初二代數(shù)方程教案設(shè)計(jì)

學(xué)生輔導(dǎo)教案

科目數(shù)學(xué)年級(jí)七年級(jí)學(xué)員

課題課時(shí)授課時(shí)間

知識(shí)目標(biāo)：

1、知道一元整式方程與高次方程的有關(guān)概念，知道一元整式方程的一般形

式。理解含字母系數(shù)的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它們的基

本解法。

2、理解和掌握二項(xiàng)方程的意義以及二項(xiàng)方程的解法，理解雙二次方程的意

義，了解高次方程求解的基本方法是降次，會(huì)用換元法把雙二次方程轉(zhuǎn)化為

一元二次方程；學(xué)會(huì)判斷雙二次方程的根的個(gè)數(shù)。

3、會(huì)用"換元法"解特殊的分式方程（組）。

4、理解無理方程的概念，會(huì)識(shí)別無理方程，知道有埋方程及代數(shù)方程的概念，

教學(xué)目標(biāo)

領(lǐng)會(huì)無理方程"有理化"的化歸思想.會(huì)解簡單的無理方程（方程中只含一個(gè)

或兩個(gè)關(guān)于未知數(shù)的二次根式）。

5、知道二元二次方程的概念和二元二次方程組的概念。

6、掌握由"代入法"解由一個(gè)二元一次方程和二元二次方程組成的方程組；

掌握用"因式分解法"解由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組。

課程導(dǎo)入

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一：整式方程

1、一元整式方程：如果方程中只有一個(gè)未知數(shù)且兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整

式,這個(gè)方程叫做一元整式方程；

2、一元n次方程：一元整式方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是(是正整數(shù))，

這個(gè)方程叫做一元次方程.

2、一元高次方程：一元整式方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是，若次數(shù)

是大于2的正整數(shù)，這樣的方程統(tǒng)稱為一元高次方程。

要點(diǎn)詮釋：

一元高次方程應(yīng)具備：整式方程;只含一個(gè)未知數(shù);含未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)

新課教學(xué)

大于2次.

4.二項(xiàng)方程概念：如果一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項(xiàng)和非零的

常數(shù)項(xiàng)，另一邊是零，那么這樣的方程就叫做二項(xiàng)方程.

要點(diǎn)詮釋：

注：①ax蚱O(aWO)是非常特殊的n次方程，它的根是0.②這里所涉

及的二項(xiàng)方程的次數(shù)不超過6次.

5、解的情況

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，x=欄；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，如果ab<0,那么方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)根互為相

反數(shù)；如果ab>0,那么方程沒有實(shí)數(shù)根。

6、雙二次方程概念：只含有偶數(shù)次項(xiàng)的一元四次方程。

要點(diǎn)詮釋：

當(dāng)常數(shù)項(xiàng)不是0時(shí)，規(guī)定它的次數(shù)為0。

7、解雙二次方程的常用方法：因式分解法與換元法（目的是降次，使它轉(zhuǎn)

化為一元一次方程或一元二次方程）通過換元，把雙二次方程轉(zhuǎn)化為一元方程

體現(xiàn)了“降次”的策略。

要點(diǎn)詮釋：

解高于一次的方程，基本思想就是“降次”，對(duì)有些高次方程，可以用因

式

分解的方法降次。用因式分解的方法要注意：一定要使方程的一邊為零，另一

邊可以因式分解。

要點(diǎn)二：分式方程

1、分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

要點(diǎn)詮釋：

（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含

有未知數(shù)；

（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的

字母系數(shù)）。分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方

程是整式方程。

（3）分式方程和整式方程看聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程。

2、分式方程的解法

（1）解分式方程的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，轉(zhuǎn)化方法是方

程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，在去分母這一步變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生

使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根。因?yàn)榻夥质椒匠虝r(shí)可能產(chǎn)

生增根，所以解分式方程時(shí)必須驗(yàn)根。

（2）解分式方程的一般步驟：

①方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母

是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡公分母）；

②解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；

③檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0,則這個(gè)解

是原分式方程的解，若最簡公分母等于0,則這個(gè)解不是原分式方程的解，原

分式方程無解；

要點(diǎn)詮釋：

①熟練掌握用“去分母”法求解分式方程的方法.

②了解用“換元法”解特殊的分式方程（組）.

③領(lǐng)會(huì)分式方程“整式化”的化歸思想和方法.

3、解分式方程產(chǎn)生增根的原因

方程變形時(shí)，可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做原方程的增根.

產(chǎn)生增根的原因：去分母時(shí)，方程兩邊同乘最簡公分母是含有字母的式子,

這個(gè)式子有可能為零，對(duì)于整式方程來說，求出的根成立，而對(duì)于原分式方程

來說，分式無意義，所以這個(gè)根是原分式方程的增根.

要點(diǎn)詮釋：

（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”時(shí)產(chǎn)生的.根據(jù)方程的同解

原理，方程的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不為0的數(shù)，所得方程是原方程的

同解方程.如果方程的兩邊都乘以的數(shù)是0,那么所得方程與原方程不是同解方

程，這時(shí)求得的根就是原方程的增根.

（2）解分式方程一定要檢驗(yàn)根，這種檢驗(yàn)與整式方程不同，不是檢查解方

程過程中是否有錯(cuò)誤，而是檢驗(yàn)是否出現(xiàn)增根，它是在解方程的過程中沒有錯(cuò)

誤的前提下進(jìn)行的.

要點(diǎn)三、無理方程

1.無理方程：方程中含有根式，且被開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣

的方程叫做無理方程.

要點(diǎn)詮釋：簡單說，根號(hào)下含有未知數(shù)的方程，就是無理方程.

2.有理方程：整式方程和分式方程統(tǒng)稱為有理方程.

3.代數(shù)方程：有理方程和無理方程統(tǒng)稱為代數(shù)方程.

要點(diǎn)詮釋：代數(shù)方程的共同點(diǎn)是：其中對(duì)未知數(shù)所涉及的運(yùn)算是加、減、

乘、除、乘方、開方等基本運(yùn)算.

4.含有一個(gè)根式（根式內(nèi)有未知數(shù)的）的無理方程的解題步驟:

①移項(xiàng)，使方程左邊是含未知數(shù)的根式，其余都移到另一邊；

②兩邊同時(shí)乘方（若二次根式就平方，三次根式就立方）得整式方程;

③解整式方程；

④驗(yàn)根；

⑤寫答案。

要點(diǎn)詮釋：

解簡單無理方程的一般步驟，用流程圖表示為：

5、含有兩個(gè)根式（根式內(nèi)含有未知數(shù)）的無理方程的解題步驟：

①移項(xiàng)，使方程等式的左邊只含有一個(gè)根式，其余移到另一邊；

②兩邊同時(shí)平方，得到只含有一個(gè)根式的無理方程；

以下與1步驟相同。

要點(diǎn)詮釋：解無理方程的關(guān)鍵在于把它轉(zhuǎn)化為有理方程，轉(zhuǎn)化的基本方法

是對(duì)方程兩邊同時(shí)乘方從而去掉根號(hào)，對(duì)于簡單的無理方程，可通過“方程兩

邊平方”來實(shí)施。

要點(diǎn)四：二元二次方程組

1、二元二次方程定義：僅含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次

數(shù)是2的整式方程，叫做二元二次方程；

要點(diǎn)詮釋：

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0（a、b、c、d、e、f都是常數(shù)，且a、

b、c中至少有一個(gè)不為零），其中axz,bxy,cy?叫做這個(gè)方程的二次項(xiàng)，a、

b、c分別叫做二次項(xiàng)系數(shù)，dx、ey叫做這個(gè)方程的一次項(xiàng)，d、e分別叫做一

次性系數(shù)，f叫做這個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)。

2、二元二次方程的解

能使二元二次方程左右兩邊的值相等的一對(duì)未知數(shù)的值，叫做二元二次方

程的解。

要點(diǎn)詮釋：

二元二次方程有無數(shù)個(gè)解；二元二次方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)有多種情況.

3.二元二次方程組概念：僅含有兩個(gè)未知數(shù)，各方程都是整式方程，并且

含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為2,這樣的方程組叫做二元二次方程組.

要點(diǎn)詮釋：

不能認(rèn)為由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組才叫二元二次方程組，由一個(gè)

二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組，也是二元二次方程組.

4、二元二次方程組的解：

方程組中所含各方程的公共解叫做這個(gè)方程組的解.

1、代入消元法

代入消元法解“二?一”型二元二次方程組的一般步驟：

①把二元一次方程中的一個(gè)未知數(shù)用另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示；

②把這個(gè)代數(shù)式代入二元二次方程，得到一個(gè)一元二次方程；

③解這個(gè)一元二次方程，求得未知數(shù)的值；

④把所求得的未知數(shù)的值分別代入二元一次方程，求得另一個(gè)未知數(shù)的值;

⑤所得的一個(gè)未知數(shù)的值和相應(yīng)的另一個(gè)未知數(shù)的值分別組在一起，就是

原方程組的解；

⑥寫出原方程組的解.

要點(diǎn)詮釋：

（1）解一元二次方程、分式方程和無理方程的知識(shí)都可以運(yùn)用于解

“二?一”型方程組；

（2）“二?一”型方程組最多有兩個(gè)解，要防止漏解和增解的錯(cuò)誤.

2、因式分解法

（1）當(dāng)方程組中只有一個(gè)可分解為兩個(gè)二元一次方程的方程時(shí)，可將分解

得到的兩個(gè)二元一次方程分別與原方程組中的另一個(gè)二元二次方程組成兩個(gè)

“二?一”型方程組，解得這兩個(gè)“二?一”型方程組，所得的解都是原方程

組的解.

⑵當(dāng)方程組中兩個(gè)二元二次方程都可以分解為兩個(gè)二元一次方程時(shí)，將第

一個(gè)二元二次方程分解所得到的每一個(gè)二元一次方程與第二個(gè)二元二次方程分

解所得的每一個(gè)二元一次方程組成新的方程組，可得到四個(gè)二元一次方程組，

解這四個(gè)二元一次方程組，所得的解都是原方程組的解.

5、方程（組）的應(yīng)用

應(yīng)用二元二次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：

（1）審題；（2）設(shè)未知數(shù)（2個(gè)）；（3）列二元二次方程組；

（4）解方程組；（5）檢驗(yàn)是否是方程的解以及是否符合實(shí)際；（6）寫出答案.

要點(diǎn)詮釋：

一定要檢驗(yàn)一下結(jié)果是否符合實(shí)際問題的要求.

【典型例題】

類型一、方程的判斷

1.下列方程巾，哪些是二元二次方程？是二元二次方程的請(qǐng)指出它的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng).

（i）-v2+y=i；-2y，y=o；（2）3

⑶;+2）」=o；*+1+處i.

【思路點(diǎn)撥】該題主要依據(jù)二元二次方程的定義。

【答案與解析】

（1）是，二次項(xiàng)X2、—次項(xiàng)y,常數(shù)項(xiàng)7

（2）不是，因?yàn)橹缓粋€(gè)未知數(shù)。

（3）不是，因?yàn)椴皇钦椒匠?

（4）不是，因?yàn)椴缓雾?xiàng).

【總結(jié)升華】時(shí)于二元二次方程的定義要加深全面的理解.

舉一反三：

【變式】下列各式中，屬于分式方程的是（）

【答案】C

【解析】根據(jù)分式方程的定義,A選項(xiàng)分母可以看成1,所以分母上沒有未知數(shù),B選項(xiàng)巾7不是未知數(shù);

D選項(xiàng)分母上也沒有未知數(shù)；只有C選項(xiàng)正確

【總結(jié)升華】判斷分式方程，要嚴(yán)格按照定義來.

2.已知下列關(guān)于x的方程：

（1）x2+5-'+1=0；⑵小+5'+1=0;（3）-^+1-7=0;

,11x

（4）?-l+2-v=7;⑸*+=2；（6）+=3.

x、+32-X

其巾無理方程是（填序號(hào)）.

【思路點(diǎn)撥】判斷無理方程的唯一依據(jù)就是看看根式巾是否還有未知數(shù).

【答案】（2）,（3）,（5）

【總結(jié)升華】判斷無理方程的唯一依據(jù)是無理方程的定義：方程中含有根式，且被開方數(shù)是含有未知數(shù)

的代數(shù)式，這樣的方程叫做無理方程.

舉一反三：

【變式】判斷下列關(guān)于、的方程哪些是整式方程。這些整式方程分別是一元幾次方程，

⑴1/+431_]=0；⑵42+81=0;（3）3"+21=?」；

2〃

⑷:"；（5）；+》=加_2"-3；（6）^4+7^2-8=0.

【答案】（1）一元二次方程，（2）一元三次方程，⑶一元一次方程,（6）一元四次方程。

【總結(jié)升華】判斷整式方程，要嚴(yán)格按照定義來.

類型二、判斷方程解的情況

3.不解方程，你能判斷出下列方程的根的情況嶼？

①.t+l+l=O；②x-.t+l=1；（5）.r-5+2-r=3.

【思路點(diǎn)撥】不解方程直翻斷它的解的情祝，主要看該方程能否成立，儂據(jù)是“肝二次根式”，

有"20.“20”

咯案與解析】⑴因?yàn)?+1加，所以、+1+1〉0,所以方程無解

（2）因?yàn)?v+1>X,所以-v+l<0,所以方程無解

（3）因?yàn)閤-5>0,2了20所以x>5且x<2,所以方程無解

【總結(jié)升華】對(duì)于某些特殊的無理方程，可以不解方程直翻斷它的解的翩，主要依據(jù)是“時(shí)于二次

根式a，有"20,"20”

舉一反三：

【變式】不解方程，坍?dāng)嘞铝蟹匠痰母膫€(gè)翔

①./_5#+6=0；②2/+3?+1=0；

42

（DI_2X+4=0；④2f+6.1-3=0.

【答案】令丫=/

?A>0,y1y?0;yi-y2>0：,原方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根.

②A>0;yly2>0,y1+y2<0，原方程沒有實(shí)數(shù)根.

?△<0，原方程沒有實(shí)數(shù)柢

?△>0:y1y2<0:?..原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

JJkJ:,，V1^IV■VI，、，、，*IF"

類型三,解方程

4,解關(guān)于x的方程:mx-l=nx

【思路點(diǎn)撥】解含字母系數(shù)的方程時(shí),先化為最簡形式?」，再考慮有解、無解、無窮多解的模式。

然后進(jìn)行分類詩論.

喀案】原方程可化為：(〃「小=1

當(dāng)"1_〃ro,即加川時(shí)，方程有唯一解為：二=1；

m-ii

當(dāng)川_〃=0,曬=〃時(shí),方程無解.

【總結(jié)升華】解含字母系數(shù)的方程時(shí),先化為最簡物Uv?,再根據(jù)、系數(shù)”是否為零進(jìn)行分類討論.

舉一反三：

【變式】若關(guān)于不的方程(h4)r=6有正整數(shù)解，求自然數(shù)人的值.

【答案】解：.??原方程有解，人一4,0

原方程的解為：*=,6為正整數(shù)，.,4-4應(yīng)為6的正均數(shù)，即k一4可為：1,2,3,6

A-4

??/為:5,6,7,10

咨自然數(shù)人的值為：5,6,7,10

e5.解方程不^—=x2+x+l

【思路點(diǎn)撥】要有整體思想，利用換元法把方程變?yōu)橐辉畏匠虂斫狻?/p>

【答案與解析】解：設(shè)，+x=y,則原方程變形為9=)，+1,

y

整理，得y2+y-6=0,

解得y1=-3,力=2

當(dāng)力=-3時(shí)，X3+x=-3,此方程無實(shí)根。

2

當(dāng)為=2時(shí),X+x=2,解得X]=-2,x2=lo

經(jīng)檢驗(yàn)，x1=-2,4=1都是原方程的根。

【總結(jié)升華】方程左邊分式分母為一+X,可將右邊/+X看成一個(gè)整體，然后用換元法求解.

Q6.解方程3.F+15》+2田+“+1=2

【答案與解析】

解：設(shè)+5x+l=y,則++15x=3(y2-l)

原方程可化為；3()11)+2)，=2,

即3y2+2y-5=0,解得：y=[-^y=--.

3

⑴當(dāng)y=1時(shí)，4+5」+1=10工2+5x=0=>x=-l的=0s

⑵當(dāng)了=-?時(shí)，因?yàn)椤?5x+l=)20,所以方程無解.

3

檢驗(yàn)：把x=-l,x=0分別代入原方程，都適合.

所以，原方程的解是x=-l,x=0.

【總飄華】槐若直鼾抗會(huì)副一個(gè)-元四陸稔麒較尢注意觀就觸含未嬲的二次

M與其余耨趟關(guān)系，磯艱砧3八15升3=3d+51+1),因此瞅虱35x+l=3

這樣就可鞭方麟楸般于J的一元二防副行處現(xiàn)

舉一反三：

【變?nèi)缃鈹?3+收-33=小+3)

【答題解:原方程變形機(jī)加-37.4=0,

22

,asv*

設(shè)小2爐-3弓+5=丫,則x2一二x+二=二，

222

2

則方程可化為，、■+y-4=O:

整理得，y2+2y-8=O,

=

解得，)[=2,y2一4,

當(dāng)y=2時(shí)，｛2?-3久+5=2,解得，百=1,玉=：；

當(dāng)y=＜時(shí)，^2爐-3工+5=4無解.

經(jīng)檢驗(yàn),=1,毛=—都是原方程的解，

2

所以原方程的解為a=1,兒=」.

7

@解方產(chǎn)慳+9,Ix3

7、解萬程J-----------J--------=—

V4x\4x+92

【答案與解析】

解：設(shè)平亙=y,則2、=」■,

V4-vV4x+9y

原方程可化為，y?L=3,

y2

整理得，2)1-3y一2=0,

解得，—2,y2―――,

當(dāng)y=2時(shí)，J"：9=2.解得，x二：；

當(dāng)y=V時(shí)，1手=—,無解；

經(jīng)檢驗(yàn)，傳上是原方程的解，

4

所以原方程的解為x=-.

4

【總結(jié)升華】本題中J叵9與2、「二之間互為倒數(shù)，采用倒數(shù)換元法是本題的最佳選擇

V4Xv4X+9

舉一反三：

【變式】"Ti+J7二7=5

【答案】x=8

原方程變形為J巾=5?7

兩邊平方得X+8=25-10V^7+X-7

整理得?7=i

再兩邊平方得x-7=l

解得x=8

檢驗(yàn)：把x-8代入原方程得，左邊二&邊

所以，原方程的根是x=8

類型四、解方程組

f8042

XI=7

x+yx-y

解方程組＜

4070

------+-------=7

x+yx-y

【答案與解析】解：設(shè)+上=「則原方程組可化為

‘8M+42i'=7,

：40"+701'=7.

"=J_

20,

解得

v=_

14

1_1

^+y-2o'

于是，得＜

_i__=_i_

XJ14,

\r+y=20,

因此

'二）'=14.

-v=17,

解得

'y=3.

檢驗(yàn)：把x=17,y=3代入原方程組中所含各分式的分母，各分母的值都不為零.

頒，原方程組的解是.

卜=3.

【總結(jié)升華林題中直接去分母解比較麻版通過觀察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)方程所含的分式的分母分別是x+y加x-y,

椒想到啜元”,^―=?,—=v,則原方程得嫡化.

x+yx-y

fxv=ll(1)

【變式】解方程組+

XV'=28⑵

【答案與解析】

根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,把二、丫看成是方程d」K+28=0的兩根，

解方程得：二=4或z=7.

A.=4X-=7

原方程組的解是：1或2.

』=7>2=4

【總結(jié)升華】本題可以用代入消元法解方程組，但注意到方程組的特點(diǎn)，可以把一丫看成是方程

.f%+V=ci―

3—111+28=0的兩根，則更容易求解.⑴討于這種對(duì)稱性的方程組’，，利用一元二次

xy=b

方程的根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程時(shí)，未知數(shù)要換成異于工、丫的字母，如:.⑵時(shí)稱形方程組的解也

fr=4Cx=7

應(yīng)是對(duì)稱的，即有解，則必有解,.

[y=il.v=4

仇.解方程組尸=52)(1)

V+q+y2=43(2)

【答案與解析】

解：由⑴得：(x+y)(x-r5)=0

所以x+y=0或\_y_5=0

x-y-5=0[x+y=0

符它們與方程(2)分別組成方程組得：，,,或，”,

J+p+y=43[f+q+y=43

.v.=-1[.t.=6|工=\43f.v.=—^43

解這兩個(gè)方程組，得?J2卜V4二

Ji=-6心=1卜3=-V43卜4=v43

所以，原方程組的解是

卜]=-1卜2=6卜，4=—^43

v=

[-i-6=1jy3=-743|y4=743

【總結(jié)升華】由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組巾，有一個(gè)方程可以通過因式分解，化為兩個(gè)二元一次

方程，則原方程組轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)方程組，其巾每一個(gè)方程組均有一個(gè)方程是二元一次方程.

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:?11.k為何值時(shí)，方程組，T-2j+l=0.........Q

\y*kx+2..................⑵

(1)有兩組相等的實(shí)數(shù)解；

(2)有兩組不相等的實(shí)數(shù)解；

(3)沒有實(shí)數(shù)解.

【答案與解析】

解：將⑵代入⑴，整理得k?xZ+(2k-4)x+l=0……⑶

(1)當(dāng)時(shí)，方程⑶有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

A=0

即(2"4p,-爐、”

解骨：,.>---k=l?

r=l

?.?當(dāng)k=l時(shí)，原方程組有兩組相等的實(shí)數(shù)根.

(2)當(dāng)好時(shí)，方程(3)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

A>0

即0,

[(2Jt-4)2-4fc2>0

…信#()「,

解特：..,：.k〈l且k卉0.

5<1

當(dāng)k〈l且k#O時(shí)，原方程組有兩組不等實(shí)根.

(3)①若方程(3)是一元二次方程，無解條件是M,。