高考試題-數(shù)學(xué)理(山東卷)含答案解析版

2007年高考數(shù)學(xué)山東卷(理科)詳細(xì)解析

選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分。在每題給出的四個選項中，選擇符合

題目要求的選項。

1假設(shè)z=cose+isin。(，為虛數(shù)單位)，那么z?=—1的。值可能是

..7C..TC..7T..7C

(A)—(B)—(C)—(D)—

6432

【答案】：D【分析】：把上代入驗證即得。

2

2集合知={—1,1},N=<xg<2*T<4,xeZ卜那么"cN=

(A){-1,1}(B){-1}(C){0}(D){-1,0}

【答案】：B【分析】：求N=<xg<2m<4,xez[={—l,0}。

3以下幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是

(A)⑴，⑵(B)(1),(3)(C)(1),(4)(D)(2),⑷

【答案】:D【分析】：從選項看只要判斷正方體的三視圖都相同就可以選出正確答案。

4設(shè)1,1,3,3卜那么使函數(shù)y=V的定義域為R且為奇函數(shù)的所有a值為

(A)1,3(B)-1,1(C)-1,3(D)-1,1,3

【答案】：A【分析】：觀察四種基函數(shù)的圖象并結(jié)合該函數(shù)的性質(zhì)確定選項。

7T7T

5函數(shù)y=sin(2x+—)+cos(2x+—)的最小正周期和最大值分別為

63

(A)乃』(B)兀，臟(C)2匹1(D)2乃，亞

【答案】：A【分析】：化成y=Asin(s:+e)的形式進(jìn)行判斷即y=cos2x。

6給出以下三個等式：/(盯)=/(%)+/(y)，/(x+y)=/(x)/(y)，/(x+y)=。以

1/一d/(x)?f(y!)

F函數(shù)中不滿足其中任何一個等式的是

V

(A)f(x)=3(B)f(x)=sinx(C)/(x)=log2x(D)/(x)=tanx

【答案】：B【分析】：依據(jù)指、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以發(fā)現(xiàn)A,C滿足其中的一個等式，而D滿足

/(x+y)=/(X)+/()'),B不滿足其中任何一個等式.

7命題“對任意的xeR,x3-x2+l<O,z的否認(rèn)是

(A)不存在xeR,x3-x2+1<0(B)存在xeR,%3-x2+1<0

(C)存在xeR,%3-x2+l>0(D)對任意的xeR,x3-x2+l>0

【答案】：C【分析】：注意兩點：1)全稱命題變?yōu)樘胤Q命題；2)只對結(jié)論進(jìn)行否認(rèn)。

8某班50名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與19秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分成六

組：第一組，成績大于等于13秒且小于14秒；第二組，成績大于等于14秒且小于15秒；……第六組，

成績大于等于18秒且小于19秒。右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖。設(shè)成績小于17秒的學(xué)

生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為X,成績大于等于15秒且小于17秒的學(xué)生人數(shù)為y,那么從頻率分布直

方圖中可分析出x和y分別為

(A)0.9,35(B)0.9,45(C)0.1,35(D)0.1,45

【答案】：4【分析】：從頻率分布直方圖上可以看出x=0.9,y=35.

9以下各小題中，p是q的充要條件的是

(1)/?:根<一2或相>6；<7：y=f+〃a+〃?+3有兩個不同的零點。

(2)p:"*=1;=/(幻是偶函數(shù)。

/(x)

(3)/?:cos<2=cosJ3;q:tancr=tan/7。

(4)p:Ar>B-A;q:CVBcCVA?

(A)(1),(2)(B)(2),(3)(C)(3),(4)(D)(1),(4)

【答案】：D.【分析】：(2)由與2=1可得/X—x)=f(x),但y=f(x)的定義域不一定關(guān)于原點對稱;

/(x)

(3)a=/是tana=tan4的既不充分也不必要條件。

10閱讀右邊的程序框圖，假設(shè)輸入的〃是100,那么輸出的變量S和T的值依次是

(A)2500,2500(B)2550,2550(C)2500,2550(D)2550,2500

【答案】：D【試題分析】：依據(jù)框圖可得5=100+98+96+...+2=2550,

r=99+97+95+...+l=2500o

11在直角八鉆。中，C。是斜邊A3上的高，那么以下等式不成立的是

(A)=AC-AB⑻］珂=麗.而

(C)\AB^AC-CD(D)幽2=(.卞)麗?前)

【答案】：C【分析】：\AC^=AC-AB^AC-(AC-AB)=Q^AC-BC=Q,A是正確的，同理B

也正確，對于D答案可變形為幽，河=|祠，對，通過等積變換判斷為正確.

12位于坐標(biāo)原點的一個質(zhì)點P按下述規(guī)那么移動：質(zhì)點每次移動一個單位；移動的方向為向上或向右,

并且向上、向右移動的概率都是1.質(zhì)點P移動5次后位于點(2,3)的概率為

2

(A)(1)5(B)C；g)5(C)C；(；)3(D)C；C；(g)5

【答案】：A【分析】：質(zhì)點在移動過程中向右移動2次向上移動3次，因此質(zhì)點P移動5次后位于點(2,3)

的概率為P=C：d)2(l—!八

-22

填空題：本大題共4小題，每題4分，共16分，答案須填在題中橫線上。

13.13設(shè)。是坐標(biāo)原點，口是拋物線y2=2px(p>0)的焦點，A是拋物線上的一點，瓶與x軸正

向的夾角為60",那么|O可為.

而

【答案】：—^―p【分析】：過A作軸于D,令FD=m,那么FA=2m,p+m=2m,m=p。

x+2y<10

2x+y>3_

14.設(shè)。是不等式組《表示的平面區(qū)域，那么。中的點P(x,y)到直線x+y=10距離的最大值

0<x<4

.”1

【答案】：4jl【分析】：畫圖確定可行域，從而確定(1,1)到直線直線x+y=10距離的最大為40.

15.與直線x+y—2=0和曲線/+卜2一］2》一12丁+54=()都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

【答案】:.(%-2)2+(y-2>=2【分析】：曲線化為(龍一6)2+(丁一6)2=18,其圓心到直線x+y—2=0

的距離為4=叵蓍且=5夜.所求的最小圓的圓心在直線y=x上，其到直線的距離為正，圓心坐標(biāo)為

(2,2).標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2『+(>-2>=2。

16.函數(shù)y=log.(x+3)—1(。>0,。工1)的圖象恒過定點4,假設(shè)點4在直線癖+羽+1=0上,其中

12

加2>0,那么一+一的最小值為.

mn

【答案】：8?！痉治觥浚汉瘮?shù)y=loga(x+3)-l(a>0,awl)的圖象恒過定點A(—2,—1),

(-2)-m+(—l)-n+l=0,2m+n=1,m,n>0,

12/12、小、〃〃4m、“八fn4mo

—i—=(—I—)?(2m+〃)=44---1---->4+2J-------=8.

mnmnmnvmn

三.解答題：本大題共6小題，共74分，解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

77

(17)(本小題總分值12分)設(shè)數(shù)列｛《,｝滿足4+3生+32%+..314=§,〃6"*.

V]

⑴求數(shù)列也,｝的通項；(II)設(shè)"=丁,求數(shù)列｛2｝的前〃項和s“.

解：：⑴4+3%+3?%+…3''a”=§,q+3出+3-4+...3"=—-—(n22),

?Inn-\1八1八、

3a,,=3--3-=3zn-2,4=三(z"22).

驗證〃=1時也滿足上式，a“=9〃wN*).

n

(II)bn=n-3,

S?=1-3+2-32+3-33+...?-3,,

3S?==l-32+2-33+3-34+...n-3n+1

23n,,+1

-2Sn=3+3+3+3-H-3

—2S“-n-3n+,

1-3

?13

S=-.3n+1---3n+I+--

"244

18(本小題總分值12分)設(shè)人和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，用隨機(jī)變量J表示方程

/+版+c=0實根的個數(shù)(重根按一個計).

⑴求方程％2+法+，=0有實根的概率；

(II)求看的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(皿)求在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程/+區(qū)+。=0有實根的概率.

解：：(I)根本領(lǐng)件總數(shù)為6x6=36,

假設(shè)使方程有實根，那么△="-4c20,即人226。

當(dāng)c=1時,/?=2,3,4,5,6；

當(dāng)c=2時，/?=3,4,5,6；

當(dāng)c=3時，Z?=4,5,6；

當(dāng)c=4時，/?=4,5,6；

當(dāng)c=5時，/?=5,6；

當(dāng)c=6時，b=5,6,

目標(biāo)事件個數(shù)為5+4+3+3+2+2=19,

1Q

因此方程/+法+c=0有實根的概率為一.

36

(II)由題意知，4=0,1,2,那么

172117

P(^=0)=—,P(^=l)=—=-,P(^=2)=—,

Jo3oio30

故J的分布列為

012

4

P17117

361836

17117

^?^=0x-+lx_+2x_=l.

(Ill)記“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5"為事件M,“方程以2+公+。=0有實根”為事件N,那么

117

W)=—,P(M2V)=—,

3o36

P(N\M)=鴻，.

1P(M)11

19(本小題總分值12分)如圖，在直四棱柱ABC。-AAG。中,

DC=DR=2AD=2AB,AD±DC,AB||DC.

(I)設(shè)E是。C的中點，求證：2E||平面A8。；

(H)求二面角A-8。—G的余弦值.

解：：⑴連結(jié)BE,那么四邊形。ABE為正方形,

BE=AD^A]Dt,且陽|AO||AR,

二.四邊形A2E8為平行四邊形，

?.?￡)岑.平面48。，48<=平面45。

平面

(II)以D為原點，OAQC,。？所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)ZM=1,

那么Z)(0,0,0),A(l,0,0),8(1,1,0),G(0,2,2),A,(1,0,2).

.?.函=(1,0,2)屈=(1,1,0).

設(shè)3=(x,y,z)為平面A,BD的一個法向量，

--——.--.fx+2y=0

由〃J_DR,〃LOB得《',

[x+y=0

取z=l,那么〃=（一2,-2,1）.

設(shè)加=（X]，X，Z]）為平面C]BD的一個法向量,

---------—?f2y,+2z,=0

由機(jī)，。C,加得《乂1,

%+y=0

取Z]=1,那么加=（1,一1』）.

---m-n-3x/3

cos<m.n>=1..1=—j=~-j==——.

閘〃,v33

由于該二面角\-BD-q為銳角，

所以所求的二面角\-BD-C,的余弦值為*

（20）（本小題總分值12分）如圖,甲船以每小時300海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直

線航行，當(dāng)甲船位于4處時，乙船位于甲船的北偏西105°的方向與4處時，乙船航行到甲船的北偏西120°

方向的B2處,此時兩船相距100海里，問乙船每小時航行多少海里?

解：如圖，連結(jié)的，4為=10夜，44=券30底=10夜,

想為坊是等邊三角形，/g4冬=105。-60。=45°,

在△4區(qū)片中，由余弦定理得

B[B；=48；+AB；-2AlBl-A32cos450

萬，

=202+（10揚2一2x20X10A/2x—=200

2

用鳥=10Ji

因此乙船的速度的大小為地叵X60=30

20

答：乙船每小時航行30五海里.

（21）（本小題總分值12分）橢圓C的中心在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點的距離的最大值

為3,最小值為1.

（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）假設(shè)直線/：丁=依+m與桶圓C相交于A,B兩點（A,B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的

右頂點.求證:直線/過定點，并求出該定點的坐標(biāo).

解：(I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為5=1(。>匕>0)

a~b~

a+c=3,a-c=l,a=2,c=l,/=3

.丁+丁

..---r---x.

43

y—kx+m

(II)設(shè)A(X|,y),8(x,,y2)，由2得

—+—=1

143

(3+4/)/+Smkx+4(加2-3)=0,

△=64^2左2_i6(3+4&2)(m2—3)>0,3+462—/>。

8mk4(〃/一3)

22

y{-y2-(5+rn)?(kx2+m)=kxyx2+mk{x1+x2)+m=)

???以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D(2,0),kAD-kBD=-l,

----——=-1,yy+xx-2(%j+々)+4=0,

Xj—2w—2x212

3(>-4攵2)4Q”2_3)16nlz...

—-----1+—----止+------+4=0,

3+4k23+4/3+4公

lm2+l6mk+4k2=0,解得

2k

町=-2左,丐=--—,且滿足3+4女之一加2>0.

當(dāng)加=一2左時、I:y=k(x-2),直線過定點(2,0),與矛盾；

2"22

當(dāng)用二—5>時，l：y=k(x--)9直線過定點(于0).

2

綜上可知，直線/過定點，定點坐標(biāo)為(一,0).

7

(22)(本小題總分值分分)設(shè)函數(shù)f(%)=f+b1n(x+1),其中1wo

⑴當(dāng)b>g時，判斷函數(shù)/(x)在定義域上的單調(diào)性；

(II)求函數(shù)/(X)的極值點;

（皿）證明對任意的正整數(shù)〃，不等式ln（-+1）＞二-4都成立.

nn~n

解：⑴函數(shù)=/+blnQ+l）的定義域為（T,+oo）.

2x2+2x+。

尸⑴=2-

x+1

令8。）=2/+2工+〃，那么g（%）在（一；,+8）上遞增，在［-1,一；）上遞減,

gOOmin=g（-g）=_g+爪

當(dāng)時,g（X）min=-g+b＞°,

g（x）=2x2+2x+/?＞0在（-I,+oo）上恒成立.

.*./W＞0,

即當(dāng)匕＞:時，函數(shù)/（X）在定義域（-1,?。?。）上單調(diào)遞增。

（II）分以下幾種情形討論：

（1）由（I）知當(dāng)匕＞；時函數(shù)/（X）無極值點.

一17

12（%+-y

（2）當(dāng)〃二一時，f\x）=-----,

2x+1

XG（一L一5卜寸,/（%）＞°，

-j,+g）時，/（X）＞0,

XG

.■）=g時，函數(shù)/（X）在（一1,?。?。）上無極值點。

1J_21-1+V1-2Z?

（3）當(dāng)時，解，（x）=0得兩個不同解芭=——\-----x?~~

2

n,-1-yjl—2b-1+>J\—2b

當(dāng)b<0時，x,=-----------<-1,x?=------------>-1,

22

,、_|Jl_2/j

此時/（X）在（一1,48）上有唯一的極小值點％=---+-----—

當(dāng)0<方<一時，xpx2e(-l,+oo),

f(x)在(一1,石%,+oo)都大于0,f(X)在(尤1，%2)上小于o，

一1一J1—2)一i+Ji—2：

此時/(X)有一個極大值點玉=——%~匕和一個極小值點/=——\~

綜上可知，〃<0時，/(X)在(一1,+8)上有唯一的極小值點々=——\—-；

0cb<’時，/(%)有一個極大值點$=——L2b和一個極小值點x,=I+：2b.

222

時，函數(shù)/(x)在(一1,長。)上無極值點。

(III)當(dāng)b=—1時，f(x)=x2_］n(x+l).

令h(x)=x3-f(x)=x3-x2+ln(x+1),那么

h(x)=在［0,+。。)上恒正，

.?/(X)在［0,+8)上單調(diào)遞增，當(dāng)xe(0,+8)時，恒有//(x)>/?(0)=0.

即當(dāng)X￡(0,+OO)時，有13一12+m(x+l)〉0,ln(x+l)>X2-x3,

對任意正整數(shù)〃，取得im'+D〉!—二

nnrrn

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試〔山東卷〕

數(shù)學(xué)〔理〕

第一卷〔共60分)

參考公式：

球的外表積公式：S=4ii凡其中R是球的半徑.

如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p,那么〃次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率：

P”口)=C：p"(l-p)M&=0,1,2,…，捫.

如果事件A、8互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).

如果事件A、B相互獨立，那么P(A8)=P(A)(B).

一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合

題目要求的.

(I)滿足A/={q,%%%}且McM，4,%}={q,4}的集合M的個數(shù)是

(A)1(B)2(C)3(D)4

解析：此題考查集合子集的概念及交集運算。

集合M中必含有那么M={q,4}或M={cz],a2,c/4}

———Z

(2)設(shè)z的共施復(fù)數(shù)是z,或z+z=4,z?z=8,那么一等于

z

(A)1(B)-i(C)±l￡D)±i

解析：此題考查共轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的運算。

可設(shè)N=2+bi,由z-N=8得4+/=8,Z?=±2.—=—=_+-

z88z

(3)函數(shù)丁=坨以”尤(-]<1<:|9的圖象是

解析：此題考查復(fù)合函數(shù)的圖象。

(JT7TA

y=lncos.r——<x<—是偶函數(shù)，可排除B,D;由cosx的值域可以確定。

122)

(4)設(shè)函數(shù)/(x)=|x+l|+|x—4的圖象關(guān)于直線X=]對稱，那么a的值為

￡A)3(B)2(C)l(D)-l

解析：此題考查分段函數(shù)的圖象。

C,D可排除，對于A,B可驗證。

冗4r~

(5)cos(6z----)+sino=一百，那么sin(a+—-)的值是

656

,、2后，、4

(A)-——(B)——(C)

55

解析：此題考查三角函數(shù)變換與求值。

,萬、.G3.4r~

cos(a---)+sina=——cosa+—sina=-W

6225，filfi

1百.4

—cosa+——sina=一，

225oUM

俯視圖正住便圖便依)《圖

sin(a+*=—sin(a+令=—1號■sina+；cosa=-(⑹右圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中

數(shù)據(jù)，可得該幾何體的外表積是

(A)9n(B)lOn

(C)llJt(D)12Jt

解析：考查三視圖與幾何體的外表積。

從三視圖可以看出該幾何體是由一個球和一個圓柱組合而成的，其外表及為

S=4%x『+；rxFx2+27x1x3=124.

(7)在某地的奧運火炬?zhèn)鬟f活動中，有編號為1,2,3,…，18的18名火炬手.假設(shè)從中任選3人，那么

選出的火炬手的編號能組成3為公差的等差數(shù)列的概率為

11

(A)(B)

5168

(C)」-1

(D)

306408

解析：此題考查古典概型。

根本領(lǐng)件總數(shù)為G；=17x16x3。

選出火炬手編號為4=4+3(〃—1),

6=1時，由1,4,7,10,13,16可得4種選法；

q=2時，由2,5,8,11,14,17可得4種選法;

4=3時，由3,6,9,12,15,18可得4種選法。

八4+4+41

P—___________

-17xl6x3-68'

(8)右圖是根據(jù)？山東統(tǒng)計年整2007?中的資料作成的1997年至2006年我省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的莖葉

圖.圖中左邊的數(shù)字從左到右分別表示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的百位數(shù)字和十位數(shù)字，右邊的數(shù)字表示城

鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的個位數(shù)字，從圖中可以得到1997年至2006年我省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的平

均數(shù)為

(A)304.6(B)

解析：此題考查莖葉圖、用樣本數(shù)字特征估計總體特征。

1+1+5+8+2+6+0+2+4+7”

⑼(X-J)

△展開式中的常數(shù)項為

Mx

(A)-1320(B)1320(C)-220(D)220

解析：此題考查二項式定理及其應(yīng)用

"G4F—))'=4產(chǎn)-=(_1)，仁J號，

X11X10

T=(-1)93=y=-1^=-220.

w3x2x1

(10)設(shè)橢圓CI的離心率為之，焦點在XC2上的點到橢圓Cl的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8,那么

13

曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為

2222

(C)三-匯=1xy,

(D)-=l

3242132122

解析：此題考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

對于橢圓G，。=13,。=5,曲線為雙曲線，c=5,a=4,6=3,標(biāo)準(zhǔn)方程為：±1r=1.

(11)圓的方程為x2+y2-6x-8Y=0.設(shè)該圓過點(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和8。，那么四邊形

ABCD的面積為

(A)10A/6(B)20A/6(C)30A/6(D)4076

解析：此題考查直線與圓的位置關(guān)系

(x-3)2+(y—4)2=25,過點(3,5)的最長弦為AC=10,最短弦為

BD=2^52-12=476,S=-ACB￡>=20V6.

2

x+2y-19>0,

(12)設(shè)二元一次不等式組(x—y+8NO,所表示的平面區(qū)域為例，使函數(shù))，="(“>0,的圖象過

2x+y-\4<0

區(qū)域M的”的取值范圍是

(A)[1,3](B)[2,V10]02,9](D)[V10,9]

解析：此題考查線性規(guī)劃與指數(shù)函數(shù)

如圖陰影局部為平面區(qū)域M,顯然。>1,只需要研究過(1,9)、(3,8)兩種情形。且"N8即

2<a<9.\°',

(3,8)

(1,9)

第二卷(共90分)

二、填空題：本大題共4小題，每題4分，共16分.

(13)執(zhí)行右邊的程序框圖，假設(shè)〃=0.8,那么輸出的〃=—4

解析：此題考查程序框圖

—I----1—>0.8,因此輸出〃=4.

248

設(shè)函數(shù)2.假設(shè)]，那么沏的值為.

(14)f(x)=ax+c(aw0)jJ(x)dx=/(x0),01

解析:此題考查微積分定理的應(yīng)用

J\f(x)dx=J；(以2+c)=,a2V3

—cue"+CXlo=§+C=OX0+c,%0=—

(15)a,h,c為△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊，向量根=(百，一1),〃=(cosA,sinA).假設(shè)mU,

且acosB+bcosA=cs\nC,那么角B=—.

6

解析：此題考查解三角形

5/3cosA-sinA=0,A=—,sinAcossinBcosA=sinCsinC,

3

兀

sinAcosB+sinBcosA=sin(A+3)=sinC=sin~7C,C=y.

(16)假設(shè)不等式I3工功IV4的解集中的整數(shù)有且僅有1,2,3,那么I的取值范圍為(5,7).

解析：此題考查絕對值不等式

b-4

0<——<1

b-4b+4a

------<x<------°,解得5Vb<7

cb+44

3<------<4

三、解答題：本大題共6小題，共74分.

(17)(本小題總分值12分)

函數(shù)/W=V3sin(6ix+0)-COS@￥+。)(0<。<乃,0>())為偶函數(shù)，且函數(shù)y/㈤圖象的兩相鄰對稱軸

7T

間的距離為一.

2

(I)美洲f(上)的值；

8

(II)將函數(shù)y=/(x)的圖象向右平移三個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)舒暢長到原來的4倍，

6

縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)》=以無)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

解：(I)y(x)=6sin(5+e)-cos(以+夕)

V31

=2osin(dzc++(p)

71

=2sin(oir+^--)

因為兀i)為偶函數(shù)，

所以對k￡R{㈤可⑶恒成立,

因此sin(-*+8-)=sin(勿￥+0-土).

66

7171兀71

即nn-sincoxcos((p~—)+coscoxsin((p--)=sincoxcos(cp--)+coscoxsin((p--\

6666

整理得sin0xcos(9-土)=0.因為co>0,且x￡R,所以cos((p^-)=0.

66

又因為OVpVn,故°_2=巴.所以y(x)=2sin(cox)=2coscox.

2萬

2.-所以CD=2.

由題意得co2'

故於)=2cos2K

因為/(^)=2cos^=V2.

(II)將式x)的圖象向右平移個XTT個單位后，得到的TT圖象，再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長到原來的4

66

倍，縱坐標(biāo)不變，得到/(生-工)的圖象.

46

所以g(x)=/(?一a=2cos2(?一令=2cos/(1-y).

當(dāng)24〃W-----W2k,n+罪(力GZ),

23

27r87r

即4kJr+^：—^x^4kTt+—(AGZ)時，g(x)單調(diào)遞減.

27r

因此g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為4k7r+—Ak7r+—(/：ez)

(18)(本小題總分值12分)

甲乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，每人答復(fù)一個問題，答對者為本隊贏得一分，

2221

答錯得零分。假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為一，乙隊中3人答對的概率分別為一,一,一e表示甲隊

3332

的總得分.

(I)求隨機(jī)變量e分布列和數(shù)學(xué)期望；

(0)用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3"這一事件，用8表示“甲隊總得分大于乙隊總得分"這

一事件，求P(AB).

(I)解法一：由題意知，e的可能取值為0,1,2,3,且

91?22

312

P(^=0)=C°3X(1--)=—,P(^=1)=C3X-X(1--)=-,

32/339

7333

722428

?(￡=2)=C23X(-)2X(l--)3=-,P(￡=3)=C33X(-)3=—.

所以e的分布列為

￡0123

1248

P

279927

e的數(shù)學(xué)期望為

Ee=0x—+lx—+2x—+3x—=2.

279927

2

解法二：根據(jù)題設(shè)可知￡-8(3,§)

因此e的分布列為

p(￡=Q=g*xg)*=C,XF?=0,1,2,3.

2?

因為-8(3,—),所以Ee=3x—=2

33

(II)解法一：用C表示“甲得2分乙得1分"這一事件，用力表示“甲得3分乙得0分"這一事件，所

以AB=CU￡>,且C、?；コ?，又

W)=C23X(|)2X(1-1)X211121211

—X—X—+—X—x--F—X—X—

332332332

10

P—令金器等

由互斥事件的概率公式得

1043434

=P(C)+P(r>)=—+—=—=—-

343535243

解法二：用Ak表示“甲隊得&分"這一事件，用&表示“己隊得/分”這一事件，：0,1,2,3由于事件

A3B0,A2B1為互斥事件，故事

P(AB)=P(4BoU4BI)=P(43BO)+P(428I).

：、3,11、△，2z/11k

/x(Fx-)+C35?x(-x-+-xC2x

34

243,

(19)(本小題總分值12分)

將數(shù)列｛斯｝中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)那么排成如下數(shù)表:

ai

a2a?

a4asa6

a?a?a?aio

記表中的第一列數(shù)a1.a2.a4.a7.…構(gòu)成的數(shù)列為｛b?｝A=ai=l.S“為數(shù)列｛兒｝的前"項和,且滿足=

2a

1=(〃22).

2

bnSN-Sn

(i)證明數(shù)列｛-L｝成等差數(shù)列，并求數(shù)列｛hn｝的通項公式;

4

(n%]=--j■時，求上表中第&伙23)行所有項和的和.

(I)證明：由，

^^=1,

又S=b[++…+〃，

所以「…2九

⑸-S,i電一4

即2(％)=

又S]=b]=ax=1.

所以數(shù)列是首項為1,公差為工的等差數(shù)列

、S"J2

由上可知-^―=1+—(M—1)="十?,

即S.=

n+1

22

所以當(dāng)〃22時;b=-5?_=

n(n+1hn(n+1).

k--n[n+1)

(II)解：設(shè)上表中從第三行起，每行的公比都為公且q>0.

因為1+2+…+12=—^=78,

所以表中第1行至第12行共含有數(shù)列｛斯｝的前78項,

故例2在表中第13行第三列，

,,4

因此%2=b、3，q=---.

所以q=2.

記表中第4后3)行所有項的和為S,

bkQ-qk)_2(T)

那么s

i—qk(k+l)1-2

(20)(本小題總分值12分)

如圖，四棱錐P-ABCQ,底面ABC。為菱形，出，平

面ABCD,ZABC=60°,E,F分別是BC,PC的中

點.

([)證明：AELPD-,

(II)假設(shè)，為PO上的動點，E”與平面以。所成

最大角的正切值為求二面角E—AF—C的余弦

2

值.

(I)證明：由四邊形A8CO為菱形，ZABC=60°,

可得△A8C為正三角形.

因為E為BC的中點，所以AEJ_BC.

又BC//AD,因此AE_LAD

因為唐，平面A8CD,AEU平面ABC。，所以南JLAE.

而孫u平面以。，AOu平面BW且鞏C1A￡>=A,

所以AEJL平面出。，又PDu平面以D

所以AE_LPD.

(II)解：設(shè)AB=2,H為PD上任意一點，連接AH,

EH.

由(I)知AE_L平面PAD,

那么ZEHA為EH與平面PAD所成的角.

在RtZkEA”中，AE=6

所以當(dāng)A”最短時，最大，

即當(dāng)寸，最大.

AHJ_P￡>nNEHAB

AEV3V6

此時tanZEHA=----=----

AHAH2

因此AH=也又AD=2,所以乙4OH=45°,

所以PA=2.

解法一：因為小_L平面A8C。，%u平面附C,

所以平面網(wǎng)C_L平面A8CD

過E作EO_LAC于。，那么EOJ_平面以C,

過。作。S_LAF于S,連接ES,那么NESO為二面角E-AF-C的平面角,

G3

在Rt^AOE中,EO=AE-sin300AO=AE?cos300=一

V2

3&

又F是PC的中點，在RtAA5(9中，SO=AO-sin45°=

4

_V30

又SE=YIEO2+SO2=,

《494

30