDC=∠AEC=30°，∵PQ=2，∴DP=4.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題是一道猜想證明題，以兩線段之間的大小關(guān)系為基礎(chǔ)，考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的全等，直角三角形的性質(zhì)，證明兩個(gè)手拉手模型三角形全等是解題的關(guān)鍵.課后專題練課后專題練練1、如圖，正和正中，B、C、D共線，且，連接和相交于點(diǎn)F，以下結(jié)論中正確的有（

）個(gè)①

②連接，則平分

③

④A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)“手拉手”模型證明，從而得到，再結(jié)合三角形的外角性質(zhì)即可求解，即可證明①；作于點(diǎn)，于點(diǎn)，證明，結(jié)合角平分線的判定定理即可證明②；利用面積法表示和的面積，然后利用比值即可證明③；利用“截長補(bǔ)短”的思想，在上取點(diǎn)，使得，首先判斷出為等邊三角形，再結(jié)合“手拉手”模型推出即可證明④．【詳解】解：①∵和均為等邊三角形，∴，，，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，，∴，故①正確；②如圖所示，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，∵，∴，在和中，∴，∴，∴平分，故②正確；③如圖所示，作于點(diǎn)，∵，，∴，∵，∴整理得：，∵，∴，∴，故③正確；④如圖所示，在上取點(diǎn)，使得，∵，平分，∴，，∴為等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，，∴，故④正確；綜上，①②③④均正確；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等，理解等邊三角形的基本性質(zhì)，掌握全等三角形中的輔助線的基本模型，包括“手拉手”模型，截長補(bǔ)短的思想等是解題關(guān)鍵．練2、如圖，O為正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA＝3，OB＝4，OC＝5，將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，下列結(jié)論：①可由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點(diǎn)O與O′的距離為4；③∠AOB＝150°；④S四邊形AOBO′＝6+2；⑤，其中正確的是（

）A．①②③ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，易證，故①正確；證明是等邊三角形，故②說法正確；由勾股定理的逆定理可證得，結(jié)合等邊三角形性質(zhì)，有，故，③說法正確；由直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)，可得，④說法錯(cuò)誤；將線段OA以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD，連接OD，過A作AE⊥CD交CD延長線于點(diǎn)E，根據(jù)判斷④的方法，判斷⑤說法正確．【詳解】解：∵將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，∴，，∵正△ABC，∴，，∵，∴，即，在與中，∵，∴，故可由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，①說法正確，符合題意；如圖1，連接∵，，∴是等邊三角形，∵，∴．故點(diǎn)O與O′的距離為4，②說法正確，符合題意；∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∵．故③說法正確，符合題意；如圖2，過作于點(diǎn)，∵是等邊三角形，，，∴，∴．∵，，，∴．∵，，，∴．∴．故④說法錯(cuò)誤，不符合題意；將線段OA以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD，連接OD，過A作AE⊥CD交CD延長線于點(diǎn)E，∵將線段OA以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD，∴，，∵正△ABC，∴，，∵，∴，即，在與中，∵，∴，∴．∵，，∴是等邊三角形．∵，∴易求．∵是等邊三角形，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．∵，，∴．∴．∵，，∴，∴．∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故⑤說法正確，符合題意；綜上，正確的說法有①②③⑤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形判定，等邊三角形性質(zhì)以及勾股定理以及逆定理，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．練3、如圖，在中，，分別以AB，AC為邊作等邊和等邊△ACE，連結(jié)DE，若，，則ED=（

）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】在Rt△ABC中可直接運(yùn)用勾股定理求出BC，然后結(jié)合“手拉手”模型證得△ABC≌△ADE，即可得到DE=BC，從而求解即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，AB=3，AC=5，∴由勾股定理得：BC=4，∵和均為等邊三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD∠CAD=∠CAE∠CAD，即：∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE(SAS)，∴DE=BC=4，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練運(yùn)用勾股定理解三角形是解題關(guān)鍵．練4、如圖所示，等邊的頂點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為_______；點(diǎn)是位于軸上點(diǎn)左邊的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在第三象限內(nèi)作等邊,若點(diǎn).小明所在的數(shù)學(xué)興趣合作學(xué)習(xí)小組借助于現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)信息技術(shù)，課余時(shí)間經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)無論點(diǎn)在點(diǎn)左邊軸負(fù)半軸任何位置，，之間都存在著一個(gè)固定的一次函數(shù)關(guān)系，請你寫出這個(gè)關(guān)系式是_____．【答案】

；.【分析】過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為E，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到OE和AE，再根據(jù)三線合一得到OB即可；再連接BD，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為F，證明△OAC≌△BAD，得到∠CAD=∠CBD=60°，利用30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半以及點(diǎn)D的坐標(biāo)得到BF和DF的關(guān)系，從而可得關(guān)于m和n的關(guān)系式.【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為E，∵△ABO為等邊三角形，A，∴OE=1，AE=，∴BE=1，∴OB=2，即B（2，0）；連接BD，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為F，∵∠OAB=∠CAD，∴∠OAC=∠BAD，∵OA=AB，AC=AD，∴△OAC≌△BAD（SAS），∴∠OCA=∠ADB，∵∠AGD=∠BGC，∴∠CAD=∠CBD=60°，∴在△BFD中，∠BDF=30°，∵D（m，n），∴DF=m，DF=n，∵B（2，0），∴BF=m2，∵DF=BF，∴n=（m2），整理得：.故答案為：，.【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，有一定難度.練5、兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角頂點(diǎn)，并將它們的底角頂點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)連接起來得到兩個(gè)全等三角形，我們把這樣的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，則△ABD≌△ACE．(1)請證明圖1的結(jié)論成立；(2)如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點(diǎn)O，求∠BOC的度數(shù)；(3)如圖3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)60°(3)∠A+∠BCD=180°，理由見解析【分析】（1）利用等式的性質(zhì)得出∠BAD=∠CAE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△ABD≌△ACE，得出∠ADB=∠AEC，再利用對(duì)頂角和三角形的內(nèi)角和定理判斷出∠BOC=60°，即可得出答案；（3）先判斷出△BDP是等邊三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，進(jìn)而判斷出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）如圖2，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB=∠AEC，令A(yù)D與CE交于點(diǎn)G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°∠ADB∠DGO=180°∠AEC∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°；（3）∠A+∠BCD=180°．理由：如圖3，延長DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等邊三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠ABC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造等邊三角形是解本題的關(guān)鍵．練6、如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一點(diǎn)，且DE＝CE，連接BD，CD．（1）判斷與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，若將△DCE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？并證明；（3）如圖3，將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變，求BD與AC夾角的度數(shù)．【答案】（1），；（2），；（3）．【分析】（1）先判斷出，再判定，再判斷，（2）先判斷出，再得到同理（1）可得結(jié)論；（3）先判斷出，再判斷出，最后計(jì)算即可．【詳解】解：（1）與的位置關(guān)系是：，數(shù)量關(guān)系是．理由如下：如圖1，延長交于點(diǎn)．于，．，，，，，．，．AE⊥BC∴，，．（2）與的位置關(guān)系是：，數(shù)量關(guān)系是．如圖，線段AC與線段BD交于點(diǎn)F，線段AE與線段BD交于點(diǎn)G，，，即．，，，，．AE⊥BC∴，又∵，．（3）如圖，線段AC與線段BD交于點(diǎn)F，和是等邊三角形，，，，，，，在和中，，∴，，與的夾角度數(shù)為．【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，判斷垂直的方法，解本題的關(guān)鍵是判斷．練7、[問題提出]（1）如圖①,△ABC、△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上．將△ADE繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連結(jié)BD、CE．在圖②中證明△ADB≌△AEC．[學(xué)以致用]（2）在1的條件下，當(dāng)點(diǎn)D、E、C在同一條直線上時(shí)，∠EDB的大小為度．[拓展延伸]（3）在1的條件下，連結(jié)CD．若BC=6,AD=4,直接寫出△DBC的面積S的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）60或120；（3）9【分析】（1）運(yùn)用SAS證明△ADB≌△AEC即可；（2）分“當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上”和“當(dāng)點(diǎn)E在線段CD的延長線上”兩種情況求出∠EDB的大小即可；（3）分別求出△DBC的面積最大值和最小值即可得到結(jié)論【詳解】（1）∵△ABC,△ADE均為等邊三角形，∴AD=AE，AB=AC，∴∠DAE?∠BAE=∠BAC?∠BAE，即∠BAD=∠CAE在△ADB和△AEC中AD=AE∴△ABD?△ACE(SAS)；（2）當(dāng)D,E,C在同一條直線上時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，如圖，∵△ADE是等邊三角形，∴∠ADE=∠AED=60°，∴∠AEC=180°?∠AED=120°，由（1）可知，△ADB?△AEC，∴∠ADB=∠AEC=120°，∴∠EDB=∠ADB?∠ADE=120°?60°=60°②當(dāng)點(diǎn)E在線段CD的延長線上時(shí)，如圖，∵△ADE是等邊三角形，∴∠ADE=∠AED=60°∴∠ADC=180°?∠ADE=120°，由（1）可知，△ADB?△AEC∴∠ADB=∠AEC=60°，∴∠EDB=∠ADB+∠ADE=60°+60°=120°綜上所述，∠EDB的大小為60°或120°（3）過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)D在線段AF上時(shí)，點(diǎn)D到BC的距離最短，此時(shí)，點(diǎn)D到BC的距離為線段DF的長，如圖：∵△ABC是等邊三角形，AF⊥BC，BC=6∴AB=BC=6，BF=∴AF=∴DF=3此時(shí)S△DBC當(dāng)D在線段FA的延長線上時(shí)，點(diǎn)D到BC的距離最大，此時(shí)點(diǎn)D到BC的距離為線段DF的長，如圖，∵△ABC是等邊三角形，AF⊥BC，BC=6∴AB=BC=6，BF=1∴AF=∵AD=4∴DF=AF+AD=3此時(shí)，S△DBC綜上所述，△DBC的面積S取值是9【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)和全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)過程中面積變化分析，解本題的關(guān)鍵是三角形全等的判定．練8、在等邊中，，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，連接．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，在線段上取一點(diǎn)，使得，求證：；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在延長線上時(shí)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度得到線段，連接，．①當(dāng)位于內(nèi)部，且恰好被平分時(shí)，若，求的長度；②如圖3，當(dāng)時(shí)，記線段與線段的交點(diǎn)為，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見詳解；（2）①；②CD=2AG.【分析】（1）結(jié)合等邊三級(jí)箱哦那個(gè)的性質(zhì)，利用SAS證明△ABD≌△BCE，即可證得結(jié)論；（2）①過點(diǎn)作于點(diǎn)，先證明△ABD≌△ABF，再利用等邊三級(jí)箱性質(zhì)、30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一般和勾股定理節(jié)課求得答案；②延長到點(diǎn)，使等于，連接，先證△ADC≌△FAM，再證△ABG≌△MFG，從而證得點(diǎn)G是AM的中點(diǎn)，即可證得結(jié)論?！驹斀狻浚?）證明：是等邊三角形